一元二次方程高中教案

《二次根式的乘除》第二課時學(xué)案。

《二次根式的乘除》第二課時學(xué)案

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1．內(nèi)容
二次根式的除法法則及其逆用，最簡二次根式的概念。
2．內(nèi)容解析
二次根式除法法則及商的算術(shù)平方根的探究，最簡二次根式的提出，為二次根式的運算指明了方向，學(xué)習(xí)了除法法則后，就有比較豐富的運算法則和公式依據(jù)，將一個二次根式化成最簡二次根式，是加減運算的基礎(chǔ).
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，最簡二次根式.
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1．教學(xué)目標(biāo)
（1）利用歸納類比的方法得出二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)；
（2）會進行簡單的二次根式的除法運算;
(3)理解最簡二次根式的概念.
2．目標(biāo)解析
（1）學(xué)生能通過運算，類比二次根式的乘法法則，發(fā)現(xiàn)并描述二次根式的除法法則；
（2）學(xué)生能理解除法法則逆用的意義，結(jié)合二次根式的概念、性質(zhì)、乘除法法則，對簡單的二次根式進行運算.
(3)通過觀察二次根式的運算結(jié)果，理解最簡二次根式的特征，能將二次根式的運算結(jié)果化為最簡二次根式.
三、教學(xué)問題診斷分析
本節(jié)內(nèi)容主要是在做二次根式的除法運算時，分母含根號的處理方式上，學(xué)生可能會出現(xiàn)困難或容易失誤，在除法運算中，可以先計算后利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)來進行，也可以先利用分式的性質(zhì)，去掉分母中的根號，再結(jié)合乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)來進行.二次根式的除法與分式的運算類似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接約去，以簡化運算.教學(xué)中不能只是列舉題型，應(yīng)以各級各類習(xí)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生把握運算過程，估計運算結(jié)果，明確運算方向.
本節(jié)課的教學(xué)難點為：二次根式的除法法則與商的算術(shù)平方根的性質(zhì)之間的關(guān)系和應(yīng)用.
四、教學(xué)過程設(shè)計
1．復(fù)習(xí)提問，探究規(guī)律
問題1二次根式的乘法法則是什么內(nèi)容？化簡二次根式的一般步驟怎樣？
師生活動學(xué)生回答。
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生回憶探究乘法法則的過程，類比該過程，學(xué)生可以探究除法法則．
2．觀察思考，理解法則
問題2教材第8頁“探究”欄目，計算結(jié)果如何？有何規(guī)律？
師生活動學(xué)生回答，給出正確答案后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，并總結(jié)二次根式除法法則：
.
問題3對比乘法法則里字母的取值范圍，除法法則里字母的取值范圍有何變化？
師生活動學(xué)生思考，回答。學(xué)生能說明根據(jù)分數(shù)的意義知道，分母不為零就可以了.
【設(shè)計意圖】學(xué)生通過自主探究，采用類比的方法，得出二次根式的除法法則后，要明確字母的取值范圍，以免在處理更為復(fù)雜的二次根式的運算時出現(xiàn)錯誤.
問題4對例題的運算你有什么看法？是如何進行的？
師生活動學(xué)生利用法則直接運算，一般根號下不含分母和開得盡方的因數(shù).
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生初步利用二次根式的性質(zhì)、乘除法法則進行簡單的運算.
問題5對比積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，商的算術(shù)平方根有沒有類似性質(zhì)？
師生活動學(xué)生類比地發(fā)現(xiàn)，商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商，即.利用該性質(zhì)可以進行二次根式的化簡.
3．例題示范，學(xué)會應(yīng)用
例1計算：（1）；（2）；（3）.
師生活動提問：你有幾種方法去掉分母中的根號？去分母的依據(jù)分別是什么？
再提問：第（2）用什么方法計算更簡捷？第（3）題根號下含字母在移出根號時應(yīng)注意什么？
【設(shè)計意圖】通過具體問題，讓學(xué)生在實際運算中培養(yǎng)運算能力，訓(xùn)練運算技能，
問題5你能從例題的解答過程中，總結(jié)一下二次根式的運算結(jié)果有什么特征嗎？
師生活動學(xué)生總結(jié)，師生共同補充、完善。要總結(jié)出：
（1）這些根式的被開方數(shù)都不含分母；
（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；
（3）分母中不含根號；
【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)，提出最簡二次根式的概念，要強調(diào)，在二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式.
問題6課件展示一組二次根式的計算、化簡題.
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生用總結(jié)出的結(jié)論進行二次根式的運算.
4．鞏固概念，學(xué)以致用
例2教材第9頁例7.
師生活動提問本題是以長方形面積為背景的數(shù)學(xué)問題，二次根式的除法運算在此發(fā)揮什么作用？
再提問章引言中的問題現(xiàn)在能解決了嗎？
【設(shè)計意圖】鞏固性練習(xí)，同時培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用二次根式的乘除運算法則解決實際問題的能力。
5．歸納小結(jié)，反思提高
師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：
（1）除法運算的法則如何？對等式中字母的取值范圍有何要求？
（2）你能說明最簡二次根式需要滿足的條件嗎？
6．布置作業(yè)：教科書第10頁練習(xí)第1，2，3題；
教科書習(xí)題16.2第10，11題.
五、目標(biāo)檢測設(shè)計
1．在、、中，最簡二次根式為.
【設(shè)計意圖】考查對最簡二次根式的概念的理解.
2．化簡下列各式為最簡二次根式：；.
【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)二次根式的運算法則和運算性質(zhì).鼓勵學(xué)生用不同方法進行計算.對于分母含二次根式的處理，要結(jié)合整式的乘法公式進行計算.
3．化簡：（1）；（2）.
【設(shè)計意圖】綜合運用二次根式的概念、性質(zhì)和運算法則進行二次根式的運算.

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《二次根式的加減》第二課時教案分析

《二次根式的加減》第二課時教案分析

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1．內(nèi)容
二次根式的加減乘除混合運算．
2．內(nèi)容解析
二次根式的混合運算是本章所學(xué)內(nèi)容的綜合運用，運算過程中用到乘法分配律，還需用多項式的乘法法則和整式的乘法公式，教學(xué)中要注意讓學(xué)生體會二次根式的運算與整式運算的聯(lián)系．
基于以上分析，可以確定本課的教學(xué)重點是運用乘法分配律、多項式乘法法則及乘法公式進行二次根式的加減乘除混合運算．
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1．目標(biāo)
（1）掌握二次根式混合運算的法則，合理使用運算律．
（2）靈活運用運算律、乘法公式等技巧，使計算簡便．
2．目標(biāo)解析
達成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生能在有理數(shù)混合運算及整式的混合運算基礎(chǔ)上，類比得出二次根式混合運算的法則及算理．
目標(biāo)（2）是通過類比整式乘法公式讓學(xué)生能熟練進行二次根式混合運算．
三、教學(xué)問題診斷分析
二次根式的混合運算，困難在于讓學(xué)生體會二次根式的運算與整式運算的聯(lián)系．在二次根式運算中，法則和乘法公式仍然適用．
本課的教學(xué)難點是：二次根式運算中，靈活運用多項式乘法法則及乘法公式．
四、教學(xué)過程設(shè)計
（一）提出問題
問題1：計算
（1）；（2）．
問題2：計算
（1）；（2）．
師生活動：學(xué)生獨立完成計算，小結(jié)算理．
追問1：問題1、2中的字母、可以代表哪些數(shù)與式．
師生活動：學(xué)生自由發(fā)言，引出、可代表二次根式．
設(shè)計意圖：類比整式運算引出二次根式混合運算的法則與算理．
（二）探索新知，解決問題
問題3：類比問題，完成計算：
（1）；（2）．
師生活動：學(xué)生獨立思考完成，請學(xué)生板演，教師適時引導(dǎo)，兩題均用乘法分配律．
設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會到數(shù)的擴充過程中運算律的一致性．
問題4：在問題2中，若令，你能計算下列式子的值嗎？
（1）；（2）．
師生活動：學(xué)生通過類比思考得出結(jié)論，教師引導(dǎo)學(xué)生得出二次根式運算中，多項式乘法法則和乘法公式仍然適用．
設(shè)計意圖：讓學(xué)生感受到數(shù)的擴充過程中數(shù)式通性．
（三）典型例題
例1計算：（1）；（2）．
例2計算：（1）；
（2）；
（3）．
師生活動：學(xué)生獨立完成計算，教師適時給予評價．
設(shè)計意圖：加強學(xué)生運算技能的訓(xùn)練，進一步讓學(xué)生認識二次根式和整式性質(zhì)運算法則上的一致性．例2、例3在不能用乘法公式的情況下，可用多項式乘法法則．
（四）課堂小結(jié)
整式的運算法則和乘法公式中的字母意義非常廣泛，可以是單項式、多項式，也可以代表二次根式，所以整式的運算法則和乘法公式適用于二次根式的運算．
設(shè)計意圖：讓學(xué)生加深數(shù)式通性的理解．
（五）布置作業(yè)
課本第15頁第4題．
五、目標(biāo)檢測設(shè)計
1．計算：的值是．
2．計算：＝；＝．
3．計算：＝．
4．計算：＝．
5．計算：＝．
設(shè)計意圖：通過練習(xí)熟悉二次根式的運算的法則與算理．

二次根式的乘除

老師職責(zé)的一部分是要弄自己的教案課件，是認真規(guī)劃好自己教案課件的時候了。對教案課件的工作進行一個詳細的計劃，接下來的工作才會更順利！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？下面是小編為大家整理的“二次根式的乘除”，希望能對您有所幫助，請收藏。

§3.2.2二次根式的乘除⑵（九年級下數(shù)學(xué)304）——研究課

主備：李維明班級________姓名____________

一.學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．經(jīng)歷二次根式除法法則的探究過程，進一步理解除法法則；

2．能運用法則ab＝ab(a≥0，b＞0)進行二次根式的除法運算；

3．理解商的算術(shù)平方根的性質(zhì)ab＝ab(a≥0，b＞0)，并能運用于二次根式的化簡和計算．

二．學(xué)習(xí)重點：二次根式的除法法則及商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的探究．

學(xué)習(xí)難點：二次根式的除法法則及商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的理解與運用．

三．教學(xué)過程

知識準(zhǔn)備

1．二次根式的乘法法則及其積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是什么?

2．計算：

⑴615⑵1224⑶a3ab(a≥0，b≥0)⑷a5＋2a3b2＋ab4

★規(guī)律探究

計算：

⑴425＝，425＝；⑵916＝，916＝；

⑶49100，49100＝；⑷2252＝，2252＝.

觀察：上面的式子，你能得到什么樣的的結(jié)論呢？用字母把規(guī)律表示出來：

概括：二次根式相除，.

嘗試練習(xí)：

⑴123⑵567⑶27÷3⑷123÷13

⑸726⑹243⑺54÷6⑻213÷79

思考：你還有其它的方法來解決上面的問題嗎？

由ab＝ab(a≥0，b＞0)反過來可得：.

利用這個等式可以化簡一些二次根式.

嘗試練習(xí)：

⑴1625⑵179⑶316⑷4b29a2(a＞0，b≥0)

⑸49⑹2－29⑺25y436x2(x＞0)⑻3a2－2a＋1(a＜1)

例題解析

1.若xx－2＝xx－2成立，則x的取值范圍是.

2.計算：

⑴5×21105⑵3a36b32ab(a＞0，b＞0)⑶45÷(－5145)⑷ab÷ab1ab(a、b＞0)

★3.把x－1x中根號外的因式移入根號內(nèi)，則轉(zhuǎn)化后的結(jié)果是.

①已知xy＞0，化簡二次根式x－yx2的正確結(jié)果是

②把(a－1)11－a根號外的因式移入根號內(nèi)，其結(jié)果是

歸納小結(jié)：

課內(nèi)反饋：

1.計算：

⑴6015⑵728⑶18÷6⑷223÷113

2.化簡：

⑴4925⑵359⑶34⑷9a2b216c2(a≥0，b≥0，c＞0)

課外延伸

1.下列計算中正確的是（）

A．59＝53B．4125＝215C．223÷13＝2D．18÷2＝3

2.下列各式中，成立的是（）

A．(－2)2×3＝－23B．x2＋y2＝x＋y

C．a(chǎn)b＝abD．當(dāng)x≤2x且x≠－1時，2－xx＋1有意義

3.如果一個三角形的面積為12，一邊長為3，那么這邊上的高為.

4.如果1－xx－2＝1－xx－2成立，則x的取值范圍是.

5.計算：2×63－1＝.

6.計算：313÷(25213)×(4125)

7.計算或化簡（題中字母均表示正數(shù)）：

⑴6024⑵2412÷214⑶210÷35

⑷3a÷(－3a)⑸b3c5a4⑹1a2－1b2(b＞a＞0)

8.先化簡x＋2x－2÷xx3－2x2，然后再選擇一個你喜歡的x值，代入求值.

錯題整理：

《二次根式的乘除》第一課時學(xué)案

《二次根式的乘除》第一課時學(xué)案

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1．內(nèi)容
二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，化簡二次根式.
2．內(nèi)容解析
二次根式是初中階段“數(shù)與式”內(nèi)容的最后一章，因此承擔(dān)著整理“數(shù)與式”的內(nèi)容、方法和基本思想的任務(wù).本節(jié)研究二次根式的乘法運算.運算法則是運算的依據(jù)，因此教材通過“探究”欄目，引導(dǎo)學(xué)生利用二次根式的性質(zhì)，從具體數(shù)字運算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而歸納得出二次根式的乘法法則.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：探究二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì).
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1．教學(xué)目標(biāo)
（1）經(jīng)歷二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的形成過程；會進行簡單的二次根式的乘法運算；
（2）會用公式化簡二次根式.
2．目標(biāo)解析
（1）學(xué)生能通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律并對其進行一般化的推廣，得出乘法法則的內(nèi)容；
（2）學(xué)生能利用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，化簡二次根式.
三、教學(xué)問題診斷分析
本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在得出乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)后，對于何時該選用何公式簡化運算感到困難.運算習(xí)慣的養(yǎng)成與符號意識的養(yǎng)成、運算能力的形成緊密相關(guān)，由于該內(nèi)容與以前學(xué)過的實數(shù)內(nèi)容有較多的聯(lián)系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的運算中也成立，在教學(xué)中，要多從聯(lián)系性上下力氣.，培養(yǎng)學(xué)生良好的運算習(xí)慣.
在教學(xué)時，通過實例運算，對于將一個二次根式化為最簡二次根式，一般有兩種情況：（1）如果被開方數(shù)是分數(shù)或分式（包括小數(shù)），可以采用直接利用分式的性質(zhì)，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進行化簡（例見教科書例6解法1），也可以先寫成算術(shù)平方根的商的形式，再利用分式的性質(zhì)處理分母的根號（例見教科書例6解法2）；（2）如果被開方數(shù)不含分母，可以先將它分解因數(shù)或分解因式，然后吧開得盡方的因數(shù)或因式開出來，從而將式子化簡.
本節(jié)課的教學(xué)難點為：二次根式的性質(zhì)及乘法法則的正確應(yīng)用和二次根式的化簡.
四、教學(xué)過程設(shè)計
1．復(fù)習(xí)引入，探究新知
我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的概念和性質(zhì)，本節(jié)課開始我們要學(xué)習(xí)二次根式的乘除.本節(jié)課先學(xué)習(xí)二次根式的乘法.
問題1什么叫二次根式？二次根式有哪些性質(zhì)？
師生活動學(xué)生回答。
【設(shè)計意圖】乘法運算和二次根式的化簡需要用到二次根式的性質(zhì).
問題2教材第6頁“探究”欄目，計算結(jié)果如何？有何規(guī)律？
師生活動學(xué)生計算、思考并嘗試歸納，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述乘法法則的內(nèi)容．
【設(shè)計意圖】學(xué)生在自主探究的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運用類比思想，由特殊到一般地，采用不完全歸納的方法得出二次根式的乘法法則.要求學(xué)生用數(shù)學(xué)語言和文字分別描述法則，以培養(yǎng)學(xué)生的符號意識.
2．觀察比較，理解法則
問題3簡單的根式運算.
師生活動學(xué)生動手操作，教師檢驗.
問題4成立的條件是什么？等式反過來有什么價值？
師生活動學(xué)生回答，給出正確答案后，教師給出積的算術(shù)平方根的性質(zhì).
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生運用法則進行簡單的二次根式的乘法運算，以檢驗法則的掌握情況.乘法法則反過來就是積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，性質(zhì)是為運算服務(wù)的，積的算術(shù)平方根的性質(zhì)將積的算術(shù)平方根分解成幾個因數(shù)或因式的算術(shù)平方根的積，利用整式的運算法則、乘法公式等可以簡化二次根式，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力.
3．例題示范，學(xué)會應(yīng)用
例1化簡：（1）；（2）.
師生活動提問：你是怎么理解例（1）的？
如果學(xué)生回答不完善，再追問：這個問題中，就直接將結(jié)果算成可以嗎？你認為本題怎樣才達到了化簡的效果？
師生合作回答上述問題.對于根式運算的最后結(jié)果，一般被開方數(shù)中有開得盡方的因數(shù)或因式，應(yīng)依據(jù)二次根式的性質(zhì)將其移出根號外.
再提問：你能仿照第（1）題的解答，能自己解決（2）嗎？
【設(shè)計意圖】通過運算，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，明確二次根式化簡的方向.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進行二次根式的化簡.
例2計算：（1）；（2）；（3）
師生活動學(xué)生計算，教師檢驗.
（1）在被開方數(shù)相乘的時候，就可以考慮因數(shù)或因式分解，由直接可得而不必先寫成再分解；
（2）二次根式的乘法運算類似于整式的乘法運算，交換律、結(jié)合律都是適用的.對于根號外有系數(shù)的根式在相乘時，可以將系數(shù)先相乘作為積的系數(shù)，再對根式進行運算；
（3）例（3）的運算是選學(xué)內(nèi)容.讓學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)到“根號下為字母的二次根式”的運算.本題先利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，得到，然后利用二次根式的乘法法則，變成，由于可以判斷，因此直接將x移出根號外.
【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)，強調(diào)利用運算律進行運算，利用乘法公式簡化運算.讓學(xué)生認識到，二次根式是一類特殊的實數(shù)，因此滿足實數(shù)的運算律，關(guān)于整式運算的公式和方法也適用.
教材中雖然指明，如未特別說明，本章中所有的字母都表示正數(shù)，但仍應(yīng)強調(diào)，看到根號就要注意被開方數(shù)的符號.可以根據(jù)二次根式的概念對字母的符號進行判斷，在移出根號時正確處理符號問題.
4．鞏固概念，學(xué)以致用
練習(xí)：教科書第7頁練習(xí)第1題.第10頁習(xí)題16.2第1題.
【設(shè)計意圖】鞏固性練習(xí)，同時檢驗乘法法則的掌握情況.
5．歸納小結(jié)，反思提高
師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：
（1）你能說明二次根式的乘法法則是如何得出的嗎？
（2）你能說明乘法法則逆用的意義嗎？
（3）化簡二次根式的基本步驟是怎樣？一般對最后結(jié)果有何要求？
6．布置作業(yè)：教科書第7頁第2、3題.習(xí)題16.2第1，6題.
五、目標(biāo)檢測設(shè)計
1．下列各式中，一定能成立的是（）
A.B.
C.D.
【設(shè)計意圖】考查二次根式的概念和性質(zhì)，這是進行二次根式的乘法運算的基礎(chǔ).
2．化簡______________________________。
【設(shè)計意圖】二次根式是特殊的實數(shù)，實數(shù)的相關(guān)運算法則也適用于二次根式.
3．已知，化簡二次根式的結(jié)果是（）
A．B．C．D．
【設(shè)計意圖】鞏固二次根式的性質(zhì)，利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)正確化簡二次根式.