高中不等式教案

二元一次不等式（組）的平面區(qū)域教案。

教學(xué)設(shè)計(jì)
3．5.1二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式(或組)、一元二次不等式及其解法，并且知道相應(yīng)的幾何意義．作為不等式模型，它們?cè)谏a(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用．然而，在不等式模型中，除了它們之外，還有二元一次不等式模型．教材通過(guò)舉例驗(yàn)證和歸納猜想的途徑，得出二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域．
本節(jié)的主要內(nèi)容有：二元一次不等式(或組)的概念、表示的平面區(qū)域及相應(yīng)的畫(huà)法．其中，重點(diǎn)是二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，難點(diǎn)是復(fù)雜的二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域的確定．在教學(xué)中，可啟發(fā)學(xué)生觀察圖象，循序漸進(jìn)地理解掌握相關(guān)概念，以學(xué)生探究為主，老師點(diǎn)撥為輔，學(xué)生之間分組討論，交流心得，分享成果，進(jìn)行思維碰撞，同時(shí)可借助計(jì)算機(jī)等媒體工具來(lái)進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示．
本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中應(yīng)體現(xiàn)以下幾點(diǎn)：①注重探究過(guò)程．能正確地畫(huà)出給定的二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域，是學(xué)習(xí)下節(jié)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的重要基礎(chǔ)．由于二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的交集，決定了問(wèn)題的研究應(yīng)從二元一次不等式所表示的平面區(qū)域入手．②注重探究方法．充分理解二元一次不等式解集的幾何意義，以不等式解(x，y)為坐標(biāo)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，叫做不等式表示的區(qū)域或不等式的圖象．③注重探究手段．信息技術(shù)可作為探究平臺(tái)，有條件的學(xué)?？衫眯畔⒓夹g(shù)手段對(duì)直線Ax＋By＋C＝0一側(cè)的點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)進(jìn)行跟蹤顯示，并將點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)代入Ax＋By＋C中，觀察所得值的符號(hào)，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)處于直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入Ax＋By＋C中符號(hào)都相同，直線Ax＋By＋C＝0異側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入Ax＋By＋C中符號(hào)不同，由此得到判定Ax＋By＋C＞0(＜0)表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域．
三維目標(biāo)
1．通過(guò)本節(jié)探究，使學(xué)生了解并會(huì)用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域；能畫(huà)出二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域．
2．通過(guò)學(xué)生的親身體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實(shí)際問(wèn)題的能力．
3．通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，著重培養(yǎng)學(xué)生深刻理解“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”，但同時(shí)也用“形”去研究“數(shù)”，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測(cè)、歸納等數(shù)學(xué)能力；培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，激勵(lì)學(xué)生大膽探索，勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)畫(huà)出二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域．
教學(xué)難點(diǎn)：二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定及怎樣確定不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示Ax＋By＋C＝0的哪一側(cè)區(qū)域．
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過(guò)程
導(dǎo)入新課
思路1.(直接引入)讓學(xué)生閱讀教材，自己得出二元一次不等式(組)的概念，教師結(jié)合多媒體點(diǎn)出本節(jié)所要解決的問(wèn)題，由此展開(kāi)新課的進(jìn)一步探究．
思路2.(類比導(dǎo)入)可采用與一元一次、一元二次不等式的類比引出，借助“類比”思想，通過(guò)與熟悉的一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)比較，引出二元一次不等式(或組)的概念．由此展開(kāi)新課．

推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
1讓學(xué)生閱讀教材，并回答什么是二元一次不等式組？其解集是什么？2二元一次不等式解集的幾何意義是什么？3怎樣判斷二元一次不等式Ax＋By＋C0表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域？4直線Ax＋By＋C＝0將平面內(nèi)的點(diǎn)分成了哪幾類？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生得出二元一次不等式(組)的概念后，借助多媒體課件進(jìn)一步探究二元一次不等式解集的幾何意義，以及如何求二元一次不等式在直角坐標(biāo)平面上表示的區(qū)域，以直線l：x＋y－1＝0為例．如圖．
由直線方程的意義可知，直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足l的方程，并且直線l外的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足l的方程．
事實(shí)上，在平面直角坐標(biāo)系中，所有的點(diǎn)被直線x＋y－1＝0分為三類：在直線x＋y－1＝0上；在直線x＋y－1＝0右上方的平面區(qū)域內(nèi)；在直線x＋y－1＝0左下方的平面區(qū)域內(nèi)．如(0,2)、(1,3)、(0,5)、(2,2)點(diǎn)的坐標(biāo)代入x＋y－1中，有x＋y－1＞0，(0,2)、(1,3)、(0,5)、(2,2)點(diǎn)在直線x＋y－1＝0的右上方．(－1,2)點(diǎn)的坐標(biāo)代入x＋y－1中，有x＋y－1＝0，(－1,2)點(diǎn)在直線x＋y－1＝0上．(－1,0)、(0,0)、(0，－2)、(1，－1)點(diǎn)的坐標(biāo)代入x＋y－1中，有x＋y－1＜0，(－1,0)、(0,0)、(0，－2)、(1，－1)點(diǎn)在直線x＋y－1＝0的左下方．如圖．
因此，我們猜想，對(duì)直線x＋y－1＝0右上方的點(diǎn)(x，y)，x＋y－1＞0成立；對(duì)直線x＋y－1＝0左下方的點(diǎn)(x，y)，x＋y－1＜0成立．這個(gè)結(jié)論不僅對(duì)這個(gè)具體的例子成立，而且對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一條直線都成立．
一般地，直線l：Ax＋By＋C＝0把坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線l上的點(diǎn)分為兩部分．直線l的同一側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符號(hào)，并且兩側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)使Ax＋By＋C的值的符號(hào)相反，一側(cè)都大于0，另一側(cè)都小于0.
由于對(duì)在直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，實(shí)數(shù)Ax＋By＋C的符號(hào)相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、負(fù)就可判斷Ax＋By＋C＞0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域．當(dāng)C≠0時(shí)，我們常把原點(diǎn)作為這個(gè)特殊點(diǎn)去進(jìn)行判斷．如把(0,0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0.這說(shuō)明x＋y－1＜0表示直線x＋y－1＝0左下方原點(diǎn)所在的區(qū)域，就是說(shuō)不等式所表示的區(qū)域與原點(diǎn)在直線x＋y－1＝0的同一側(cè)．
如果C＝0，直線過(guò)原點(diǎn)，原點(diǎn)坐標(biāo)代入無(wú)法進(jìn)行判斷，則可另選一個(gè)易計(jì)算的點(diǎn)去進(jìn)行判斷．
討論結(jié)果：
(1)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式．構(gòu)成的不等式組稱為二元一次不等式組．
(2)二元一次不等式解集的幾何意義為：不等式表示的區(qū)域或不等式的圖象．
(3)取點(diǎn)驗(yàn)證．
(4)將平面內(nèi)的點(diǎn)分成了三類：在直線上，在直線左右兩側(cè)．
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例1)
活動(dòng)：通過(guò)本例要教給學(xué)生如何畫(huà)出二元一次不等式所表示的區(qū)域．要嚴(yán)格要求學(xué)生按規(guī)定畫(huà)圖，并且畫(huà)圖時(shí)要細(xì)致、正確．注意開(kāi)區(qū)域和閉區(qū)域邊界的畫(huà)法．教師要給出示范．直線畫(huà)成虛線表示不包括邊界，畫(huà)成實(shí)線表示包括邊界．
點(diǎn)評(píng)：本例的關(guān)鍵是正確畫(huà)出直線2x－y－3＝0和3x＋2y－6＝0.陰影部分用短線表示，且短線要畫(huà)得均勻美觀.
變式訓(xùn)練
畫(huà)出以下不等式表示的平面區(qū)域．
(1)x－y＋1＜0；(2)2x＋3y－6＞0；
(3)2x＋5y－10≥0;(4)4x－3y≤12.
解：(1)(2)
(3)(4)

例2畫(huà)出不等式組x＋3y＋6≥0，x－y＋20表示的平面區(qū)域．
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生正確畫(huà)出邊界直線，注意虛線、實(shí)線，同時(shí)根據(jù)給出的不等式判斷出所表示的平面區(qū)域，將平面區(qū)域的公共部分用陰影表示出來(lái)．
解：
x＋3y＋6≥0表示直線上及其右上方的點(diǎn)的集合．
x－y＋2＜0表示直線左上方一側(cè)不包括邊界的點(diǎn)的集合．
如下圖陰影部分．
點(diǎn)評(píng)：在確定這兩個(gè)點(diǎn)集的交集時(shí)，要特別注意其邊界線是實(shí)線還是虛線，還有兩直線的交點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是空點(diǎn).
變式訓(xùn)練
1．畫(huà)出不等式組x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面區(qū)域．
解：不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0右下方的平面區(qū)域，x＋y≥0表示直線x＋y＝0右上方的平面區(qū)域，x≤3表示直線x＝3左方的平面區(qū)域，所以原不等式表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分．
點(diǎn)評(píng)：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．引導(dǎo)學(xué)生觀察所畫(huà)出的圖形是個(gè)封閉圖形，三條直線兩兩相交的交點(diǎn)是個(gè)實(shí)點(diǎn)．
2．若A為不等式組x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從－2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線x＋y＝a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為_(kāi)_______．
答案：74
解析：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，以及直線x＋y＝a從a＝－2到1連續(xù)變化時(shí)，動(dòng)直線掃過(guò)A中的那部分區(qū)域．可以看出，該區(qū)域是四邊形OCDE(如圖)，且C(－2,0)，D(－12，32)，E(0,1)．因此所求區(qū)域的面積為12×2×2－12×1×12＝74.

例3畫(huà)出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面區(qū)域．
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生將題中不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組：
x＋2y＋10，x－y＋40或x＋2y＋10，x－y＋40.
然后由學(xué)生自己操作，教師指導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)格按要求畫(huà)圖．
解：不等式可轉(zhuǎn)化為不等式組：
x＋2y＋10，x－y＋40或x＋2y＋10，x－y＋40表示的區(qū)域，如下圖．
點(diǎn)評(píng)：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.
變式訓(xùn)練
1．在平面直角坐標(biāo)系中，由滿足不等式組3x－y－8≤0，x≥y，x＋y≥0的點(diǎn)組成的圖形為F，則A(4,4)、B(5,0)、C(2，－1)三點(diǎn)中，在F內(nèi)(含邊界)的所有點(diǎn)是________．
答案：A、C
解析：由題意，如圖，A(4,4)、C(2，－1)在區(qū)域內(nèi)，B(5,0)不在區(qū)域內(nèi)(也可將點(diǎn)的坐標(biāo)代入不等式組驗(yàn)證)．
2．已知點(diǎn)A(0,0)、B(1,1)、C(2,0)、D(0,2)，其中不在不等式2x＋y＜4所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是________．
答案：C(2,0)
解析：不等式可變形為2x＋y－4＜0，對(duì)應(yīng)的直線為2x＋y－4＝0.A點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，代入2x＋y－4得－4＜0，即原點(diǎn)A在不等式所表示的區(qū)域內(nèi)．把B、C、D點(diǎn)坐標(biāo)依次代入2x＋y－4，由所得值的正負(fù)來(lái)判斷點(diǎn)是否與A點(diǎn)位于直線2x＋y－4＝0的同側(cè)或異側(cè)．
可判斷出C(2,0)符合條件．(或?qū)Ⅻc(diǎn)代入驗(yàn)證)
點(diǎn)評(píng)：此類型的題的解法，就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二元一次不等式，若不等式成立，則可得點(diǎn)在二元一次不等式所表示的區(qū)域內(nèi)，否則就不在二元一次不等式所表示的區(qū)域內(nèi).

例4(教材本節(jié)例3)
活動(dòng)：教材安排本例的目的是分散難點(diǎn)．首先讓學(xué)生了解恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用字母表示實(shí)際問(wèn)題中的變量，就可以將復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中的變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為二元一次不等式組，然后利用下一節(jié)知識(shí)解決．教學(xué)時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生將題中的數(shù)量關(guān)系用不等式組表示出來(lái)．由于變量x、y題已經(jīng)給出，學(xué)生僅是將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，難度不大，可由學(xué)生自己完成.
變式訓(xùn)練
甲、乙、丙三種藥品中毒素A、B的含量及成本如下表：
甲乙丙
毒素A(單位/千克)600700400
毒素B(單位/千克)800400500
成本(元/千克)4911

某藥品研究所想用x千克甲種藥品，y千克乙種藥品，z千克丙種藥品配成100千克新藥，并使新藥含有毒素A不超過(guò)56000單位，毒素B不超過(guò)63000單位.
用x、y表示新藥的成本M(元)，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域．
解：由已知，得x＋y＋z＝100，
∴M＝4x＋9y＋11z
＝4x＋9y＋11(100－x－y)
＝1100－7x－2y.
又600x＋700y＋(100－x－y)≤56000，
800x＋400y＋500(100－x－y)≤63000，
∴2x＋3y≤160，3x－y≤130，x＋y≤100，x≥0，?y≥0.
表示的區(qū)域如下圖所示：

知能訓(xùn)練
1．畫(huà)出不等式2x＋y－6＜0表示的平面區(qū)域．
2．某人上午7：00乘汽車以勻速v1千米/時(shí)(30≤v1≤100)從A地出發(fā)到距300km的B地，在B地不作停留，然后騎摩托車以勻速v2千米/時(shí)(4≤v2≤20)從B地出發(fā)到距50km的C地，計(jì)劃在當(dāng)天16：00至21：00到達(dá)C地，設(shè)乘汽車、摩托車行駛的時(shí)間分別是x、y小時(shí)，則在xOy坐標(biāo)系中，滿足上述條件的x、y的范圍陰影部分表示正確的是()
3．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組x＋y－2≥0，x－y＋2≥0，x≤2表示的平面區(qū)域的面積是()
A．42B．4C．22D．2
4．若a≥0，b≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x≥0，y≥0，x＋y≤1時(shí)，恒有ax＋by≤1，則以a，b為坐標(biāo)點(diǎn)P(a，b)所形成的平面區(qū)域的面積等于()
A.12B.π4C．1D.π2
5．本節(jié)探索與研究
本節(jié)后的探索與研究宜針對(duì)較好的學(xué)生進(jìn)行，讓其明白其結(jié)論的原理．在向量知識(shí)的基礎(chǔ)上明白道理不是太困難的事．實(shí)際畫(huà)圖時(shí)，也并不需要畫(huà)出直線的法向量，只需取點(diǎn)驗(yàn)證即可．因此本內(nèi)容不宜對(duì)一般學(xué)生進(jìn)行，以免沖淡了本節(jié)的主題．
答案：
1．解：先畫(huà)直線2x＋y－6＝0(畫(huà)成虛線)．取原點(diǎn)(0,0)代入2x＋y－6，
因?yàn)?×0＋0－6＝－6＜0，
所以原點(diǎn)在2x＋y－6＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式2x＋y－6＜0表示的區(qū)域如左下圖所示．
2．B解析：由題意得xv1＝300，yv2＝50，9≤x＋y≤14，而30≤v1≤100,4≤v2≤20，則不等式組變化為3≤x≤10，2.5≤y≤12.5，9≤x＋y≤14.
3．B解析：畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖．
可知面積＝12×4×2＝4.
4．C解析：由ax＋by≤1恒成立知，當(dāng)x＝0時(shí)，by≤1恒成立，∴0≤b≤1；同理0≤a≤1，∴以a，b為坐標(biāo)點(diǎn)P(a，b)所形成的平面區(qū)域是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，其面積為1.
課堂小結(jié)
1．由學(xué)生自己回顧本節(jié)課的探究過(guò)程，整合二元一次不等式組與平面區(qū)域的關(guān)系，注意如何表示邊界的虛與實(shí)，明確不等式Ax＋By＋C＞0表示直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)的平面區(qū)域(不包括邊界直線)．
2．教師畫(huà)龍點(diǎn)睛．比較是最好的學(xué)習(xí)方法，通過(guò)兩個(gè)不等式的比較，尋找出共同的規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)二元一次不等式表示平面區(qū)域的主要性質(zhì)及結(jié)論．畫(huà)圖是我們的弱點(diǎn)，而準(zhǔn)確畫(huà)圖是學(xué)好這部分內(nèi)容的關(guān)鍵，要有意識(shí)地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．
作業(yè)
習(xí)題3—5A組1、2；習(xí)題3—5B組1.
設(shè)計(jì)感想
1．本小節(jié)設(shè)計(jì)注重了學(xué)生的動(dòng)手操作能力，因?yàn)榧寄艿膶W(xué)習(xí)必須親身體驗(yàn)獲得．強(qiáng)化格式的規(guī)范也相當(dāng)重要，在學(xué)生的動(dòng)手操作過(guò)程中這些都可以得到充分體現(xiàn)．
2．本小節(jié)設(shè)計(jì)注重了方法的啟發(fā)引導(dǎo)：從特殊到一般，化陌生為熟悉，先研究特殊的二元一次不等式所表示的平面區(qū)域．讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察、歸納、猜想及證明”的全過(guò)程，這是本節(jié)的主要環(huán)節(jié)．

備課資料
一、備用習(xí)題
1．已知點(diǎn)P1(0,0)、P2(1,1)、P3(13，0)，則在3x＋2y－1≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是()
A．P1、P2B．P1、P3C．P2、P3D．P2
2．不等式x－2y＋6＞0表示的平面區(qū)域在直線x－2y＋6＝0的()
A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方
3．不等式組x－y＋5x＋y≥0，0≤x≤3表示的平面區(qū)域是一個(gè)()
A．三角形B．矩形C．梯形D．直角梯形
4．不等式|x－2|＋|y－2|≤2表示的平面區(qū)域的面積為_(kāi)_______．
5．直線3x＋y－3＝0上位于x軸下方的一點(diǎn)P到直線x－y－1＝0的距離為32，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．
6．用三條直線x＋2y＝2,2x＋y＝2，x－y＝3圍成一個(gè)三角形，則三角形內(nèi)部區(qū)域(不包括邊界)可用不等式組________表示．
7．畫(huà)出不等式x2＋xy－2y2＋3y－1＜0表示的平面區(qū)域．
8．某用戶計(jì)劃購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤(pán)，使用資金不超過(guò)500元，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤(pán)至少買2盒．問(wèn)：軟件數(shù)與磁盤(pán)數(shù)應(yīng)滿足什么條件？
參考答案：
1．C解析：將點(diǎn)代入驗(yàn)證．
2．B解析：取特殊點(diǎn)(0,0)驗(yàn)證．
3．C解析：不等式組x－y＋5x＋y≥0，0≤x≤3，可轉(zhuǎn)化為x－y＋5≥0，x＋y≥0，0≤x≤3或x－y＋5≤0，x＋y≤0，0≤x≤3，畫(huà)圖即可．
4．8解析：去掉絕對(duì)值符號(hào)后，可得該不等式表示的區(qū)域面積為12×2×2×4＝8.
5．(52，－92)解析：設(shè)P(t,3－3t)，P在x軸下方，則3－3t＜0.
∴t＞1，d＝|t－3－3t－1|2＝32，|t－1|＝32.
由t＞1，得t＝52.于是P(52，－92)．
6.x＋2y22x＋y2x－y3
7．解：x2＋xy－2y2＋3y－1＜0?(x－y＋1)(x＋2y－1)＜0x－y＋10，x＋2y－10或x－y＋10，x＋2y－10.其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分(不包括邊界)所示．
8．解：設(shè)軟件數(shù)為x，磁盤(pán)數(shù)為y，根據(jù)題意可得60x＋70y≤500，x≥3且x∈N，y≥2且y∈N.
二、二元一次方程組的圖象解法
看一個(gè)二元一次方程y＝2x＋3，我們可以列表把這個(gè)方程的解表示出來(lái)：
在坐標(biāo)平面內(nèi)描點(diǎn)、畫(huà)圖(如圖)．這樣得出來(lái)的圖形就是二元一次方程y＝2x＋3的圖象．圖象上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，如(－3，－3)就表示方程y＝2x＋3的一個(gè)解x＝－3，y＝－3.
對(duì)比一次函數(shù)的圖象，不難知道，二元一次方程y＝2x＋3的圖象就是一次函數(shù)y＝2x＋3的圖象，它是一條直線．引申：
怎樣利用圖象解二元一次方程組呢？看下面的例子：
x＋y＝3，①3x－y＝5.②
先在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫(huà)出這兩個(gè)二元一次方程的圖象(如圖)．
由方程①，有
過(guò)點(diǎn)(0,3)與(3,0)畫(huà)出直線x＋y＝3.
由方程②，有
過(guò)點(diǎn)(0，－5)與(53，0)畫(huà)出直線3x－y＝5.
兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的坐標(biāo)就表示兩個(gè)方程的公共解，交點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1)，所以原方程組的解是x＝2，y＝1.
這與用代入法或加減法解得的結(jié)果相同．提問(wèn)
在解二元一次方程組時(shí)，會(huì)遇到其中一個(gè)方程是x＝3或y＝2這種形式．
x＝3或y＝2的圖象是怎樣的呢？
方程x＝3可以看成x＋0y＝3，它的解列表為

X…3333…
y…－1012…
可以看到，無(wú)論y取什么數(shù)值，x的值都是3，所有表示方程x＝3的解的點(diǎn)組成一條直線，這條直線過(guò)點(diǎn)(3,0)，且平行于y軸．這條直線就是方程x＝3的圖象，即直線x＝3(如圖)．同樣，方程y＝2的圖象是過(guò)點(diǎn)(0,2)，且平行于x軸的一條直線，即直線y＝2(如圖)．

相關(guān)知識(shí)

二元一次不等式組表示的平面區(qū)域

課時(shí)33(1)二元一次不等式表示的平面區(qū)域
一、情境導(dǎo)入：
1．二元一次方程的幾何意義是：。
2．以二元一次方程為例，討論：
（1）直線上的點(diǎn)P和二元一次方程之間的關(guān)系。
（2）若點(diǎn)P不在直線：上，會(huì)出現(xiàn)什么情況？
所得式子的名稱？其幾何意義又是什么？

二、新課推進(jìn)：這就是本節(jié)課主要研究的問(wèn)題：。
就上述問(wèn)題展開(kāi)討論：
取特殊點(diǎn)，如，進(jìn)行驗(yàn)證，得出結(jié)論!
再驗(yàn)證：。

歸納小結(jié)：（1）形如的不等式叫二元一次不等式。

（2）對(duì)于二元一次不等式如何確定它所表示的平面區(qū)域？
“直線定界，特殊點(diǎn)定理”

（3）另：一般地，直線把平面分為兩個(gè)區(qū)域：

表示：。

表示：。

（4）注意點(diǎn)：不等式有無(wú)等號(hào)與直線的虛實(shí)關(guān)系。

例題演練：

例1．畫(huà)出下列不等式所表示的平面區(qū)域：
⑴⑵

例2．將下面圖中的平面區(qū)域（陰影部分）用不等式表示出來(lái)：

(1)(2)

(3)(4)
四、自我測(cè)評(píng)：
1．不在表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（）
2．圖中表示的平面區(qū)域滿足的不等式為。

3．若點(diǎn)（1，2）在表示的區(qū)域內(nèi)，，則的范圍是。
4．已知點(diǎn)（1，-2）與坐標(biāo)原點(diǎn)在直線的同側(cè)，
則的取值范圍是。（“異側(cè)”呢？）
【學(xué)生演練】畫(huà)出下列不等式表示的平面區(qū)域：
(1)(2)
提問(wèn)：（1）你能否在同一直角坐標(biāo)系中，找出同時(shí)滿足上兩式所表示的平面區(qū)域？
（學(xué)生自己思考，做，講）。
（2）在滿足上述兩個(gè)不等式表示的基礎(chǔ)上還滿足，此時(shí)平面區(qū)域又會(huì)是什么？

《二元一次不等式（組）與平面區(qū)域》學(xué)案

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，高中教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生更容易聽(tīng)懂所講的內(nèi)容，幫助高中教師更好的完成實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。關(guān)于好的高中教案要怎么樣去寫(xiě)呢？下面是小編精心為您整理的“《二元一次不等式（組）與平面區(qū)域》學(xué)案”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

《二元一次不等式（組）與平面區(qū)域》學(xué)案

【教學(xué)目標(biāo)】
1．知識(shí)與技能：了解二元一次不等式的幾何意義，會(huì)用二元一次不等式組表示平面區(qū)域；
2．過(guò)程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組的過(guò)程，提高數(shù)學(xué)建模的能力；
3．情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源與生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。
【教學(xué)重點(diǎn)】
用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域；
【教學(xué)難點(diǎn)】

【教學(xué)過(guò)程】
1.課題導(dǎo)入
1．從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二元一次不等式（組）的數(shù)學(xué)模型
課本第82頁(yè)的“銀行信貸資金分配問(wèn)題”

教師引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，讓學(xué)生經(jīng)歷建立線性規(guī)劃模型的過(guò)程。
在獲得探究體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)交流形成共識(shí)：

2.講授新課
1．建立二元一次不等式模型
把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題：
設(shè)用于企業(yè)貸款的資金為x元，用于個(gè)人貸款的資金為y元。
（把文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言）
（資金總數(shù)為25000000元）（1）
（預(yù)計(jì)企業(yè)貸款創(chuàng)收12%，個(gè)人貸款創(chuàng)收10%，共創(chuàng)收30000元以上）即（2）
（用于企業(yè)和個(gè)人貸款的資金數(shù)額都不能是負(fù)值）（3）
將（1）（2）（3）合在一起，得到分配資金應(yīng)滿足的條件：
2．二元一次不等式和二元一次不等式組的定義
（1）二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式組：有幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。
（3）二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y），所有這樣的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集。
（4）二元一次不等式（組）的解集與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)系：
二元一次不等式（組）的解集是有序?qū)崝?shù)對(duì)，而點(diǎn)的坐標(biāo)也是有序?qū)崝?shù)對(duì)，因此，有序?qū)崝?shù)對(duì)就可以看成是平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而，二元一次不等式（組）的解集就可以看成是直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合。
3.探究二元一次不等式（組）的解集表示的圖形
（1）回憶、思考
回憶：初中一元一次不等式（組）的解集所表示的圖形——數(shù)軸上的區(qū)間
思考：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形？
（2）探究
從特殊到一般：
先研究具體的二元一次不等式x-y6的解集所表示的圖形。
如圖：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，x-y=6表示一條直線。平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線分成三類：
第一類：在直線x-y=6上的點(diǎn)；
第二類：在直線x-y=6左上方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)；
第三類：在直線x-y=6右下方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。
設(shè)點(diǎn)是直線x-y=6上的點(diǎn)，選取點(diǎn)，使它的坐標(biāo)滿足不等式x-y6，請(qǐng)同學(xué)們完成課本第83頁(yè)的表格，
橫坐標(biāo)x-3-2-10123
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)
點(diǎn)A的縱坐標(biāo)
并思考：
當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P有相同的橫坐標(biāo)時(shí)，它們的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？
根據(jù)此說(shuō)說(shuō)，直線x-y=6左上方的坐標(biāo)與不等式x-y6有什么關(guān)系？
直線x-y=6右下方點(diǎn)的坐標(biāo)呢？
學(xué)生思考、討論、交流，達(dá)成共識(shí)：
在平面直角坐標(biāo)系中，以二元一次不等式x-y6的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線x-y=6的左上方；反過(guò)來(lái)，直線x-y=6左上方的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式x-y6。
因此，在平面直角坐標(biāo)系中，不等式x-y6表示直線x-y=6左上方的平面區(qū)域；如圖。
類似的：二元一次不等式x-y6表示直線x-y=6右下方的區(qū)域；如圖。
直線叫做這兩個(gè)區(qū)域的邊界
由特殊例子推廣到一般情況：
（3）結(jié)論：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）
4．二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法
由于對(duì)在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)()，把它的坐標(biāo)（)代入Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C＞0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）
【應(yīng)用舉例】
例1畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域。
解：先畫(huà)直線（畫(huà)成虛線）.
取原點(diǎn)（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原點(diǎn)在表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式表示的區(qū)域如圖：
歸納：畫(huà)二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法。特殊地，當(dāng)時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)。
變式1、畫(huà)出不等式所表示的平面區(qū)域。
變式2、畫(huà)出不等式所表示的平面區(qū)域。

例2用平面區(qū)域表示.不等式組的解集。
分析：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。
解：不等式表示直線右下方的區(qū)域，表示直線右上方的區(qū)域，取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。
歸納：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。
變式1、畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域。
變式2、由直線，和圍成的三角形區(qū)域（包括邊界）用不等式可表示為。
3.隨堂練習(xí)
1、課本第86頁(yè)的練習(xí)1、2、3
4.課時(shí)小結(jié)
1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域．
2．二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法．
3．二元一次不等式組表示的平面區(qū)域．
5.作業(yè)
課本第93頁(yè)習(xí)題3.3[A]組的第1題

二元一次不等式（組）與平面區(qū)域?qū)W案

3.3.1二元一次不等式（組）與平面區(qū)域（第1課時(shí)）
使用說(shuō)明：
1.課前認(rèn)真預(yù)習(xí)課本，完成本學(xué)案；
2.課上認(rèn)真和同學(xué)討論交流，積極回答問(wèn)題、板演，認(rèn)真聽(tīng)老師點(diǎn)評(píng)；
3.課下復(fù)習(xí)整理。
★學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解二元一次不等式的幾何意義，會(huì)根據(jù)二元一次不等式去畫(huà)它所表示的平面區(qū)域。能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，能把若干直線圍成的平面區(qū)域用二元一次不等式組表示。
2.能進(jìn)行各種數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。
◆課前預(yù)習(xí)、自主探究
1.二元一次不等式（組）的概念
（1）含有_________未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是________的不等式叫做二元一次不等式。由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組叫做二元一次不等式組。
（2）滿足______________________________________構(gòu)成有序數(shù)對(duì)，所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集。
2.二元一次不等式表示平面區(qū)域
在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式表示直線___________________某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，把直線畫(huà)成_______以表示區(qū)域不包括邊界。
不等式表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫(huà)成__________.
3.二元一次不等式表示平面區(qū)域的確定
（1）直線同一側(cè)的所有點(diǎn)把它的坐標(biāo)代入，所得的符號(hào)都__________.
（2）在直線的一側(cè)取某個(gè)特殊點(diǎn)作為測(cè)試點(diǎn)（當(dāng)時(shí)，常取；當(dāng)，常取或），由_____________的符號(hào)可以斷定表示的是直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。
例在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列不等式（組）表示的平面區(qū)域：
（1）（2）（3）

◆課堂檢測(cè)
1.不等式表示的平面區(qū)域在直線的（）
Ａ．右上方Ｂ．右下方Ｃ．左上方Ｄ．左下方
2.不在表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3.已知點(diǎn)和點(diǎn)在直線的異側(cè)，則（）
A.B.C.D.
4..已知點(diǎn)和在直線的兩側(cè)，則的取值范圍是（）
Ａ．或Ｂ．或
Ｃ．Ｄ．
5.點(diǎn)在直線的上方，則得取值范圍_____________.
6.不等式|3x+2y+k|≤8表示的平面區(qū)域必包含（0，0）及（1，1）兩點(diǎn)，則k的取值范圍是。
7.點(diǎn)和在直線的兩側(cè)，則得取值范圍___________
8.若點(diǎn)p(A，4)到直線x-2y+2=0的距離為2，且點(diǎn)p在3x-y-30表示的區(qū)域內(nèi)，則A=。
9.由直線、和圍成的三角形區(qū)域（包括邊界）用不等式表示為_(kāi)____________
10若不等式表示的下方區(qū)域，實(shí)數(shù)的取值范圍_______________.
11.在△ABC中,寫(xiě)出△ABC區(qū)域所表示的二元一次不等式組。

二元一次不等式表示的平面區(qū)域

一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對(duì)每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，作為教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。怎么才能讓教案寫(xiě)的更加全面呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的二元一次不等式表示的平面區(qū)域，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

總課題二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題總課時(shí)第29課時(shí)
分課題二元一次不等式表示的平面區(qū)域分課時(shí)第1課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)從實(shí)際情境中抽象出二元一次方程；了解二元一次不等式的幾何意義；了解二元一次不等式表示平面的區(qū)域．
重點(diǎn)難點(diǎn)了解二元一次不等式表示平面的區(qū)域，能判斷二元一次不等式表示的區(qū)域．
引入新課
1．二元一次不等式及其解的含義：

2．二元一次不等式如何表示平面區(qū)域：
直線：將平面分成上、下兩個(gè)半平面區(qū)域，
直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，即，
直線上方的平面區(qū)域中的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式__________________，
直線下方的平面區(qū)域中的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式__________________．
因此，_____________________在平面上表示的是直線及直線下方的平面區(qū)域．

一般地，直線：把平面分成個(gè)區(qū)域：
_____________________表示直線上方的平面區(qū)域；
_____________________表示直線下方的平面區(qū)域．

例題剖析
例1畫(huà)出下列不等式所表示的平面區(qū)域：
（1）（2）（3）

例2將下列各圖中的平面區(qū)域（陰影部分）用不等式表示出來(lái)．（圖（）中不包括軸）：

例3已知與點(diǎn)在直線
：兩側(cè)，則（）
A．B．
C．D．
鞏固練習(xí)
1．判斷下列命題是否正確：
（1）點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi)；（2）點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi)；
（3）點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi)；（4）點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi)；
2．不等式表示直線（）
A．上方的平面區(qū)域B．下方的平面區(qū)域
C．上方的平面區(qū)域（包括直線）D．下方的平面區(qū)域（包括直線）
3．畫(huà)出下列不等式所表示的平面區(qū)域：
（1）；（2）；（3）；（4）．

課堂小結(jié)
確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域偶多種方法，常用的一種方法是“選點(diǎn)法”：任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式．若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域．
課后訓(xùn)練
班級(jí)：高二（）班姓名：____________
一基礎(chǔ)題
1．若，不等式表示的區(qū)域是直線的_________，
不等式表示的區(qū)域是直線的_________，
若，不等式表示的區(qū)域是直線的_________，
不等式表示的區(qū)域是直線的_________．
2．畫(huà)出下列二元一次不等式所表示的平面區(qū)域：
二提高題
3．將下列各圖中平面區(qū)域(陰影部分)用不等式表示出來(lái)：

三能力題
4．（1）已知點(diǎn)是二元一次不等式所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，
求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）點(diǎn)在直線的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

5．已知直線：，點(diǎn)分別位于直線的兩側(cè)，
試求實(shí)數(shù)的取值范圍．