高中不等式教案

函數(shù)與不等式問題的解題技巧。

相關(guān)閱讀

不等式與不等關(guān)系

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“不等式與不等關(guān)系”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

§3.1不等式與不等關(guān)系（第2課時(shí)）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．知識(shí)與技能：掌握不等式的基本性質(zhì)，會(huì)用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式；
2．過程與方法：通過解決具體問題，學(xué)會(huì)依據(jù)具體問題的實(shí)際背景分析問題、解決問題的方法；
3．情態(tài)與價(jià)值：通過講練結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理能力.
【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】掌握不等式的性質(zhì)和利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式；
【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式。
一．知識(shí)歸納
1.性質(zhì)：
2.請(qǐng)?jiān)囍鴮?duì)上式的（6），（7）,(8)進(jìn)行證明。

二．典例分析.
例1、已知求證：

例2、已知求的取值范圍

例3、比較下列兩個(gè)代數(shù)式值或者實(shí)數(shù)的大小。
（1）與（2）與
三．課堂檢測(cè)
1.若a,b是任意實(shí)數(shù)，且ab,則（）
A．B．C．D．
2.設(shè),則下列不等式中恒成立的是()
A．B．C．D．
3.若則的值為（）
A．大于0B．等于0C．小于0D．符號(hào)不能確定
4.設(shè)，則a與b的大小關(guān)系是（）
AabBabCa=bD與x的值有關(guān)
5.若2a3,-4b-3,則的取值范圍是，的取值范圍是.
6.當(dāng)時(shí)，給出以下三個(gè)結(jié)論：①②③其中正確命題的序號(hào)是。
7.若則中最小的是。
8.已知2a3,-2b-1,求2a+b，3a-2b，ab，的取值范圍

向量與三角函數(shù)創(chuàng)新題型的解題技巧

概率統(tǒng)計(jì)的解題技巧

(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).
[考查目的]本題主要考查運(yùn)用排列和概率知識(shí),以及分步計(jì)數(shù)原理解決問題的能力,以及推理和運(yùn)算能力.
[解答提示]從兩部不同的長篇小說8本書的排列方法有種,左邊4本恰好都屬于同一部小說的的排列方法有種.所以,將符合條件的長篇小說任意地排成一排,左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是種.所以,填.
例8.(2006年浙江卷)甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球,甲袋裝有2個(gè)紅球,2個(gè)白球;乙袋裝有2個(gè)紅球,n個(gè)白球.由甲,乙兩袋中各任取2個(gè)球.
(Ⅰ)若n=3,求取到的4個(gè)球全是紅球的概率;(Ⅱ)若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為,求n.
[考查目的]本題主要考查排列組合、概率等基本知識(shí),同時(shí)考察邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.
[標(biāo)準(zhǔn)解答](I)記取到的4個(gè)球全是紅球?yàn)槭录?
(II)記取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球?yàn)槭录?取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球?yàn)槭录?取到的4個(gè)球全是白球?yàn)槭录?
由題意,得
所以,,
化簡,得解得,或(舍去),
故.
例9.(2007年全國I卷文)
某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品,顧客可采用一次性付款或分期付款購買.根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用一次性付款的概率是0.6,經(jīng)銷一件該商品,若顧客采用一次性付款,商場(chǎng)獲得利潤200元;若顧客采用分期付款,商場(chǎng)獲得利潤250元.
(Ⅰ)求3位購買該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率;
(Ⅱ)求3位顧客每人購買1件該商品,商場(chǎng)獲得利潤不超過650元的概率.
[考查目的]本小題主要考查相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等的概率計(jì)算,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力,以及推理與運(yùn)算能力.
[解答過程](Ⅰ)記表示事件:位顧客中至少位采用一次性付款,則表示事件:位顧客中無人采用一次性付款.
,.
(Ⅱ)記表示事件:位顧客每人購買件該商品,商場(chǎng)獲得利潤不超過元.
表示事件:購買該商品的位顧客中無人采用分期付款.
表示事件:購買該商品的位顧客中恰有位采用分期付款.
則.
,.
.
例10.(2006年北京卷)某公司招聘員工,指定三門考試課程,有兩種考試方案.
方案一:考試三門課程,至少有兩門及格為考試通過;
方案二:在三門課程中,隨機(jī)選取兩門,這兩門都及格為考試通過.
假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是,且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.
(Ⅰ)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過的概率;
(Ⅱ)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由)
[考查目的]本題主要考查互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率和對(duì)立事件的概率,以及不等式等基本知識(shí),同時(shí)考查邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.
[標(biāo)準(zhǔn)解答]記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為A,B,C,
則P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.
(Ⅰ)應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率
p1=P(A·B·)P(·B·C)P(A··C)P(A·B·C)
=a×b×(1-c)(1-a)×b×ca×(1-b)×ca×b×c=abbcca-2abc.
應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率
p2=P(A·B)P(B·C)P(A·C)=×(a×bb×cc×a)=(abbcca)
(Ⅱ)p1-p2=abbcca-2abc-(abbcca)=(abbcca-3abc)
≥=.
∴p1≥p2
例11.(2007年陜西卷文)
某項(xiàng)選拔共有四輪考核,每輪設(shè)有一個(gè)問題,能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為、、、,且各輪問題能否正確回答互不影響.
(Ⅰ)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率;
(Ⅱ)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率.(注:本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示)
[考查目的]本小題主要考查相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力,以及推理與運(yùn)算能力.
[解答過程](Ⅰ)記該選手能正確回答第輪的問題的事件為,則,,,,
該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率.
(Ⅱ)該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率
.
考點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的分布列
1.隨機(jī)變量及相關(guān)概念
①隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示,這樣的變量叫做隨機(jī)變量,常用希臘字母ξ、η等表示.
②隨機(jī)變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.
③隨機(jī)變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.
2.離散型隨機(jī)變量的分布列
①離散型隨機(jī)變量的分布列的概念和性質(zhì)
一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為,,……,,……,取每一個(gè)值(1,2,……)的概率P()=,則稱下表.
…
…
PP1P2…
…
為隨機(jī)變量的概率分布,簡稱的分布列.
由概率的性質(zhì)可知,任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì):
(1),1,2,…;(2)…=1.
②常見的離散型隨機(jī)變量的分布列:
(1)二項(xiàng)分布
次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,其所有可能的取值為0,1,2,…n,并且,其中,,隨機(jī)變量的分布列如下:
01…
…P
…
稱這樣隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,記作,其中、為參數(shù),并記:.
(2)幾何分布
在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,某事件第一次發(fā)生時(shí)所作的試驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)取值為正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量,表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.
隨機(jī)變量的概率分布為:
123…k…
Ppqp
…
…
例12.(2007年四川卷理)
廠家在產(chǎn)品出廠前,需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn),廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí),商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn),以決定是否接收這批產(chǎn)品.
(Ⅰ)若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn),求至少有1件是合格的概率;
(Ⅱ)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2件.都進(jìn)行檢驗(yàn),只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品.否則拒收,求出該商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及期望,并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.
(Ⅱ)該選手在選拔中回答問題的個(gè)數(shù)記為,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(注:本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示)
[考查目的]本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等的概率計(jì)算,考察隨機(jī)事件的分布列,數(shù)學(xué)期望等,考察運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與方法解決實(shí)際問題的能力.
[解答過程]解法一:(Ⅰ)記該選手能正確回答第輪的問題的事件為,則,,,
該選手被淘汰的概率
.
(Ⅱ)的可能值為,,
,
.
的分布列為
123
.
解法二:(Ⅰ)記該選手能正確回答第輪的問題的事件為,則,,.
該選手被淘汰的概率.
(Ⅱ)同解法一.
考點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量的期望與方差
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差
(1)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望:…;期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平.
⑵離散型隨機(jī)變量的方差:……;
方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng),集中與離散的程度.
⑶基本性質(zhì):;.
(4)若~B(n,p),則;D=npq(這里q=1-p);
如果隨機(jī)變量服從幾何分布,,則,D=其中q=1-p.
例14.甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分別為ε、η,ε和η的分布列如下:
ε012η012
P
P
則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為.
思路啟迪:一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值,即期望;二是要看出次品數(shù)的波動(dòng)情況,即方差值的大小.
解答過程:工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)ε的期望和方差分別為:
,
;
工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)η的期望和方差分別為:
,
由Eε=Eη知,兩人出次品的平均數(shù)相同,技術(shù)水平相當(dāng),但DεDη,可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.
小結(jié):期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平;方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng),集中與離散的程度.
例15.(2007年全國I理)
某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用的付款期數(shù)的分布列為
12345
0.40.20.20.10.1
商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元.表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.
(Ⅰ)求事件:購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款的概率;
(Ⅱ)求的分布列及期望.
[考查目的]本小題主要考查概率和離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
[解答過程](Ⅰ)由表示事件購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款.
知表示事件購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款
,.
(Ⅱ)的可能取值為元,元,元.
,
,
.
的分布列為
(元).
小結(jié):離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念,考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
例16.某班有48名學(xué)生,在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分為70分,方差為75,后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績有誤,甲實(shí)得80分卻記為50分,乙實(shí)得70分卻記為100分,更正后平均分和方差分別是
A.70,25B.70,50C.70,1.04D.65,25
解答過程:易得沒有改變,=70,
而s2=[(x12x22…5021002…x482)-482]=75,
s′2=[(x12x22…802702…x482)-482]
=[(75×48482-1250011300)-482]
=75-=75-25=50.
答案:B
考點(diǎn)4抽樣方法與總體分布的估計(jì)
抽樣方法
1.簡單隨機(jī)抽樣:設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N,如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本,且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣.常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.
2.系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí),可將總體分成均衡的幾個(gè)部分,然后按照預(yù)先定出的規(guī)則,從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體,得到所需要的樣本,這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣(也稱為機(jī)械抽樣).
3.分層抽樣:當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí),常將總體分成幾部分,然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣,這種抽樣叫做分層抽樣.
總體分布的估計(jì)
由于總體分布通常不易知道,我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布,一般地,樣本容量越大,這種估計(jì)就越精確.
總體分布:總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.
當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí),其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應(yīng)的頻率表示,幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.
當(dāng)總體中的個(gè)體取值在某個(gè)區(qū)間上時(shí)用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布.
總體密度曲線:當(dāng)樣本容量無限增大,分組的組距

典型例題
例17.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2:3:5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本,樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n=.
解答過程:A種型號(hào)的總體是,則樣本容量n=.
例18.一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體,隨機(jī)編號(hào)0,1,2,…,99,依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組,組號(hào)依次為1,2,3,…,10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本,規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為,那么在第組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同,若,則在第7組中抽取的號(hào)碼是.
解答過程:第K組的號(hào)碼為,,…,,當(dāng)m=6時(shí),第k組抽取的號(hào)的個(gè)位數(shù)字為mk的個(gè)位數(shù)字,所以第7組中抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)字為3,所以抽取號(hào)碼為63.
例19.考查某校高三年級(jí)男生的身高,隨機(jī)抽取40名高三男生,實(shí)測(cè)身高數(shù)據(jù)(單位:cm)如下:
171163163166166168168160168165
171169167169151168170160168174
165168174159167156157164169180
176157162161158164163163167161
⑴作出頻率分布表;⑵畫出頻率分布直方圖.
思路啟迪:確定組距與組數(shù)是解決總體中的個(gè)體取不同值較多這類問題的出發(fā)點(diǎn).
解答過程:⑴最低身高為151,最高身高180,其差為180-151=29。確定組距為3,組數(shù)為10,列表如下:
⑵頻率分布直方圖如下:
小結(jié):合理、科學(xué)地確定組距和組數(shù),才能準(zhǔn)確地制表及繪圖,這是用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的基本功.
估計(jì)總體分布的基本功。
考點(diǎn)5正態(tài)分布與線性回歸
1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)
(1)正態(tài)分布的概念
如果連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為,x其中、為常數(shù),并且0,則稱服從正態(tài)分布,記為(,).
(2)期望E=μ,方差.
(3)正態(tài)分布的性質(zhì)
正態(tài)曲線具有下列性質(zhì):
①曲線在x軸上方,并且關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.
②曲線在x=μ時(shí)處于最高點(diǎn),由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí),曲線逐漸降低.
③曲線的對(duì)稱軸位置由μ確定;曲線的形狀由確定,越大,曲線越矮胖;反之越高瘦.
(4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
當(dāng)=0,=1時(shí)服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布,記作(0,1)
(5)兩個(gè)重要的公式
①,②.
(6)與二者聯(lián)系.
①若,則;
②若,則.
2.線性回歸
簡單的說,線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.
變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型:確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個(gè)變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計(jì)方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式.
具體說來,對(duì)n個(gè)樣本數(shù)據(jù)(),(),…,(),其回歸直線方程,或經(jīng)驗(yàn)公式為:.其中,其中分別為||、||的平均數(shù).
例20.如果隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ2),且Eξ=3,Dξ=1,則P(-1ξ≤1=等于()
A.2Φ(1)-1B.Φ(4)-Φ(2)
C.Φ(2)-Φ(4)D.Φ(-4)-Φ(-2)
解答過程:對(duì)正態(tài)分布,μ=Eξ=3,σ2=Dξ=1,故P(-1ξ≤1)=Φ(1-3)-Φ(-1-3)=Φ(-2)-Φ(-4)=Φ(4)-Φ(2).
答案:B
例21.將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi),調(diào)節(jié)器設(shè)定在d℃,液體的溫度ξ(單位:℃)是一個(gè)隨機(jī)變量,且ξ~N(d,0.52).
(1)若d=90°,則ξ89的概率為;
(2)若要保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99,則d至少是?(其中若η~N(0,1),則Φ(2)=P(η2)=0.9772,Φ(-2.327)=P(η-2.327)=0.01).
思路啟迪:(1)要求P(ξ89)=F(89),
∵ξ~N(d,0.5)不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,而給出的是Φ(2),Φ(-2.327),故需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值.
(2)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的數(shù)值求概率p,再利用p≥0.99,解d.
解答過程:(1)P(ξ89)=F(89)=Φ()=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228.
(2)由已知d滿足0.99≤P(ξ≥80),
即1-P(ξ80)≥1-0.01,∴P(ξ80)≤0.01.
∴Φ()≤0.01=Φ(-2.327).
∴≤-2.327.
∴d≤81.1635.
故d至少為81.1635.
小結(jié):(1)若ξ~N(0,1),則η=~N(0,1).(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)是偶函數(shù),x0時(shí),f(x)為增函數(shù),x0時(shí),f(x)為減函數(shù).
例22.設(shè),且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為:,x∈R.
(1)則μ,σ是;(2)則及的值是.
思路啟迪:根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,對(duì)照已知函數(shù)求出μ和σ.利用一般正態(tài)總體與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)概率間的關(guān)系,將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來解決.
解答過程:⑴由于,根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式,可知μ=1,,故X~N(1,2).
.
又
.
小結(jié):通過本例可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).
例23.公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的,如果某地成年男子的身高ε~N(173,7)(單位:cm),則車門應(yīng)設(shè)計(jì)的高度是(精確到1cm)?
思路啟迪:由題意可知,求的是車門的最低高度,可設(shè)其為xcm,使其總體在不低于x的概率小于1%.
解答過程:設(shè)該地區(qū)公共汽車車門的最低高度應(yīng)設(shè)為xcm,由題意,需使P(ε≥x)1%.
∵ε~N(173,7),∴。查表得,解得x179.16,即公共汽車門的高度至少應(yīng)設(shè)計(jì)為180cm,可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞.
【專題訓(xùn)練與高考

不等關(guān)系與不等式教案

教學(xué)設(shè)計(jì)
3．1.1不等關(guān)系與不等式
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)課的研究是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大?。?br> 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用．對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程．即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡單的、學(xué)生易于處理的問題，其用意在于讓學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望．根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大?。?br> 在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的順序關(guān)系．要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)．
三維目標(biāo)
1．在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系．
2．會(huì)用作差法判斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會(huì)用配方法判斷二次式的大小和范圍．
3．通過溫故知新，提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍．
教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確比較兩個(gè)代數(shù)式的大小．
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課．
思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系．這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來呢？讓學(xué)生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著．這樣學(xué)生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學(xué)過的不等式，讓學(xué)生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系？
2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎？
3數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系？
4任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系？用邏輯用語怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同．不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等關(guān)系是可以通過不等式來體現(xiàn)的．
教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系．在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容．
實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32℃，最低氣溫26℃.
實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xA＜xB.教師協(xié)助畫出數(shù)軸草圖如下圖．
實(shí)例3：若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零．
實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線段最短．
實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
實(shí)例6：限速40km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h.
實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識(shí)來表示這些不等關(guān)系呢？學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系．那么不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．
教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來．實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26℃≤t≤32℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x≥0.實(shí)例5，|AC|＋|BC|＞|AB|，如下圖．
|AB|＋|BC|＞|AC|、|AC|＋|BC|＞|AB|、|AB|＋|AC|＞|BC|.
|AB|－|BC|＜|AC|、|AC|－|BC|＜|AB|、|AB|－|AC|＜|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以．
實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對(duì)于實(shí)例7，教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對(duì)的．但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對(duì)以上問題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論．
討論結(jié)果：
(1)(2)略；(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大．
(4)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三種關(guān)系中有且僅有一種關(guān)系成立．用邏輯用語表達(dá)為：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例1和例2)
活動(dòng)：通過兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法．
點(diǎn)評(píng)：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握.
變式訓(xùn)練
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()
A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)
C．f(x)＜g(x)D．隨x值變化而變化
答案：A
解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．
2．已知x≠0，比較(x2＋1)2與x4＋x2＋1的大?。?br> 解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.
∵x≠0，得x2＞0.從而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.

例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b)．
(1)a＋b2與21a＋1b(a＞0，b＞0)；
(2)a4－b4與4a3(a－b)．
活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)來確定．本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號(hào)判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點(diǎn)．
解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.
∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.
(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)
＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]
＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．
∵2a2＋(a＋b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時(shí)取等號(hào))，
又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.
∴a4－b4＜4a3(a－b)．
點(diǎn)評(píng)：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號(hào)．變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用.
變式訓(xùn)練
已知x＞y，且y≠0，比較xy與1的大?。?br> 活動(dòng)：要比較任意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系．
解：xy－1＝x－yy.
∵x＞y，∴x－y＞0.
當(dāng)y＜0時(shí)，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；
當(dāng)y＞0時(shí)，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy－1的正負(fù)情況不同，所以需對(duì)y分類討論.

例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積．但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好．試問：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請(qǐng)說明理由．
活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法．
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時(shí)增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a＜b，且ab≥10%，
由于a＋mb＋m－ab＝mb－abb＋m＞0，于是a＋mb＋m＞ab.又ab≥10%，
因此a＋mb＋m＞ab≥10%.
所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了．
點(diǎn)評(píng)：一般地，設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a＜b，m＞0，則a＋mb＋m＞ab.
變式訓(xùn)練
已知a1，a2，…為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則()
A．a(chǎn)1＋a8＞a4＋a5B．a(chǎn)1＋a8＜a4＋a5
C．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5D．a(chǎn)1＋a8與a4＋a5大小不確定
答案：A
解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4
＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．
∵{an}各項(xiàng)都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.
又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.

知能訓(xùn)練
1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數(shù)為()
A．3B．2C．1D．0
2．比較2x2＋5x＋9與x2＋5x＋6的大?。?br> 答案：
1．C解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.
∴只有①恒成立．
2．解：因?yàn)?x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，
所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.
課堂小結(jié)
1．教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法；從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評(píng)，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識(shí)體系中．
2．教師畫龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易錯(cuò)的地方．鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究．
作業(yè)
習(xí)題3—1A組3；習(xí)題3—1B組2.
設(shè)計(jì)感想
1．本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化．經(jīng)驗(yàn)告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過程，不宜長期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ剑鞣N教學(xué)方法中，沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動(dòng)．也就是說，世上沒有萬能的教學(xué)方法．針對(duì)個(gè)性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥．
2．本節(jié)設(shè)計(jì)注重了難度控制．不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)．作為本章開始，可以適當(dāng)開闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺(tái)，但不宜過多向外拓展，以免對(duì)學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響．
3．本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練．訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線．采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化．變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升．
備課資料
備用習(xí)題
1．比較(x－3)2與(x－2)(x－4)的大小．
2．試判斷下列各對(duì)整式的大?。?1)m2－2m＋5和－2m＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.
3．已知x＞0，求證：1＋x2＞1＋x.
4．若x＜y＜0，試比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大?。?br> 5．設(shè)a＞0，b＞0，且a≠b，試比較aabb與abba的大?。?br> 參考答案：
1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)
＝1＞0，
∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．
2．解：(1)(m2－2m＋5)－(－2m＋5)
＝m2－2m＋5＋2m－5
＝m2.
∵m2≥0，∴(m2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0.
∴m2－2m＋5≥－2m＋5.
(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)
＝a2－4a＋3＋4a－1
＝a2＋2.
∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.
∴a2－4a＋3＞－4a＋1.
3．證明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2
＝1＋x＋x24－(x＋1)
＝x24，
又∵x＞0，∴x24＞0.
∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.
由x＞0，得1＋x2＞1＋x.
4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.
∴－2xy(x－y)＞0.
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，
當(dāng)a＞b＞0時(shí)，ab＞1，a－b＞0，
則(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.
當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜ab＜1，a－b＜0.
則(ab)a－b＞1.
于是aabb＞abba.
綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb＞abba.