小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)教案

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1章分式（湘教版）。

第1章分式
1.1分式
第1課時(shí)分式
1.理解分式的定義，能夠根據(jù)定義判斷一個(gè)式子是否是分式.
2.能寫(xiě)出分式存在的條件，會(huì)求分式的值為0時(shí)字母的取值范圍.(重難點(diǎn))
3.能根據(jù)字母的取值求分式的值.(重點(diǎn))
4.能用分式表示現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)量關(guān)系.(重點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P2～3，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
1.一般地，如果一個(gè)整式f除以一個(gè)非零整式g(g中含有字母)，所得商fg叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.
2.(1)分式fg存在的條件是g≠0；(2)分式fg不存在的條件是g＝0；(3)分式fg的值為0的條件是f＝0，g≠0.
(二)自學(xué)反饋
1.下列各式中，哪些是分式？
①2b－s；②3000300－a；③27；④vs；⑤s32；⑥2x2＋15；⑦45b＋c；⑧－5；⑨3x2－1；⑩x2－xy＋y22x－1；5x－7.
解：分式有①②④⑦⑩.
判斷是否是分式主要看分母是不是含有字母.這是判斷分式的唯一條件.

2.當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式的值不存在？當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式的值等于0?
(1)3－xx＋2；(2)x＋53－2x.
解：(1)當(dāng)x＋2＝0時(shí)，即x＝－2時(shí)，分式3－xx＋2的值不存在.當(dāng)x＝3時(shí)，分式3－xx＋2的值等于0.
(2)當(dāng)3－2x＝0時(shí)，即x＝32時(shí)，分式x＋53－2x的值不存在.當(dāng)x＝－5時(shí)，分式x＋53－2x的值等于0.
分母是否為0決定分式的值是否存在.

活動(dòng)1小組討論
例1列代數(shù)式表示下列數(shù)量關(guān)系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
(1)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，他做80個(gè)零件需多少小時(shí)；
(2)輪船在靜水中每小時(shí)走a千米，水流的速度是b千米/時(shí)，輪船的順流速度是多少千米/時(shí)，輪船的逆流速度是多少千米/時(shí)；
(3)x與y的差除以4的商是多少.
解：(1)80x；分式.(2)a＋b，a－b；整式.(3)x－y4；整式.
例2當(dāng)x取何值時(shí)，分式2x－5x2－4的值存在？當(dāng)x取何值時(shí)，分式2x－5x2－4的值為零？
解：當(dāng)2x－5x2－4的值存在時(shí)，x2－4≠0，即x≠±2；
當(dāng)2x－5x2－4的值為0時(shí)，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝52.
分式的值存在的條件：分式的分母不能為0.分式的值不存在的條件：分式的分母等于0.分式值為0的條件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值為零一定是在有意義的條件下成立的.

活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.下列各式中，哪些是分式？
①4x；②a4；③1x－y；④3x4；⑤12x2.
解：①③是分式.
2.當(dāng)x取何值時(shí)，分式x2＋13x－2的值存在？
解：3x－2≠0，即x≠23時(shí)，x2＋13x－2存在.
3.求下列條件下分式x－2x＋3的值.
(1)x＝1；(2)x＝－1.
解：(1)當(dāng)x＝1時(shí)，x－2x＋3＝－14.
(2)當(dāng)x＝－1時(shí)，x－2x＋3＝－32.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
1.分式的定義及根據(jù)條件列分式.
2.分式的值存在的條件，以及分式值為0的條件.

第2課時(shí)分式的基本性質(zhì)
1.理解并掌握分式的基本性質(zhì).(重點(diǎn))
2.能運(yùn)用分式的基本性質(zhì)約分，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值運(yùn)算.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P4～6，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
1.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同時(shí)乘(或除以)一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.用式子表示為fg＝（fh）gh(h≠0).
2.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去(即分子與分母都除以它們的公因式)，叫作分式的約分.
3.分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫作最簡(jiǎn)分式.
(二)自學(xué)反饋
1.下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？
(1)a2b＝ac2bc(c≠0)；(2)x3xy＝x2y.
解：(1)由c≠0，知a2b＝ac2bc＝ac2bc.
(2)由x≠0，知x3xy＝x3÷xxy÷x＝x2y.
應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，一定要確定分式在有意義的情況下才能應(yīng)用.

2.填空，使等式成立：
(1)34y＝3（x＋y）4y（x＋y）(其中x＋y≠0)；(2)y＋2y2－4＝1（y－2）.
在分式有意義的情況下，正確運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，保證分式的值不變，給分式變形.

3.約分：
(1)a2bcab；(2)－32a3b2c24a2b3d.
解：(1)公因式為ab，所以a2bcab＝ac.
(2)公因式為8a2b2，所以－32a3b2c24a2b3d＝－4ac3bd.
活動(dòng)1小組討論
例1約分：
(1)－3a3a4；(2)12a3（y－x）227a（x－y）；(3)x2－1x2－2x＋1.
解：(1)－3a3a4＝－3a.
(2)12a3（y－x）227a（x－y）＝4a2（x－y）9.
(3)x2－1x2－2x＋1＝（x＋1）（x－1）（x－1）2＝x＋1x－1.
約分的過(guò)程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的應(yīng)用.像(3)這樣的分子分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先分解因式再約分.
例2先約分，再求值：x2y＋xy22xy，其中x＝3，y＝1.
解：x2y＋xy22xy＝xy（x＋y）2xy＝x＋y2.
當(dāng)x＝3，y＝1時(shí)，x＋y2＝3＋12.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.約分：
(1)－15（a＋b）2－25（a＋b）；(2)m2－3m9－m2.
解：(1)－15（a＋b）2－25（a＋b）＝3（a＋b）5.
(2)m2－3m9－m2＝m（m－3）（3＋m）（3－m）＝－mm＋3.
2.先約分，再求值：
(1)3m＋n9m2－n2，其中m＝1，n＝2；
(2)x2－4y2x2－4xy＋4y2，其中x＝2，y＝4.
解：(1)3m＋n9m2－n2＝13m－n＝13×1－2＝1.
(2)x2－4y2x2－4xy＋4y2＝（x＋2y）（x－2y）（x－2y）2＝x＋2yx－2y＝2＋2×42－2×4＝－53.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
1.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì).
2.約分、化簡(jiǎn)求值.
1.2分式的乘法和除法
第1課時(shí)分式的乘法和除法
1.理解分式的乘、除法的法則.(重點(diǎn))
2.會(huì)進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P8～9，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
分式的乘、除法運(yùn)算法則：
(1)分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分別作為積的分子、分母.用式子表示為fguv＝fugv.
(2)分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用式子表示為：如果u≠0，則規(guī)定fg÷uv＝fgvu＝fvgu.
(二)自學(xué)反饋
1.計(jì)算xyy2x的結(jié)果是12.
2.化簡(jiǎn)m－1m÷m－1m2的結(jié)果是m.
3.下列計(jì)算對(duì)嗎？若不對(duì)，要怎樣改正？
(1)baab＝1；(2)ba÷a＝b；
(3)－x2b6bx2＝3bx；(4)4x3a÷a2x＝23.
解：(1)對(duì).(2)錯(cuò).正確的是ba2.(3)錯(cuò).正確的是－3x.(4)錯(cuò).正確的是8x23a2.
活動(dòng)1小組討論
例1計(jì)算：
(1)4x3yy2x3；(2)ab22c2÷－3a2b24cd.
解：(1)原式＝4xy3y2x3＝4xy6x3y＝23x2.
(2)原式＝ab22c24cd－3a2b2＝－ab24cd2c23a2b2＝－2d3ac.
例2計(jì)算：
(1)a2－4a＋4a2－2a＋1a－1a2－4；(2)149－m2÷1m2－7m.
解：(1)原式＝（a－2）2（a－1）2a－1（a＋2）（a－2）＝（a－2）2（a－1）（a－1）2（a－2）（a＋2）＝a－2（a－1）（a＋2）.
(2)原式＝149－m2m2－7m1＝1（7＋m）（7－m）m（m－7）1＝m（m－7）（7＋m）（7－m）＝－m7＋m.
整式與分式運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母是1的分式.注意變換過(guò)程中的符號(hào).
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.計(jì)算：
(1)3a4b16b9a2；(2)12xy5a÷8x2y；(3)－3xy÷2y23x.
解：(1)原式＝3a16b4b9a2＝43a.
(2)原式＝12xy5a18x2y＝12xy5a8x2y＝310ax.
(3)原式＝－3xy3x2y2＝－3xy3x2y2＝－9x22y.
(2)和(3)要把除法轉(zhuǎn)換成乘法運(yùn)算，然后約分，運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式.
2.計(jì)算：
(1)x2－4x2－4x＋3÷x2＋3x＋2x2－x；
(2)2x＋64－4x＋x2÷(x＋3)x2＋x－63－x.
解：(1)原式＝x2－4x2－4x＋3x2－xx2＋3x＋2＝（x＋2）（x－2）（x－3）（x－1）x（x－1）（x＋1）（x＋2）＝x（x－2）（x－3）（x＋1）＝x2－2xx2－2x－3.
(2)原式＝2x＋64－4x＋x21x＋3x2＋x－63－x＝2（x＋3）（x－2）21x＋3（x＋3）（x－2）－（x－3）＝－2（x＋3）（x－2）（x－3）.
分式的乘除要嚴(yán)格按著法則運(yùn)算，除法必須先換算成乘法，如果分式的分子或分母是多項(xiàng)式，那么就把分子或分母分解因式，然后約分，化成最簡(jiǎn)分式.運(yùn)算過(guò)程一定要注意符號(hào).
活動(dòng)3課堂小結(jié)
1.分式的乘、除運(yùn)算法則.
2.分式的乘、除法法則的運(yùn)用.

第2課時(shí)分式的乘方
1.理解分式乘方的運(yùn)算法則.(重點(diǎn))
2.熟練地進(jìn)行分式乘方及乘、除、乘方混合運(yùn)算.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P10～11，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
分式的乘方法則：分式的乘方要把分子、分母分別乘方.用式子表示為(fg)n＝fngn.(其中n為正整數(shù))
(二)自學(xué)反饋
1.計(jì)算：
(1)(2ab)2；(2)(－b2a)3.
解：(1)(2ab)2＝4a2b2.
(2)(－b2a)3＝－b6a3.
2.計(jì)算：
(1)(－2ab)2b36a2；(2)(3a2b)2÷(－b2a)2.
解：(1)原式＝4a2b2b36a2＝23b.
(2)原式＝9a4b2÷b24a2＝9a4b24a2b2＝36a6.
活動(dòng)1小組討論
例1計(jì)算：
(1)(n2m)3；(2)(a2b－cd3)3.
解：(1)(n2m)3＝n6m3.
(2)(a2b－cd3)3＝（a2b）3（－cd3）3＝a6b3－c3d9.
分式的乘方運(yùn)算將分式的分子、分母分別乘方，再根據(jù)冪的乘方進(jìn)行運(yùn)算.
例2計(jì)算：
(1)m3n2÷(mn)3；(2)(－n2m)2÷(n2m3)3(2nm)3.
解：(1)m3n2÷(mn)3＝m3n2÷m3n3＝m3n2n3m3＝n5.
(2)(－n2m)2÷(n2m3)3(2nm)3＝n24m2÷n6m98n3m3＝n24m2m9n68n3m3＝2m4n.
分式混合運(yùn)算，要注意：(1)化除法為乘法；(2)分式的乘方；(3)約分化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)分式.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.計(jì)算：
(1)2m2n3pq25p2q4mn2÷5mnp3q；
(2)16－a2a2＋8a＋16÷a－42a＋8a－2a＋2；
(3)(a－1a＋3)2÷(a－1)9－a2a－1.
解：(1)原式＝2m2n3pq25p2q4mn23q5mnp＝12n2.
(2)原式＝（4＋a）（4－a）（a＋4）22（a＋4）a－4a－2a＋2＝－2（a－2）a＋2.
(3)原式＝（a－1）2（a＋3）21a－1（3＋a）（3－a）a－1＝3－aa＋3.
2.計(jì)算：
(1)(－2x4y23z)3；(2)(2ab3－c2d)2÷6a4b3(－3cb2)3.
解：(1)原式＝（－2x4y2）3（3z）3＝－8x12y627z3.
(2)原式＝4a2b6c4d2b36a4－27c3b6＝－18b3a2cd2.
3.化簡(jiǎn)求值：b2a2－ab÷(ba－b)2a2ba－b，其中a＝12，b＝－3.
解：化簡(jiǎn)結(jié)果是ab；求值結(jié)果為－32.
化簡(jiǎn)過(guò)程中注意“－”.化簡(jiǎn)中，乘除混合運(yùn)算順序要從左到右.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
1.分式乘方的運(yùn)算.
2.分式乘除法及乘方的運(yùn)算方法.

1.3整數(shù)指數(shù)冪
1.3.1同底數(shù)冪的除法
1.理解同底數(shù)冪的除法法則.(重點(diǎn))
2.熟練進(jìn)行同底數(shù)冪的除法運(yùn)算.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P14～15，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.設(shè)a≠0，m，n是正整數(shù)，且m＞n，則aman＝an（am－n）an＝am－n.
(二)自學(xué)反饋
1.計(jì)算a10÷a2(a≠0)的結(jié)果是(C)
A.a5B.－a5C.a8D.－a8
2.計(jì)算：x5÷(－x)2＝x3；(ab)5÷(ab)2＝a3b3.
活動(dòng)1小組討論
例1計(jì)算：
(1)（－x）5x3；(2)（xy）8（－xy）5.
解：(1)（－x）5x3＝－x5－3＝－x2.
(2)（xy）8（－xy）5＝x8y8－x5y5＝－x3y3.
例2計(jì)算：(x－y)6÷(y－x)3÷(x－y).
解：原式＝(x－y)6÷[－(x－y)]3÷(x－y)＝－(x－y)6－3－1＝－(x－y)2.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.計(jì)算：
(1)a5a2；(2)（x2y3）2（－x2y3）2.
解：(1)原式＝a3.(2)原式＝1.
2.計(jì)算：(p－q)4÷(q－p)3(p－q)2.
解：原式＝(p－q)4÷[－(p－q)3](p－q)2＝－(p－q)(p－q)2＝－(p－q)3.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算.

1.3.2零次冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
1.理解零次冪和整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.(重難點(diǎn))
2.理解零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義.(重點(diǎn))
3.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪在科學(xué)記數(shù)法中的應(yīng)用.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P16～18，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
1.任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1，即a0＝1(a≠0).
2.a－n＝1an(n是正整數(shù)，a≠0).
(二)自學(xué)反饋
1.計(jì)算：30＝1；(－2)－3＝－18.
2.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)0.0002016為2.016×10－4.
3.計(jì)算：23－(12)0－(12)－2.
解：原式＝8－1－4＝3.
活動(dòng)1小組討論
例1計(jì)算：
(1)3－2；(2)(10)－3；(3)(45)－2.
解：(1)3－2＝132＝19.(2)10－3＝1103＝0.001.
(3)(45)－2＝(54)2＝2516.
例2把下列各式寫(xiě)成分式的形式：
(1)3x－3；(2)2x－23y－3.
解：(1)3x－3＝3x3.(2)2x－23y－3＝6x2y3.
例3用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：
(1)0.0003267；(2)－0.0011.
解：(1)0.0003267＝3.267×10－4.(2)－0.0011＝－1.10×10－3.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.計(jì)算：(－2)0＝1；3－1＝13.
2.把(－100)0，(－3)－2，(－13)2按從小到大的順序排列為(－100)0(－13)2＝(－3)－2.
3.計(jì)算：(－1)2012×(3－π)0＋(12)－1.
解：原式＝1×1＋2＝3.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
1.零次冪和整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).
2.零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義.
3.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪在科學(xué)記數(shù)法中的應(yīng)用.

1.3.3整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則
1.理解整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則.(重點(diǎn))
2.熟練掌握整數(shù)指數(shù)冪的各種運(yùn)算.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P19～20，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
1.aman＝am＋n(a≠0，m，n都是整數(shù)).
2.(am)n＝amn(a≠0，m，n都是整數(shù)).
3.(ab)n＝anbn(a≠0，b≠0，m，n都是整數(shù)).
(二)自學(xué)反饋
計(jì)算：
(1)a3a－5＝a－2＝1a2；(2)a－3a－5＝a－8＝1a8；
(3)a0a－5＝a－5＝1a5；(4)aman＝am＋n(m，n為任意整數(shù)).
aman＝am＋n這條性質(zhì)對(duì)于m，n是任意整數(shù)的情形仍然適用.同樣正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.
活動(dòng)1小組討論
例1計(jì)算：
(1)(a－1b2)3；(2)a－2b2(a2b－2)－3.
解：(1)原式＝a－3b6＝b6a3.
(2)原式＝a－2b2a－6b6＝a－8b8＝b8a8.
例2下列等式是否正確？為什么？
(1)am÷an＝ama－n；(2)(ab)n＝anb－n.
解：(1)正確.理由：am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝ama－n.
(2)正確.理由：(ab)n＝anbn＝an1bn＝anb－n.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.下列式子中，正確的有(D)
①a2÷a5＝a－3＝1a3；②a2a－3＝a－1＝1a；③(ab)－3＝1（ab）3＝1a3b3；④(a3)－2＝a－6＝1a6.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
2.計(jì)算：[x(x2－4)]－2(x2－2x)2＝1（x＋2）2.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
牢記整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則.

1.4分式的加法和減法
第1課時(shí)同分母分式的加減法
1.掌握同分母分式的加、減法則，并能運(yùn)用法則進(jìn)行同分母分式的加減運(yùn)算.(重點(diǎn))
2.會(huì)將分母互為相反數(shù)的分式化為同分母分式進(jìn)行運(yùn)算.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P23～24，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
1.同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.即，fg±hg＝f±hg.
2.－fg＝f－g＝－fg，－f－g＝fg.
(二)自學(xué)反饋
1.計(jì)算：yx＋2x＝y(tǒng)＋2x；5y－ay＝5－ay.
2.計(jì)算：
(1)32－3x－1＋3x2－3x；(2)a2a－b－b2－2abb－a.
解：(1)32－3x－1＋3x2－3x＝3－1－3x2－3x＝2－3x2－3x＝1.
(2)a2a－b－b2－2abb－a＝a2a－b＋b2－2aba－b＝（a－b）2a－b＝a－b.
活動(dòng)1小組討論
例1計(jì)算：
(1)x－1x＋1x；(2)5x＋3yx2－y2－2xx2－y2.
解：(1)原式＝x－1＋1x＝xx＝1.
(2)原式＝5x＋3y－2xx2－y2＝3x＋3y（x＋y）（x－y）＝3（x＋y）（x＋y）（x－y）＝3x－y.
例2計(jì)算：
(1)mm－1－11－m；(2)5xx2－x－51－x.
解：(1)原式＝mm－1＋1m－1＝m＋1m－1.
(2)原式＝5xx（x－1）－51－x＝5x－1＋5x－1＝5＋5x－1＝10x－1.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.化簡(jiǎn)x2x－1＋x1－x的結(jié)果是(D)
A.x＋1B.x－1
C.－xD.x
2.化簡(jiǎn)a2a－b－b2a－b的結(jié)果是(A)
A.a＋bB.a－b
C.a2－b2D.1
3.計(jì)算：(1)x＋1x－1x；(2)ab＋1＋2ab＋1－3ab＋1.
解：(1)原式＝x＋1－1x＝1.(2)原式＝a＋2a－3ab＋1＝0.
1.在分式有關(guān)的運(yùn)算中，一般總是先把分子、分母分解因式；
2.注意：計(jì)算過(guò)程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
1.分式相加減時(shí)，如果分子是一個(gè)多項(xiàng)式，要將分子看成一個(gè)整體，先用括號(hào)括起來(lái)，再運(yùn)算，可減少出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤.
2.分式加減運(yùn)算的結(jié)果要約分，化為最簡(jiǎn)分式(或整式).

第2課時(shí)通分
1.了解什么是最簡(jiǎn)公分母，會(huì)求最簡(jiǎn)公分母.(重點(diǎn))
2.了解通分的概念，并能將異分母分式通分.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P25～26，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
1.異分母分式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，也要先化成同分母分式，然后再加減.
2.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式化成同分母的分式的過(guò)程，叫作分式的通分.
3.通分時(shí)，關(guān)鍵是確定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母稱為最簡(jiǎn)公分母.
(二)自學(xué)反饋
1.12x，13y的最簡(jiǎn)公分母是6xy.
2.對(duì)分式y(tǒng)2x，x3y2，14xy通分時(shí)，最簡(jiǎn)公分母是12xy2.
3.通分：
(1)3c2ab2與－a8bc2；(2)x4a（x＋2）與x6b（x＋2）.
解：(1)3c2ab2＝3c4c22ab24c2＝12c38ab2c2；－a8bc2＝－aab8bc2ab＝－a2b8ab2c2.
(2)x4a（x＋2）＝3bx12ab（x＋2），y6b（x＋2）＝2ay12ab（x＋2）.
活動(dòng)1小組討論
例1通分：(1)32a2b與a－bab2c；(2)2xx－5與3xx＋5.
解：(1)最簡(jiǎn)公分母是2a2b2c.
32a2b＝3bc2a2bbc＝3bc2a2b2c，
a－bab2c＝（a－b）2aab2c2a＝2a（a－b）2a2b2c.
(2)最簡(jiǎn)公分母是(x＋5)(x－5).
2xx－5＝2x（x＋5）（x－5）（x＋5）＝2x2＋10xx2－25，
3xx＋5＝3x（x－5）（x＋5）（x－5）＝3x2－15xx2－25.
例2通分：(1)2cbd與3ac4b2；(2)1x2－4與x4－2x.
解：(1)最簡(jiǎn)公分母是4b2d.
2cbd＝8bc4b2d，3ac4b2＝3acd4b2d.
(2)最簡(jiǎn)公分母是2(x＋2)(x－2).
1x2－4＝1×2（x＋2）（x－2）×2＝22x2－8，
x4－2x＝x－2（x－2）＝－x（x＋2）2（x＋2）（x－2）＝－x2＋2x2x2－8.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.分式1x2－4，x2（x－2）的最簡(jiǎn)公分母為(B)
A.(x＋2)(x－2)B.2(x＋2)(x－2)
C.2(x＋2)(x－2)2D.－(x＋2)(x－2)2
2.分式1x2－1，x－1x2－x，1x2＋2x＋1的最簡(jiǎn)公分母是x(x＋1)2(x－1).
3.通分：
(1)x3y與3x2y2；(2)x－y2x＋2y與xy（x＋y）2；(3)2mn4m2－9與2m－32m＋3.
解：(1)x3y＝2xy6y2，3x2y2＝9x6y2.
(2)x－y2x＋2y＝x2－y22（x＋y）2，xy（x＋y）2＝2xy2（x＋y）2.
(3)2mn4m2－9＝2mn4m2－9，2m－32m＋3＝（2m－3）24m2－9.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
1.確定最簡(jiǎn)公分母.
2.將異分母分式通分.

第3課時(shí)異分母分式的加減法
1.熟練掌握求最簡(jiǎn)公分母的方法.
2.能根據(jù)異分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P27～29，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
異分母的分式相加減時(shí)，要先通分，即把各個(gè)分式的分子、分母同乘一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?，化成同分母分式，然后再加減.
(二)自學(xué)反饋
1.化簡(jiǎn)分式1x＋1x（x－1）的結(jié)果是(C)
A.xB.1x2
C.1x－1D.xx－1
2.下列計(jì)算正確的是(D)
A.1x＋12x＝13xB.1x－1y＝1x－y
C.xx＋1＋1＝1x＋1D.1a－1－1a＋1＝2a2－1
活動(dòng)1小組討論
例1計(jì)算：
(1)3x＋2y；(2)1a＋1－1a－1.
解：(1)原式＝3yxy＋2xxy＝3y＋2xxy.
(2)原式＝a－1（a＋1）（a－1）－（a＋1）（a＋1）（a－1）＝－2（a＋1）（a－1）.
例2計(jì)算：
(1)(1－ba＋b)÷aa2－b2；(2)12p＋3q＋12p－3q.
解：(1)原式＝a＋b－ba＋ba2－b2a＝aa＋b（a＋b）（a－b）a＝a－b.
(2)原式＝2p－3q（2p＋3q）（2p－3q）＋2p＋3q（2p＋3q）（2p－3q）＝2p－3q＋2p＋3q（2p＋3q）（2p－3q）＝4p4p2－9q2.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.計(jì)算(a2a－3＋93－a)÷a＋3a的結(jié)果為(A)
A.aB.－a
C.(a＋3)2D.1
2.化簡(jiǎn)(1＋4a－2)÷aa－2的結(jié)果是(A)
A.a＋2aB.aa＋2
C.a－2aD.aa－2
3.化簡(jiǎn)x2－1x2－2x＋1x－1x2＋x＋2x的結(jié)果是3x.
4.化簡(jiǎn)(1－1m＋1)(m＋1)的結(jié)果是m.
1.在分式有關(guān)的運(yùn)算中，一般總是先把分子、分母分解因式；
2.注意：化簡(jiǎn)過(guò)程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.

活動(dòng)3課堂小結(jié)
1.分式加減運(yùn)算的方法思路：
異分母相加減――→通分轉(zhuǎn)化為同分母相加減――→分母不變分子（整式）相加減
2.分式相加減時(shí)，如果分子是一個(gè)多項(xiàng)式，要將分子看成一個(gè)整體，先用括號(hào)括起來(lái)，再運(yùn)算，可減少出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤.
3.分式加減運(yùn)算的結(jié)果要約分，化為最簡(jiǎn)分式(或整式).

1.5可化為一元一次方程的分式方程
第1課時(shí)可化為一元一次方程的分式方程
1.理解分式方程的意義.
2.了解分式方程的基本思路和解法.(重點(diǎn))
3.理解分式方程可能無(wú)解的原因，并掌握驗(yàn)根的方法.(重點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P32～34，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
1.分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程.
2.在檢驗(yàn)分式方程的根時(shí)，將所求的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母中，如果它使最簡(jiǎn)公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一個(gè)根；如果它使最簡(jiǎn)公分母的值為0，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根.
3.解分式方程有可能產(chǎn)生增根，因此解分式方程必須檢驗(yàn).
(二)自學(xué)反饋
1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
①x－22＝x3；②4x＋3y＝7；③1x－2＝3x；④x（x－1）x＝－1；⑤3－xπ＝x2；⑥2x＋x－15＝10；⑦x－1x＝2；⑧2x＋1x＋3x＝1.
解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程.
判斷整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知數(shù).
2.解分式方程的一般步驟是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)驗(yàn)根；(4)小結(jié).
活動(dòng)1小組討論
例1解方程：2x－3＝3x.
解：方程兩邊同乘x(x－3)，得2x＝3(x－3).
解得x＝9.
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝9時(shí)，x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解為x＝9.
例2解方程：xx－1－1＝3（x－1）（x＋2）.
解：方程兩邊同乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
解得x＝1.
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)(x＋2)＝0.
所以x＝1不是原方程的解.所以，原方程無(wú)解.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
解方程：
(1)12x＝2x＋3；(2)xx＋1＝2x3x＋3＋1；(3)2x－1＝4x2－1；(4)5x2＋x－1x2－x＝0.
解：(1)方程兩邊同乘2x(x＋3)，得x＋3＝4x.化簡(jiǎn)得3x＝3.解得x＝1.
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，2x(x＋3)≠0.所以x＝1是方程的解.
(2)方程兩邊同乘3(x＋1)，得3x＝2x＋3x＋3.解得x＝－32.
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝－32時(shí)，3x＋3≠0.
所以x＝－32是方程的解.
(3)方程兩邊同乘x2－1，得2(x＋1)＝4.解得x＝1.
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，x2－1＝0，所以x＝1不是方程的解.所以原方程無(wú)解.
(4)方程兩邊同乘x(x＋1)(x－1)，得5(x－1)－(x＋1)＝0.解得x＝32.
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝32時(shí)，x(x＋1)(x－1)≠0.
所以x＝32是原方程的解.
方程中分母是多項(xiàng)式，要先分解因式再找公分母.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
解分式方程的思路是：

第2課時(shí)分式方程的應(yīng)用
能將實(shí)際問(wèn)題中的相等關(guān)系用分式方程表示，并進(jìn)行方法總結(jié).(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P35～36，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟是：
(1)審題設(shè)未知數(shù)；
(2)找等量關(guān)系列方程；
(3)去分母，化分式方程為整式方程；
(4)解整式方程.
(5)驗(yàn)根是否符合實(shí)際意義；
(6)答題.
(二)自學(xué)反饋
重慶市政府打算把一塊荒地建成公園，動(dòng)用了一臺(tái)甲型挖土機(jī)，4天挖完了這塊地的一半.后又加一臺(tái)乙型挖土機(jī)，兩臺(tái)挖土機(jī)一起挖，結(jié)果1天就挖完了這塊地的另一半.乙型挖土機(jī)單獨(dú)挖這塊地需要幾天？
甲型挖土機(jī)4天完成了一半，那么甲型挖土機(jī)每天挖12÷4＝18，如果設(shè)乙型挖土機(jī)單獨(dú)挖這塊地需要x天，那么一天挖1x；兩臺(tái)挖土機(jī)一天共挖18＋1x；兩臺(tái)一天完成另一半.所以列方程為18＋1x＝12；解得x＝83，即乙單獨(dú)挖需83天.
認(rèn)真分析題意.根據(jù)等量關(guān)系列方程.
活動(dòng)1小組討論
例甲、乙兩人分別從相距36千米的A，B兩地相向而行，甲從A出發(fā)到1千米時(shí)發(fā)現(xiàn)有東西遺忘在A地，立即返回，取過(guò)東西后又立即從A向B行進(jìn)，這樣兩人恰好在AB中點(diǎn)處相遇.已知甲比乙每小時(shí)多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
分析：

路程速度時(shí)間
甲18＋1×2x＋0.518＋1×2x＋0.5

乙18x18x

等量關(guān)系：t甲＝t乙.
解：設(shè)乙的速度為x千米/小時(shí)，則甲的速度為(x＋0.5)千米/小時(shí).
根據(jù)題意，列方程得
18＋1×2x＋0.5＝18x.
解得x＝4.5.
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝4.5時(shí)，x(x＋0.5)≠0.
所以x＝4.5是原方程的解.則x＋0.5＝5.
答：甲的速度為5千米/小時(shí)，乙的速度為4.5千米/小時(shí).
等量關(guān)系是時(shí)間相等，那么就要找到相等時(shí)間里每個(gè)人所走的路程，甲的路程比乙的路程多兩個(gè)1千米.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.A、B兩地相距135千米，有大、小兩輛汽車從A地開(kāi)往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時(shí)，小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知大、小汽車速度的比為2∶5，求兩輛汽車的速度.
解：設(shè)大汽車的速度為2x千米/小時(shí)，則小汽車的速度為5x千米/小時(shí).
根據(jù)題意，列方程得135－2x×52x＝135－12×5x5x.
解得x＝9.
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝9時(shí)，10x≠0.
所以，x＝9是原方程的解.
則2x＝18，5x＝45.
答：大汽車的速度是18千米/小時(shí)，小汽車的速度是45千米/小時(shí).
等量關(guān)系是大汽車5小時(shí)后剩下路程所走的時(shí)間，等于小汽車去掉30分鐘路程所用的時(shí)間.
2.一項(xiàng)工程，需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，如果甲隊(duì)獨(dú)做，恰好如期完成，如果乙隊(duì)獨(dú)做，就要超過(guò)規(guī)定3天，現(xiàn)在由甲、乙兩隊(duì)合作2天，剩下的由乙隊(duì)獨(dú)做，也剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，問(wèn)規(guī)定日期是幾天？
解：設(shè)規(guī)定日期是x天，則甲隊(duì)獨(dú)做需x天，乙隊(duì)獨(dú)做需(x＋3)天，根據(jù)題意，列方程得
2x＋xx＋3＝1.解得x＝6.
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝6時(shí)，x(x＋3)≠0.所以，x＝6是原方程的解.
答：規(guī)定日期是6天.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
1.列分式方程解應(yīng)用題，應(yīng)該注意解題的六個(gè)步驟.
2.列方程的關(guān)鍵是要在準(zhǔn)確設(shè)元(可直接設(shè)，也可設(shè)間接)的前提下找出等量關(guān)系.
3.解題過(guò)程注意畫(huà)圖或列表幫助分析題意找等量關(guān)系.
4.注意不要遺漏檢驗(yàn)和寫(xiě)答案.

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八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《分式》知識(shí)點(diǎn)湘教版

知識(shí)點(diǎn)

1.分式的定義：如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

2.分式有意義、無(wú)意義的條件：

分式有意義的條件：分式的分母不等于0;分式無(wú)意義的條件：分式的分母等于0。

3.分式值為零的條件：

分式AB=0的條件是A=0，且B≠0.

(首先求出使分子為0的字母的值，再檢驗(yàn)這個(gè)字母的值是否使分母的值為0.當(dāng)分母的值不為0時(shí)，就是所要求的字母的值。)

4.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

用式子表示為(其中A、B、C是整式)，

5.分式的通分：

和分?jǐn)?shù)類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把幾個(gè)異分母分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。

通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)式子的最簡(jiǎn)公分母。幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母就叫做最簡(jiǎn)公分母。求最簡(jiǎn)公分母時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)“各分母所有因式的最高次冪”是指凡出現(xiàn)的字母(或含字母的式子)為底數(shù)的冪選取指數(shù)最大的;

(2)如果各分母的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，取它們系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù);

(3)如果分母是多項(xiàng)式，一般應(yīng)先分解因式。

6.分式的約分：

和分?jǐn)?shù)一樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子和分母中的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。約分后分式的分子、分母中不再含有公因式，這樣的分式叫最簡(jiǎn)公因式。

約分的關(guān)鍵是找出分式中分子和分母的公因式。

(1)約分時(shí)注意分式的分子、分母都是乘積形式才能進(jìn)行約分;分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，通常將分子、分母分解因式，然后再約分;

(2)找公因式的方法：

①當(dāng)分子、分母都是單項(xiàng)式時(shí)，先找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母的最低次冪，它們的積就是公因式;

②當(dāng)分子、分母都是多項(xiàng)式時(shí)，先把多項(xiàng)式因式分解。

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第5章二次根式（湘教版）

第5章二次根式
5.1二次根式
第1課時(shí)二次根式的概念及性質(zhì)
1.了解二次根式的概念.
2.理解并掌握二次根式的性質(zhì)：(a)2＝a(a≥0)和a2＝a(a≥0).(重點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P155～157，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
1.形如a的式子叫作二次根式，根號(hào)下的數(shù)叫作被開(kāi)方數(shù).只有當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式才在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.
2.二次根式的性質(zhì)：(1)(a)2＝a(a≥0)；(2)a2＝|a|＝a（a≥0），－a（a0）.
(二)自學(xué)反饋
1.下列各式中，一定是二次根式的是(C)
A.－7B.3m
C.1＋x2D.2x
二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“”；第二，被開(kāi)方數(shù)是正數(shù)或0.
2.代數(shù)式x＋1有意義，則x的取值范圍是(A)
A.x≥－1B.x≠1
C.x≥1D.x≤－1
二次根式有意義的條件是：被開(kāi)方數(shù)大于等于零.
活動(dòng)1小組討論
例1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式x－1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？
解：由x－1≥0，解得x≥1.
因此，當(dāng)x≥1時(shí)，x－1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.
例2計(jì)算：
(1)(5)2；(2)(22)2.
解：(1)(5)2＝5.
(2)(22)2＝22×(2)2＝4×2＝8.
例3計(jì)算：
(1)（－2）2；(2)（－1.2）2.
解：(1)（－2）2＝22＝2.
(2)（－1.2）2＝1.22＝1.2.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.若（a－3）2＝a－3，則a的取值范圍是(D)
A.a3B.a≤3
C.a3D.a≥3
2.把下列非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方的形式：
(1)5＝(5)2；(2)3.4＝(3.4)2；
(3)16＝(16)2；(4)x＝(x)2(x≥0).
3.當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列二次根式有意義？
(1)－x；(2)5－2x；(3)x2＋1.
解：(1)由－x≥0，得x≤0.因此，當(dāng)x≤0時(shí)，－x有意義.
(2)由5－2x≥0，得x≤52.因此，當(dāng)x≤52時(shí)，5－2x有意義.
(3)由x2＋1≥0，得x為任意實(shí)數(shù).因此，當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，x2＋1都有意義.
4.計(jì)算：
(1)(11)2；(2)（－6）2；(3)(－25)2；(4)－2（18）2.
解：(1)11.(2)6.(3)20.(4)－14.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
本節(jié)課你有什么收獲？

第2課時(shí)二次根式的化簡(jiǎn)
1.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念.
2.會(huì)利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式.(重點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P157～159，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
1.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：ab＝ab(a≥0，b≥0).化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，可以直接把根號(hào)下的每一個(gè)平方因子去掉平方號(hào)以后移到根號(hào)外(注意：從根號(hào)下直接移到根號(hào)外的數(shù)必須是非負(fù)數(shù)).
2.最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)有如下兩個(gè)特點(diǎn)：(1)被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)得盡方的因數(shù)(或因式)；(2)被開(kāi)方數(shù)不含分母.
(二)自學(xué)反饋
1.下列各式正確的是(D)
A.（－4）×（－9）＝－4×－9
B.16＋94＝16×94
C.449＝4×49
D.4×9＝4×9
運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)ab＝ab化簡(jiǎn)時(shí)，注意a≥0，b≥0這一條件.
2.把200化成最簡(jiǎn)二次根式是102.

活動(dòng)1小組討論
例1化簡(jiǎn)下列二次根式：
(1)18；(2)20；(3)72；
解：(1)18＝9×2＝9×2＝32.
(2)20＝4×5＝4×5＝25.
(3)72＝8×9＝2×22×32＝2×32＝62.
例2化簡(jiǎn)下列二次根式：
(1)12；(2)35.
解：(1)12＝1×22×2＝（12）2×2＝122.
(2)35＝3×55×5＝（15）2×15＝1515.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.下列二次根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是(A)
A.30B.12C.8D.12
2.實(shí)數(shù)0.5的算術(shù)平方根等于(C)
A.2B.2C.22D.12
3.化簡(jiǎn)二次根式（－3）2×6得(B)
A.－36B.36C.18D.6
4.化簡(jiǎn)下列二次根式：
(1)12；(2)45；(3)72；(4)72.
解：(1)23.(2)35.(3)62.(4)142.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
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5.2二次根式的乘法和除法
第1課時(shí)二次根式的乘法
會(huì)逆用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P161～162，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：ab＝ab(a≥0，b≥0)，反過(guò)來(lái)，ab＝ab(a≥0，b≥0)，利用這一公式，可以進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算.
(二)自學(xué)反饋
計(jì)算：
(1)5×7；(2)13×9；(3)9×27.
解：(1)35.(2)3.(3)93.
(1)這里要用到公式：ab＝ab(a≥0，b≥0)；(2)計(jì)算9×27時(shí)，將27寫(xiě)成9×3，方便開(kāi)平方.
活動(dòng)1小組討論
例1計(jì)算：
(1)3×6；(2)13×72.
解：(1)3×6＝3×6＝32×2＝32.
(2)13×72＝13×72＝24＝22×6＝26.
例2計(jì)算：
(1)23×521；(2)32×(－184).
解：(1)23×521＝2×5×3×21＝1032×7＝307.
(2)32×(－184)＝3×(－14)×2×18＝－342×18＝－92.
例3已知一張長(zhǎng)方形圖片的長(zhǎng)和寬分別是37cm和7cm，求這張長(zhǎng)方形圖片的面積.
解：37×7＝3×7＝21(cm)2.
答：這張長(zhǎng)方形圖片的面積為21cm2.

活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.計(jì)算2×3的結(jié)果是(B)
A.5B.6C.23D.32
2.下列各等式成立的是(D)
A.45×25＝85B.53×42＝205
C.43×32＝75D.53×42＝206
3.50a的值是一個(gè)整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值是(B)
A.1B.2C.3D.5
4.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為a＝23cm，b＝36cm，那么這個(gè)直角三角形的面積為92cm2.
5.計(jì)算下列各題：
(1)3×5；(2)12×3；(3)12×32；
(4)32×27；(5)6×15×10；(6)68×(－32).
解：(1)15.(2)6.(3)22.(4)614.(5)30.(6)－72.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
本節(jié)課你有什么收獲？

第2課時(shí)二次根式的除法
1.理解商的算術(shù)平方根的性質(zhì)ab＝ab(a≥0，b＞0)，并能運(yùn)用于二次根式的化簡(jiǎn).(重點(diǎn))
2.能熟練運(yùn)用二次根式的除法法則ab＝ab(a≥0，b＞0)進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P163～164，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
1.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：ba＝ba(a＞0，b≥0)，可以利用它進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn).
2.二次根式的除法規(guī)定：ba＝ba(a＞0，b≥0).
(二)自學(xué)反饋
1.下列各式成立的是(A)
A.－3－5＝35＝35
B.－7－6＝－7－6
C.2－9＝2－9
D.9＋14＝9＋14＝312
2.計(jì)算123÷13的結(jié)果正確的是(B)
A.3B.15C.5D.53
3.化簡(jiǎn)下列二次根式：
(1)7100；(2)0.24；(3)315；(4)11549.
解：(1)710.(2)65.(3)455.(4)87.
活動(dòng)1小組討論
例1化簡(jiǎn)下列二次根式：
(1)716；(2)95.
解：(1)716＝716＝74.
(2)95＝95＝35＝3×55×5＝355.
例2計(jì)算：
(1)15÷3；(2)34256；(3)146.
解：(1)15÷3＝153＝153＝5.
(2)34256＝35426＝357.
(3)146＝146＝73＝7×33×3＝213.
例3電視塔越高，從塔頂發(fā)射出的電磁波傳播得越遠(yuǎn)，從而能接收到電視節(jié)目信號(hào)的區(qū)域就越廣.已知電視塔高h(yuǎn)(km)與電視節(jié)目信號(hào)的傳播半徑r(km)之間滿足r＝2Rh(其中R是地球半徑).現(xiàn)有兩座高分別為h1＝400m，h2＝450m的電視塔，問(wèn)它們的傳播半徑之比等于多少？
解：設(shè)兩座電視塔的傳播半徑分別為r1，r2.
因?yàn)閞＝2Rh，400m＝0.4km，450m＝0.45km，
所以r1r2＝2Rh12Rh2＝h1h2＝0.40.45＝4045＝21035＝223.

活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.下列運(yùn)算正確的是(D)
A.50÷5＝10B.10÷25＝22
C.32＋42＝3＋4＝7D.27÷3＝3
2.計(jì)算：123＝2.
3.如果一個(gè)三角形的面積為15，一邊長(zhǎng)為3，那么這邊上的高為25.
4.計(jì)算：
(1)40÷5；(2)322；(3)44876；(4)45÷215.
解：(1)22.(2)4.(3)827.(4)6.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
1.商的算術(shù)平方根的性質(zhì).
2.二次根式的除法法則.

5.3二次根式的加法和減法
第1課時(shí)二次根式的加法和減法
1.理解二次根式的加、減運(yùn)算法則.
2.會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的加、減運(yùn)算.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P167～168，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將每個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，然后再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式相加減.
(二)自學(xué)反饋
計(jì)算：
(1)80－45；(2)28＋47；(3)18－32＋2；(4)(45＋18)－(8－125).
解：(1)5.(2)1677.(3)0.(4)85＋2.
活動(dòng)1小組討論
例1計(jì)算：
(1)58－227＋18；(2)218－50＋1345.
解：(1)原式＝102－63＋32＝132－63.
(2)原式＝62－52＋5＝2＋5.
二次根式的加減與合并同類項(xiàng)類似，進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，必須先將各個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，再合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式.
例2如圖是某土樓的平面剖面圖，它是由兩個(gè)相同圓心的圓構(gòu)成.已知大圓和小圓的面積分別為763.02m2和150.72m2，求圓環(huán)的寬度d(π取3.14).
解：設(shè)大圓和小圓的半徑分別為R，r，面積分別為S1，S2，由S1＝πR2，S2＝πr2可知R＝S1π，r＝S2π，則
d＝R－r
＝S1π－S2π
＝763.023.14－150.723.14
＝243－48
＝93－43
＝53.
答：圓環(huán)的寬度d為53m.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.下列二次根式中，不能與2合并的是(C)
A.12B.8C.24D.18
2.下列計(jì)算是否正確？為什么？
(1)8－3＝8－3；(2)4＋9＝4＋9；
(3)32－2＝22.
解：(1)不正確.此式結(jié)果為22－3.
(2)不正確.此式結(jié)果為5.
(3)正確.
3.計(jì)算：
(1)8＋18；(2)212＋27；(3)80－20＋5；
(4)18＋(98－27)；(5)(75－54)－(108－96).
解：(1)52.(2)73.(3)35.(4)102－33.(5)6－3.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
怎樣進(jìn)行二次根式的加減計(jì)算？

第2課時(shí)二次根式的混合運(yùn)算
會(huì)正確快速地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.(重難點(diǎn))
自學(xué)指導(dǎo)：閱讀教材P169～171，完成下列問(wèn)題.
(一)知識(shí)探究
1.二次根式的運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；有括號(hào)的先算括號(hào)里的，再算括號(hào)外面的.
2.與二次根式相關(guān)的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a－b，(a＋b)2＝a＋2ab＋b，(a－b)2＝a－2ab＋b.
(二)自學(xué)反饋
計(jì)算：
(1)(5＋1)2；(2)(13＋3)(13－3)；(3)(12－13)×3；(4)8＋182.
解：(1)(5＋1)2＝(5)2＋25＋1＝5＋25＋1＝6＋25.
(2)(13＋3)(13－3)＝(13)2－32＝13－9＝4.
(3)(12－13)×3＝12×3－13×3＝36－1＝6－1＝5.
(4)8＋182＝82＋182＝4＋9＝2＋3＝5.
活動(dòng)1小組討論
例1計(jì)算：
(1)(6－38)×2；(2)(2＋2)(1－2).
解：(1)(6－38)×2＝6×2－38×2＝6×2－38×2＝23－32＝323.
(2)(2＋2)(1－2)＝2－22＋2－2×2＝2－22＋2－2＝－2.

例2計(jì)算：
(1)(2＋1)(2－1)；(2)(2－3)2.
解：(1)(2＋1)(2－1)＝(2)2－12＝1.
(2)(2－3)2＝(2)2－22×3＋(3)2＝2－22×3＋3＝5－26.
例3計(jì)算：
(1)(32＋2)÷2；(2)12＋3＋12－3.
解：(1)(32＋2)÷2＝(42＋2)÷2＝52÷2＝5.
(2)12＋3＋12－3＝2－3（2＋3）（2－3）＋2＋3（2＋3）（2－3）＝4（2＋3）（2－3）＝422－（3）2＝4.
活動(dòng)2跟蹤訓(xùn)練
1.化簡(jiǎn)8－2(2－2)的結(jié)果是(D)
A.－2B.2－2C.2D.42－2
2.估計(jì)20×15＋3的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在(C)
A.1到2之間B.2到3之間
C.3到4之間D.4到5之間
3.計(jì)算：(27－13)×3＝8.
4.計(jì)算：
(1)(3＋5)(3－5)；(2)(3＋5)2.
解：(1)－2.(2)8＋215.
5.計(jì)算：
(1)3(2－3)－24－6－3；(2)23÷223×25－110.
解：(1)原式＝6－3－26＋6－3＝－6.
(2)原式＝23×38×25－110＝1010－1010＝0.
活動(dòng)3課堂小結(jié)
如何進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算？

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《分式》教案分析

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《分式》教案分析

12.1分式
一、學(xué)習(xí)內(nèi)容分析
分式是在整式后對(duì)代數(shù)式的進(jìn)一步研究，是對(duì)分?jǐn)?shù)的進(jìn)一步抽象.這是本章的起始課，是整章的理論基礎(chǔ).在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)、整式的運(yùn)算以及因式分解等知識(shí)，而本節(jié)課的學(xué)習(xí)將為后來(lái)學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)、運(yùn)算、解分式方程奠定基礎(chǔ).
二、教材的處理
本節(jié)內(nèi)容分為兩個(gè)課時(shí)，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)以及“分式的基本性質(zhì)”與“分式約分”之間的密切關(guān)系，本節(jié)課沒(méi)有講授“分式的基本性質(zhì)”，而是將其與“約分”相結(jié)合，放在了第二課時(shí).第一課時(shí)以“分式表示兩個(gè)整式的商”這條主線，添加了分式的值為正（負(fù)）數(shù)這部分內(nèi)容，使對(duì)于分式值的研究完整化，使學(xué)生初步形成對(duì)分式值的認(rèn)知體系.
三、學(xué)情分析
在數(shù)的范疇內(nèi)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“整數(shù)”和“分?jǐn)?shù)”，在代數(shù)式中，學(xué)習(xí)了“整式”，在本節(jié)課學(xué)生將類比數(shù)的學(xué)習(xí)歷程，理解和認(rèn)識(shí)分式的相關(guān)性質(zhì).學(xué)生已經(jīng)了解了除法運(yùn)算及其相關(guān)性質(zhì)，以除法相關(guān)知識(shí)為抓手，研究分式問(wèn)題。
四、教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)目標(biāo)：1.理解分式的概念，能夠分辨一個(gè)代數(shù)式是否為分式；
2.掌握分式有意義、無(wú)意義和值為0、正數(shù)、負(fù)數(shù)的條件，并能夠運(yùn)用；
3.通過(guò)探究分式的相關(guān)性質(zhì)，把除法的、有理數(shù)和除法法則等知識(shí)融會(huì)貫通，使知識(shí)系統(tǒng)化.
教學(xué)重點(diǎn)：分式的概念以及分式有意義、無(wú)意義、值為0的條件；
教學(xué)難點(diǎn)：分式的值為正數(shù)、負(fù)數(shù)的條件以及建立所學(xué)知識(shí)之間關(guān)聯(lián).
五、教學(xué)過(guò)程
（一）溫故知新，揭示概念
1.“溫故”——根據(jù)實(shí)際意義列代數(shù)式，
（1）已知A車的速度為nkm/h，B車比A車每小時(shí)多行20km，
①A車2小時(shí)行駛km，B車2小時(shí)行駛km.
②如果甲、乙兩地之間的路程為mkm.那么從甲地到乙地，A車和B車所用的時(shí)間各、.
（2）期中考試，小明語(yǔ)、數(shù)、英三科的成績(jī)分別為80分，a分，則他兩科的平均分為.
*（3）圓的周長(zhǎng)為C，則圓的直徑為.
（3）把上面所得的式子按“已學(xué)”和“未學(xué)”進(jìn)行分類，指出其中所含有“整式”.
設(shè)計(jì)意圖：課本“做一做”中所列出的式子可以清楚地表明分式的特征——表示整式之間的除法運(yùn)算，且分母當(dāng)中含有字母，所以本環(huán)節(jié)選用“做一做”并進(jìn)行了適當(dāng)?shù)馗膭?dòng)，以實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系為背景，抽象分式的概念，體會(huì)分式是刻畫(huà)數(shù)量關(guān)系的一類代數(shù)式.
操作注意事項(xiàng)：學(xué)生按已學(xué)和未學(xué)分類時(shí)，回顧關(guān)于“式”的知識(shí)體系，緊抓式是用運(yùn)算來(lái)描述這一特征，并板書(shū)。回憶代數(shù)式、整式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的概念，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：
（1）代數(shù)式是用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)字和字母連接起來(lái)所得的式子；
（2）單項(xiàng)式是數(shù)字與字母的乘積；
（3）多項(xiàng)式是單項(xiàng)式的和.
對(duì)比“整數(shù)”和“分?jǐn)?shù)”，指出本節(jié)課所學(xué)代數(shù)式的名稱與“整式”相對(duì)，與“分?jǐn)?shù)”類似，叫做“分式”.
設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有明顯的前后關(guān)聯(lián)性，學(xué)習(xí)任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，要首先讓學(xué)生明白這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在他的知識(shí)框架中處于什么地位，與前面所學(xué)的知識(shí)有何聯(lián)系，所以本節(jié)課設(shè)計(jì)了這個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生明晰“分式”這一節(jié)的地位，使學(xué)生更加系統(tǒng)地完善“代數(shù)式”的概念.
2.“知新”——揭示“分式”的概念；
從運(yùn)算的角度分析上面所得的分母中含有字母的代數(shù)式，它們表示兩個(gè)整式相（填“加、減、乘、除”），這樣的代數(shù)式就稱為分式.
歸納總結(jié)：一般地，我們把形如的代數(shù)式稱為分式，其中A、B表示兩個(gè)整式，且B中必須含有字母。由此可見(jiàn)，分式是兩個(gè)整式的（填“和、差、積或商”）.
預(yù)習(xí)自測(cè)：判斷下列分式是整式還是分式（填序號(hào)）.
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦.
整式：，分式
設(shè)計(jì)意圖：抓住“代數(shù)式”概念中用“運(yùn)算符號(hào)”連接數(shù)字和字母這是關(guān)鍵點(diǎn)，提示分式的本質(zhì)是“除法”運(yùn)算，為學(xué)習(xí)分式有意義、無(wú)意義、值的各類情況埋下伏筆.
（二）自主探究——分式有意義、無(wú)意義和值為0
開(kāi)放性問(wèn)題：分式就是整式與整式之間做除法運(yùn)算，那么，關(guān)于除法運(yùn)算，你有哪些記憶猶新的知識(shí)呢？說(shuō)一說(shuō)，跟同學(xué)交流一下。
教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生可能回憶起，除數(shù)不為0，0除以任何一個(gè)非零數(shù)都等于0，整除，兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，除以一個(gè)非零數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)等等。
設(shè)計(jì)意圖：尋找新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，讓新知識(shí)生長(zhǎng)于舊知識(shí)之上。
以為例，
1.依據(jù)“除數(shù)不能為0”，分別討論這些分式什么時(shí)候有意義？什么時(shí)候沒(méi)有意義？
總結(jié)歸納：對(duì)于分式，當(dāng)時(shí)，分式有意義；當(dāng)時(shí)，分式?jīng)]有意義.
2.依據(jù)“0除以任何一個(gè)非零數(shù)都等于0”，討論“當(dāng)x取什么值時(shí)，分式的值為0”。
總結(jié)歸納：對(duì)于分式，當(dāng)時(shí)，分式的值為0.
設(shè)計(jì)意圖：抓住“分式表示兩個(gè)整式相除”，根據(jù)除法的意義——除數(shù)不能為0，得到分式有意義和沒(méi)有意義的條件，再根據(jù)“0除以任何非0數(shù)都得0”推導(dǎo)出分式值為0的條件，這樣把新知識(shí)完全植根于舊知識(shí)當(dāng)中，讓學(xué)生找到了自己知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，以舊推新，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)存規(guī)律性.
操作注意事項(xiàng)：根據(jù)學(xué)生的理解程度以及時(shí)間進(jìn)度，對(duì)以上題目適當(dāng)變式，如：改變分子，讓學(xué)生觀察對(duì)分式有（無(wú)）意義是否有影響；改變分母中的數(shù)字或符號(hào)，再次讓學(xué)生解答；改變最后一個(gè)分式分母中的符號(hào)，變?yōu)閤2+1，讓學(xué)生討論等等。
（三）拓展提升——分式的值為正數(shù)或負(fù)數(shù)
1.依據(jù)“兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”，討論“當(dāng)x取什么值時(shí)，分式的值為正數(shù)”和“當(dāng)x取什么值時(shí)，分式的值為負(fù)數(shù)”。
歸納總結(jié)：對(duì)于分式，當(dāng)時(shí)，分式的值為正數(shù)；當(dāng)時(shí)值為負(fù)數(shù).
設(shè)計(jì)意圖：繼續(xù)以“分式表示兩個(gè)整式的商”為線索，結(jié)合有理數(shù)除法的法則，較為容易地解決本節(jié)課的難點(diǎn)，運(yùn)用不等式組解決此類問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用以及之間的相互聯(lián)系.
操作注意事項(xiàng)：所給的四個(gè)例子中，不存在化為一元一次不等式組的類型，抓住這個(gè)契機(jī)，讓學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行變式，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)題目的理解。
（四）課堂小結(jié)
填寫(xiě)思維導(dǎo)圖，完成本節(jié)課的小結(jié)：
（五）布置作業(yè)：根據(jù)除法的相關(guān)知識(shí)，你還能提出哪些問(wèn)題？自己試著寫(xiě)一寫(xiě)，并解答。