一元二次方程高中教案

《一元二次不等式及其解法》第四課時集體備課資料。

《一元二次不等式及其解法》集體備課資料

【教學(xué)目標(biāo)】
1．知識與技能：鞏固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系；進(jìn)一步熟練解一元二次不等式的解法；
2．過程與方法：培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，一題多解的能力，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力；
3．情態(tài)與價值：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會從不同側(cè)面觀察同一事物思想
【教學(xué)重點】
熟練掌握一元二次不等式的解法
【教學(xué)難點】
理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
1．一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系
2．一元二次不等式的解法步驟——課本第86頁的表格
2.講授新課
[范例講解]
例1某種牌號的汽車在水泥路面上的剎車距離sm和汽車的速度xkm/h有如下的關(guān)系：
在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于39.5m，那么這輛汽車剎車前的速度是多少？（精確到0.01km/h）
解：設(shè)這輛汽車剎車前的速度至少為xkm/h，根據(jù)題意，我們得到
移項整理得：
顯然，方程有兩個實數(shù)根，即
。所以不等式的解集為
在這個實際問題中，x0，所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94km/h.
例4、一個汽車制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x（輛）與創(chuàng)造的價值y（元）之間有如下的關(guān)系：
若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車？
解：設(shè)在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車，根據(jù)題意，我們得到
移項整理，得
因為，所以方程有兩個實數(shù)根
由二次函數(shù)的圖象，得不等式的解為：50x60
因為x只能取正整數(shù)，所以，當(dāng)這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51—59輛之間時，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益。
3．隨堂練習(xí)1
課本第80頁練習(xí)2
[補充例題]
（1）應(yīng)用一（一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系）
例：設(shè)不等式的解集為，求?
（2）應(yīng)用二（一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系）
例：設(shè)，且，求的取值范圍.
改：設(shè)對于一切都成立，求的范圍.
改：若方程有兩個實根，且，，求的范圍.
隨堂練習(xí)2
1、已知二次不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集.
2、若關(guān)于的不等式的解集為空集，求的取值范圍.
改1：解集非空
改2：解集為一切實數(shù)
4.課時小結(jié)
進(jìn)一步熟練掌握一元二次不等式的解法
一元二次不等式與一元二次方程以及一元二次函數(shù)的關(guān)系
5.作業(yè)
課本第80頁的習(xí)題3.2[A]組第3、5題

精選閱讀

一元二次不等式及其解法教案

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生們充分體會到學(xué)習(xí)的快樂，減輕高中教師們在教學(xué)時的教學(xué)壓力。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？下面是小編精心為您整理的“一元二次不等式及其解法教案”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

教學(xué)設(shè)計
3.3一元二次不等式及其解法
整體設(shè)計
教學(xué)分析
1．本節(jié)內(nèi)容對學(xué)生來說不算太陌生，涉及的概念也不算多，所表現(xiàn)的數(shù)學(xué)基本思想也不復(fù)雜．但是，一元二次不等式解法作為高中數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)和工具．由于一元二次不等式解法與二次函數(shù)聯(lián)系緊密，而二次函數(shù)又是學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個薄弱環(huán)節(jié)，因此很多學(xué)生對此學(xué)習(xí)表現(xiàn)出困惑．要使學(xué)生通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容后，達(dá)到《新課標(biāo)》所規(guī)定的要求卻并非易事．因此在教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生的實際情況，通過大量的實例，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括，逐步理解掌握有關(guān)概念及思想方法，不可期待一蹴而就．要通過解題，逐步理解掌握有關(guān)方法與思想的內(nèi)涵，避免陷入煩瑣的計算與人為技巧之中，要重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索、解決問題的過程．教師要充分閱讀《新課標(biāo)》，深刻理解本節(jié)的編寫意圖．
(1)意圖一是數(shù)形互補，強化直觀，突出精簡實用．對一元二次不等式的解法，沒有介紹較煩瑣的純代數(shù)方法，而是結(jié)合二次函數(shù)的圖象，采取簡潔明了的數(shù)形方法，體現(xiàn)刪繁就簡的意圖．淡化解(證)不等式的技巧性要求，凸現(xiàn)了不等式的實際情境、幾何意義及實際應(yīng)用．
(2)意圖二是總結(jié)方法，提煉思想，鼓勵創(chuàng)新實用．對一元二次不等式求解“嘗試設(shè)計求解程序框圖”的要求，融入了算法的思想．其一是為算法找到了用武之地，其二是不但實現(xiàn)了不等式的上機求解，而且對不等式結(jié)構(gòu)的認(rèn)識顯得更加清晰，更能看清問題的本質(zhì)．其他如優(yōu)化思想、化歸思想、分類討論思想、方程思想等．
(3)意圖三是注重聯(lián)系，更新觀念，建立創(chuàng)新數(shù)學(xué)觀．在教學(xué)中要積極引導(dǎo)學(xué)生，將所學(xué)內(nèi)容與日常生活、生產(chǎn)實際、其他學(xué)科聯(lián)系起來．通過類比、聯(lián)想、知識遷移等方式，使學(xué)生體會本章知識間與其他知識間的有機聯(lián)系，注意函數(shù)、方程、不等式的聯(lián)系，數(shù)與形的聯(lián)系，算法思想、優(yōu)化思想、化歸思想在有關(guān)內(nèi)容中的滲透以及不同內(nèi)容中的應(yīng)用等．
2．本節(jié)分為三個課時．第一課時，理解一元二次不等式及其解法中的一些基本概念，求解一元二次不等式的步驟，求解一元二次不等式的程序框圖．根據(jù)這些圖表，得出一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系．第二課時通過例題的講解和學(xué)生的練習(xí)，更深入揭示一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系，繼續(xù)探究一元二次不等式解法的步驟和過程，及時加以鞏固．第三課時通過進(jìn)一步探究一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集與一元二次方程根的關(guān)系，研究含有參數(shù)的一元二次不等式的解法．通過例題的探究和變式訓(xùn)練，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．
實際教學(xué)時用兩條途徑研討二次不等式的解法：一是對函數(shù)式配方并作出二次函數(shù)的圖象；二是當(dāng)函數(shù)存在零點時，對函數(shù)式進(jìn)行因式分解．應(yīng)當(dāng)把第二條途徑理解為是對第一條途徑依據(jù)原理的加深理解．另外第二條途徑的方法是把二次轉(zhuǎn)化為一次來求解，化難為易，高次轉(zhuǎn)化為低次求解，這是研究代數(shù)問題的一條基本途徑．我們教學(xué)的目的，不僅僅是讓學(xué)生掌握解法，更重要的是讓學(xué)生掌握研究問題的方法和技能．
三維目標(biāo)
1．深刻理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式“三個二次”之間的關(guān)系，逐步提高學(xué)生的運算能力和邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．
2．通過含參不等式的探究，正確地對參數(shù)分區(qū)間進(jìn)行討論．并通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生認(rèn)識到事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，樹立辯證的世界觀．
3．通過圖象解法滲透數(shù)形結(jié)合、分類化歸等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生動手能力、觀察分析能力、抽象概括能力、歸納總結(jié)等系統(tǒng)的邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生簡約直觀的思維方法和良好的思維品質(zhì)．
重點難點
教學(xué)重點：突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，熟練地掌握一元二次不等式的解法，并理解解法的幾何意義．
教學(xué)難點：深刻理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集之間的聯(lián)系．
課時安排
3課時
教學(xué)過程
第1課時
導(dǎo)入新課
思路1.(類比導(dǎo)入)讓學(xué)生回憶解方程3x＋2＝0的方法．作函數(shù)y＝3x＋2的圖象，解不等式3x＋2＞0.我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系．利用這種聯(lián)系我們可以快速準(zhǔn)確地求出一元一次不等式的解集．類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢？
思路2.(直接導(dǎo)入)教師利用多媒體展示兩個不等式：15x2＋30x－1＞0和3x2＋6x－1≤0.讓學(xué)生觀察這兩個不等式的共同點是什么？由此展開新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1什么是一元二次不等式？2回憶一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)三者之間有什么聯(lián)系？3類比“三個一次”之間的關(guān)系，怎樣探究一元二次不等式的解法？
活動：為了探究一元二次不等式的解法，教師可引導(dǎo)學(xué)生先回憶已經(jīng)學(xué)過的一元一次不等式的解法，回憶一元一次不等式與一元一次方程及一次函數(shù)三者之間的關(guān)系．這樣做不僅僅是為探究一元二次不等式的解法尋找類比的平臺，也是為學(xué)生對不等式的知識結(jié)構(gòu)有個系統(tǒng)的掌握．
一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系：可通過觀察一次函數(shù)的圖象求得一元一次不等式的解集．函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標(biāo)為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖象落在x軸上方(下方)部分對應(yīng)的橫坐標(biāo)．
類比以上，我們來探究一元二次不等式與一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，并從中找出解決一元二次不等式的求解方法.在初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，我們曾解決過這樣的問題：對二次函數(shù)y＝x2－5x，當(dāng)x為何值時，y＝0？當(dāng)x為何值時，y＜0？當(dāng)x為何值時，y＞0？因此二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式之間有著非常密切的聯(lián)系．
教師利用多媒體讓學(xué)生探究一元二次不等式x2－5x＞0和x2－5x＜0的解法．

先考察二次函數(shù)y＝x2－5x＝(x－52)2－254的圖象和性質(zhì)，如下圖．
當(dāng)x＝0或x＝5時，y＝0，即x2－5x＝0；
當(dāng)0＜x＜5時，y＜0，即x2－5x＜0；
當(dāng)x＜0或x＞5時，y＞0，即x2－5x＞0.
這就是說，若拋物線y＝x2－5x與x軸的交點是(0,0)與(5,0)，
則一元二次方程x2－5x＝0的解就是x1＝0，x2＝5.
一元二次不等式x2－5x＜0的解集是{x|0＜x＜5}；一元二次不等式x2－5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}．
這樣，我們通過對函數(shù)式配方、畫圖就能解出一元二次不等式的解集．
另一種方法，教師可引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)式進(jìn)行分解，即x2－5x＝x(x－5)．因此解不等式x2－5x＞0，等價于解不等式組x0，x－50或x0，x－50.
解這兩個不等式組，得x＞5或x＜0.
這種化高次為低次的研究方法，也是我們研究問題的重要方法．但把這兩種方法進(jìn)行比較，可以明顯地體會到，作出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象，并由圖象直接寫出解集的方法更簡便一些．今后我們解一元二次不等式時就可用第一種方法來解．
由一元二次不等式的一般形式，知任何一個一元二次不等式，最后都可以化為ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式，而且我們已經(jīng)知道，一元二次不等式的解與其相應(yīng)的一元二次方程的根及二次函數(shù)的圖象有關(guān)，即由拋物線與x軸的交點可以確定對應(yīng)的一元二次方程的解和對應(yīng)的一元二次不等式的解集．
由于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有三種情況，即兩個不等實根，兩個相等實根，無實根，反映在其判別式Δ＝b2－4ac上分別為Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三種情況．相應(yīng)地，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)與x軸的相關(guān)位置也分為三種情況(如下圖)．因此，對相應(yīng)的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集我們也分這三種情況進(jìn)行討論．
(1)若Δ＞0，此時拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)與x軸有兩個交點〔圖(1)〕，即方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)有兩個不相等的實根x1，x2(x1＜x2)，則不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是{x|x＜x1或x＞x2}；不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是{x|x1＜x＜x2}．
(2)若Δ＝0，此時拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)與x軸只有一個交點〔圖(2)〕，即方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)有兩個相等的實根x1＝x2＝－b2a，則不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是{x|x≠－b2a}；不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是?．
(3)若Δ＜0，此時拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)與x軸沒有交點〔圖(3)〕，即方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)無實根，則不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是R；不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是?．

Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0
二次函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
的圖象

ax2＋bx＋c＝0的根x1,2＝－b±Δ2a
x1＝x2＝－b2a
?
ax2＋bx＋c＞0的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－b2a}
R
ax2＋bx＋c＜0的解集{x|x1＜x＜x2}??

這樣根據(jù)二次函數(shù)圖象及一元二次方程根的情況，就可迅速求解一元二次不等式的解集，但教師需點撥學(xué)生注意：一是不要死記上表中的一元二次不等式的解集，對具體的一元二次不等式，首先想到的是二次函數(shù)圖象，想到的是判別式Δ的情況；二是不等式的解集一定要書寫規(guī)范，只能用集合或區(qū)間表示，避免出現(xiàn)似是而非的錯誤．對于ax2＋bx＋c＞0(a＜0)的情況，只需將二次項系數(shù)化為正值再求解即可．
討論結(jié)果：
(1)含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式，叫做一元二次不等式．
(2)略．
(3)兩條途徑探究一元二次不等式的解法：一條是對函數(shù)式配方、畫圖解決；另一條是對函數(shù)式進(jìn)行因式分解解決．
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例1)
活動：本例的目的是讓學(xué)生熟悉怎樣結(jié)合二次函數(shù)、一元二次方程求解一元二次不等式，以及怎樣書寫解題步驟和解集．本例可讓學(xué)生自己解決，待充分暴露問題后，教師進(jìn)行一一點撥糾正．
點評：解完此例后，教師可結(jié)合多媒體回顧前面探究的一般一元二次不等式的解集，進(jìn)一步加深學(xué)生對一元二次不等式解法的理解.
變式訓(xùn)練
1．解不等式4x2＋4x＋1＜0.
解：∵Δ＝42－4×4＝0，由二次函數(shù)y＝4x2＋4x＋1的圖象，可知原不等式的解集為?．
2．解不等式(1)x2＋4x＋4≥0；(2)x2＋4x＋4≤0.
解：∵Δ＝42－4×1×4＝0，
∴原不等式可化為(1)(x＋2)2≥0；(2)(x＋2)2≤0.
∴原不等式(1)的解集為R；不等式(2)的解集為{－2}.

例2解不等式－3x2＋15x＞12.
活動：本例的二次項系數(shù)為負(fù)，教師引導(dǎo)學(xué)生先將不等式變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式，即3x2－15x＋12＜0.進(jìn)一步化簡得x2－5x＋4＜0，然后結(jié)合二次函數(shù)圖象及一元二次方程即可求解．可由學(xué)生自己完成．
解：原不等式可化為x2－5x＋4＜0.∵Δ＞0，且方程x2－5x＋4＝0的兩根為x1＝1，x2＝4，∴原不等式的解集為{x|1＜x＜4}．〔或?qū)懗?1,4)〕
點評：點撥學(xué)生充分利用一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系.
變式訓(xùn)練
解不等式－x2＋5x＞6.
解：原不等式變形為x2－5x＋6＜0.
∵Δ＝(－5)2－4×1×6＝1＞0，方程x2－5x＋6＝0的兩根為x1＝2，x2＝3，∴原不等式的解集為{x|2＜x＜3}.

例3不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是{x|－12＜x＜13}，則a－b等于()
A．－4B．14C．－10D．10
答案：C
解析：由ax2＋bx＋2＞0的解集是{x|－12＜x＜13}，知x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的根，且知a＜0.∴－ba＝－12＋13，2a＝－12×13.∴a＝－12，b＝－2.
∴a－b＝－10.
點評：已知不等式的解集求相應(yīng)系數(shù)，此類問題應(yīng)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程對應(yīng)根的問題．運用根與系數(shù)的關(guān)系求解.
變式訓(xùn)練
1．解不等式4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．
解：原不等式整理，得9x2－12x＋4＞0.∵Δ＝144－4×9×4＝0，方程9x2－12x＋4＝0的解是x1＝x2＝23，∴原不等式的解集是{x|x≠23}．
2．若不等式|8x＋9|＜7和不等式ax2＋bx－2＞0的解集相等，則實數(shù)a、b的值為()
A．a(chǎn)＝－8，b＝－10B．a(chǎn)＝－4，b＝－9
C．a(chǎn)＝－1，b＝9D．a(chǎn)＝－1，b＝2
答案：B
解析：由|8x＋9|＜7，得－2＜x＜－14，
∴－2，－14是方程ax2＋bx－2＝0的兩根．
故－2－14＝－ba，?－2×－14＝－2a，解得a＝－4，?b＝－9.

例4解不等式(12)≤(12)
活動：本例需要根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，這對學(xué)生來說有點難度，教師可根據(jù)學(xué)生的探究情況適時點撥，將不等式等價轉(zhuǎn)化為一元二次不等式．
解：由指數(shù)函數(shù)y＝(12)x是單調(diào)遞減函數(shù)可知，
原不等式等價于2x2－5x＋6≥x2＋x＋6，即x2－6x≥0.
解這個一元二次不等式得x≤0或x≥6.
∴原不等式的解集為{x|x≤0或x≥6}．
知能訓(xùn)練
1．設(shè)集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x||x|＜2}，則()
A．M∩N＝?B．M∩N＝M
C．M∪N＝MD．M∪N＝R
2．已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，集合B＝{x||2x－1|＞3}，則集合A∩B等于()
A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}
C．{x|2＜x≤3}D．{x|－1＜x＜3}
3．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是?，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案：
1．B解析：∵M(jìn)＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|－2＜x＜2}，
∴M?N.∴M∩N＝M.
2．C解析：由x2－5x＋6≤0，解得2≤x≤3.由|2x－1|＞3，解得x＜－1或x＞2，所以A∩B＝{x|2＜x≤3}．
3．－1＜a＜3解析：原不等式可化為x2－2x－a2＋2a＋4≤0，
在R上解集為?．
∴Δ＝4－4(－a2＋2a＋4)＜0，
即a2－2a－3＜0.解得－1＜a＜3.
課堂小結(jié)
1．由學(xué)生回顧本節(jié)課的探究過程，再次領(lǐng)悟通過二次函數(shù)圖象解一元二次不等式的方法要領(lǐng)．點撥學(xué)生注意不要死記書上的解集表，要抓住對應(yīng)的二次方程的“根”來活記活用，要重視數(shù)形結(jié)合思想．解一元二次不等式就是借助于二次函數(shù)的圖象，抓住拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)與x軸的交點，從而確定不等式的解集．同時運用二次函數(shù)圖象的直觀性幫助記憶．
2．教師強調(diào)，一元二次不等式的解集可用集合或區(qū)間表示，區(qū)間是特殊數(shù)集的表示方式，要能正確、熟練地使用區(qū)間表示不等式的解集．
作業(yè)
課本習(xí)題3—3A組2(1)～(4)、3.
設(shè)計感想
本課時設(shè)計體現(xiàn)新課標(biāo)理念．由于本節(jié)內(nèi)容的工具性特點，課堂上要鼓勵學(xué)生思考交流與動手實踐，讓學(xué)生養(yǎng)成獨立思考和勇于質(zhì)疑的習(xí)慣．同時也應(yīng)學(xué)會與他人交流合作、培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的頑強精神．
本課時設(shè)計強化了直觀．由于本節(jié)教材內(nèi)容有著豐富的幾何背景，充分利用二次函數(shù)圖象解一元二次不等式是新課標(biāo)的特色．對一元二次不等式的解法，沒有介紹較煩瑣的純代數(shù)的方法，而是結(jié)合二次函數(shù)的圖象，采取簡潔明了的數(shù)形結(jié)合方法．
本課時設(shè)計突出二次函數(shù)的作用．一元二次不等式解集的得出是數(shù)形結(jié)合法運用的典型范例，必須要求學(xué)生對這種方法有深刻的認(rèn)識與體會．必要時，甚至讓學(xué)生像當(dāng)初學(xué)習(xí)平面幾何時識圖一樣，去認(rèn)識函數(shù)的圖象，從圖象上真正把握其內(nèi)在本質(zhì)．讓學(xué)生明確，畫二次函數(shù)圖象只要關(guān)鍵點把握準(zhǔn)即可，我們是利用它來解不等式，并不是要它本身，因而也沒有必要精益求精地把圖象畫得十分精確．
(設(shè)計者：鄭吉星)
第2課時
導(dǎo)入新課
思路1.讓學(xué)生回顧利用一元二次方程、二次函數(shù)間的關(guān)系求解一元二次不等式的操作過程，嘗試自己獨立畫出求解一元二次不等式求解的基本過程的程序框圖，由此導(dǎo)入新課．
思路2.讓學(xué)生思考回答一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系是什么呢？一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系是：設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象是拋物線l，則不等式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0的解集分別是拋物線l在x軸上方，在x軸下方的點的橫坐標(biāo)x的集合；二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是拋物線l與x軸的公共點的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點，本節(jié)課進(jìn)一步熟悉這種關(guān)系．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶一元二次不等式的解法，并說明一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)具有怎樣的關(guān)系？
2回憶一般一元二次不等式的求解過程，你能用一個程序框圖把這個求解過程表示出來嗎？
3根據(jù)所學(xué)知識探究簡單的分式不等式與簡單的高次不等式的解法.這不是教材上的重點，但需要學(xué)生知道其變形原理且課后習(xí)題有分式不等式
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系：設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是拋物線l，則不等式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0的解集分別是拋物線l在x軸上方，在x軸下方的點的橫坐標(biāo)x的集合；一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是拋物線l與x軸的公共點的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點，一元二次不等式的求解步驟，即程序是：
(1)將二次項系數(shù)化為正數(shù)：y＝ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(a＞0)．
(2)計算判別式Δ，分析不等式的解的情況：
①Δ＞0時，求根x1＜x2，若y0，則xx1或xx2，若y0，則x1xx2；
②Δ＝0時，求根x1＝x2＝x0，若y0，則x≠x0的一切實數(shù)，若y0，則x∈?，若y＝0，則x＝x0；
③Δ＜0時，方程無解，若y0，則x∈R，若y≤0，則x∈?.

(3)寫出解集．
為突出算法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，體會算法的基本思想及算法的重要性和有效性，可鼓勵學(xué)生自行設(shè)計一個程序框圖，將上述求解一元二次不等式的基本過程表示出來．結(jié)合多媒體給出下面的框圖，讓學(xué)生與教材78頁程序框圖比較異同．
分式不等式的同解變形有如下幾種：
(1)fxgx＞0f(x)g(x)＞0；
(2)fxgx＜0f(x)g(x)＜0；
(3)fxgx≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0；
(4)fxgx≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0.
分式不等式與簡單的高次不等式在轉(zhuǎn)化為一次或二次不等式組時，每一步變形，都應(yīng)是不等式的等價變形．在等價變形時，要注意什么時候取交集，什么時候取并集．帶等號的分式不等式，要注意分母不能為零．另外，在取交集、并集時，可以借助數(shù)軸的直觀效果，這樣可避免出錯．
關(guān)于分式不等式與簡單的高次不等式的解法，課本沒作要求，但需了解其變形原理．簡單高次不等式的解法可在備課資料中參閱．
討論結(jié)果：
(1)～(3)略．
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例5)
活動：教師可引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)定義域稍作回顧復(fù)習(xí)，點撥學(xué)生明確要使函數(shù)f(x)有意義，必須2x2＋x－3≥0，且3＋2x－x2＞0同時成立．然后由學(xué)生自己完成此例.
變式訓(xùn)練
設(shè)f(x)＝則不等式f(x)＞2的解集為()
A．(1,2)∪(3，＋∞)B．(10，＋∞)
C．(1,2)∪(10，＋∞)D．(1,2)
答案：C
解析：∵f(x)＝∴不等式f(x)＞2的解集由①或②解得．解①得1＜x＜2，解②得x＞10，綜上，不等式f(x)＞2的解集為(1,2)∪(10，＋∞).

例2解下列不等式：
(1)x＋1x－3≥0；(2)5x＋1x＋1＜3.
活動：對于這種分子、分母含x的因式的不等式，先把不等式的右邊化為0，然后轉(zhuǎn)化為整式不等式來解．本例讓學(xué)生自主探究，教師適時點撥．
解：(1)不等式x＋1x－3≥0可轉(zhuǎn)化成不等式(x＋1)(x－3)≥0且x≠3，
解得x≤－1或x＞3.∴原不等式的解集為{x|x≤－1或x＞3}．
(2)不等式5x＋1x＋1＜3可等價轉(zhuǎn)化為2x－1x＋1＜0，即(x－1)(x＋1)＜0.解得－1＜x＜1.
∴原不等式的解集為{x|－1＜x＜1}．
點評：本例體現(xiàn)了分式不等式與整式不等式之間的轉(zhuǎn)化．提醒學(xué)生注意轉(zhuǎn)化的等價性.
變式訓(xùn)練
不等式x＋1x－2＞0的解集是__________．
答案：{x|x＜－1或x＞2}
解析：不等式x＋1x－2＞0等價于(x＋1)(x－2)＞0.
解這個一元二次不等式得x＜－1或x＞2.
∴原不等式的解集是{x|x＜－1或x＞2}.

例3函數(shù)y＝1xln(x2－3x＋2＋－x2－3x＋4)的定義域為()
A．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B．(－4,0)∪(0,1)
C．[－4,0)∪(0,1]D．[－4,0)∪(0,1)
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義域的要求寫出相應(yīng)的不等式，本例可由學(xué)生自己完成．
答案：D
解析：由題意知，
x≠0x2－3x＋2≥0－x2－3x＋4≥0x2－3x＋2＋－x2－3x＋40?x≠0x≥2或x≤1－4≤x≤1－4≤x1，
所以－4≤x＜0或0＜x＜1.
點評：本例作為選擇題，也可用特值排除法，明顯排除A.取x＝1，－4可排除B、C.
變式訓(xùn)練
函數(shù)y＝－x2＋x＋6x－1的定義域是________．
答案：[－2,1)∪(1,3]
解析：由－x2＋x＋6≥0，?x－1≠0，解得－2≤x≤3，?x≠1.
故所求定義域為[－2,1)∪(1,3].

知能訓(xùn)練
1．已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，則集合M∩N等于()
A．{x|x＜－2}B．{x|x＞3}
C．{x|－1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}
2．解不等式組x2－6x＋80，x＋3x－12.
答案：
1．C解析：M＝{x|－2＜x＜2}，N＝{x|－1＜x＜3}，
故M∩N＝{x|－1＜x＜2}．
2．解：由x2－6x＋8＞0，得(x－2)(x－4)＞0，所以x＜2或x＞4.
由x＋3x－1＞2，得－x＋5x－1＞0，即1＜x＜5.故原不等式組的解集為(1,2)∪(4,5)．
課堂小結(jié)
1．由學(xué)生自己理順整合本節(jié)所學(xué)知識點．歸納求解簡單不等式的轉(zhuǎn)化方法及程序框圖的應(yīng)用等．
2．教師進(jìn)一步強調(diào)，一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系，通常稱為“三個二次問題”．我們要深刻理解、牢牢掌握，并靈活地應(yīng)用它，它是函數(shù)與方程思想的應(yīng)用范例．
作業(yè)
習(xí)題3—3A組2(5)(6)、4；習(xí)題3—3B組1.
設(shè)計感想
1．本課時設(shè)計充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂探究，使教學(xué)過程由封閉型向開放型轉(zhuǎn)化．在教學(xué)過程中由教師到學(xué)生的單向交流，變成師生之間多向交流，使教學(xué)成為一個探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程．
2．本課時重視了探究過程的操作，使教學(xué)過程設(shè)計更優(yōu)化更合理．因為長期以來的課堂教學(xué)太過于重視結(jié)論，輕視過程．為了應(yīng)付考試，為了使公式定理應(yīng)用達(dá)到所謂“熟能生巧”，教學(xué)中不惜花大量的時間采用題海戰(zhàn)術(shù)來進(jìn)行強化．在教學(xué)概念公式的教學(xué)中往往采用的所謂“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來把學(xué)生強化成只會套用公式的解題機器，這樣的學(xué)生面對新問題、新高考將束手無策．
3．本課時設(shè)計“注意聯(lián)系，注重概括，重視應(yīng)用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力”的側(cè)重．我們常說“教學(xué)有法、教無定法、因材施教、貴在得法”，教學(xué)作為一門科學(xué)應(yīng)當(dāng)有規(guī)律可循，但是教學(xué)作為一門藝術(shù)，不應(yīng)該也不能依靠某一種教學(xué)方法來實現(xiàn)它的全部功能，更重要的是應(yīng)博采眾長，優(yōu)化課堂環(huán)境，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)．
(設(shè)計者：鄭吉星)
第3課時
導(dǎo)入新課
思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)教師展示一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系圖表，點撥學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)關(guān)于ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)恒成立問題的條件．在學(xué)生精心凝思的探究中引入新課．
思路2.(問題導(dǎo)入)我們解決x2－5x＋4＞0這樣的一元二次不等式的求解問題，如果題目中含有字母參數(shù)怎么辦呢？如解這樣的不等式：ax2－5x＋4＞0.在學(xué)生的思考探究中自然地引入新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶一元二次不等式的解法，簡單分式不等式的解法.
2你能快速解決以下不等式嗎？
①－x2＋5x＞6；②x2－4x＋4＞0；③x2＋2x＋3＜0；④＞2.
3觀察一元二次方程的根、一元二次不等式的解集與二次函數(shù)的圖象的關(guān)系圖表，你能有什么獨到的發(fā)現(xiàn)嗎？
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧一元二次不等式的求解過程，體會數(shù)形結(jié)合的威力．對一元二次不等式的解法應(yīng)達(dá)到“心算”的程度，即對所給的一元二次不等式要能夠通過“心算”，得出相應(yīng)方程的解，再在腦海中想象出其二次函數(shù)的圖象，立即得到原不等式的解．關(guān)鍵是深刻理解“三個二次”之間的關(guān)系．教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖表(多媒體課件演示)．
[課件]一元二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的具體關(guān)系對比如下表．

判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0
二次函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的圖象

一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根有兩相異實根
x1,2＝－b±b2－4ac2a
(x1＜x2)有兩相等實根
x1＝x2＝－b2a
沒有實根
一元
二次
不等
式的
解集ax2＋bx＋c＞0
(a＞0){x|x＜x1或x＞x2}{x∈R|x≠－b2a}
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0){x|x1＜x＜x2}??

觀察上表，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察出：ax2＋bx＋c＞0對一切x∈R都成立的條件為a0，Δ0；ax2＋bx＋c＜0對一切x∈R都成立的條件為a0，Δ0.
討論結(jié)果：
(1)略．
(2)①(2,3)；②(－∞，2)∪(2，＋∞)；③?；④(－13，－5)．
(3)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)對一切x∈R都成立，則a＞0且Δ＜0；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)對一切x∈R都成立，則a＜0，Δ＜0.
應(yīng)用示例
例1解不等式mx2－2x＋1＞0.
活動：本題對解集的影響因素較多，若處理不當(dāng)，不僅要分類討論，而且極易漏解或重復(fù)．較好的解決方法是整體考慮，分區(qū)間討論，方為上策．顯然本題首先要討論m與0的大小，又由Δ＝4－4m＝4(1－m)，故又要討論m與1的大?。覀儗?與1分別標(biāo)在數(shù)軸上，將區(qū)間進(jìn)行劃分，這樣就可以保證不重不漏．
解：∵Δ＝4－4m＝4(1－m)，
∴當(dāng)m＜0時，Δ＞0，此時x1＝1＋1－mm＜x2＝1－1－mm.
∴解集為{x|1＋1－mm＜x＜1－1－mm}．
當(dāng)m＝0時，方程為－2x＋1＞0，解集為{x|x＜12}，
當(dāng)0＜m＜1時，Δ＞0，此時x1＝1＋1－mm＞x2＝1－1－mm，
∴解集為{x|x＞1＋1－mm或x＜1－1－mm}．
當(dāng)m＝1時，不等式為(x－1)2＞0，
∴其解集為{x|x≠1}；
當(dāng)m＞1時，此時Δ＜0，故其解集為R.
點評：在以上的討論中，請不要漏掉在端點的解集的情況.
變式訓(xùn)練
解關(guān)于x的不等式2x2＋kx－k≤0.
解：Δ＝k2＋8k＝k(k＋8)．
(1)當(dāng)Δ＞0，即k＜－8或k＞0時，方程2x2＋kx－k＝0有兩個不相等的實根，
所以不等式2x2＋kx－k≤0的解集是
{x|－k－kk＋84≤x≤－k＋kk＋84}；
(2)當(dāng)Δ＝0，即k＝－8或k＝0時，方程2x2＋kx－k＝0有兩個相等的實根，
所以不等式2x2＋kx－k≤0的解集是{－k4}，即{0,2}；
(3)當(dāng)Δ＜0，即－8＜k＜0時，方程2x2＋kx－k＝0無實根，
所以不等式2x2＋kx－k≤0的解集為.

例2已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0的解集為R，求a的取值范圍．
活動：原不等式的解集為R，即對一切實數(shù)x不等式都成立，故必然有y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的圖象開口向下，且與x軸無交點，反映在數(shù)量關(guān)系上則有a＜0且Δ＜0.
解：由題意，知要使原不等式的解集為R，必須a0，Δ0，
即a0a－12－4aa－10a03a2－2a－10a0a1或a－13a＜－13.
∴a的取值范圍是(－∞，－13)．
點評：本題若無“一元二次不等式”的條件，還應(yīng)考慮a＝0的情況，但對本題講a＝0時式子不恒成立．(想想為什么)
變式訓(xùn)練
若函數(shù)f(x)＝kx2－6kx＋k＋8的定義域為R，求實數(shù)k的取值范圍．
解：顯然k＝0時滿足．而k＜0時不滿足，
k0?Δ＝36k2－4kk＋8≤0?0＜k≤1.
∴k的取值范圍是[0,1].

例3解關(guān)于x的不等式x2－x－a(a－1)＞0.
活動：對應(yīng)的一元二次方程有實數(shù)根1－a和a，不等式中二次項的系數(shù)為正，所以要寫出它的解集需要對兩根的大小進(jìn)行討論．
(1)當(dāng)最高次項系數(shù)含有字母時，首先需討論該系數(shù)是否為零．
(2)整合結(jié)論時，對所討論的對象按一定的順序進(jìn)行整理，做到不重不漏．
解：原不等式可以化為(x＋a－1)(x－a)＞0，
若a＞－(a－1)，即a＞12，則x＞a或x＜1－a.
∴x∈(－∞，1－a)∪(a，＋∞)；
若a＝－(a－1)，即a＝12，則(x－12)2＞0.
∴x∈{x|x≠12，x∈R}；
若a＜－(a－1)，即a＜12，則x＜a或x＞1－a.
∴x∈(－∞，a)∪(1－a，＋∞)．
點評：解含參數(shù)的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那么如何討論呢？首先，必須弄清楚它的解集與哪些因素有關(guān)．一般地，一元二次不等式的解集(以ax2＋bx＋c＞0為例)常與以下因素有關(guān)：(1)a；(2)Δ；(3)兩根x1、x2的大?。渲邢禂?shù)a影響著解集最后的形式，Δ關(guān)系到不等式對應(yīng)的方程是否有解，而兩根x1、x2的大小關(guān)系到解集最后的次序；其次再根據(jù)具體情況，合理分類，確保不重不漏.
變式訓(xùn)練
已知a1＞a2＞a3＞0，則使得(1－aix)2＜1(i＝1,2,3)都成立的x取值范圍是()
A．(0，1a1)B．(0，2a1)C．(0，1a3)D．(0，2a3)
答案：B
解析：(1－aix)2＜1?a2ix2－2aix＜0?a2ix(x－2ai)＜0.
∴解集為(0，2ai)．又0＜2a1＜2a2＜2a3，∴x∈(0，2a1)．故選B.

例4若關(guān)于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有實根，求實數(shù)a的取值范圍．
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考探究，因為2x＞0，故問題等價于關(guān)于2x的二次方程有正根時，求實數(shù)a的取值范圍．因而可利用一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解．
解：設(shè)f(t)＝t2＋at＋a＋1，當(dāng)t＝2x＞0時，方程f(t)＝0有實根，就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(t)在t軸正方向上至少有一個交點的條件，所以f(0)＜0或f0≥0，Δ≥0，－a20.解得a＜－1或－1≤a≤2－22.
故所求a的取值范圍是a≤2－22.
點評：注意換元法與轉(zhuǎn)化法的運用，充分利用數(shù)形結(jié)合思想.
變式訓(xùn)練
已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)＞－2x的解集為(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的實根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍．
解：∵二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，∴令f(x)＝ax2＋bx＋c.
由f(x)＞－2x的解集為(1,3)，∴ax2＋bx＋c＞－2x，即ax2＋(b＋2)x＋c＞0的解集為(1,3)．∴∴f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋3a.
(1)由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.
∴Δ＝0，得5a2－4a－1＝0.解得a＝1或a＝－15.
又a＜0，∴a＝－15.∴f(x)＝－15x2－65x－35.
(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－1＋2aa)2－a2＋4a＋1a，及a＜0，得f(a)max＝－a2＋4a＋1a.由解得a＜－2－3或－2＋3＜a＜0.∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).

知能訓(xùn)練
1．已知關(guān)于x的二次不等式px2＋px－4＜0對任意實數(shù)x都成立，求實數(shù)p的范圍．

2．已知方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0有兩個負(fù)實根，求實數(shù)k的取值范圍．
答案：
1．解：當(dāng)p＝0時，－4＜0，成立．
當(dāng)p＜0且Δ＜0時，得－16＜p＜0.
綜上，知－16＜p≤0.
2．解：要使原方程有兩個負(fù)實根，必須
2k＋1≠0Δ0x1＋x20x1x20?k＋1≠0k2＋k－20－4k2k＋103k－22k＋10?k≠－1－2k1k0或k－1k23或k－1?－2＜k＜－1或23＜k＜1.
∴實數(shù)k的取值范圍是{k|－2＜k＜－1或23＜k＜1}．
課堂小結(jié)
1．由學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)是如何解決含有字母參數(shù)的不等式的求解方法？需要注意哪些問題？怎樣確定解題的切入點？
2．教師畫龍點睛，總結(jié)本節(jié)課用到的不等式的基礎(chǔ)知識，領(lǐng)悟分類討論思想、化歸思想、換元思想等數(shù)學(xué)思想方法的運用．
作業(yè)
習(xí)題3—3A組5、6、7；B組3、4.
設(shè)計感想
1．本課時設(shè)計注重以學(xué)生為主體，改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量．為了發(fā)揮教學(xué)過程的整體教育功能，保持教學(xué)系統(tǒng)的最大活力，在教學(xué)中綜合運用多種教學(xué)方法，形成良好的整體結(jié)構(gòu)，發(fā)揮教學(xué)的最大效益．
2．本課時設(shè)計根據(jù)近幾年高考特點適當(dāng)對例題、習(xí)題做了一些拓展，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步理解一些數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野．但嚴(yán)格控制了題目難度及題目數(shù)量，以大多數(shù)學(xué)生的接受水平作為參考依據(jù)．否則，在我們的教學(xué)中就有可能“穿新鞋走老路”，隨意提高教學(xué)要求，對教學(xué)效果產(chǎn)生負(fù)面影響．
3．本課時設(shè)計沒有單純從教學(xué)內(nèi)容出發(fā)而進(jìn)行設(shè)計，而是注重了對深層次的教學(xué)目的的考慮．這正是值得我們深思的問題，否則，我們的教學(xué)將只停留在知識內(nèi)容或方法上，而忽視能力和素質(zhì)要求，缺乏深層次的思考．
備課資料
一、備用習(xí)題
1．關(guān)于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個不等的實根，則m的取值范圍是()
A．(－14，＋∞)B．(－∞，－14)
C．[－14，＋∞)D．(－14，0)∪(0，＋∞)
2．不等式x＋5x－12≥2的解集是()
A．[－3，12]B．[－12，3]
C．[12，1)∪(1,3]D．[－12，1)∪(1,3]
3．若不等式ax2＋5x＋b＞0的解集為{x|13＜x＜12}，則a，b的值分別是______．
4．若方程x2－(k＋2)x＋4＝0有兩負(fù)根，求k的取值范圍．
5．已知不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．
6．解關(guān)于x的不等式(并將解按a的值進(jìn)行分類)x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．
7．若ax2－2x＋a的值可取得一切正實數(shù)，求a的取值范圍．
參考答案：
1．D解析：由m≠0且Δ＞0，得m＞－14，∴選D.
2．D解析：原式可化為x＋5≥2x－12x－1≠0x∈[－12，1)∪(1,3]．
3．－6－1解析：由a0Δ0x1＋x2＝13＋12x1x2＝1312a0Δ0－5a＝56ba＝16a＝－6，b＝－1.
4．解：由Δ≥0x1＋x20x1x20[－k＋2]2－16≥0k＋2040k≤－6或k≥2k－2k≤－6.
5．解：若a2－1＝0，即a＝1或a＝－1.
當(dāng)a＝－1時，原不等式解集為{x|x＜12}，不滿足題意；
當(dāng)a＝1時，原不等式解集為R，滿足題意．
若a2－1≠0，即a≠±1時，要使原不等式的解集為R，
必須a2－10Δ0a2－10a－12－4a2－1－10－35＜a＜1.
∴實數(shù)a的取值范圍是(－35，1)∪{1}＝(－35，1]．
6．解：化為(x－a2)(x－a)＞0(在數(shù)軸上，不等式的解應(yīng)在兩根a、a2之外，但a、a2誰大？需要討論)，比較a與a2的大小：a2－a＝a(a－1)根為0、1，將數(shù)軸分成三段．
∴當(dāng)a＜0時，a＜a2，解得x＜a或x＞a2，∴原不等式的解集為(－∞，a)∪(a2，＋∞)；
當(dāng)a＝0時，a2＝a，解得x≠0，∴原不等式的解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)；
當(dāng)0＜a＜1時，a2＜a，解得x＜a2或x＞a，∴原不等式的解集為(－∞，a2)∪(a，＋∞)；
當(dāng)a＝1時，a2＝a，解得x≠1，∴原不等式的解集為(－∞，1)∪(1，＋∞)；
當(dāng)a＞1時，a2＞a，解得x＜a或x＞a2，∴原不等式的解集為(－∞，a)∪(a2，＋∞)．
7．解：設(shè)f(x)＝ax2－2x＋a.
當(dāng)a＝0時，f(x)＝－2x可取一切正實數(shù)；
當(dāng)a＞0時，∵f(x)可以取得所有正實數(shù)，∴拋物線與x軸必有公共點．
∴Δ≥0，得0＜a≤1.
當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下，f(x)無法取得一切正實數(shù)，故0≤a≤1為所求．
二、一元二次方程與數(shù)學(xué)家韋達(dá)
韋達(dá)，1540年出生在法國東部的普瓦圖的韋特奈．他早年學(xué)習(xí)法律，曾以律師身份在法國議會里工作，韋達(dá)不是專職數(shù)學(xué)家，但他非常喜歡在政治生涯的間隙和工作余暇研究數(shù)學(xué)，并作出了很多重要貢獻(xiàn)，成為那個時代最偉大的數(shù)學(xué)家．
在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼．韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步．韋達(dá)討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系(所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”)．
韋達(dá)是第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)的人，并且對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行了很多改進(jìn)．他在1591年所寫的《分析術(shù)引論》是最早的符號代數(shù)著作，是他確定了符號代數(shù)的原理與方法，使當(dāng)時的代數(shù)學(xué)系統(tǒng)化并且把代數(shù)學(xué)作為解析的方法使用．他還寫下了《數(shù)學(xué)典則》，1579年，韋達(dá)出版《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》．這是歐洲第一本使用六種三角函數(shù)的系統(tǒng)的平面、球面三角學(xué)．主要著作還有《論方程的識別與修正》《分析五章》等．韋達(dá)的著作以獨特形式包含了文藝復(fù)興時期的全部數(shù)學(xué)內(nèi)容．只可惜韋達(dá)著作的文字比較晦澀難懂，在當(dāng)時不能得到廣泛傳播．在他逝世后，才由別人匯集整理并編成《韋達(dá)文集》于1646年出版．
韋達(dá)1603年卒于巴黎，享年63歲．由于韋達(dá)作出了許多重要貢獻(xiàn)，成為16世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”．
三、中國在一元二次方程方面的成就
從“九章算術(shù)”卷八說明方程以后，在數(shù)值代數(shù)的領(lǐng)域內(nèi)中國一直保持了光輝的成就．
“九章算術(shù)”方程章首先解釋正負(fù)數(shù)是確切不移的，正像我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)初等代數(shù)時從正負(fù)數(shù)的四則運算學(xué)起一樣，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)更豐富了數(shù)的內(nèi)容．我們古代的方程在公元前1世紀(jì)的時候已有多元方程組、一元二次方程及不定方程幾種．一元二次方程是借用幾何圖形而得到證明．不定方程的出現(xiàn)在兩千多年前的中國是一個值得重視的課題，這比我們現(xiàn)在所熟知的希臘丟番圖方程要早三百多年．具有x3＋px2＋qx＝A和x3＋px2＝A形式的三次方程，中國在公元七世紀(jì)的唐代王孝通“緝古算經(jīng)”已有記載，用“從開立方除之”而求出數(shù)字解答(可惜原解法失傳了)，不難想象王孝通得到這種解法時的愉快程度，他說誰能改動他著作內(nèi)的一個字可酬以千金.11世紀(jì)的賈憲已發(fā)明了和霍納(1786～1837)方法相同的數(shù)字方程解法，我們也不能忘記13世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家秦九韶在這方面的偉大貢獻(xiàn)．在世界數(shù)學(xué)史上對方程的原始記載有著不同的形式，但比較起來中國天元術(shù)更加簡潔明了．四元術(shù)是天元術(shù)發(fā)展的必然產(chǎn)物．級數(shù)是古老的東西，兩千多年前的“周髀算經(jīng)”和“九章算術(shù)”都談到算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù).14世紀(jì)初中國元代朱世杰的級數(shù)計算應(yīng)給予很高的評價，他的有些工作歐洲在十八九世紀(jì)的著作內(nèi)才有記錄.11世紀(jì)時代，中國已有完備的二項式系數(shù)表，并且還有這表的編制方法．歷史文獻(xiàn)揭示出在計算中有名的盈不足術(shù)是由中國傳往歐洲的．內(nèi)插法的計算，中國可上溯到6世紀(jì)的劉焯，并且7世紀(jì)末的僧一行有不等間距的內(nèi)插法計算．
14世紀(jì)以前，屬于代數(shù)方面許多問題的研究，中國是先進(jìn)國家之一．就是到十八九世紀(jì)由李銳(1773～1817)，汪萊(1768～1813)到李善蘭(1811～1882)，他們在這一方面的研究上也都發(fā)表了很多的著作．

一元二次不等式解法

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓講的知識能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助高中教師營造一個良好的教學(xué)氛圍。怎么才能讓高中教案寫的更加全面呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的一元二次不等式解法，僅供參考，歡迎大家閱讀。

第十二教時

教材：一元二次不等式解法

目的：從一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系出發(fā)，掌握運用二次函數(shù)求解一元二次不等式的方法。

過程：

一、課題：一元二次不等式的解法

先回憶一下初中學(xué)過的一元一次不等式的解法：如2x-70x

y

從另一個角度考慮：令y=2x-7作一次函數(shù)圖象：

xc

O

當(dāng)x=3.5時,y=0即2x-7=0

當(dāng)x3.5時,y0即2x-70

當(dāng)x3.5時,y0即2x-70

結(jié)論：略見P17

注意強調(diào)：1°直線與x軸的交點x0是方程ax+b=0的解

2°當(dāng)a0時,ax+b0的解集為{x|xx0}

當(dāng)a0時,ax+b0可化為-ax-b0來解

y

同樣用圖象來解，實例：y=x2-x-6作圖、列表、觀察

-2O3x

當(dāng)x-2或x3時,y0即x2-x-60

當(dāng)-2x3時,y0即x2-x-60

∴方程x2-x-6=0的解集：{x|x=-2或x=3}

不等式x2-x-60的解集：{x|x-2或x3}

不等式x2-x-60的解集：{x|-2x3}

這是△0的情況：

若△=0,△0分別作圖觀察討論

得出結(jié)論：見P18--19

說明：上述結(jié)論是一元二次不等式ax+bx+c0(0)當(dāng)a0時的情況

若a0,一般可先把二次項系數(shù)化成正數(shù)再求解

三、例題P19例一至例四

練習(xí)：（板演）

有時間多余，則處理《課課練》P14“例題推薦”

四、小結(jié)：一元二次不等式解法（務(wù)必聯(lián)系圖象法）

五、作業(yè)：P21習(xí)題1.5

《課課練》第8課余下部分

課題：不等式解法舉例（第四課時）

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)方面無論做什么事都有計劃和準(zhǔn)備，作為教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓上課時的教學(xué)氛圍非?；钴S，幫助教師營造一個良好的教學(xué)氛圍。那么，你知道教案要怎么寫呢？下面是小編為大家整理的“課題：不等式解法舉例（第四課時）”，相信您能找到對自己有用的內(nèi)容。

授課教師：石家莊市第一中學(xué)張海江

教學(xué)目的

1．掌握指數(shù)與對數(shù)不等式的解法；2．掌握簡單的無理不等式的解法。（例5以后可不講）

教學(xué)難點

指數(shù)與對數(shù)不等式中單調(diào)性的使用

知識重點

指數(shù)與對數(shù)不等式的解法

教學(xué)過程

教學(xué)方法和手段

引入

概念分析及例題講解

指數(shù)不等式和對數(shù)不等式一般情況下是利用函數(shù)的單調(diào)性或其他相關(guān)變換思想將指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的求解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式問題來解。解指數(shù)不等式和對數(shù)不等式除了應(yīng)用不等式的基本解法外，還要應(yīng)用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?！纠?】解下列不等式：（1）（2）答案：（1）（2）【例2】解下列不等式：（1）（2）答案：（1）當(dāng)時，不等式的解集為（2）當(dāng)時，不等式的解集為小結(jié)：例1，例2是利用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解題。【例3】解下列不等式：（1）（2）答案：（1）（2）當(dāng)a1時，解集為當(dāng)0a1時，解集為小結(jié)：例3是利用代換法解題的。二．簡單的無理不等式

1．形如不等式解法：【例4】解不等式解：＞等價于即∴原不等式的解集是｛x｜x≥3｝.小結(jié)：

小結(jié)與作業(yè)

課堂小結(jié)

1．解指數(shù)或?qū)?shù)不等式的方法：（1）利用單調(diào)性（2）利用代換2．簡單無理不等式的解法。

本課作業(yè)

1．解不等式2．解不等式3．解不等式4．解不等式

課后反思

一元二次不等式的解法

教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組；
（3）了解簡單的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函數(shù)與一元二次方程來求解一元二次不等式，理解它們?nèi)咧g的內(nèi)在聯(lián)系；
（5）能夠進(jìn)行較簡單的分類討論，借助于數(shù)軸的直觀，求解簡單的含字母的一元二次不等式；
（6）通過利用二次函數(shù)的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；
（7）通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生認(rèn)識到事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，樹立辨證的世界觀．

教學(xué)重點：一元二次不等式的解法；

教學(xué)難點：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系．

教與學(xué)過程設(shè)計

第一課時

Ⅰ．設(shè)置情境

問題：

①解方程
②作函數(shù)的圖像
③解不等式

【置疑】在解決上述三問題的基礎(chǔ)上分析，一元一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系。能通過觀察一次函數(shù)的圖像求得一元一次不等式的解集嗎？
【回答】函數(shù)圖像與x軸的交點橫坐標(biāo)為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖像落在x軸上方部分對應(yīng)的橫坐標(biāo)。能。
通過多媒體或其他載體給出下列表格。扼要講解怎樣通過觀察一次函數(shù)的圖像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉筆的運用

在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程，一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系。利用這種聯(lián)系（集中反映在相應(yīng)一次函數(shù)的圖像上?。┪覀兛梢钥焖贉?zhǔn)確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢？

Ⅱ．探索與研究

我們現(xiàn)在就結(jié)合不等式的求解來試一試。（師生共同活動用“特殊點法”而非課本上的“列表描點”的方法作出的圖像，然后請一位程度中下的同學(xué)寫出相應(yīng)一元二次方程及一元二次不等式的解集。）
【答】方程的解集為
不等式的解集為

【置疑】哪位同學(xué)還能寫出的解法？（請一程度差的同學(xué)回答）
【答】不等式的解集為
我們通過二次函數(shù)的圖像，不僅求得了開始上課時我們還不知如何求解的那個第（5）小題的解集，還求出了的解集，可見利用二次函數(shù)的圖像來解一元二次不等式是個十分有效的方法。
下面我們再對一般的一元二次不等式與來進(jìn)行討論。為簡便起見，暫只考慮的情形。請同學(xué)們思考下列問題：
如果相應(yīng)的一元二次方程分別有兩實根、惟一實根，無實根的話，其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的位置關(guān)系如何？（提問程度較好的學(xué)生）
【答】二次函數(shù)的圖像開口向上且分別與x軸交于兩點，一點及無交點。
現(xiàn)在請同學(xué)們觀察表中的二次函數(shù)圖，并寫出相應(yīng)一元二次不等式的解集。（通過多媒體或其他載體給出以下表格）

【答】的解集依次是
的解集依次是
它是我們今后求解一元二次不等式的主要工具。應(yīng)盡快將表中的結(jié)果記住。其關(guān)鍵就是抓住相應(yīng)二次函數(shù)的圖像。
課本第19頁上的例1．例2．例3．它們均是求解二次項系數(shù)的一元二次不等式，卻都沒有給出相應(yīng)二次函數(shù)的圖像。其解答過程雖很簡練，卻不太直觀。現(xiàn)在我們在課本預(yù)留的位置上分別給它們補上相應(yīng)二次函數(shù)圖像。
（教師巡視，重點關(guān)注程度稍差的同學(xué)。）
Ⅲ．演練反饋
1．解下列不等式：
（1）（2）
（3）（4）
2．若代數(shù)式的值恒取非負(fù)實數(shù)，則實數(shù)x的取值范圍是。
3．解不等式
（1）（2）
參考答案：
1．（1）；（2）；（3）；（4）R
2．
3．（1）
（2）當(dāng)或時，，當(dāng)時，
當(dāng)或時，。
Ⅳ．總結(jié)提煉
這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次項系數(shù)的一元二次不等式的解法，其關(guān)鍵是抓住相應(yīng)二次函數(shù)的圖像與x軸的交點，再對照課本第39頁上表格中的結(jié)論給出所求一元二次不等式的解集。
（五）、課時作業(yè)
（P20．練習(xí)等3、4兩題）
（六）、板書設(shè)計

第二課時

Ⅰ．設(shè)置情境
（通過講評上一節(jié)課課后作業(yè)中出現(xiàn)的問題，復(fù)習(xí)利用“三個二次”間的關(guān)系求解一元二次不等式的主要操作過程。）
上節(jié)課我們只討論了二次項系數(shù)的一元二次不等式的求解問題。肯定有同學(xué)會問，那么二次項系數(shù)的一元二次不等式如何來求解？咱們班上有誰能解答這個疑問呢？
Ⅱ．探索研究
（學(xué)生議論紛紛．有的說仍然利用二次函數(shù)的圖像，有的說將二次項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再求解，……．教師分別請持上述見解的學(xué)生代表進(jìn)一步說明各自的見解．）
生甲：只要將課本第39頁上表中的二次函數(shù)圖像次依關(guān)于x軸翻轉(zhuǎn)變成開口向下的拋物線，再根據(jù)可得的圖像便可求得二次項系數(shù)的一元二次不等式的解集．
生乙：我覺得先在不等式兩邊同乘以－1將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后直接運用上節(jié)課所學(xué)的方法求解就可以了．
師：首先，這兩種見解都是合乎邏輯和可行的．不過按前一見解來操作的話，同學(xué)們則需再記住一張類似于第39頁上的表格中的各結(jié)論．這不但加重了記憶負(fù)擔(dān)，而且兩表中的結(jié)論容易搞混導(dǎo)致錯誤．而按后一種見解來操作時則不存在這個問題，請同學(xué)們閱讀第19頁例4．
（待學(xué)生閱讀完畢，教師再簡要講解一遍．）
[知識運用與解題研究]
由此例可知，對于二次項系數(shù)的一元二次不等式是將其通過同解變形化為的一元二次不等式來求解的，因此只要掌握了上一節(jié)課所學(xué)過的方法。我們就能求
解任意一個一元二次不等式了，請同學(xué)們求解以下兩不等式．（調(diào)兩位程度中等的學(xué)生演板）
（1）（2）
（分別為課本P21習(xí)題1．5中1大題（2）、（4）兩小題．教師講評兩位同學(xué)的解答，注意糾正表述方面存在的問題．）
訓(xùn)練二可化為一元一次不等式組來求解的不等式．
目前我們熟悉了利用“三個二次”間的關(guān)系求解一元二次不等式的方法雖然對任意一元二次不等式都適用，但具體操作起來還是讓我們感到有點麻煩．故在求解形如（或）的一元二次不等式時則根據(jù)（有理數(shù)）乘（除）運算的“符號法則”化為同學(xué)們更加熟悉的一元一次不等式組來求解．現(xiàn)在清同學(xué)們閱讀課本P20上關(guān)于不等式求解的內(nèi)容并思考：原不等式的解集為什么是兩個一次不等式組解集的并集？（待學(xué)生閱讀完畢，請一程度較好，表達(dá)能力較強的學(xué)生回答該問題．）
【答】因為滿足不等式組或的x都能使原不等式成立，且反過來也是對的，故原不等式的解集是兩個一元二次不等式組解集的并集．
這個回答說明了原不等式的解集A與兩個一次不等式組解集的并集B是互為子集的關(guān)系，故它們必相等，現(xiàn)在請同學(xué)們求解以下各不等式．（調(diào)三位程度各異的學(xué)生演板．教師巡視，重點關(guān)注程度較差的學(xué)生）．
（1）［P20練習(xí)中第1大題］
（2）［P20練習(xí)中第1大題］
（3）［P20練習(xí)中第2大題］
（老師扼要講評三位同學(xué)的解答．尤其要注意糾正表述方面存在的問題．然后講解P21例5）．
例5解不等式
因為（有理數(shù)）積與商運算的“符號法則”是一致的，故求解此類不等式時，也可像求解（或）之類的不等式一樣，將其化為一元一次不等式組來求解。具體解答過程如下。
解：（略）
現(xiàn)在請同學(xué)們完成課本P21練習(xí)中第3、4兩大題。
（等學(xué)生完成后教師給出答案，如有學(xué)生對不上答案，由其本人追查原因，自行糾正。）
[訓(xùn)練三]用“符號法則”解不等式的復(fù)式訓(xùn)練。
（通過多媒體或其他載體給出下列各題）
1．不等式與的解集相同此說法對嗎？為什么[補充]
2．解下列不等式：
（1）［課本P22第8大題（2）小題］
（2）［補充］
（3）［課本P43第4大題（1）小題］
（4）［課本P43第5大題（1）小題］
（5）［補充］
（每題均先由學(xué)生說出解題思路，教師扼要板書求解過程）
參考答案：
1．不對。同時前者無意義而后者卻能成立，所以它們的解集是不同的。
2．（1）
（2）原不等式可化為：，即
解集為。
（3）原不等式可化為
解集為
（4）原不等式可化為或
解集為
（5）原不等式可化為：或解集為
Ⅲ．總結(jié)提煉
這節(jié)課我們重點講解了利用（有理數(shù)）乘除法的符號法則求解左式為若干一次因式的積或商而右式為0的不等式。值得注意的是，這一方法對符合上述形狀的高次不等式也是有效的，同學(xué)們應(yīng)掌握好這一方法。
（五）布置作業(yè)
（P22．2（2）、（4）；4；5；6。）
（六）板書設(shè)計