小學(xué)數(shù)學(xué)五年級教案

八年級 數(shù)學(xué) 2.2 平方根 教案。

●課題：§2.2平方根(1)
●教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識點(diǎn)
1.了解數(shù)的算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根.
2.了解求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根與平方是互逆的運(yùn)算，會利用這個(gè)互逆運(yùn)算關(guān)系求某些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.
3.了解算術(shù)平方根的性質(zhì).
(二)能力訓(xùn)練要求
1.加強(qiáng)概念形成過程的教學(xué)，提高學(xué)生的思維水平.
2.鼓勵學(xué)生進(jìn)行探索和交流，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識和合作精神.
(三)情感與價(jià)值觀要求
1.讓學(xué)生積極參與教學(xué)活動，培養(yǎng)他們對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲.
2.訓(xùn)練學(xué)生動腦、動口、動手能力.
●教學(xué)重點(diǎn)
了解算術(shù)平方根的概念、性質(zhì)，會用根號表示一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根.
●教學(xué)難點(diǎn)
了解算術(shù)平方根的概念、性質(zhì).
●教學(xué)方法
導(dǎo)學(xué)法.
●教具準(zhǔn)備
投影片兩張：
第一張：例題(記作§2.2.1A)；
第二張：補(bǔ)充練習(xí)(記作§2.2.1B).
●教學(xué)過程
Ⅰ.新課導(dǎo)入
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了無理數(shù)、了解到無理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和引入的必要性，掌握了無理數(shù)的概念，知道有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別是：有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).比如在a2=2中，2是有理數(shù)，而a是無理數(shù).在前面我們學(xué)過若x2=a，則a叫x的平方，反過來x叫a的什么呢？本節(jié)課我們就來一起研究這個(gè)問題.
Ⅱ.講授新課
［師］在講新課之前，我們先回憶一下勾股定理，請同學(xué)們回答.
［生］勾股定理就是在直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
［師］下面請大家根據(jù)勾股定量，結(jié)合圖形完成填空.
投影片：(§2.2.1A)

根據(jù)下圖填空
x2=_________
y2=_________
z2=_________
w2=_________

［師］請大家思考后回答.
［生］x2=2,y2=3,z2=4,w2=5.
［師］請大家再分析一下，x，y，z，w中哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？
［生］x，y，w是無理數(shù)，z是有理數(shù).
［師］為什么呢？
［生］因?yàn)闆]有任何整數(shù)或分?jǐn)?shù)的平方等于2，3，5，所以x，y，z不是有理數(shù)，而22=4，所以z=2.
［師］這位同學(xué)分析得非常正確，那么大家能不能把上圖中的x，y，z，w表示出來呢？請大家仔細(xì)看書后回答.
［生］x=,y=,z=,w=.
［師］若一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，則這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根.記為“”讀作“根號a”.這就是算術(shù)平方根的定義.特別地規(guī)定0的算術(shù)平方根是0，即=0.
［師］下面我們根據(jù)算術(shù)平方根的定義求一些數(shù)的算術(shù)平方根.
［例1］求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：
(1)900；(2)1；(3)；(4)14.
解：(1)因?yàn)?02=900，所以900的算術(shù)平方根是30，即=30；
(2)因?yàn)?2=1，所以1的算術(shù)平方根是1，即=1；
(3)因?yàn)樗缘乃阈g(shù)平方根是，即；
(4)14的算術(shù)平方根是.
通過上面的例題，大家思考一下，我們在求算術(shù)平方根時(shí)是借助于哪一種運(yùn)算來求的？
［生］是通過平方來求的.
［師］對.由此我們可以看出一個(gè)正數(shù)的平方和求算術(shù)平方根是互為逆運(yùn)算.而且我們在例題中的步驟采取語言敘述和符號表示互相補(bǔ)充的做法，目的是讓大家明白算術(shù)平方根的概念，以及從計(jì)算中進(jìn)一步體會一個(gè)正數(shù)的平方和求算術(shù)平方根是互為逆運(yùn)算.在以后的步驟中可以簡化.
［例2］自由下落的物體的高度h(米)與下落時(shí)間t(秒)的關(guān)系為h=4.9t2.有一鐵球從19.6米高的建筑物上自由下落，到達(dá)地面需要多長時(shí)間？
解：將h=19.6代入公式h=4.9t2得
t2=4,所以t==2(秒)
即鐵球到達(dá)地面需要2秒.
［師］下面大家再觀察一下剛才咱們求出的算術(shù)平方根有什么特點(diǎn).
［生甲］算術(shù)平方根是整數(shù)或分?jǐn)?shù)，即為有理數(shù).
［生乙］不對，那是不是有理數(shù)？若是則是，分?jǐn)?shù)還是整數(shù)？
［生丙］因?yàn)闆]有任何一個(gè)整數(shù)或分?jǐn)?shù)的平方等于14，所以不是有理數(shù)，而是無理數(shù).
［師］大家的分析都有道理，我提示一下從符號方面考慮.
［生甲］噢，算術(shù)平方根是正數(shù)，如，2.
［生乙］不對，還有零呢.正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，零的算術(shù)平方根為零.
［師］非常正確，那負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是否為負(fù)數(shù)呢？若(－2)2=4.則=－2對嗎？或者=－2對嗎？
［生甲］不對.因?yàn)樗阈g(shù)平方根的定義是一個(gè)正數(shù)的x的平方等于a，這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，所以算術(shù)平方根不可能是負(fù)數(shù).
［師］由此看來，定義中的a和x都為正數(shù)，即算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.用式子表示為(a≥0)為非負(fù)數(shù)，這是算術(shù)平方根的性質(zhì).
Ⅲ.課堂練習(xí)
(一)P32隨堂練習(xí)1、2題.
(二)補(bǔ)充練習(xí).
投影片：(§2.2.1B)
一、填空題
1.若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是，則這個(gè)數(shù)是_________.
2.的算術(shù)平方根是_________.
3.正數(shù)_________的平方為的算術(shù)平方根為_________.
4.(－1.44)2的算術(shù)平方根為_________.
5.的算術(shù)平方根為_________，=_________.

二、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根，并用符號表示出來：
(1)(7.4)2；
(2)(－3.9)2；
(3)2.25；
(4)2.

答案：一、1.52.3.4.1.445.30.2.
二、(1)(4).
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根的概念，理解了求一個(gè)正數(shù)的平方和求算術(shù)平方根是互為逆運(yùn)算，求一個(gè)非零數(shù)的算術(shù)平方根，以及算術(shù)平方根的性質(zhì)，即算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).
Ⅴ.課后作業(yè)
P33習(xí)題1、3.
Ⅵ.活動與探究
1.一個(gè)正方形的面積變?yōu)樵瓉淼膎倍時(shí)，它的邊長變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮?br> 2.一個(gè)正方形的面積為原來的100倍時(shí)，它的邊長變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮?br> 解：設(shè)原來的正方形邊長為a，面積為S1，后來的正方形面積為S2.
1.S1=a2，S2=na2(a)2
∴后來的邊長(a)為原來邊長的倍.
2.S1=a2，S2=100a2=(10a)2
∴后來的邊長10a為原來邊長的10倍.
●板書設(shè)計(jì)
一、算術(shù)平方根的定義算術(shù)平方根的性質(zhì)
二、舉例
三、練習(xí)
四、作業(yè)

●課題：§2.2平方根(2)
●教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識點(diǎn)
1.了解平方根的概念、開平方的概念.
2.明確算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系.
3.進(jìn)一步明確平方與開方是互為逆運(yùn)算.
(二)能力訓(xùn)練要求
1.加強(qiáng)概念形成過程的教學(xué)，讓學(xué)生不僅掌握概念，而且知曉它的理論數(shù)據(jù).
2.提倡學(xué)生進(jìn)行自學(xué)，并能與同學(xué)互相交流與合作，變學(xué)會知識為會學(xué)知識.
3.培養(yǎng)學(xué)生的求同和求異思維，能從相似的事物中觀察到PX們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn).
(三)情感與價(jià)值觀要求
通過學(xué)生在學(xué)習(xí)中互相幫助、相互合作，并能對不同概念進(jìn)行區(qū)分，培養(yǎng)大家的團(tuán)隊(duì)精神，以及認(rèn)真仔細(xì)的學(xué)習(xí)態(tài)度，為學(xué)生將來走上社會而做準(zhǔn)備，使他們能在工作中保持嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，正確處理好人際關(guān)系，成為各方面的佼佼者.
●教學(xué)重點(diǎn)
1.了解平方根、開平方的概念.
2.了解開方與乘方是互逆的運(yùn)算，會利用這個(gè)互逆運(yùn)算關(guān)系求某些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和平方根.
3.了解平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系.
●教學(xué)難點(diǎn)
1.平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系.
2.負(fù)數(shù)沒有平方根，即負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開平方運(yùn)算的原因.
●教學(xué)方法
討論比較法.
即主要靠大家討論得出結(jié)論，同時(shí)對相似的概念進(jìn)行比較.這樣不僅能正確區(qū)分這些概念，還能使學(xué)生學(xué)得更扎實(shí).
●教具準(zhǔn)備
投影片兩張：
第一張：平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別(記作§2.2.2A)；
第二張：補(bǔ)充練習(xí)(記作§2.2.2B).
●教學(xué)過程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根的概念，性質(zhì).知道若一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a.則x叫a的算術(shù)平方根，記作x=，而且也是非負(fù)數(shù)，比如正數(shù)22=4，則2叫4的算術(shù)平方根，4叫2的平方，但是(－2)2=4，則－2叫4的什么根呢？下面我們就來討論這個(gè)問題.
Ⅱ.講授新課
1.平方根、開平方的概念
［師］請大家先思考兩個(gè)問題.
(1)9的算術(shù)平方根是3，也就是說，3的平方是9，還有其他的數(shù)，它的平方也是9嗎？
(2)平方等于的數(shù)有幾個(gè)？平方等于0.64的數(shù)呢？
［生］－3的平方也是9.
的平方是，－的平方也是，即平方等于的數(shù)有兩個(gè).
［生］平方等于9的數(shù)有兩個(gè)，平方等于的數(shù)有兩個(gè)，由此可知平方等于0.64的數(shù)也有兩個(gè).
［師］根據(jù)上一節(jié)課的內(nèi)容，我們知道了是9的算術(shù)平方根，是的算術(shù)平方根，那么－3，－叫9、的什么根呢？請大家認(rèn)真看書后回答.
［生］－3，－分別叫9、的平方根.
［師］那是不是說3叫9的算術(shù)平方根，－3也叫9的算術(shù)平方根，即9的算術(shù)平方根有一個(gè)是3，另一個(gè)是－3呢？
［生］不對.根據(jù)平方根的定義，一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)x就叫a的平方根(squareroot)，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定義可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有兩個(gè)3和－3，9的算術(shù)平方根只有一個(gè)是3.
［師］由平方根和算術(shù)平方根的定義，大家能否找出它們有什么相同和不同之處呢？請分小組討論后選代表回答.
［生］平方根的定義中是有一個(gè)數(shù)x的平方等于a，則x叫a的平方根，x沒有肯定是正數(shù)還是負(fù)數(shù)或零；而算術(shù)平方根的定義中是有一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，則x叫a的算術(shù)平方根，這里的x只能是正數(shù).由此看來都有x2=a，這是它們的相同之處，而x的要求不同，這是它們的不同之處.
［師］這位同學(xué)分析判斷能力特棒，下面我再詳細(xì)作一總結(jié).
投影片：(§2.2.2A)
平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別
聯(lián)系：
(1)具有包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根的一種.
(2)存在條件相同：平方根和算術(shù)平方根都是只有非負(fù)數(shù)才有.

(3)0的平方根，算術(shù)平方根都是0.
區(qū)別：
(1)定義不同：“如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根”；“非負(fù)數(shù)a的非負(fù)平方根叫a的算術(shù)平方根”.
(2)個(gè)數(shù)不同：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，而一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè).
(3)表示法不同：正數(shù)a的平方根表示為±，正數(shù)a的算術(shù)平方根表示為.
(4)取值范圍不同：正數(shù)的平方根一正一負(fù)，互為相反數(shù)；正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè).
［師］什么叫開平方呢？
［生］求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫開平方(extractionofsquareroot)，其中a叫被開方數(shù).
［師］我們共學(xué)了幾種運(yùn)算呢，這幾種運(yùn)算之間有怎樣的聯(lián)系呢？請大家討論后回答.
［生］我們共學(xué)了加、減、乘、除、乘方、開方六種運(yùn)算.加與減互為逆運(yùn)算，乘與除互為逆運(yùn)算，乘方與開方互為逆運(yùn)算.
［師］大家非常聰明且愛動腦子，回答問題正確率極高，很值得表揚(yáng)，希望你們能繼續(xù)發(fā)揚(yáng)下去.
2.平方根的性質(zhì)
［師］請大家思考以下問題.
(1)一個(gè)正數(shù)有幾個(gè)平方根.
(2)0有幾個(gè)平方根?
(3)負(fù)數(shù)呢？
［生］第一個(gè)問題在前面已作過討論，一個(gè)正數(shù)9有兩個(gè)平方根3和－3；
因?yàn)橹挥辛愕钠椒綖榱?，所?有一個(gè)平方根是零.
因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都不是負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒有平方根，例如－3沒有平方根.
［師］太精彩了.一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)；0有一個(gè)平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根.
3.講解例題
［例］求下列各數(shù)的平方根.
(1)64；(2)；(3)0.0004；(4)(－25)2；(5)11.
解：(1)因?yàn)?±8)2=64，所以64的平方根是±8，即±=±8；
(2)因?yàn)?±)2=，所以的平方根是±，即±=±；
(3)因?yàn)?±0.02)2=0.0004，所以0.0004的平方根是±0.02，即±=±0.02；
(4)因?yàn)?±25)2=(－25)2，所以(－25)2的平方根是±25，即±=±25；
(5)11的平方根是±.
［師］請大家口述上題中各數(shù)的算術(shù)平方根.
［生］64的算術(shù)平方根為8；的算術(shù)平方根為；0.0004的算術(shù)平方根為0.02；(－25)2的算術(shù)平方根為25；11的算術(shù)平方根為.
4.想一想
(1)()2等于多少？()2等于多少？
(2)()2等于多少？
(3)對于正數(shù)a，()2等于多少？
解：(1)()2=64；
()2=；
(2)()2=7.2；
(3)()2=a(a＞0)
Ⅲ.課堂練習(xí)
(一)隨堂練習(xí)
1.求下列各數(shù)的平方根
1.44，0，8，，441，196，10－4
解：因?yàn)?±1.2)2=1.44，所以1.44的平方根是±1.2，即±=±1.2；
因?yàn)?2=0，所以0的平方根是0.
即±=0；
因?yàn)?±)2=8.所以8的平方根是±；
因?yàn)?，所以的平方根是±，即±?br> 因?yàn)?±21)2=441，所以441的平方根是±21，即±=±21；
因?yàn)?±14)2=196，所以196的平方根是±14，即±=±14；
因?yàn)?0－4=，(±)=，所以的平方根是±，即±=±=±=±.
2.填空
(1)25的平方根是_________；
(2)=_________；
(3)()2=_________.
解：(1)±5；(2)5；(3)5.
(二)補(bǔ)充練習(xí)
投影片：(§2.2.2B)
1.判斷下列各數(shù)是否有平方根？并說明理由.
(1)(－3)2；(2)0；(3)－0.01；(4)－52；(5)－a2；(6)a2－2a+2
2.求下列各數(shù)的平方根.
(1)121；(2)0.01；(3)2；(4)(－13)2；(5)－(－4)3.

1.分析：一個(gè)數(shù)有沒有平方根，就看它是不是負(fù)數(shù)，是負(fù)數(shù)就沒有平方根；不是負(fù)數(shù)就有平方根.
解：(1)∵(－3)2=9＞0
∴(－3)2有平方根
(2)∵0的平方根是它本身
∴0有平方根
(3)∵－0.01＜0
∴－0.01沒有平方根
(4)∵－52=－25＜0
∴－52沒有平方根
(5)當(dāng)a=0時(shí)，－a2=0，有平方根
當(dāng)a≠0時(shí)，－a2＜0，沒有平方根.
(6)∵a2－2a+2=(a－1)2+1，無論a取何有理數(shù)，(a－1)2+1＞0
∴a2－2a+2有平方根.
說明：(1)負(fù)數(shù)沒有平方根
(2)第(4)小題容易犯錯誤，－52=25＞0.
2.分析：根據(jù)平方與開平方互為逆運(yùn)算，可以通過平方運(yùn)算來求一個(gè)數(shù)的平方根，其中2，(－13)2=169，－(－4)3=64，把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，含有乘方運(yùn)算先求出它的冪.
解：(1)∵(±11)2=121
∴121的平方根是±11
即±=±11；
(2)∵(±0.1)2=0.01
∴0.01的平方根是±0.1
即±=±0.1；
(3)∵2，(±)2=
∴2的平方根是±
即±=±；
(4)∵(－13)2=169，(±13)2=169
∴(－13)2的平方根是±13
即±=±13；
(5)∵－(－4)3=64，(±8)2=64
∴－(－4)3的平方根是±8
即±=±8.
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課學(xué)了如下內(nèi)容.
1.平方根的概念.
2.平方根的性質(zhì).
3.平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系.
4.求某些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和平方根.
Ⅴ.課后作業(yè)
習(xí)題2.4.
Ⅵ.活動與探究
1.對于任意數(shù)a，一定等于a嗎？
解：不一定
當(dāng)a=2時(shí)，=2
當(dāng)a=時(shí)，
當(dāng)a=0時(shí)，=0
當(dāng)a=－2時(shí)，=2
當(dāng)a－時(shí)，=.
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，=a
當(dāng)a＜0時(shí)，=－a
2.中的被開方數(shù)a在什么情況下有意義，()2等于什么？
解：因?yàn)槿我鈹?shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，也就是非負(fù)數(shù)才有平方根，所以被開方數(shù)a必須是正數(shù)或零，即非負(fù)數(shù)時(shí)有意義.
當(dāng)a=1時(shí)，()2=12=1
當(dāng)a=4時(shí)，()2=22=4
當(dāng)a=時(shí)，
當(dāng)a=時(shí)，
當(dāng)a=0時(shí)，()2=0.
所以()2=a(a≥0)
●板書設(shè)計(jì)
§2.2平方根(2)
一、平方根的定義；
平方根的性質(zhì)；
平方根與算術(shù)；
平方根的區(qū)別與聯(lián)系.
二、例題講解
三、練習(xí)
四、小結(jié)
五、作業(yè)

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平方根

老師在新授課程時(shí)，一般會準(zhǔn)備教案課件，大家應(yīng)該開始寫教案課件了。對教案課件的工作進(jìn)行一個(gè)詳細(xì)的計(jì)劃，可以更好完成工作任務(wù)！你們會寫適合教案課件的范文嗎？下面是小編為大家整理的“平方根”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

課題：10.1平方根（1）

教學(xué)目標(biāo)1.了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示正數(shù)的算術(shù)平方根，并了解算術(shù)平方根的非負(fù)性；
2.了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根；
3.通過對實(shí)際生活中問題的解決，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活實(shí)際是緊密聯(lián)系著的，通過探究活動培養(yǎng)動手能力和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)算術(shù)平方根的概念正確求出非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根。
知識重點(diǎn)算術(shù)平方根的概念。
教學(xué)過程（師生活動）設(shè)計(jì)理念
情境導(dǎo)入同學(xué)們，2003年10月15日，這是我們每個(gè)中國人值得驕傲的日子．因?yàn)檫@一天，“神舟”五號飛船載人航天飛行取得圓滿成功，實(shí)現(xiàn)了中華民族千年的飛天夢想（多媒體同時(shí)出示“神舟”五號飛船升空時(shí)的畫面）．那么，你們知道宇宙飛船離開地球進(jìn)人軌道正常運(yùn)行的速度是在什么范圍嗎？這時(shí)它的速度要大于第一宇宙速度（米／秒）而小于第二宇宙速度：（米／秒）．、的大小滿足.怎樣求、呢？這就要用到平方根的概念，也就是本章的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容．
這節(jié)課我們先學(xué)習(xí)有關(guān)算術(shù)平方根的概念．
請看下面的問題．神舟”五號成功發(fā)射和安全著陸，標(biāo)志著我國在攀登世界科技高峰的征程上又邁出具有重大歷史意義的一步，是我們偉大祖國的榮耀．此內(nèi)容有感染力，使學(xué)生對
本章知識的應(yīng)用價(jià)值有一個(gè)感性認(rèn)識，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)的興趣．這里的計(jì)算實(shí)際上是已知
冪和乘方的指數(shù)求底數(shù)的問題，是乘方的逆運(yùn)算，學(xué)生以前沒有見過，由此引出了本章所要研究的主要內(nèi)容，以及研究這些內(nèi)容的大體思路．
提出問題
感知新知多媒體展示教科書第160頁的問題（問題略），然后提出問題：
你是怎樣算出畫框的邊長等于5dm的呢？（學(xué)生思考并交流解法）
這個(gè)問題相當(dāng)于在等式擴(kuò)=25中求出正數(shù)x的值．
練習(xí)：教科書第160頁的填表．練習(xí)：教科書第160頁的填表．這個(gè)問題抽象成數(shù)學(xué)問題
就是已知正方形的面積求正方形的邊長，這與學(xué)生以前學(xué)過的
已知正方形的邊長求它的面積的過程互逆，教學(xué)時(shí)可以讓學(xué)生初步體會這種互逆的過程，為后面的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。
歸納新知上面的問題，可以歸納為“已知一個(gè)正數(shù)的平方，求這個(gè)正數(shù)”的問題．實(shí)際上是乘方運(yùn)算中，已知一個(gè)數(shù)的指數(shù)和它的冪求這個(gè)數(shù)．
一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．a(chǎn)的算術(shù)平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù)．規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.
也就是，在等式=a(x≥0)中，規(guī)定x=.
思考：這里的數(shù)a應(yīng)該是怎樣的數(shù)呢？
試一試：你能根據(jù)等式：=144說出144的算術(shù)平方根是多少嗎？并用等式表示出來．
想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它們的值嗎？
建議：求值時(shí)，要按照算術(shù)平方根的意義，寫出應(yīng)該滿足的關(guān)系式，然后按照算術(shù)平方根的記法寫出對應(yīng)的值．例如表示25的算術(shù)平方根，因?yàn)椤璠也可以寫成,讀作“二次根號a”。
算術(shù)平方根的概念比較抽象，原因之一是學(xué)生對石這個(gè)新
的符號的理解要有一個(gè)過程．通過此問題，使學(xué)生對符號“而”表示的具體含義有更具體、更深刻的認(rèn)識．
應(yīng)用新知例．（課本第160頁的例1）求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：
（1）100；(2)1；(3)；(4)0.0001
建議：首先應(yīng)讓學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根應(yīng)滿足怎樣的等式，應(yīng)該用怎樣的記號來表示它，在此基礎(chǔ)上再求出結(jié)果，例如求100的算術(shù)平方根，就是求一個(gè)數(shù)x，使=100，因?yàn)?br> 例題的解答展示了求數(shù)的算術(shù)平方根的思考過程．在開始階段，宜讓學(xué)生適當(dāng)模仿，熟練后可以直接寫出結(jié)果．
探究拓展提出問題：（課本第160頁）怎樣用兩個(gè)面積為1的小正方形拼成一個(gè)面積為2的大正方形？
方法1：課本中的方法，略；
方法2：
可還有其他方法，鼓勵學(xué)生探究。
問題：這個(gè)大正方形的邊長應(yīng)該是多少呢？
大正方形的邊長是，表示2的算術(shù)平方根，它到底是個(gè)多大的數(shù)？你能求出它的值嗎？
建議學(xué)生觀察圖形感受的大?。≌叫蔚膶蔷€的長是多少呢？（用刻度尺測量它與大正方形的邊長的大?。┧慕浦滴覀儗⒃谙鹿?jié)課探究．
教科書在邊空提出問題“小正方形的對角線的長是多少”，
這是為在10．3節(jié)介紹在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)做準(zhǔn)備．

小結(jié)與作業(yè)
課堂小結(jié)提問:1、這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么呢？
2、算術(shù)平方根的具體意義是怎么樣的？
3、怎樣求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根？
布置作業(yè)1、必做題：課本第167頁習(xí)題10.1第1、2、3題；168頁第11題。
2、備選題：
（1）判斷下列說法是否正確：
①是25的算術(shù)平方根；
②一6是的算術(shù)平方根；
③0的算術(shù)平方根是0；
④0.01是0.1的算術(shù)平方根；
⑤一個(gè)正方形的邊長就是這個(gè)正方形的面積的算術(shù)平方根．
（2）下列各式哪些有意義，哪些沒有意義？
①－②③④
（3）一個(gè)正方形的面積為10平方厘米，求以這個(gè)正方形的邊為直徑的圓的面積。
在本節(jié)的第一個(gè)“探究”欄目之前，重點(diǎn)是介紹算術(shù)平方根的概念，因此所涉及的數(shù)（包括例題中的數(shù)）都是完全平方數(shù)（能表示成一個(gè)有理數(shù)的平方），所求的是這些完全平方數(shù)的算術(shù)平方根．
本課教育評注（課堂設(shè)計(jì)理念，實(shí)際教學(xué)效果及改進(jìn)設(shè)想）
本節(jié)課是本章的第一節(jié)課，主要是要建立算術(shù)平方根的概念為了使學(xué)生體會引入算
術(shù)平方根的必要性，感受新數(shù)（無理數(shù)）的產(chǎn)生是實(shí)際生活和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，也為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，所以章前圖的學(xué)習(xí)不要省略．特別地應(yīng)提醒學(xué)生這里求速度的問題實(shí)際上是已知冪和乘方求底數(shù)的問題，是一個(gè)新的數(shù)學(xué)問題．
通過一個(gè)簡單的實(shí)際問題，引人算術(shù)平方根的概念對學(xué)生來說是容易接受并有興趣
的．教學(xué)中要注意算術(shù)平方根的非負(fù)性，對它的符號的理解與接受要有一個(gè)過程，但這也是最重要的，能從根號很自然地聯(lián)想到算術(shù)平方根的意義（應(yīng)滿足的一個(gè)等式）這是學(xué)好平方根概念的基本保證，所以在例題之前安排了試一試和想一想，教師還可根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行有關(guān)的訓(xùn)練．
通過對兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形的探究活動，一方面是培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和思維能力，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，另一方面是使學(xué)生理解引人算術(shù)平方根符號的必要性，明確有些正數(shù)的算術(shù)平方根不能容易地求得，為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備．

平方根1

第二章實(shí)數(shù)
2.平方根（一）

一、學(xué)生起點(diǎn)分析
學(xué)生已具備了對無理數(shù)的認(rèn)識，知道只有有理數(shù)是不夠的．學(xué)生還具備了乘方運(yùn)算的基礎(chǔ)，并且有計(jì)算正方形等幾何圖形面積的技能．在前面的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具備了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力．這節(jié)課的教學(xué)，力求從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，以他們熟悉的問題情景引入學(xué)習(xí)主題，在關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活的同時(shí)，更加關(guān)注數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的挑戰(zhàn)性．

二、教學(xué)任務(wù)分析
本節(jié)課是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書北師大版八年級（上）第二章《實(shí)數(shù)》的第二節(jié)《平方根》．本節(jié)內(nèi)容計(jì)2個(gè)課時(shí)，本節(jié)課是第1課時(shí)，主要是算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的教學(xué)．課程標(biāo)準(zhǔn)要求，對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過程，因此確定本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)如下：
知識與技能目標(biāo)
1．了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根．
2．了解求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根與平方是互逆的運(yùn)算，會利用這個(gè)互逆運(yùn)算關(guān)系求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根．
3．了解算術(shù)平方根的性質(zhì)．
過程與方法目標(biāo)
1．在概念形成過程中，讓學(xué)生體會知識的來源與發(fā)展，提高學(xué)生的思維能力．
2．在合作交流等活動中，培養(yǎng)他們的合作精神和創(chuàng)新意識．
情感與態(tài)度目標(biāo)
1．讓學(xué)生積極參與教學(xué)活動，培養(yǎng)他們對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲．
教學(xué)重點(diǎn)：
了解算術(shù)平方根的概念、性質(zhì)，會用根號表示一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根．
教學(xué)難點(diǎn)：
對算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的理解．

三、教法學(xué)法
教學(xué)方法：講授法．
課前準(zhǔn)備：
教具：教材，多媒體課件，電腦．
學(xué)具：教材，筆，練習(xí)本．

四、教學(xué)過程：
本課時(shí)設(shè)計(jì)六個(gè)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：問題情境；第二環(huán)節(jié)：初步探究；第三環(huán)節(jié)：深入探究；第四環(huán)節(jié)：反饋練習(xí)；第五環(huán)節(jié)：學(xué)習(xí)小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：作業(yè)布置．
本節(jié)課教學(xué)流程為：

第一環(huán)節(jié)：問題情境
方法一：問題導(dǎo)入
內(nèi)容：上節(jié)課學(xué)習(xí)了無理數(shù)，了解到無理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和引入的必要性，掌握了無理數(shù)的概念，知道有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別是：有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)．比如上一節(jié)課我們做過的：由兩個(gè)邊長為1的小正方形，通過剪一剪，拼一拼，得到一個(gè)邊長為a的大的正方形，那么有a2=2，a=，2是有理數(shù)，而a是無理數(shù)．在前面我們學(xué)過若x2=a，則a叫x的平方，反過來x叫a的什么呢？本節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)．

方法二：問題導(dǎo)入
內(nèi)容：前面我們學(xué)習(xí)了勾股定理，請大家根據(jù)勾股定理，結(jié)合圖形完成填空：
x2=，y2=，z2=，w2=．
意圖：方法一和二都是帶著問題進(jìn)入到這節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)算術(shù)平方根的必要性．
效果：能表示x2=2，y2=3，z2=4，w2=5；能求得z＝2，但不能求得x、y、w的值．
說明：方法一的引入是由上節(jié)課“數(shù)怎么又不夠用了”的例子，起到了承前啟后的作用，方法二的引入是由學(xué)生學(xué)習(xí)了第一章“勾股定理”后的應(yīng)用，說明學(xué)習(xí)這節(jié)課的必要性．相對而言，建議選用方法二。
第二環(huán)節(jié)：初步探究
內(nèi)容1：情境引出新概念
x2=2，y2=3，z2=4，w2=5，已知冪和指數(shù)，求底數(shù)x，你能求出來嗎？
意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)概念形成過程，感受到概念引入的必要性．
效果：學(xué)生可以估算出x，y是1到2之間的數(shù)，w是2到3之間的數(shù)但無法表示x、y、w，從而激發(fā)學(xué)生繼續(xù)往下學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)而引入新的運(yùn)算——開方．
說明：無論是用方法一引入，還是方法二引入，都是激發(fā)學(xué)生繼續(xù)往下學(xué)習(xí)的興趣，都可以提出同樣的問題“已知冪和指數(shù)，求底數(shù)x，你能求出來嗎？”

內(nèi)容2：在上面思考的基礎(chǔ)上，明晰概念：
一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為“”，讀作“根號a”．特別地，我們規(guī)定0的算術(shù)平方根是0，即．
意圖：對算術(shù)平方根概念的認(rèn)識．
效果：了解算術(shù)平方根的概念，知道平方運(yùn)算和求正數(shù)的算術(shù)平方根是互逆的．
內(nèi)容3：簡單運(yùn)用鞏固概念
例1求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：
（1）900；（2）1；（3）；（4）14．
意圖：體驗(yàn)求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的過程，利用平方運(yùn)算求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的方法，讓學(xué)生明白有的正數(shù)的算術(shù)平方根可以開出來，有的正數(shù)的算術(shù)平方根只能用根號表示，如14的算術(shù)平方根是．
效果：會求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根，更進(jìn)一步了解算術(shù)平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根．
答案：解：（1）因?yàn)?02=900，所以900的算術(shù)平方根是30，即；
（2）因?yàn)?2=1，所以1的算術(shù)平方根是1，即；
（3）因?yàn)?，所以的算術(shù)平方根是，即；
（4）14的算術(shù)平方根是．

內(nèi)容4：回解課堂引入問題
x2=2，y2=3，w2=5，那么x=，y=，w=．

第三環(huán)節(jié)：深入探究
內(nèi)容1：例2自由下落物體的高度h（米）與下落時(shí)間t（秒）的關(guān)系為h=4.9t2．有一鐵球從19.6米高的建筑物上自由下落，到達(dá)地面需要多長時(shí)間？
意圖：用算術(shù)平方根的知識解決實(shí)際問題．
效果：學(xué)生多能利用等式的性質(zhì)將h=4.9t2進(jìn)行變形，再用求算術(shù)平方根的方法求得題目的解．
解：將h=19.6代入公式得h=4.9t2，t2=4，所以t==2(秒)．
即鐵球到達(dá)地面需要2秒．
說明：此題是為得出下面的結(jié)論作鋪墊的．

內(nèi)容2：觀察我們剛才求出的算術(shù)平方根有什么特點(diǎn)．
意圖：讓學(xué)生認(rèn)識到算術(shù)平方根定義中的兩層含義：中的a是一個(gè)非負(fù)數(shù)，a的算術(shù)平方根也是一個(gè)非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根．這也是算術(shù)平方根的性質(zhì)——雙重非負(fù)性．
效果：再一次深入地認(rèn)識算術(shù)平方根的概念，明確只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根．

第四環(huán)節(jié)：反饋練習(xí)
一、填空題：
1．若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是，那么這個(gè)數(shù)是；
2．的算術(shù)平方根是；
3．的算術(shù)平方根是；
4．若，則=．
二、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：
36，，15，0.64，，，．
三、如圖，從帳篷支撐竿AB的頂部A向地面拉一根繩子AC固定帳篷．若繩子的長度為5.5米，地面固定點(diǎn)C到帳篷支撐竿底部B的距離是4.5米，則帳篷支撐竿的高是多少米？
答案：一、1.7；2.；3.；4．16；二、6；；；0.8；；；1；
三、解：由題意得AC=5.5米，BC=4.5米，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得（米）．所以帳篷支撐竿的高是米．
意圖：旨在檢測學(xué)生對算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的掌握情況，以便根據(jù)學(xué)生情況調(diào)整教學(xué)進(jìn)程.
效果：練習(xí)注意了問題的梯度性，由淺入深，一步步加深對算術(shù)平方根的概念以及性質(zhì)的認(rèn)識.對學(xué)生的回答，教師要給予評價(jià)和點(diǎn)評。

第五環(huán)節(jié)：學(xué)習(xí)小結(jié)
內(nèi)容：這節(jié)課學(xué)習(xí)的算術(shù)平方根是本章的基本概念，是為以后的學(xué)習(xí)做鋪墊的．通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們要掌握以下的內(nèi)容：
（1）算術(shù)平方根的概念，式子中的雙重非負(fù)性：一是a≥0，二是≥0．
（2）算術(shù)平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根．
（3）求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的運(yùn)算與平方運(yùn)算是互逆的運(yùn)算，利用這個(gè)互逆運(yùn)算關(guān)系求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根．
意圖：依照本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)引導(dǎo)學(xué)生自己小結(jié)本節(jié)課的知識要點(diǎn)，強(qiáng)化算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)．
第六環(huán)節(jié)：作業(yè)布置
習(xí)題2.3

五、教學(xué)設(shè)計(jì)說明
1．設(shè)計(jì)理念
要想讓學(xué)生正確、牢固地樹立起算術(shù)平方根的概念，需要由淺入深、不斷深化的過程．概念是由具體到抽象、由特殊到一般，經(jīng)過分析、綜合去掉非本質(zhì)特征，保持本質(zhì)屬性而形成的．概念的形成過程也是思維過程，加強(qiáng)概念形成過程的教學(xué)，對提高學(xué)生的思維水平是很有必要的．概念教學(xué)過程中要做到：講清概念，加強(qiáng)訓(xùn)練，逐步深化．
“講清概念”就是通過具體實(shí)例揭露算術(shù)平方根的本質(zhì)特征．算術(shù)平方根的本質(zhì)特征就是定義中指出的：“如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，”的“正數(shù)x”，即被開方數(shù)是正的，由平方的意義，a也是正數(shù)，因此算術(shù)平方根也必須是正的．當(dāng)然零的算術(shù)平方根是零.
“加強(qiáng)訓(xùn)練”不但指要加強(qiáng)求算術(shù)平方根的基本訓(xùn)練,使練習(xí)題達(dá)到一定的質(zhì)和量,也包括書寫格式的訓(xùn)練，如在求正數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，不是直接寫出算術(shù)平方根，而是通過平方運(yùn)算來求算術(shù)平方根，非平方數(shù)的算術(shù)平方根只能用根號來表示.
“逐步深化”是指利用算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的題目按不同的“梯度”組成題組，在教學(xué)的不同階段按由淺入深的原則加以使用.
2．知識拓展
在教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，在學(xué)有余力的情況下，可用以下的例題和練習(xí)題進(jìn)行知識的拓展：
內(nèi)容：例已知，求的值．
解：因?yàn)楹投际欠秦?fù)數(shù)，并且，所以，，解得x=2，y=-4，所以．
意圖：加深對算術(shù)平方根概念中兩層含義的認(rèn)識，會用算術(shù)平方根的概念來解決有關(guān)的問題．
效果：達(dá)到能靈活運(yùn)用算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的目的．
課后還可以布置相應(yīng)的拓展性習(xí)題：
內(nèi)容：1．已知，求x+y+z的值．
2．若x，y滿足，求xy的值．
3．求中的x．
4．若的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，求a+b的值．
5．△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a，b滿足，求c的取值范圍．
解：1．因?yàn)椤?，≥0，≥0，且，
所以=0，=0，=0，解得，，，所以x+y+z=．
2．因?yàn)?x-1≥0，1-2x≥0，所以2x-1=0，解得x=，當(dāng)x=時(shí)，y=5，所以xy=×5=．
3．解：因?yàn)閤-5≥0，≥0，所以x=5．
4．解：因?yàn)?，所以的整?shù)部分為8，的整數(shù)部分為1，所以的小數(shù)部分，的小數(shù)部分，所以．
5．解：由，可得，因?yàn)椤?，≥0，
所以=0，=0，所以a=1，b=2，由三角形三邊關(guān)系定理有：b-acb+a，即1c3．

平方根學(xué)案

學(xué)習(xí)目標(biāo):
1.了解平方根的概念，會用根號表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根；
2.理解開平方與乘方是互逆的運(yùn)算，能根據(jù)平方根的概念求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根.
重點(diǎn)、難點(diǎn)：理解用字母表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根的意義.
學(xué)習(xí)過程
一.【預(yù)學(xué)提綱】初步感知、激發(fā)興趣
1.在等式中，已知，你能求a嗎？已知，你能求嗎？

2.若一個(gè)數(shù)的平方等于（0），則這個(gè)數(shù)可表示為；

3.一個(gè)正數(shù)的平方根有幾個(gè)？如何求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根？

二.【預(yù)學(xué)練習(xí)】初步運(yùn)用、生成問題
1.判斷下列說法是否正確：
（1）5是25的平方根（）（2）25的平方根是-5（）
（3）0的平方根是0（）（4）1的平方根是1（）
（5）（-3）2的平方根是-3（）
2.25的平方根記作，結(jié)果是；
361的負(fù)的平方根記作，結(jié)果是；
3.計(jì)算：○1=；○2=；
③=；○4=.
三.【新知探究】師生互動、揭示通法
活動1.觀察下面的式子：
，；，；，；
(1)再列舉與上式類似的3個(gè)式子；
（2）你得出什么結(jié)論？
問題1.求下列各數(shù)的平方根：（1）25；（2）；（3）15；（4）.

四.【解疑助學(xué)】生生互動、突出重點(diǎn)
問題2.填空：
（1）因?yàn)槠椒降?4的數(shù)是，所以64的平方根是.
（2）平方根是它本身的數(shù)是.
（3）若a+1沒有平方根，則a的取值范圍是.
（4）如果x、y是2011的平方根，那么x和y的關(guān)系是.
（5）如果-b是a的平方根，那么a和b的關(guān)系是.
問題3.①=；②=；
③=；④=．

五.【變式拓展】能力提升、突破難點(diǎn)
1.已知是25的平方根，是36的平方根，求的值．

2.已知4a+1的平方根是±5，求a的值．

3.已知一個(gè)數(shù)a的平方根是b+1，b+3，求a、b的值．

六.【回扣目標(biāo)】學(xué)有所成、悟出方法
1.任意的有理數(shù)都有平方根嗎？為什么？
2.求一個(gè)非負(fù)有理數(shù)的平方根的步驟是什么？