高中集合教案

高一數(shù)學(xué)《集合》知識點(diǎn)總結(jié)。

學(xué)生們有一個(gè)生動有趣的課堂，離不開老師辛苦準(zhǔn)備的教案，大家在認(rèn)真寫教案課件了。將教案課件的工作計(jì)劃制定好，就可以在接下來的工作有一個(gè)明確目標(biāo)！適合教案課件的范文有多少呢？請您閱讀小編輯為您編輯整理的《高一數(shù)學(xué)《集合》知識點(diǎn)總結(jié)》，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

高一數(shù)學(xué)《集合》知識點(diǎn)總結(jié)

一．知識歸納：

1．集合的有關(guān)概念。

1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合（集）．其中每一個(gè)對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互異性（若a?A，b?A，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合）。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件

2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3）集合的分類：有限集，無限集，空集。

4）常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N*

2．子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

1）子集：若對x∈A都有x∈B，則AB（或AB）；

2）真子集：AB且存在x0∈B但x0A；記為AB（或，且）

3）交集：A∩B={xx∈A且x∈B}

4）并集：A∪B={xx∈A或x∈B}

5）補(bǔ)集：CUA={xxA但x∈U}

注意：①?A，若A≠?，則?A；

②若，，則；

③若且，則A=B（等集）

3．弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：（1）與、?的區(qū)別；（2）與的區(qū)別；（3）與的區(qū)別。

4．有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB；

④A∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。

5．交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A；

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB；

6．有限子集的個(gè)數(shù)：設(shè)集合A的元素個(gè)數(shù)是n，則A有2n個(gè)子集，2n－1個(gè)非空子集，2n－2個(gè)非空真子集。

二．例題講解：

【例1】已知集合M={xx=m+,m∈Z},N={xx=,n∈Z},P={xx=,p∈Z}，則M,N,P滿足關(guān)系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一：對于集合M：{xx=,m∈Z}；對于集合N：{xx=,n∈Z}

對于集合P：{xx=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以MN=P，故選B。

分析二：簡單列舉集合中的元素。

解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。

=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，

=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以選B。

點(diǎn)評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設(shè)集合，，則（B）

A．M=NB．MNC．NMD．

解：

當(dāng)時(shí)，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B

【例2】定義集合A*B={xx∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個(gè)數(shù)為

A）1B）2C）3D）4

分析：確定集合A*B子集的個(gè)數(shù)，首先要確定元素的個(gè)數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個(gè)來求解。

解答：∵A*B={xx∈A且xB}，∴A*B={1,7}，有兩個(gè)元素，故A*B的子集共有22個(gè)。選D。

變式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個(gè)數(shù)為

A）5個(gè)B）6個(gè)C）7個(gè)D）8個(gè)

變式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評析本題集合A的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù)，所以共有個(gè).

【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

∴B={xx2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A

∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，

∴∴

變式：已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實(shí)數(shù)b,c,m的值.

解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={xx2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)0},集合B滿足：A∪B={xx-2}，且A∩B={x1p=

分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。

解答：A={x-2-1或x1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。-1或x

-1或x

綜合以上各式有B={x-1≤x≤5}

變式1：若A={xx3+2x2-8x0}，B={xx2+ax+b≤0},已知A∪B={xx-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

點(diǎn)評：在解有關(guān)不等式解集一類集合問題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來解之。

變式2：設(shè)M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。

解答：M={-1,3},∵M(jìn)∩N=N,∴NM

①當(dāng)時(shí)，ax-1=0無解，∴a=0②

綜①②得：所求集合為{-1，0，}

【例5】已知集合，函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域?yàn)镼，若P∩Q≠Φ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式ax2-2x+20在有解，再利用參數(shù)分離求解。

解答：（1）若，在內(nèi)有有解

令當(dāng)時(shí)，

所以a-4,所以a的取值范圍是

變式：若關(guān)于x的方程有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解答：

點(diǎn)評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進(jìn)行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關(guān)鍵。

三.隨堂演練

選擇題

1．下列八個(gè)關(guān)系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}

⑥0⑦{0}⑧{}其中正確的個(gè)數(shù)

（A）4（B）5（C）6（D）7

2．集合{1，2，3}的真子集共有

（A）5個(gè)（B）6個(gè)（C）7個(gè)（D）8個(gè)

3．集合A={x}B={}C={}又則有

（A）（a+b）A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一個(gè)

4．設(shè)A、B是全集U的兩個(gè)子集，且AB，則下列式子成立的是

（A）CUACUB（B）CUACUB=U

（C）ACUB=（D）CUAB=

5．已知集合A={}，B={}則A=

（A）R（B）{}

（C）{}（D）{}

6．下列語句：（1）0與{0}表示同一個(gè)集合；（2）由1，2，3組成的集合可表示為

{1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為{1，1，2}；（4）集合{}是有限集，正確的是

（A）只有（1）和（4）（B）只有（2）和（3）

（C）只有（2）（D）以上語句都不對

7．設(shè)S、T是兩個(gè)非空集合，且ST，TS，令X=S那么S∪X=

（A）X（B）T（C）Φ（D）S

8設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式，則不等式ax2+bx+c0的解集為

（A）R（B）（C）{}（D）{}

填空題

9.在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為

10.若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B，則x=

11.若A={x}B={x},全集U=R，則A=

12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有兩個(gè)負(fù)根，則k的取值范圍是

13設(shè)集合A={},B={x},且AB，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。

14.設(shè)全集U={x為小于20的非負(fù)奇數(shù)}，若A（CUB）={3，7，15}，（CUA）B={13，17，19}，又（CUA）（CUB）=，則AB=

解答題

15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若AB={-3}，求實(shí)數(shù)a。

16(12分)設(shè)A=，B=，

其中xR,如果AB=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

四.習(xí)題答案

選擇題

12345678

CCBCBCDD

填空題

9．{(x,y)}10.0,11.{x,或x3}12.{}13.{}14.{1,5,9,11}

解答題

15.a=-1

16.提示：A={0，-4}，又AB=B，所以BA

（Ⅰ）B=時(shí)，4（a+1）2-4(a2-1)0，得a-1

(Ⅱ)B={0}或B={-4}時(shí)，0得a=-1

（Ⅲ）B={0，-4}，解得a=1

綜上所述實(shí)數(shù)a=1或a-1

相關(guān)知識

高一數(shù)學(xué)下冊《集合》知識點(diǎn)

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，高中教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。怎么才能讓高中教案寫的更加全面呢？以下是小編為大家收集的“高一數(shù)學(xué)下冊《集合》知識點(diǎn)”僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

高一數(shù)學(xué)下冊《集合》知識點(diǎn)

一、集合有關(guān)概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個(gè)特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R

1)列舉法：{a,b,c……}

2)描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{xR|x-32},{x|x-32}

3)語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個(gè)元素的集合

(2)無限集含有無限個(gè)元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2.“相等”關(guān)系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

實(shí)例：設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

即：①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果AB,BC,那么AC

④如果AB同時(shí)BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

練習(xí)題：

1．(2010年高考廣東卷)若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，則集合A∩B＝()

A．{x|－1＜x＜1}B．{x|－2＜x＜1}

C．{x|－2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}

解析：選D.因?yàn)锳＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0＜x＜1}．

2．(2010年高考湖南卷)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}則()

A．MNB．NM

C．M∩N＝{2,3}D．M∪N＝{1,4}

解析：選C.∵M(jìn)＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．

∴選項(xiàng)A、B顯然不對．M∪N＝{1,2,3,4}，

∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤．又M∩N＝{2,3}，故選C.

3．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x＝y(tǒng)2}，則M∩N＝()

A．{(0,0)，(1,1)}B．{0,1}

C．{y|y≥0}D．{y|0≤y≤1}

解析：選C.M＝{y|y≥0}，N＝R，∴M∩N＝M＝{y|y≥0}．

4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

解析：A∪B＝A，即BA，∴m≥2.

答案：m≥2

高一數(shù)學(xué)上冊《集合》知識點(diǎn)

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓上課時(shí)的教學(xué)氛圍非?；钴S，有效的提高課堂的教學(xué)效率。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？小編經(jīng)過搜集和處理，為您提供高一數(shù)學(xué)上冊《集合》知識點(diǎn)，相信能對大家有所幫助。

高一數(shù)學(xué)上冊《集合》知識點(diǎn)

1、集合的概念

集合是集合論中的不定義的原始概念，教材中對集合的概念進(jìn)行了描述性說明：“一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個(gè)整體，就說這個(gè)整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合(或集)”。理解這句話，應(yīng)該把握4個(gè)關(guān)鍵詞：對象、確定的、不同的、整體。

對象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一確定的。

整體――集合不是研究某一單一對象的，它關(guān)注的是這些對象的全體。

確定的――集合元素的確定性――元素與集合的“從屬”關(guān)系。

不同的――集合元素的互異性。

2、有限集、無限集、空集的意義

有限集和無限集是針對非空集合來說的。我們理解起來并不困難。

我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記做Φ。理解它時(shí)不妨思考一下“0與Φ”及“Φ與{Φ}”的關(guān)系。

幾個(gè)常用數(shù)集N、N*、N+、Z、Q、R要記牢。

3、集合的表示方法

(1)列舉法的表示形式比較容易掌握，并不是所有的集合都能用列舉法表示，同學(xué)們需要知道能用列舉法表示的三種集合：

①元素不太多的有限集，如{0，1，8}

②元素較多但呈現(xiàn)一定的規(guī)律的有限集，如{1，2，3，…，100}

③呈現(xiàn)一定規(guī)律的無限集，如{1，2，3，…，n，…}

●注意a與{a}的區(qū)別

●注意用列舉法表示集合時(shí)，集合元素的“無序性”。

(2)特征性質(zhì)描述法的關(guān)鍵是把所研究的集合的“特征性質(zhì)”找準(zhǔn)，然后適當(dāng)?shù)乇硎境鰜砭托辛恕５P(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)。學(xué)習(xí)時(shí)多加練習(xí)就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=x2}，{y|y=x2}，{(x，y)|y=x2}是三個(gè)不同的集合。

4、集合之間的關(guān)系

●注意區(qū)分“從屬”關(guān)系與“包含”關(guān)系

“從屬”關(guān)系是元素與集合之間的關(guān)系。

“包含”關(guān)系是集合與集合之間的關(guān)系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，學(xué)會正確使用“”等符號，會用Venn圖描述集合之間的關(guān)系是基本要求。

●注意辨清Φ與{Φ}兩種關(guān)系。

高一數(shù)學(xué)《集合大小定義的標(biāo)準(zhǔn)》知識點(diǎn)總結(jié)

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。怎么才能讓高中教案寫的更加全面呢？下面是小編為大家整理的“高一數(shù)學(xué)《集合大小定義的標(biāo)準(zhǔn)》知識點(diǎn)總結(jié)”，希望能對您有所幫助，請收藏。

高一數(shù)學(xué)《集合大小定義的標(biāo)準(zhǔn)》知識點(diǎn)總結(jié)

作為集合大小的定義，應(yīng)該滿足什么樣的基本要求?我們當(dāng)然要盡可能地使它符合一般的關(guān)于“大小”的常識和直覺，其中有許多是要比“整體大于部分”更加要緊的。首先，一個(gè)集合的大小只應(yīng)該取決于這個(gè)集合本身。

我們知道一個(gè)集合可以用多種方法來構(gòu)造和表示，比如說，

A={小于等于2的正整數(shù)｝

B={1,2｝

C={x2-3x+2=0的根｝

其實(shí)都是同一個(gè)集合，

D={nn為自然數(shù)，且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整數(shù)解｝

又怎么樣呢?1996年英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費(fèi)爾馬大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一個(gè)集合，它里面有兩個(gè)元素1和2。我們記得，一個(gè)集合由它所含的元素唯一決定，所以它的大小也不能取決于它被表示的方法，或者被構(gòu)造的途徑，它只應(yīng)該取決于它本身。

一個(gè)集合得和自己一樣大，這個(gè)沒有什么好說的;其次，如果集合A不小于(也就是說或者大于，或者一樣大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它們就必須是一樣大的;第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必須不小于集合C。在數(shù)學(xué)上，我們稱滿足這三個(gè)條件的關(guān)系為“偏序關(guān)系”(注：嚴(yán)格地說，這個(gè)偏序關(guān)系并不定義在集合之間，而是定義在集合按“一樣大”這個(gè)等價(jià)關(guān)系定義出的等價(jià)類之間，關(guān)于偏序關(guān)系的嚴(yán)格定義的敘述和上面所說的也有區(qū)別，但這些問題在這里并不要緊，你如果看不懂這個(gè)注在講什么也不要緊)。如果一個(gè)關(guān)于集合大小的定義違反了上面所說的三條之一，這個(gè)定義的怪異程度一定會超過上面使用一一對應(yīng)原則的定義!

舉個(gè)例子，比如說我對某位科幻小說作家的喜愛程度就是一個(gè)偏序關(guān)系。如果我喜歡阿西莫夫勝于喜歡凡爾納，而喜歡凡爾納又勝于喜歡克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜歡阿西莫夫。不過一個(gè)偏序關(guān)系并不要求任意兩個(gè)對象都能相互比較。比如說劉慈欣的水平當(dāng)然不能和克拉克這樣的世界級科幻大師比，但是“喜歡”是一種很個(gè)人的事情，作為一個(gè)中國人，我對中國的科幻創(chuàng)作更感興趣——所以似乎不能說我更喜歡克拉克，但也不能說我更喜歡劉慈欣，而且也不能說同樣喜歡，因?yàn)橄矚g的地方不一樣——所以更確切地也許應(yīng)該說，他們倆之間不能比較。但偏序關(guān)系中存在這樣的可能性，有一個(gè)對象可以和兩個(gè)不能相互比較的對象中的每一個(gè)相比較，比方說我喜歡阿西莫夫勝過劉慈欣和克拉克中的任一個(gè)。

不過作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個(gè)集合的大小。所以，對于任何給定的兩個(gè)集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關(guān)系被稱為“全序關(guān)系”。

最后，新的定義必須保持原來有限集合間的大小關(guān)系。有限集合間的大小關(guān)系是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個(gè)元素的集合要比有四個(gè)元素的集合大，在新的擴(kuò)充了的集合定義中也必須如此。這個(gè)要求是理所當(dāng)然的，否則我們沒有理由將新的定義作為老定義的擴(kuò)充。

“整體大于部分”原則的困難和一一對應(yīng)原則的優(yōu)點(diǎn)

滿足上面幾條要求的定義，最簡單的就是認(rèn)為無限就只有一種，所有的無限集合都一樣大，而它們都大于有限集合。這其實(shí)是康托爾創(chuàng)立集合論以前數(shù)學(xué)家的看法，所以康托爾把無限分成許多類的革命性做法使得數(shù)學(xué)家們大吃了一驚。但是這樣的定義未免太粗糙了一點(diǎn)，只不過是把“無限集合比有限集合大”換了種方法說罷了，我們看不出這有什么用處。沒有用的定義不要也罷——再說在這種定義中，自然數(shù)和正偶數(shù)也一樣多，因?yàn)樗鶎?yīng)的集合都是無限集合。

如果我們在上面幾條要求中，再加上“整體大于部分”這條要求會怎么樣呢?

我們想像平面上有條射線，射線的一端是原點(diǎn)，然后在上面我們每隔一厘米畫一個(gè)點(diǎn)，并在每個(gè)點(diǎn)旁邊標(biāo)上1、2、3……等，這樣就有無窮個(gè)點(diǎn)。那么這個(gè)點(diǎn)集和自然數(shù)集合比較大小的結(jié)果應(yīng)該如何?按照我們前面的要求，任何兩個(gè)集合都應(yīng)該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實(shí)是一條數(shù)軸的正半軸，上面的點(diǎn)就是代表自然數(shù)的那些點(diǎn)，所以這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)該和自然數(shù)的個(gè)數(shù)相同。而且，按照“整體大于部分”的規(guī)定，那些標(biāo)有10、20、30……的點(diǎn)的集合比所有點(diǎn)的集合要小。但是“一厘米”實(shí)在是非常人為的規(guī)定，如果我們一開始就每隔一分米畫一個(gè)點(diǎn)，順著上面的思路，這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)也該和自然數(shù)一樣多，但是這恰好是按一厘米間隔畫點(diǎn)時(shí)標(biāo)有10、20、30……的點(diǎn)啊!那些點(diǎn)始終是一樣的，所以它們的個(gè)數(shù)不應(yīng)該取決于在它們的旁邊標(biāo)記的是“1、2、3……”還是“10、20、30……”。

再舉一個(gè)例子。假設(shè)我給你一個(gè)大口袋，里面有無限多個(gè)小口袋，上面按照自然數(shù)標(biāo)了號1、2、3……。在1號口袋中有1粒豆子，2號口袋中有2粒豆子，……依次類推。現(xiàn)在我當(dāng)著你的面拿掉1號小口袋，那么剩下的小口袋數(shù)和原來的相比如何?如果按照“整體大于部分”的觀點(diǎn)，應(yīng)該是少了，少一條。但是如果我當(dāng)初就背著你拿掉1號口袋，然后從其他每個(gè)小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的號碼改掉，2改成1，3改成2……，然后再把大口袋給你，你顯然不會知道我做了手腳，因?yàn)檫@時(shí)大口袋里的東西和原來沒有任何區(qū)別，所以小口袋的數(shù)量和原來一樣多。這就和“少一條”矛盾了，從小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的標(biāo)號不應(yīng)該改變口袋的數(shù)量。大家明白我是打了一個(gè)比方，大口袋就是一個(gè)集合。按照上面的要求，集合的大小只應(yīng)該取決于集合本身，而不應(yīng)該取決于集合的表示方法或構(gòu)造方法，也就是得到集合的過程。你拿到了大口袋，也就是就應(yīng)該知道里面小口袋的數(shù)量，而不用知道我是否做過手腳。

這樣的例子可以舉很多。我們發(fā)現(xiàn)，如果堅(jiān)持“整體大于部分”的話，固然可以使得某些集合和自己的子集相比較時(shí)，比如比較自然數(shù)和正偶數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，符合“直觀”和“常識”。但是更多的非常直觀的東西和常識卻都會變成錯(cuò)誤的。比如說，x=x+1這樣一個(gè)數(shù)軸上的坐標(biāo)平移，會將坐標(biāo)上的點(diǎn)集{1,2,3……｝變?yōu)閧2,3,4……｝，一個(gè)坐標(biāo)平移居然可以變動點(diǎn)集中元素的個(gè)數(shù)!“元素可以一一對應(yīng)的兩個(gè)集合大小相同”這條原理的失效，會使得我們在比較兩個(gè)元素很不相同的集合時(shí)無所適從：怎樣不使用一一對應(yīng)的方法來比較自然數(shù)和數(shù)軸上(0,1)區(qū)間中點(diǎn)的個(gè)數(shù)?

在上面的兩個(gè)例子中我們會有這樣的感覺，對于無限集合來說，從部分中似乎可以“產(chǎn)生”出整體來。比如射線上的每隔一厘米畫一個(gè)點(diǎn)的例子，如果我們把不是10的倍數(shù)的點(diǎn)去掉，然后將平面“收縮”到原來尺度的十分之一，我們就重新得到了原來的那個(gè)點(diǎn)集。在裝豆子的口袋的例子中，只要從去掉1號口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我們就又得到了原來的那個(gè)大口袋。這暗示了無限集合的一個(gè)重要特點(diǎn)：從某種意義上來說，它和自己的一部分相似。事實(shí)上，無限集合的一個(gè)定義就是“能和自己的一部分一一對應(yīng)的集合”。所以在無限集合大小的比較中，違反了“整體大于部分”的原則并不奇怪，因?yàn)檫@恰好就是無限集合的特征。

如果使用一一對應(yīng)的比較方法，我們發(fā)現(xiàn)它滿足所有第二節(jié)中提出的關(guān)于集合大小定義的要求。而且除了“整體大于部分”這個(gè)我們已經(jīng)解釋過的不適用的原則外，不違反其他的直覺和常識。事實(shí)上用一一對應(yīng)的方法來比較兩個(gè)集合的大小，也是非常符合直觀的。如果有兩盒火柴，我們想比較哪盒中的火柴數(shù)量更多，我們大可不必去數(shù)出每盒中火柴的數(shù)量，那樣很容易出錯(cuò)。其實(shí)只要從不斷地從兩盒火柴中拿掉相同數(shù)量的火柴，最后如果同時(shí)兩盒都不剩下火柴，那么就說明數(shù)量一樣多，否則就是還剩有火柴的那盒比較多。

而更重要的是，這樣的定義非常有用?？低袪栐谔岢鏊P(guān)于集合的基數(shù)理論后，非常簡潔地證明了“幾乎所有實(shí)數(shù)都是超越數(shù)”，而那個(gè)時(shí)候數(shù)學(xué)家連一個(gè)超越數(shù)的實(shí)例都還沒有找到!引起第三次數(shù)學(xué)革命的羅素悖論也是從基數(shù)理論中產(chǎn)生出來的。雖然集合的基數(shù)理論現(xiàn)在已經(jīng)為一般的數(shù)學(xué)系學(xué)生和許多數(shù)學(xué)愛好者所熟悉，數(shù)學(xué)家們還是能從中找到非常有趣和深奧的課題，比如說“超大集合理論”，這是關(guān)于一些基數(shù)大得匪夷所思的集合的理論。我們知道對于任何一個(gè)集合A，它的冪集P(A)(也就是它所有子集構(gòu)成的集合)一定比它本身大，所以我們可以構(gòu)造一系列的集合A，P(A)，P(P(A))……一個(gè)比一個(gè)大，所以沒有最大的集合。而“超大集合理論”聲稱，存在一個(gè)集合B，比前面這一系列集合中的每個(gè)都要大!

所以說，使用一一對應(yīng)原則來定義集合大小，是數(shù)學(xué)家迫不得已和最佳的選擇。

直覺的合理性和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

在文章的最前面我們提到過，從直覺上說來，自然數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該是正偶數(shù)的兩倍，這里難道沒有一點(diǎn)合理的因素在內(nèi)嗎?有時(shí)我們會聽到數(shù)學(xué)家說：“幾乎所有的自然數(shù)都不是素?cái)?shù)。

”如果按照一一對應(yīng)的原則，素?cái)?shù)和自然數(shù)是一樣多的(第一個(gè)素?cái)?shù)2對應(yīng)1，第二個(gè)素?cái)?shù)3對應(yīng)2，第三個(gè)素?cái)?shù)5對應(yīng)3，……第n個(gè)素?cái)?shù)對應(yīng)n，……)，這不矛盾嗎?

數(shù)學(xué)并不依賴于直覺，但是尊重直覺，直覺中常常包含著合理的因素。受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人對數(shù)學(xué)的直覺一般來說要比其他人更有合理性，數(shù)學(xué)大師能夠用直覺把握住很深刻的數(shù)學(xué)理論，他們有時(shí)會說：“雖然我還沒有一個(gè)嚴(yán)格證明，但是我知道它是對的?！睌?shù)學(xué)大師的直覺當(dāng)然不是每個(gè)人能模仿的，但是我們的確可以改變對一些數(shù)學(xué)物體的想像方法，來改善自己的直覺，使得它更有合理性。

當(dāng)我們談到集合的大小，這里所談?wù)摰募蠎?yīng)該是沒有附加的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的。當(dāng)所比較的集合都是自然數(shù)的子集時(shí)，直覺往往會偷偷地把自然數(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)加在上面。什么是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?讓我們先從最一般的集合說起。當(dāng)我們談?wù)摷蠒r(shí)，我們只應(yīng)該把它看做一個(gè)裝著元素的大袋子，里面的元素之間沒有任何聯(lián)系，比如說自然數(shù)集合，我們應(yīng)該想像那是一個(gè)裝了標(biāo)了號的球(或者其他什么)的大袋子，球和球之間并沒有什么聯(lián)系，10并不一定非得在100的前面出現(xiàn)，如果你把口袋使勁抖抖，里面的球有些翻上來有些被壓到底下去，但這并不改變這個(gè)集合——這仍然是自然數(shù)集合。

所謂的結(jié)構(gòu)，就是在元素間增加聯(lián)系，使得它們不能隨便亂動。建筑工地上搭的腳手架就是一種結(jié)構(gòu)，上面的鋼管啊鐵絲啊木板啊都不是隨隨便便堆在一起的，而是按照一定的方式聯(lián)系在一起。修建完了一幢大樓后，工人們會把它們都拆下來再拿到另一個(gè)工地上去安裝使用，雖然構(gòu)成腳手架的元素——鋼管鐵絲木板還是原來的那些，但是腳手架卻完全是另一個(gè)了，變化了的其實(shí)是結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也一樣。比如說上面我們講的序關(guān)系，就是元素之間的一種聯(lián)系。我們可以很方便地驗(yàn)證自然數(shù)的大小滿足我們前面所說的偏序關(guān)系的三個(gè)條件，而且每兩個(gè)自然數(shù)之間都可以比較大小，所以在自然數(shù)集合上有一個(gè)全序關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就給了自然數(shù)集合一個(gè)結(jié)構(gòu)，就叫序結(jié)構(gòu)。你可以把擁有全序結(jié)構(gòu)的自然數(shù)集合仍舊想像成上面那個(gè)裝了球的袋子，只是這時(shí)候那些球已經(jīng)被從小到大串成了一串，不能隨便亂跑了。平時(shí)我們想像自然數(shù)集合，可能會把它想成數(shù)軸上離原點(diǎn)越來越遠(yuǎn)的一串點(diǎn)，或者1、2、3、……這樣從小到大的一列數(shù)，不知不覺地，我們已經(jīng)把序結(jié)構(gòu)想像進(jìn)去了。當(dāng)我們感到“正偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該是自然數(shù)個(gè)數(shù)的一半，因?yàn)槊扛粢粋€(gè)數(shù)就有一個(gè)是偶數(shù)”，我們是在想像那條串成一串的球，偶數(shù)球得老老實(shí)實(shí)地和奇數(shù)球一個(gè)隔一個(gè)地串在一起，而不是雜亂無章放在袋里，后面這種情況是談不上“每隔一個(gè)”的。

在考慮到自然數(shù)的序結(jié)構(gòu)后，我們就可以給“自然數(shù)的個(gè)數(shù)是正偶數(shù)的個(gè)數(shù)的兩倍”這種直覺一個(gè)合理的解釋了?？紤]小于100的正偶數(shù)，一共有49個(gè)，所以占小于100的自然數(shù)的49/99，接近1/2;如果把“小于100”改成“小于1000”，那么結(jié)果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000換成越來越大的數(shù)字，我們會發(fā)現(xiàn)正偶數(shù)所占的比例會越來越接近1/2。這就提示我們可以采用這樣一種關(guān)于自然數(shù)的子集的大小的定義：如果A是自然數(shù)的一個(gè)子集，令p(n)為A中小于n的元素的個(gè)數(shù)，我們稱limn→∞p(n)/n(就是當(dāng)n趨向無窮大時(shí)，p(n)/n的極限)為A相對于自然數(shù)集合的大小。在這個(gè)定義下，正偶數(shù)集合相對于自然數(shù)集合的大小就是1/2。按照這樣的定義，素?cái)?shù)集合相對于自然數(shù)集合的大小是0，這也就是所謂的“幾乎所有的自然數(shù)都不是素?cái)?shù)”。用上面這個(gè)方法還可以比較兩個(gè)自然數(shù)集合的子集的相對大小，具體方法就由讀者自己來思考了。

如果沒有自然數(shù)序結(jié)構(gòu)這個(gè)“背景”，我們就只能夠使用一一對應(yīng)的方法來討論集合的基數(shù)，那種“自然數(shù)的個(gè)數(shù)是正偶數(shù)的個(gè)數(shù)的兩倍”的直覺只是一種錯(cuò)覺。比如說考慮下面平面圖上，所有(2n,n)這樣的點(diǎn)所組成的集合(其中n是自然數(shù))。如果站在x軸的角度來看，我們發(fā)現(xiàn)每隔一列就有一個(gè)點(diǎn)，而列數(shù)顯然和自然數(shù)一樣多，所以點(diǎn)數(shù)就該和正偶數(shù)一樣多;如果站在y軸的角度來看，我們發(fā)現(xiàn)每行都有一個(gè)點(diǎn)，而行數(shù)也和自然數(shù)一樣多，所以點(diǎn)數(shù)就該和自然數(shù)一樣多。按照集合基數(shù)的觀點(diǎn)，自然數(shù)和正偶數(shù)一樣多，上面這種情況完全不造成矛盾，但是“直覺”所給予的一會兒“一樣多”一會兒“兩倍”的印象，就沒有太大的意義了(最多得到“兩倍的無窮大等于無窮大”這種我們按照一一對應(yīng)原則早已熟知，而且解釋得更好的觀點(diǎn))。

除了序結(jié)構(gòu)外，還有其他的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。法國著名的布爾巴基學(xué)派就認(rèn)為數(shù)學(xué)基于三種母結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以混雜在一起得出不同的數(shù)學(xué)對象，比如說實(shí)數(shù)集上有比較大小的序結(jié)構(gòu)，還有由算術(shù)運(yùn)算(加和乘，減和除是它們的逆運(yùn)算)定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)，以及由極限理論(它規(guī)定了某些點(diǎn)必須在另一些點(diǎn)的“附近”)定義的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。布爾巴基學(xué)派試圖用結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)來統(tǒng)一數(shù)學(xué)，出版了著名的《數(shù)學(xué)原理》。結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)大致來說，就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)決定數(shù)學(xué)對象。兩個(gè)分別定義在兩個(gè)不同集合上的數(shù)學(xué)對象，如果它們的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，那么即使集合中的元素很不相同，它們其實(shí)也是同一個(gè)數(shù)學(xué)對象。在數(shù)學(xué)中我們有時(shí)會碰到“同構(gòu)”這個(gè)詞，就是指在某種一一映射下，兩個(gè)數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同。

舉一個(gè)簡單的例子。中學(xué)里我們學(xué)過復(fù)數(shù)和它的幾何表示法，知道每個(gè)復(fù)數(shù)都可以對應(yīng)到直角坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)，而復(fù)數(shù)的加法和乘法也都有各自的幾何意義。在這里，一個(gè)復(fù)數(shù)是a+bi這樣的一對數(shù)，還是平面上的一個(gè)點(diǎn)(a,b)并不是關(guān)鍵，盡管一對數(shù)和一個(gè)點(diǎn)是完全不同的兩樣?xùn)|西，只要在實(shí)數(shù)對集合和平面點(diǎn)集上面由加法和乘法決定代數(shù)結(jié)構(gòu)是相同的，它們都可稱作是復(fù)數(shù)，是同一個(gè)數(shù)學(xué)對象。相反地，如果我們在平面上定義另一種乘法為(a1,b1)*(a2,b2)=((a1*a2,b1*b2)，那么盡管平面上的點(diǎn)仍舊是那些，但是因?yàn)樵谏厦嫠x的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變了，于是就完全是兩種不同的數(shù)學(xué)對象了。

象上面這樣的例子中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的相同當(dāng)然很直觀，而有一些此類問題則牽涉到極其深刻的數(shù)學(xué)理論，比如說著名的龐加萊猜想(新千年的七大數(shù)學(xué)問題之一，價(jià)值百萬美金:-))就是問，是否任意閉單連通3維流形都同胚于3維球，換句話說，是否給定了“閉單連通”這個(gè)條件，在3維流形上就只能有一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，也就是3維球的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)?另外，證明兩個(gè)原來似乎沒有關(guān)系的數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)其實(shí)是相同的，意義非常重大，這樣的定理是連通兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的橋梁。這意味著這兩個(gè)數(shù)學(xué)對象其實(shí)是同一種東西，對于其中一個(gè)數(shù)學(xué)對象成立的理論，可以立刻應(yīng)用在另一個(gè)上面;以往用來研究一種數(shù)學(xué)對象的方法，就可以被用來研究另一類數(shù)學(xué)對象。本文開頭說到英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費(fèi)爾馬大定理，他證明的其實(shí)是更一般的“谷山-志村猜想”。這個(gè)猜想就是此類意義重大的命題，它溝通了兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域：橢圓曲線和模形式。它的證明被稱為是“人類智慧的凱歌”。

最后舉個(gè)搞笑的例子。網(wǎng)上有人發(fā)現(xiàn)了下面兩張圖片，左邊是變形金剛的電影招貼，右邊是藍(lán)貓的廣告，構(gòu)成畫面的元素不同，一個(gè)是機(jī)器人，一個(gè)是藍(lán)貓和它的朋友，但是擺的“甫士”和畫面結(jié)構(gòu)卻相同，也算是個(gè)不光彩的“同構(gòu)”例子吧。

“一個(gè)平面上的點(diǎn)應(yīng)該比一條直線上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)多”這樣的直覺也可以用附加的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來解釋合理性。當(dāng)我們想像直線或平面上的點(diǎn)時(shí)，我們不但想像了那些點(diǎn)集，同時(shí)也在想像著這些點(diǎn)集構(gòu)成的直線和平面，于是它們就再不是那些集合中散亂的點(diǎn)了，它們的排列非常有規(guī)律。換句話說，我們在點(diǎn)集上增加了決定直線和平面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如果我們把直線和平面看作是實(shí)數(shù)域上的線性空間(關(guān)于線性空間的理論是線性代數(shù)，所有理科的學(xué)生會在大學(xué)一年級學(xué)習(xí))，我們就遇見了一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：首先我們需要一個(gè)實(shí)數(shù)域，上面有一個(gè)域的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其次我們在直線和平面的點(diǎn)集上定義了一個(gè)交換群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，最后在實(shí)數(shù)域和交換群上定義了稱作“數(shù)乘”的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)同域和交換群上的各種運(yùn)算都兼容，這樣我們最終得到了這個(gè)被稱為“實(shí)數(shù)域上的線性空間”的代數(shù)結(jié)構(gòu)。上面這一串話也許有點(diǎn)復(fù)雜，但是中心思想就是上面所說的結(jié)構(gòu)主義的思想：數(shù)學(xué)對象是由各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)混雜在一起(當(dāng)然要合理地混雜在一起，上面所說的“兼容”就是這個(gè)意思)而得到的。一旦我們這樣規(guī)定了線性空間的結(jié)構(gòu)，我們就可以定義線性空間的維數(shù)，這時(shí)我們可以說，兩維的線性空間(平面)在這種意義下要比一維的線性空間(直線)大。

從上面兩個(gè)例子我們看到，當(dāng)集合中的元素只是被看做一個(gè)沒有任何數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的集合中散亂的元素時(shí)，我們只能用一一對應(yīng)的方法來比較集合的大小;而當(dāng)豐富多彩的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)被加在集合上時(shí)，我們才有可能用更精細(xì)和更符合直覺的手段來定義不同的比較(附加有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的)集合大小的方法。

高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)難點(diǎn)總結(jié)

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，作為高中教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動起來，幫助高中教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。關(guān)于好的高中教案要怎么樣去寫呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)難點(diǎn)總結(jié)》，僅供參考，大家一起來看看吧。

高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)難點(diǎn)總結(jié)

立體幾何初步

NO.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

棱柱

定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱。

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

棱臺

定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

圓柱

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。

圓錐

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

圓臺

定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

球體

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

NO.2空間幾何體的三視圖

定義三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

NO.3空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法

斜二測畫法特點(diǎn)

①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

直線與方程

直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α180°

直線的斜率

定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，不存在。

過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：

（注意下面四點(diǎn)）

(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°;

(2)k與P1、P2的順序無關(guān);

(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

冪函數(shù)

定義

形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

定義域和值域

當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域

性質(zhì)

對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對于x0，則a可以是任意實(shí)數(shù);

排除了為0這種可能，即對于x0和x0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)

(1)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。

(2)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

(3)函數(shù)圖形都是下凹的。

(4)a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。

(5)可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的過程中(當(dāng)然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過渡位置。

(6)函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無限趨向于X軸，永不相交。

(7)函數(shù)總是通過(0，1)這點(diǎn)。

(8)顯然指數(shù)函數(shù)無界。

奇偶性

定義

一般地，對于函數(shù)f(x)

(1)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。

(2)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。

(3)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時(shí)成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。

(4)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。