高中三角函數(shù)的教案

高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)任意角的三角函數(shù)學(xué)案。

第四章三角函數(shù)與三角恒等變換
學(xué)案17任意角的三角函數(shù)
導(dǎo)學(xué)目標：1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．
自主梳理
1．任意角的概念
角可以看成平面內(nèi)一條射線OA繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置OB所成的圖形．旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的________，射線的端點O叫做角的________，旋轉(zhuǎn)終止位置的射線OB叫做角的________，按______時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按______時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角．若一條射線沒作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個________角．
(1)象限角
使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說這個角是__________角．
(2)象限界角(即終邊在坐標軸上的角)
終邊在x軸上的角表示為____________________；
終邊在y軸上的角表示為__________________________________________；
終邊落在坐標軸上的角可表示為____________________________．
(3)終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合______________________或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．
(4)弧度制
把長度等于________長的弧所對的__________叫1弧度的角．以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做________，它的單位符號是________，讀作________，通常略去不寫．
(5)度與弧度的換算關(guān)系
360°＝______rad；180°＝____rad；1°＝________rad；
1rad＝_______________≈57.30°.
(6)弧長公式與扇形面積公式
l＝________，即弧長等于_________________________________________________．
S扇＝________＝____________.
2．三角函數(shù)的定義
任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么①____叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；②____叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x；③________叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝y(tǒng)x(x≠0)．
(1)三角函數(shù)值的符號
各象限的三角函數(shù)值的符號如下圖所示，三角函數(shù)正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)三角函數(shù)線
下圖中有向線段MP，OM，AT分別表示__________，__________________和____________．
自我檢測
1．“α＝π6”是“cos2α＝12”的（）
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
2.(2011濟寧模擬)點P(tan2009°，cos2009°)位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．(2010山東青島高三教學(xué)質(zhì)量檢測)已知sinα0且tanα0，則角α是（）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
4．已知角α的終邊上一點的坐標為sin2π3，cos2π3，則角α的最小正值為()
A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6
探究點一角的概念
例1(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的終邊落在第幾象限；
(2)寫出終邊落在直線y＝3x上的角的集合；
(3)若θ＝168°＋k360°(k∈Z)，求在[0°，360°)內(nèi)終邊與θ3角的終邊相同的角．

變式遷移1若α是第二象限的角，試分別確定2α，α2的終邊所在位置．

探究點二弧長與扇形面積
例2(2011金華模擬)已知一個扇形的圓心角是α，0α2π，其所在圓的半徑是R.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積；
(2)若扇形的周長是一定值C(C0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？

變式遷移2(1)已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；
(2)已知扇形的周長為40，當它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？

探究點三三角函數(shù)的定義
例3已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．

變式遷移3已知角α的終邊經(jīng)過點P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．

1．角的度量由原來的角度制改換為弧度制，要養(yǎng)成用弧度表示角的習(xí)慣．象限角的判斷，終邊相同的角的表示，弧度、弧長公式和扇形面積公式的運用是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)．
2．三角函數(shù)都是以角為自變量(用弧度表示)，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射，注意兩種定義法，即坐標法和單位圓法．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011宣城模擬)點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時針方向運動2π3弧長到達Q，則Q的坐標為（）
A．(－12，32)B．(－32，－12)
C．(－12，－32)D．(－32，12)
2．若0xπ，則使sinx12和cosx12同時成立的x的取值范圍是()
A.π3xπ2B.π3x56π
C.π6x56πD.π3x23π
3．已知α為第三象限的角，則α2所在的象限是()
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D(zhuǎn)．第二或第四象限
4．若1弧度的圓心角所對弦長等于2，則這個圓心角所對的弧長等于()
A．sin12B.π6
C.1sin12D．2sin12
5．已知θ∈－π2，π2且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，則關(guān)于tanθ的值，以下四個答案中，可能正確的是()
A．－3B．3或13
C．－13D．－3或－13
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．已知點P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0,2π]，則α的取值范圍是________________．
7．(2011龍巖模擬)已知點Psin3π4，cos3π4落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為________．
8．閱讀下列命題：
①若點P(a,2a)(a≠0)為角α終邊上一點，則sinα＝255；
②同時滿足sinα＝12，cosα＝32的角有且只有一個；
③設(shè)tanα＝12且πα3π2，則sinα＝－55；
④設(shè)cos(sinθ)tan(cosθ)0(θ為象限角)，則θ在第一象限．其中正確命題為________．(將正確命題的序號填在橫線上)
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知扇形OAB的圓心角α為120°，半徑長為6，
(1)求AB的弧長；
(2)求弓形OAB的面積．

10．(12分)在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合：
(1)sinα≥32；
(2)cosα≤－12.

11．(14分)(2011舟山月考)已知角α終邊經(jīng)過點P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.求sinα＋1tanα的值．

答案自主梳理
1．始邊頂點終邊逆順零(1)第幾象限
(2){α|α＝kπ，k∈Z}α|α＝kπ＋π2，k∈Zα|α＝kπ2，k∈Z(3){β|β＝α＋k360°，k∈Z}{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}(4)半徑圓心角弧度制rad弧度(5)2πππ180180π°(6)|α|r弧所對的圓心角(弧度數(shù))的絕對值與半徑的積12lr12|α|r22.①y②x③yx(2)α的正弦線α的余弦線α的正切線
自我檢測
1．A2.D3.C4.D
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引(1)一般地，角α與－α終邊關(guān)于x軸對稱；角α與π－α終邊關(guān)于y軸對稱；角α與π＋α終邊關(guān)于原點對稱．
(2)利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個角β所在的象限時，只需把這個角寫成[0,2π)范圍內(nèi)的一角α與2π的整數(shù)倍，然后判斷角α的象限．
(3)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法為先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合參數(shù)k賦值來求得所需角．
解(1)π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，
∴－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，
即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．①
∴－α角終邊在第二象限．
又由①各邊都加上π，得3π2＋2kππ－α2π＋2kπ(k∈Z)．
∴π－α是第四象限角．
同理可知，π＋α是第一象限角．
(2)在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝3x上的角是π3，
∴終邊在直線y＝3x上的角的集合為
α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝168°＋k360°(k∈Z)，
∴θ3＝56°＋k120°(k∈Z)．
∵0°≤56°＋k120°360°，
∴k＝0,1,2時，θ3∈[0°，360°)．
故在[0°，360°)內(nèi)終邊與θ3角的終邊相同的角是56°，176°，296°.
變式遷移1解∵α是第二象限的角，
∴k360°＋90°αk360°＋180°(k∈Z)．
(1)∵2k360°＋180°2α2k360°＋360°(k∈Z)，
∴2α的終邊在第三或第四象限，或角的終邊在y軸的非正半軸上．
(2)∵k180°＋45°α2k180°＋90°(k∈Z)，
當k＝2n(n∈Z)時，
n360°＋45°α2n360°＋90°；
當k＝2n＋1(n∈Z)時，
n360°＋225°α2n360°＋270°.
∴α2是第一或第三象限的角．
∴α2的終邊在第一或第三象限．
例2解題導(dǎo)引本題主要考查弧長公式和扇形的面積公式，并與最值問題聯(lián)系在一起．確定一個扇形需要兩個基本條件，因此在解題中應(yīng)依據(jù)題目條件確定出圓心角、半徑、弧長三個基本量中的兩個，然后再進行求解．
解
(1)設(shè)扇形的弧長為l，該弧所在弓形的面積為S，如圖所示，
當α＝60°＝π3，
R＝10cm時，
可知l＝αR＝10π3cm.
而S＝S扇－S△OAB＝12lR－12R2sinπ3
＝12×10π3×10－12×100×32
＝50π3－253cm2.
(2)已知2R＋l＝C，即2R＋αR＝C，
S扇＝12αR2＝12αRR＝14αR2R
≤14αR＋2R22＝14C22＝C216.
當且僅當αR＝2R，即α＝2時，等號成立，即當α為2弧度時，該扇形有最大面積116C2.
變式遷移2解設(shè)扇形半徑為R，圓心角為θ，所對的弧長為l.
(1)依題意，得12θR2＝4，θR＋2R＝10，
∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或12.
∵82π，舍去，∴θ＝12.
(2)扇形的周長為40，即θR＋2R＝40，
S＝12lR＝12θR2＝14θR2R≤14θR＋2R22＝100.
當且僅當θR＝2R，即R＝10，θ＝2時扇形面積取得最大值，最大值為100.
例3解題導(dǎo)引某角的三角函數(shù)值只與該角終邊所在位置有關(guān)，當終邊確定時三角函數(shù)值就相應(yīng)確定了．但若終邊落在某條直線上時，這時終邊實際上有兩個，因此對應(yīng)的函數(shù)值有兩組，要分別求解．
解∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，
∴在角α的終邊上任取一點P(4t，－3t)(t≠0)，
則x＝4t，y＝－3t，
r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，
當t0時，r＝5t，
sinα＝y(tǒng)r＝－3t5t＝－35，
cosα＝xr＝4t5t＝45，
tanα＝y(tǒng)x＝－3t4t＝－34；
當t0時，r＝－5t，
sinα＝y(tǒng)r＝－3t－5t＝35，
cosα＝xr＝4t－5t＝－45，
tanα＝y(tǒng)x＝－3t4t＝－34.
綜上可知，t0時，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；
t0時，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.
變式遷移3解r＝－4a2＋3a2＝5|a|.
若a0，則r＝5a，α角在第二象限，
sinα＝y(tǒng)r＝3a5a＝35，
cosα＝xr＝－4a5a＝－45，
tanα＝y(tǒng)x＝3a－4a＝－34.
若a0，則r＝－5a，α角在第四象限，
sinα＝y(tǒng)r＝3a－5a＝－35，cosα＝xr＝－4a－5a＝45，
tanα＝y(tǒng)x＝3a－4a＝－34.
課后練習(xí)區(qū)
1．A2.B3.D4.C5.C
6.π4，π2∪π，5π4
解析由已知得sinαcosα，tanα0，
∴π4＋2kπαπ2＋2kπ或π＋2kπα5π4＋2kπ，k∈Z.
∵0≤α≤2π，∴當k＝0時，π4απ2或πα5π4.
7.74π
解析由三角函數(shù)的定義，tanθ＝y(tǒng)x＝cos3π4sin3π4＝－1.
又∵sin3π40，cos3π40，∴P在第四象限，∴θ＝7π4.
8．③
解析①中，當α在第三象限時，
sinα＝－255，故①錯．
②中，同時滿足sinα＝12，cosα＝32的角為α＝2kπ＋π6(k∈Z)，不只有一個，故②錯．③正確．④θ可能在第一象限或第四象限，故④錯．綜上選③.
9．解(1)∵α＝120°＝2π3，r＝6，
∴AB的弧長為l＝αr＝2π3×6＝4π.……………………………………………………(4分)
(2)∵S扇形OAB＝12lr＝12×4π×6＝12π，……………………………………………………(7分)
S△ABO＝12r2sin2π3＝12×62×32
＝93，……………………………………………………………………………………(10分)
∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－93.………………………………………………(12分)
10．解(1)
作直線y＝32交單位圓于A、B兩點，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角α的集合為α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.…………………………………………………(6分)
(2)
作直線x＝－12交單位圓于C、D兩點，連結(jié)OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為
α|2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z.……………………………………………………(12分)
11．解∵P(x，－2)(x≠0)，
∴點P到原點的距離r＝x2＋2.…………………………………………………………(2分)
又cosα＝36x，
∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10，
∴r＝23.…………………………………………………………………………………(6分)
當x＝10時，P點坐標為(10，－2)，
由三角函數(shù)的定義，
有sinα＝－66，1tanα＝－5，
∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；……………………………………………(10分)
當x＝－10時，
同樣可求得sinα＋1tanα＝65－66.………………………………………………(14分)

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高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式學(xué)案

學(xué)案18同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式
導(dǎo)學(xué)目標：1.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.
自主梳理
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：____________________.
(2)商數(shù)關(guān)系：______________________________.
2．誘導(dǎo)公式
(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z.
(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.
(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.
(5)sinπ2－α＝________，cosπ2－α＝________.
(6)sinπ2＋α＝__________，cosπ2＋α＝____________________________________.
3．誘導(dǎo)公式的作用是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般步驟為：
上述過程體現(xiàn)了化歸的思想方法．
自我檢測
1．(2010全國Ⅰ)cos300°等于()
A．－32B．－12
C.12D.32
2．(2009陜西)若3sinα＋cosα＝0，則1cos2α＋sin2α的值為()
A.103B.53
C.23D．－2
3．(2010福建龍巖一中高三第三次月考)α是第一象限角，tanα＝34，則sinα等于()
A.45B.35
C．－45D．－35
4．cos(－174π)－sin(－174π)的值是()
A.2B．－2
C．0D.22
5．(2011清遠月考)已知cos(π6－α)＝23，則sin(α－2π3)＝________.
探究點一利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡、求值
例1已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求tanx2sinx＋cosx的值．

變式遷移1已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，求下列各式的值．
(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα；(2)sin2α＋sin2α.

探究點二利用誘導(dǎo)公式化簡、求值
例2(2011合肥模擬)已知sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)．
(1)求sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α的值；
(2)求cos2α－3π4的值．

變式遷移2設(shè)f(α)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，則f－23π6＝________.
探究點三綜合應(yīng)用
例3在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三個內(nèi)角．

變式遷移3(2011安陽模擬)已知△ABC中，sinA＋cosA＝15，
(1)求sinAcosA；
(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；
(3)求tanA的值．

轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例(12分)已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝15.
(1)求tanα的值；
(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出來，并求其值．
多角度審題由sinα＋cosα＝15應(yīng)聯(lián)想到隱含條件sin2α＋cos2α＝1，要求tanα，應(yīng)當切化弦，所以只要求出sinα，cosα即可．
【答題模板】
解(1)聯(lián)立方程sinα＋cosα＝15，①?sin2α＋cos2α＝1，②
由①得cosα＝15－sinα，將其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.[2分]
∵α是三角形的內(nèi)角，∴sinα＝45?cosα＝－35，[4分]
∴tanα＝－43.[6分]
(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，[8分]
∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α[10分]
＝－432＋11－－432＝－257.[12分]
【突破思維障礙】
由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1聯(lián)立方程組，利用角α的范圍，應(yīng)先求sinα再求cosα.(1)問切化弦即可求．(2)問應(yīng)弦化切，這時應(yīng)注意“1”的活用．
【易錯點剖析】
在求解sinα，cosα的過程中，若消去cosα得到關(guān)于sinα的方程，則求得兩解，然后應(yīng)根據(jù)α角的范圍舍去一個解，若不注意，則誤認為有兩解．
1．由一個角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時，要注意討論角的范圍．
2．注意公式的變形使用，弦切互換、三角代換、消元是三角代換的重要思想，要盡量少開方運算，慎重確定符號．注意“1”的靈活代換．
3．應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點是“函數(shù)名稱”與“正負號”的正確判斷．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011荊州模擬)已知△ABC中，cosAsinA＝－125，則cosA等于()
A.1213B.513
C．－513D．－1213
2．已知tanα＝－512，且α為第二象限角，則sinα的值等于()
A.15B．－115
C.513D．－513
3．(2011許昌月考)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αcos－π－αtanα，則f(－313π)的值為()
A.12B．－13C．－12D.13
4．設(shè)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零實數(shù)，若f(2002)＝－1，則f(2003)等于()
A．－1B．0C．1D．2
5．(2010全國Ⅰ)記cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()
A.1－k2kB．－1－k2k
C.k1－k2D．－k1－k2
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010全國Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－12，則cosα＝________.
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
8．(2010東北育才學(xué)校高三第一次模擬考試)若tanα＝2，則sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝________.
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α.
(1)化簡f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．

10．(12分)化簡：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．

11．(14分)(2011秦皇島模擬)已知sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個根．
(1)求cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)的值；
(2)求tan(π－θ)－1tanθ的值．

答案自主梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)sinαcosα＝tanα2.(1)sinαcosαtanα(2)－sinα－cosαtanα(3)－sinαcosα－tanα(4)sinα－cosα－tanα(5)cosαsinα(6)cosα－sinα
自我檢測
1．C[cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.]
2．A[∵3sinα＋cosα＝0，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝110，
∴1cos2α＋sin2α＝1cos2α＋2sinα－3sinα
＝11－7sin2α＝103.]
3．B
4．A[cos(－174π)－sin(－174π)＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sinπ4＝2.]
5．－23
解析sin(α－2π3)＝－sin(2π3－α)
＝－sin[(π6－α)＋π2]
＝－cos(π6－α)＝－23.
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引學(xué)會利用方程思想解三角函數(shù)題，對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，已知其中一個式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意對符號的判斷．
解由sinx＋cosx＝15得，
1＋2sinxcosx＝125，則2sinxcosx＝－2425.
∵－π2x0，∴sinx0，cosx0，
即sinx－cosx0.
則sinx－cosx
＝－sin2x－2sinxcosx＋cos2x
＝－1＋2425＝－75.
(1)sin2x－cos2x＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝15×－75＝－725.
(2)由sinx＋cosx＝15sinx－cosx＝－75，
得sinx＝－35cosx＝45，則tanx＝－34.
即tanx2sinx＋cosx＝－34－65＋45＝158.
變式遷移1解∵sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
方法一(直接代入法)：
(1)原式＝2cosα－4cosα5×2cosα＋2cosα＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.
方法二(同除轉(zhuǎn)化法)：
(1)原式＝tanα－45tanα＋2＝2－45×2＋2＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα
＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝85.
例2解題導(dǎo)引三角誘導(dǎo)公式記憶有一定規(guī)律：k2π＋α的本質(zhì)是：奇變偶不變(對k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù))，符號看象限(看原函數(shù)，同時可把α看成是銳角)．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：(1)負角變正角，再寫成2kπ＋α，0≤α2π；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)．
解(1)∵sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)，
∴cosα＝－55，sinα＝255.
∴sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α＝－cosα－sinαsinα－cosα＝－13.
(2)∵cosα＝－55，sinα＝255，
∴sin2α＝－45，cos2α＝－35，
cos2α－3π4＝－22cos2α＋22sin2α＝－210.
變式遷移23
解析∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α
＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，
∴f－23π6＝1tan－23π6
＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.
例3解題導(dǎo)引先利用誘導(dǎo)公式化簡已知條件，再利用平方關(guān)系求得cosA．求角時，一般先求出該角的某一三角函數(shù)值，再確定該角的范圍，最后求角．誘導(dǎo)公式在三角形中常用結(jié)論有：A＋B＝π－C；A2＋B2＋C2＝π2.
解由已知得sinA＝2sinB，①3cosA＝2cosB，②
①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±22.
(1)當cosA＝22時，cosB＝32，
又A、B是三角形的內(nèi)角，
∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.
(2)當cosA＝－22時，cosB＝－32.
又A、B是三角形的內(nèi)角，
∴A＝34π，B＝56π，不合題意．
綜上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.
變式遷移3解(1)∵sinA＋cosA＝15，①
∴兩邊平方得1＋2sinAcosA＝125，
∴sinAcosA＝－1225.
(2)由(1)sinAcosA＝－12250，且0Aπ，
可知cosA0，∴A為鈍角，
∴△ABC為鈍角三角形．
(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝4925，
又sinA0，cosA0，∴sinA－cosA0，
∴sinA－cosA＝75，②
∴由①，②得sinA＝45，cosA＝－35，
∴tanA＝sinAcosA＝－43.
課后練習(xí)區(qū)
1．D[∵A為△ABC中的角，cosAsinA＝－125，
∴sinA＝－512cosA，A為鈍角，∴cosA0.
代入sin2A＋cos2A＝1，求得cosA＝－1213.]
2．C[已知tanα＝－512，且α為第二象限角，
有cosα＝－11＋tan2α＝－1213，所以sinα＝513.]
3．C[∵f(α)＝sinαcosα－cosαtanα＝－cosα，∴f(－313π)
＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cosπ3＝－12.]
4．C[∵f(2002)＝asin(2002π＋α)＋bcos(2002π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2003)＝asin(2003π＋α)＋bcos(2003π＋β)
＝asin[2002π＋(π＋α)]＋bcos[2002π＋(π＋β)]
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.]
5．B[∵cos(－80°)＝cos80°＝k，
sin80°＝1－cos280°＝1－k2.
∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.]
6．－255
解析∵tanα＝－12，∴sinαcosα＝－12，
又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角，
∴cosα＝－255.
7.892
解析sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋
sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋222＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋12＝44＋12＝892.
8.165
解析原式＝tanα＋1tanα－1＋cos2αsin2α＋cos2α
＝3＋1tan2α＋1＝3＋15＝165.
9．解(1)f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α
＝sinαcosα－tanαtanαsinα＝－cosα.…………………………………………………………(5分)
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝－sinα＝15，
∴sinα＝－15，……………………………………………………………………………(8分)
∴cosα＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，
∴f(α)＝－cosα＝265.…………………………………………………………………(12分)
10．解當k為偶數(shù)2n(n∈Z)時，
原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α
＝sin－αcos－π－αsinπ＋αcosα
＝－sinαcosπ＋α－sinαcosα＝－cosαcosα＝－1；……………………………………………………(6分)
當k為奇數(shù)2n＋1(n∈Z)時，
原式＝sin[2n＋1π－α]cos2nπ－αsin[2n＋2π＋α]cos[2n＋1π＋α]
＝sinπ－αcos－αsin2π＋αcosπ＋α＝sinαcosαsinα－cosα＝－1.
∴當k∈Z時，原式＝－1.………………………………………………………………(12分)
11．解由已知原方程的判別式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又sinθ＋cosθ＝asinθcosθ＝a，(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，則a2－2a－1＝0，(6分)
從而a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，
因此sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－2.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.………(11分)
(2)tan(π－θ)－1tanθ＝－tanθ－1tanθ
＝－(sinθcosθ＋cosθsinθ)＝－1sinθcosθ＝－11－2＝1＋2.
……………………………………………………………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)簡單的三角恒等變換學(xué)案（附答案）

學(xué)案22簡單的三角恒等變換
導(dǎo)學(xué)目標：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟練應(yīng)用.2.能運用兩角和與差的三角公式進行簡單的恒等變換．
自主梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝________________；
(2)cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；
(3)tan2α＝________________________(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．
2．公式的逆向變換及有關(guān)變形
(1)sinαcosα＝____________________cosα＝sin2α2sinα；
(2)降冪公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；
升冪公式：1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；
變形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.
自我檢測
1．(2010陜西)函數(shù)f(x)＝2sinxcosx是()
A．最小正周期為2π的奇函數(shù)
B．最小正周期為2π的偶函數(shù)
C．最小正周期為π的奇函數(shù)
D．最小正周期為π的偶函數(shù)
2．函數(shù)f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分別為()
A．－3,1B．－2,2
C．－3，32D．－2，32
3．函數(shù)f(x)＝sinxcosx的最小值是()
A．－1B．－12C.12D．1
4．(2011清遠月考)已知A、B為直角三角形的兩個銳角，則sinAsinB()
A．有最大值12，最小值0
B．有最小值12，無最大值
C．既無最大值也無最小值
D．有最大值12，無最小值
探究點一三角函數(shù)式的化簡
例1求函數(shù)y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．

變式遷移1(2011泰安模擬)已知函數(shù)f(x)＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.
(1)求f－11π12的值；
(2)當x∈0，π4時，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．

探究點二三角函數(shù)式的求值
例2已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tanα－1tanα－1的值．

變式遷移2(1)已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．
(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α3π2，求cos(2α＋π4)的值．

探究點三三角恒等式的證明
例3(2011蘇北四市模擬)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，設(shè)tanα＝x，tanβ＝y(tǒng)，記y＝f(x)．
(1)求證：tan(α＋β)＝2tanα；
(2)求f(x)的解析表達式；
(3)若角α是一個三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f(x)的值域．

變式遷移3求證：sin2xsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1
＝1＋cosxsinx.

轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例(12分)(2010江西)已知函數(shù)f(x)＝
1＋1tanxsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.
(1)當m＝0時，求f(x)在區(qū)間π8，3π4上的取值范圍；
(2)當tanα＝2時，f(α)＝35，求m的值．
【答題模板】
解(1)當m＝0時，f(x)＝1＋cosxsinxsin2x
＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x2
＝122sin2x－π4＋1，[3分]
由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分]
所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]
從而得f(x)的值域為0，1＋22.[6分]
(2)f(x)＝sin2x＋sinxcosx－m2cos2x
＝1－cos2x2＋12sin2x－m2cos2x
＝12[sin2x－(1＋m)cos2x]＋12，[8分]
由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45，
cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]
所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分]
解得m＝－2.[12分]
【突破思維障礙】
三角函數(shù)式的化簡是指利用誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系式、和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等，將較復(fù)雜的三角函數(shù)式化得更簡潔、更清楚地顯示出式子的結(jié)果．化簡三角函數(shù)式的基本要求是：(1)能求出數(shù)值的要求出數(shù)值；(2)使三角函數(shù)式的項數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)的種類最少；(3)分式中的分母盡量不含根式等．
1．求值中主要有三類求值問題：
(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．
(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．
(3)“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角．
2．三角恒等變換的常用方法、技巧和原則：
(1)在化簡求值和證明時常用如下方法：切割化弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元素法，“1”的代換法等．
(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．
(3)化繁為簡：變復(fù)角為單角，變不同角為同角，化非同名函數(shù)為同名函數(shù)，化高次為低次，化多項式為單項式，化無理式為有理式．
消除差異：消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的差異．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011平頂山月考)已知0απ，3sin2α＝sinα，則cos(α－π)等于()
A.13B．－13C.16D．－16
2．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()
A.1318B.1322C.322D.16
3．(2011石家莊模擬)已知cos2α＝12(其中α∈－π4，0)，則sinα的值為()
A.12B．－12C.32D．－32
4．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，則fπ12的值為()
A．－433B．8
C．43D．－43
5．(2010福建廈門外國語學(xué)校高三第二次月考)在△ABC中，若cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，則sinB的值是()
A.12B.22C.32D．1
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010全國Ⅰ)已知α為第二象限的角，且sinα＝35，則tan2α＝________.
7．函數(shù)y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
8．若cos2αsinα－π4＝－22，則cosα＋sinα的值為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)化簡：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°；
(2)3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.

10．(12分)(2011南京模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)當∈0，π2時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值．

11．(14分)(2010北京)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f(π3)的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．

答案自主梳理
1．(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α2sin2α
(3)2tanα1－tan2α2.(1)12sin2α(2)1－cos2α21＋cos2α22cos2α22sin2α2(sinα±cosα)2
自我檢測
1．C2.C3.B4.D
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引化簡的原則是形式簡單，三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值．本題要充分利用倍角公式進行降冪，利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵．
解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x
＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，
由于函數(shù)z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值為zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值為zmin＝(1－1)2＋6＝6，
故當sin2x＝－1時，y取得最大值10，
當sin2x＝1時，y取得最小值6.
變式遷移1解(1)f(x)
＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x
＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x
＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，
∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cosπ6＝3.
(2)g(x)＝cos2x＋sin2x
＝2sin2x＋π4.
∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，
∴當x＝π8時，g(x)max＝2，
當x＝0時，g(x)min＝1.
例2解題導(dǎo)引(1)這類問題一般是先化簡再求值；化簡后目標更明確；
(2)如果能從已知條件中求出特殊值，應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角，可簡化運算，對切函數(shù)通常化為弦函數(shù)．
解由sin(π4＋2α)sin(π4－2α)
＝sin(π4＋2α)cos(π4＋2α)
＝12sin(π2＋4α)＝12cos4α＝14，
∴cos4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，
∴2sin2α＋tanα－1tanα－1
＝－cos2α＋sin2α－cos2αsinαcosα
＝－cos2α＋－2cos2αsin2α
＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.
變式遷移2解(1)∵α是第一象限角，cosα＝513，
∴sinα＝1213.
∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sinα＋cosαcos2α
＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α
＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214.
(2)cos(2α＋π4)＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4
＝22(cos2α－sin2α)，
∵π2≤α32π，
∴3π4≤α＋π474π.
又cos(α＋π4)＝350，
故可知32πα＋π474π，
∴sin(α＋π4)＝－45，
從而cos2α＝sin(2α＋π2)
＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)
＝2×(－45)×35＝－2425.
sin2α＝－cos(2α＋π2)
＝1－2cos2(α＋π4)
＝1－2×(35)2＝725.
∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝22×(－2425－725)
＝－31250.
例3解題導(dǎo)引本題的關(guān)鍵是第(1)小題的恒等式證明，對于三角恒等式的證明，我們要注意觀察、分析條件恒等式與目標恒等式的異同，特別是分析已知和要求的角之間的關(guān)系，再分析函數(shù)名之間的關(guān)系，則容易找到思路．證明三角恒等式的實質(zhì)就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一或變更論證．對于第(2)小題同樣要從角的關(guān)系入手，利用兩角和的正切公式可得關(guān)系．第(3)小題則利用基本不等式求解即可．
(1)證明由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]
＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，
∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，
∴tan(α＋β)＝2tanα.
(2)解由(1)得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，
∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.
(3)解∵角α是一個三角形的最小內(nèi)角，
∴0α≤π3，0x≤3，
設(shè)g(x)＝2x＋1x，則g(x)＝2x＋1x≥22(當且僅當x＝22時取“＝”)．
故函數(shù)f(x)的值域為(0，24]．
變式遷移3證明因為左邊＝
2sinxcosx[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1]
＝2sinxcosxsin2x－cosx－12
＝2sinxcosxsin2x－cos2x＋2cosx－1
＝2sinxcosx－2cos2x＋2cosx＝sinx1－cosx
＝sinx1＋cosx1－cosx1＋cosx
＝sinx1＋cosxsin2x＝1＋cosxsinx＝右邊．
所以原等式成立．
課后練習(xí)區(qū)
1．D[∵0απ，3sin2α＝sinα，
∴6sinαcosα＝sinα，又∵sinα≠0，∴cosα＝16，
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－16.]
2．C[因為α＋π4＋β－π4＝α＋β，
所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4.
所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4
＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.]
3．B[∵12＝cos2α＝1－2sin2α，
∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，
∴sinα＝－12.]
4．B[f(x)＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx
＝2sinxcosx＝4sin2x
∴fπ12＝4sinπ6＝8.]
5．C[由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化簡變形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，
∴cosB＝12或cosB＝1(舍)．
∴sinB＝32.]
6．－247
解析因為α為第二象限的角，又sinα＝35，
所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，
所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.
7．1－2
解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x
＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，
∴當sin(2x＋π4)＝－1時，函數(shù)取得最小值1－2.
8.12
解析∵cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα
＝－2(sinα＋cosα)＝－22，
∴cosα＋sinα＝12.
9．解(1)∵sin2α＝2sinαcosα，
∴cosα＝sin2α2sinα，…………………………………………………………………………(2分)
∴原式＝sin40°2sin20°sin80°2sin40°12sin160°2sin80°
＝sin180°－20°16sin20°＝116.……………………………………………………………………(6分)
(2)原式＝3－4cos2α＋2cos22α－13＋4cos2α＋2cos22α－1………………………………………………………(9分)
＝1－cos2α21＋cos2α2＝2sin2α22cos2α2＝tan4α.………………………………………………………(12分)
10．解f(x)＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12
＝32sin2x－12cos2x－1
＝sin2x－π6－1.…………………………………………………………………………(4分)
(1)T＝2π2＝π，故f(x)的最小正周期為π.…………………………………………………(6分)
(2)因為0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.
所以當2x－π6＝π2，即x＝π3時，f(x)有最大值0，
……………………………………………………………………………………………(10分)
當2x－π6＝－π6，即x＝0時，f(x)有最小值－32.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3
＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1
＝3(cosx－23)2－73，x∈R.………………………………………………………………(10分)
因為cosx∈[－1,1]，
所以，當cosx＝－1時，f(x)取得最大值6；
當cosx＝23時，f(x)取得最小值－73.…………………………………………………(14分)

任意角的三角函數(shù)

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)方面無論做什么事都有計劃和準備，作為高中教師準備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂趣，幫助高中教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。高中教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“任意角的三角函數(shù)”，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！

4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（二）
教學(xué)目的：
知識目標：1.復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、定義域與值域、符號、及誘導(dǎo)公式；
2.利用三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值；
3.利用三角函數(shù)線比較兩個同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍。
能力目標：掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學(xué)生對三角函數(shù)的定義域、值域有更深的理解。
德育目標：學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；
教學(xué)重點：正弦、余弦、正切線的概念。
教學(xué)難點：正弦、余弦、正切線的利用。
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1.三角函數(shù)的定義
2.誘導(dǎo)公式
練習(xí)1.D
練習(xí)2.B
練習(xí)3.C
二、講解新課：
當角的終邊上一點的坐標滿足時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線。
1．有向線段：
坐標軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。
規(guī)定：與坐標軸方向一致時為正，與坐標方向相反時為負。
有向線段：帶有方向的線段。
2．三角函數(shù)線的定義：
設(shè)任意角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點，
過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延
長線交與點.
由四個圖看出：
當角的終邊不在坐標軸上時，有向線段，于是有
，，

我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。
說明：
（1）三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。
（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂
足；正切線由切點指向與的終邊的交點。
（3）三條有向線段的正負：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的
為負值。
（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。
4．例題分析：
例1．作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。
（1）；（2）；（3）；（4）．
解：圖略。
例5.利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍．

答案：（1）；（2）；
三、鞏固與練習(xí)：P17面練習(xí)
四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：
1．三角函數(shù)線的定義；
2．會畫任意角的三角函數(shù)線；
3．利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小，求角的范圍。
五、課后作業(yè)：作業(yè)4

參考資料
例1.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?br> 1與2與
解：如圖可知：
tantan
例2．利用單位圓尋找適合下列條件的0到360的角
1sin≥2tan
解：12

30≤≤150

3090或210270

補充：1．利用余弦線比較的大小；
2．若，則比較、、的大小；
3．分別根據(jù)下列條件，寫出角的取值范圍：
（1）；（2）；（3）．

《任意角三角函數(shù)》教學(xué)反思

《任意角三角函數(shù)》教學(xué)反思

“任意角的三角函數(shù)”是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，是本章的基礎(chǔ)，也是學(xué)生難以理解的地方。因此，本節(jié)課的重點放在了任意角的三角函數(shù)的理解上。在本節(jié)課的開頭以學(xué)生所熟悉的直角三角形的銳角入手，引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究，逐步深入，引出任意三角函數(shù)的定義，以問題的形式鞏固深化任意角三角函數(shù)值的計算。引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學(xué)生在活動中體驗數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系，新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系。

通過任意角三角函數(shù)的定義，啟發(fā)學(xué)生找到各個三角函數(shù)在每個象限的符號以及在坐標軸上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”這一句話來概括了各個象限的符號。

在例題的設(shè)置上，例1是已知一個角終邊上一點的坐標，求這個角的三個三角函數(shù)值。通過這個例題的練習(xí)，讓學(xué)生更好地鞏固了任意三角函數(shù)的定義，會求任意一個角的三角函數(shù)。例2和例3的設(shè)置是讓學(xué)生進一步熟記各個三角函數(shù)在每個象限的范圍以及坐標軸上的值。例4是把幾個三角函數(shù)組合在一起，形成一個新的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的表達形式求定義域，能夠讓學(xué)生反過來已知三角函數(shù)值的符號去判斷角的大小.

但是，要想讓學(xué)生真正的學(xué)會并且靈活運用所學(xué)的知識，只靠老師上課講是遠遠不夠的，還需要學(xué)生在課下多做練習(xí)才行，所以，在講課的基礎(chǔ)上，我們還需要督促學(xué)生多做練習(xí)，因為只有熟才能夠生巧，在以后的教學(xué)中，我還需要多多反思，多多探索。