高中函數(shù)的應(yīng)用教案

函數(shù)的零點。

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負責，作為高中教師就要早早地準備好適合的教案課件。教案可以讓學生們有一個良好的課堂環(huán)境，幫助高中教師緩解教學的壓力，提高教學質(zhì)量。高中教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？下面是由小編為大家整理的“函數(shù)的零點”，歡迎閱讀，希望您能閱讀并收藏。

§2.5函數(shù)的零點（一）
【學習目標】:
理解函數(shù)（結(jié)合二次函數(shù)）零點的概念，領(lǐng)會函數(shù)零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系，掌握零點存在的判定條件．

【教學過程】：
一、復習引入：
1．試解出下列方程的近似解：（1）（2）
2．二次函數(shù)的解析式：
（1）一般式（2）頂點式（3）零點式

二、新課講授：
思考1．下列兩個問題的結(jié)果是否相同：
（1）求一元二次方程的根；
（2）求二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標。
1．零點定義：一般地，我們把稱為函數(shù)的零點。
思考2．判斷下列函數(shù)的零點的個數(shù)：
1）；2）；3）；
4）；5）．
思考3．函數(shù)的零點與方程及函數(shù)的圖象有何關(guān)系？
思考4．函數(shù)的零點是點還是數(shù)？
思考5．已知，求函數(shù)的零點．
思考6．零點存在性的探索：
（1）觀察二次函數(shù)的圖象：
①=,=,0在區(qū)間上(有/無)零點.
②0（或）在區(qū)間上(有/無)零點.
（2）觀察函數(shù)的圖象：
（1）在區(qū)間上(有/無)零點；
0（“”或“”）。
（2）在區(qū)間上(有/無)零點；
0（“”或“”）。
（3）在區(qū)間上(有/無)零點；
0（“”或“”）。
由以上的探索你可以得出什么結(jié)論?
2．零點的存在性定理：一般地，若函數(shù)在，且，則稱函數(shù)在區(qū)間上有零點。
思考7．試求出函數(shù)的正零點（精確到0.1）。
3．二分法：對于在區(qū)間上不間斷，且0的函數(shù)，通過不斷把零點所在的區(qū)間，使區(qū)間的兩個端點，進而得到零點的方法。

三、典例欣賞：
例1．求證：二次函數(shù)有兩個不同的零點．

變題1：求證：函數(shù)在區(qū)間上存在零點．

變題2：判斷函數(shù)在區(qū)間上是否存在零點．

變題3：求證：無論a取什么實數(shù)，二次函數(shù)都有兩個零點，并求出最小時的二次函數(shù)的解析式。

例2．如圖：這是一個二次函數(shù)的圖象：（1）寫出這個二次函數(shù)的零點；（2）寫出這個二次函數(shù)的解析式；（3）分別比較，與0的大小關(guān)系。

例3．證明方程在區(qū)間內(nèi)有惟一一個實數(shù)根，并求出這個實數(shù)根（精確到0.1）。

【針對訓練】班級姓名學號
1．二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，則三角形ABC的面積為____________________.
2．一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點個數(shù)為____________.
3．拋物線與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是______________.
4．若二次函數(shù)滿足，且有兩實根，則_.
5．與x軸無交點，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第_____象限.
6．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為2，則該函數(shù)的零點個數(shù)有個。
7．用二分法求方程在區(qū)間[1，3]內(nèi)的實根，取區(qū)間中點，那么下一個有根區(qū)間是（2，3）
8．用二分法研究函數(shù)的零點時，若第一次經(jīng)計算得，（其中），可以得到其中一個零點，第二次應(yīng)計算
9．證明：（1）函數(shù)有兩個不同的零點；
（2）函數(shù)在區(qū)間上有零點。

10．已知拋物線與x軸有兩個不同的交點，(1)求m的取值范圍；
(2)拋物線與x軸相交于點A，B，且B點的坐標為（3，0）求出A點的坐標，拋物線的對稱軸和頂點坐標。

11．已知二次函數(shù)，其中為實數(shù)。
（1）證明對任意實數(shù)，這個二次函數(shù)必有兩個零點；
（2）若兩個零點分別為，且的倒數(shù)和為，求這個二次函數(shù)的解析式。

12．求證：無論a取什么實數(shù)，二次函數(shù)y=x2+ax+a-2的圖象都與x軸相交且有兩個不同的交點，并求出這兩點間的距離為最小時的二次函數(shù)的解析式。

相關(guān)閱讀

方程的根與函數(shù)的零點教案

3.1.1方程的根與函數(shù)的零點

（一）教學目標
1．知識與技能
（1）理解函數(shù)零點的意義，了解函數(shù)零點與方程根的關(guān)系.
（2）由方程的根與函數(shù)的零點的探究，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想.
2．過程與方法
由一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點情況分析，導入零點的概念，引入方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系，從而培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化化歸思想和探究問題的能力.
3．情感、態(tài)度與價值觀
在體驗零點概念形成過程中，體會事物間相互轉(zhuǎn)化的辨證思想，享受數(shù)學問題研究的樂趣.
（二）教學重點與難點
重點：理解函數(shù)零點的概念，掌握函數(shù)零點與方程根的求法.
難點：數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化化歸思想的培養(yǎng)與應(yīng)用.
（三）教學方法
在相對熟悉的問題情境中，通過學生自主探究，合作交流中完成的學習任務(wù).嘗試指導與自主學習相結(jié)合.
（四）教學過程
教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖
復習引入觀察下列三組方程與函數(shù)
方程函數(shù)
x2–2x–3=0y=x2–2x–3
x2–2x+1=0y=x2–2x+1
x2–2x+3=0y=x2–2x+3
利用函數(shù)圖象探究方程的根與函數(shù)圖象與x軸的交點之間的關(guān)系師生合作
師：方程x2–2x–3=0的根為–1，3函數(shù)y=x2–2x–3與x軸交于點(–1，0)(3，0)
生：x2–2x+1=0有相等根為1.
函數(shù)y=x2–2x+1與x軸有唯一交點(1，0).
x2–2x+3=0沒有實根
函數(shù)y=x2–2x+3與x軸無交點
以舊引新，導入課題
概念形成1.零點的概念
對于函數(shù)y=f(x),稱使y=f(x)=0的實數(shù)x為函數(shù)y=f(x)的零點
2.函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系
方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)
y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)的零點
3.二次函數(shù)零點的判定
對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c與二次方程ax2+bx+c，其判別式△=b2–4ac
判別
式
方程ax2+bx+c=0的根函數(shù)y=ax2+bx+c的零點
△＞0兩不相等實根兩個零點
△=0兩相等實根一個零點
△＜0沒有實根0個零點
師:我們通俗地稱函數(shù)與x軸交點的橫坐標為函數(shù)的零點,請同學歸納零點的定義
師：考察函數(shù)①y=lgx
②y=lg2(x+1)③y=2x
④y=2x–2的零點
生：①y=lgx的零點是x=1
②y=lg2(x+1)的零點是x=0
③y=2x沒有零點
④y=2x–2的零點是x=1
歸納總結(jié)
感知概念
分析特征
形成概念

概念深化引導學生回答下列問題
①如何求函數(shù)的零點？
②零點與圖象的關(guān)系怎樣？
師生合作，學生口答，老師點評，闡述
生①零點即函數(shù)為零對應(yīng)的自變量的值,零點即對應(yīng)方程的根
②零點即函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標
③求零點可轉(zhuǎn)化為求方程的根
以問題討論代替老師的講援
應(yīng)用舉例練習1.求函數(shù)y=–x2–2x+3的零點，并指出y＞0，y=0的x的取值范圍

練習2.求函數(shù)y=x3–2x2–x+2的零點，并畫出它的圖象

練習3.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：（1）–x2+3x+5=0；（2）2x(x–2)=–3；
（3）x2=4x–4；
（4）5x2+2x=3x2+5.學生自主嘗試練習完成練習1、2、3
生：練習1解析：零點–3，1
x∈(–3，1)時y＞0
時y＜0
練習2解析：因為x3–2x2–x+2=x2(x–2)–(x–2)=(x–2)(x2–1)=(x–2)(x–1)(x+1)，
所以已知函數(shù)的零點為–1，1，2.
3個零點把x軸分成4個區(qū)間：，[–1，1]，[1，2]，
在這4個區(qū)間內(nèi)，取x的一些值（包括零點），列出這個函數(shù)的對應(yīng)值表：
x…–1.5–1–0.500.511.522.5…
y…–4.3801.8821.130–0.6302.63…
在直角坐標系內(nèi)描點連線，這個函數(shù)的圖象如圖所示
練習3解析：（1）令f(x)=–x2+3x+5，作出函數(shù)f(x)的圖象，它與x軸有兩個交點，所以方程–x2+3x+5=0有兩個不相等的實數(shù)根.
（2）2x(x–2)=–3可化為2x2–4x+3=0
令f(x)=2x2–4x+3作出函數(shù)f(x)的圖象，它與x軸沒有交點，所以方程2x(x–2)=–3無實數(shù)根
（3）x2=4x–4可化為x2–4x+4=0,令f(x)=x2–4x+4，作出函數(shù)f(x)的圖象，它與x軸只有一個交點（相切），所以方程x2=4x–4有兩個相等的實數(shù)根
（4）5x2+2x=3x2+5可化為2x2+2x–5=0，令f(x)=2x2+2x–5，作出函數(shù)f(x)的圖象，它與x軸有兩個交點，所以方程5x2+2x=3x2+5有兩個不相等的實數(shù)根
師：點評板述練習的解答過程讓學生動手練習或借助多媒體演示，加深對概念的說明，培養(yǎng)思維能力
歸納總結(jié)（1）知識方面
零點的概念、求法、判定
（2）數(shù)學思想方面
函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化思想
借助圖象探尋規(guī)律，即數(shù)形結(jié)合思想學生歸納，老師補充、點評、完善回顧、反思、歸納知識，提高自我整合知識的能力
課后作業(yè)3.1第一課時習案學生獨立完成固化知識，提升能力
備選例題
例：已知a∈R討論關(guān)于x的方程|x2–6x+8|=a的實數(shù)解的個數(shù).
【解析】令f(x)=|x2–6x+8|，g(x)=a，在同一坐標系中畫出f(x)與g(x)的圖象，如圖所示，
f(x)=|(x–3)2–1|，
下面對a進行分類討論，由圖象得，
當a＜0時，原方程無實數(shù)解；
當a=0時，原方程實數(shù)解的個數(shù)為3；
當0＜a＜1時，原方程實數(shù)解的個數(shù)為4；
當a＞1或a=0時，原方程實數(shù)解的個數(shù)為2.

方程的根與函數(shù)的零點教學設(shè)計

教學設(shè)計
3.1.1方程的根與函數(shù)的零點
作者：董雁飛，黑龍江大慶實驗中學教師．本教學設(shè)計獲第五屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動優(yōu)秀課一等獎．
整體設(shè)計
教學目標
知識與技能
1．結(jié)合方程根的幾何意義，理解函數(shù)零點的定義；
2．結(jié)合零點定義的探究，掌握方程的實根與其相應(yīng)函數(shù)零點之間的等價關(guān)系；
3．結(jié)合幾類基本初等函數(shù)的圖象特征，掌握判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法．
過程與方法
1．通過化歸與轉(zhuǎn)化思想的引導，培養(yǎng)學生從已有認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，尋求解決棘手問題方法的習慣；
2．通過數(shù)形結(jié)合思想的滲透，培養(yǎng)學生主動應(yīng)用數(shù)學思想的意識；
3．通過習題與探究知識的相關(guān)性設(shè)置，引導學生深入探究得出判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法；
4．通過對函數(shù)與方程思想的不斷剖析，促進學生對知識靈活應(yīng)用的能力．
情感、態(tài)度與價值觀
1．讓學生體驗化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程這三大數(shù)學思想在解決數(shù)學問題時的意義與價值；
2．培養(yǎng)學生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣；
3．使學生感受學習、探索發(fā)現(xiàn)的樂趣與成功感．
教學重點與難點
教學重點：零點的概念及零點存在性的判定．
教學難點：探究判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法．
教學的方法與手段
授課類型新授課教學方法啟發(fā)式教學、探究式學習
教學課件自制Powerpoint課件多媒體設(shè)備計算機
教學過程
【環(huán)節(jié)一：揭示意義，明確目標】揭示本章意義，指明課節(jié)目標
教師活動：用屏幕顯示
第三章函數(shù)的應(yīng)用
3.1.1方程的根與函數(shù)的零點
教師活動：這節(jié)課我們來學習第三章函數(shù)的應(yīng)用．通過第二章的學習，我們已經(jīng)認識了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，而這一章我們就要運用函數(shù)思想，建立函數(shù)模型，去解決現(xiàn)實生活中的一些簡單問題．為此，我們還要做一些基本的知識儲備．方程的根，我們在初中已經(jīng)學習過了，而我們在初中研究的“方程的根”只是側(cè)重“數(shù)”的一面來研究，那么，我們這節(jié)課就主要從“形”的角度去研究“方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系”．
教師活動：板書標題(方程的根與函數(shù)的零點)．
【環(huán)節(jié)二：巧設(shè)疑云，輕松滲透】設(shè)置問題情境，滲透數(shù)學思想
教師活動：請同學們思考這個問題．用屏幕顯示判斷下列方程是否有實根，有幾個實根？
(1)x2－2x－3＝0；(2)lnx＋2x－6＝0.
學生活動：回答，思考解法．
教師活動：第二個方程我們不會解怎么辦？你是如何思考的？有什么想法？我們可以考慮將復雜問題簡單化，將未知問題已知化，通過對第一個問題的研究，進而來解決第二個問題．對于第一個問題大家都習慣性地用代數(shù)的方法去解決，我們應(yīng)該打破思維定勢，假如第一個方程你不會解，也不會應(yīng)用判別式，你要怎樣判斷其實根個數(shù)呢？
學生活動：思考作答．
教師活動：用屏幕顯示函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象．
學生活動：觀察圖象，思考作答．
教師活動：我們來認真地對比一下．用屏幕顯示表格，讓學生填寫x2－2x－3＝0的實數(shù)根和函數(shù)圖象與x軸的交點．
學生活動：得到方程的實數(shù)根應(yīng)該是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標的結(jié)論．
教師活動：我們就把使方程成立的實數(shù)x稱為函數(shù)的零點．
【環(huán)節(jié)三：形成概念，升華認知】引入零點定義，確認等價關(guān)系
教師活動：這是我們本節(jié)課的第一個知識點．板書(一、函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y＝f(x)，使方程f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點)．
教師活動：我們可不可以這樣認為，零點就是使函數(shù)值為0的點？
學生活動：對比定義，思考作答．
教師活動：結(jié)合函數(shù)零點的定義和我們剛才的探究過程，你認為方程的根與函數(shù)的零點究竟是什么關(guān)系？
學生活動：思考作答．
教師活動：這是我們本節(jié)課的第二個知識點．板書(二、方程的根與函數(shù)零點的等價關(guān)系)．
教師活動：檢驗一下看大家是否真正理解了這種關(guān)系．如果已知函數(shù)y＝f(x)有零點，你怎樣理解它？
學生活動：思考作答．
教師活動：對于函數(shù)y＝f(x)有零點，從“數(shù)”的角度理解，就是方程f(x)＝0有實根，從“形”的角度理解，就是圖象與x軸有交點．從我們剛才的探究過程中，我們知道，方程f(x)＝0有實根和圖象與x軸有交點也是等價的關(guān)系．所以函數(shù)零點實際上是方程f(x)＝0有實根和圖象與x軸有交點的一個統(tǒng)一體．
在屏幕上顯示：
教師活動：下面就檢驗一下大家的實際應(yīng)用能力．
【環(huán)節(jié)四：應(yīng)用思想，小試牛刀】數(shù)學思想應(yīng)用，基礎(chǔ)知識強化
教師活動：用屏幕顯示
求下列函數(shù)的零點．
(1)y＝3x；(2)y＝log2x；(3)y＝1x；(4)y＝

學生活動：由四位同學分別回答他們確定零點的方法．畫圖象時要求用語言描述4個圖象的畫法．
教師活動：根據(jù)學生的描述，在黑板上作出圖象(在接下來探究零點存在性定理時，圖象會成為同學們思考問題的很好的參考)．
教師活動：我們已經(jīng)學習了函數(shù)零點的定義，還學習了方程的根與函數(shù)零點的等價關(guān)系，在這些知識的探究發(fā)現(xiàn)中，我們也有了一些收獲，那我們回過頭來看看能不能解決lnx＋2x－6＝0的根的存在性問題？
學生活動：可受到化歸思想的啟發(fā)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進行求解．
教師活動：用屏幕顯示學生所論述的解題過程．這種解法充分運用了我們前面的解題思想，將未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題，將一個圖象不會畫的函數(shù)轉(zhuǎn)化成了兩個圖象都會畫的函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的交點解決實根存在性問題．看來我們的探究過程是非常有價值的．
教師活動：如果不轉(zhuǎn)化，這個問題就真的解決不了嗎？現(xiàn)在最棘手的問題是y＝lnx＋2x－6的圖象不會畫，那我們能不能不畫圖象就判斷出零點的存在呢？
【環(huán)節(jié)五：探究新知，思形想數(shù)】探究圖象本質(zhì)，數(shù)形轉(zhuǎn)化解疑
教師活動：我們看到，當函數(shù)圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產(chǎn)生了交點，圖象穿過x軸這是一種幾何現(xiàn)象，那么如何用代數(shù)形式來描述呢？用屏幕顯示y＝x2－2x－3的函數(shù)圖象，多次播放拋物線穿過x軸的畫面．
學生活動：通過觀察圖象，得出函數(shù)零點的左右兩側(cè)函數(shù)值異號的結(jié)論．
教師活動：好！我們明確一下這個結(jié)論，函數(shù)y＝f(x)具備什么條件時，能在區(qū)間(a，b)上存在零點？
學生活動：得出f(a)f(b)＜0的結(jié)論．
教師活動：若f(a)f(b)＜0，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上就存在零點嗎？
學生活動：可從黑板上的圖象中受到啟發(fā)，得出只有在[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，在滿足f(a)f(b)＜0的條件時，才會存在零點的結(jié)論．
【環(huán)節(jié)六：歸納定理，深刻理解】初識定理表象，深入理解實質(zhì)
教師活動：其實同學們無形之中已經(jīng)說出了我們數(shù)學中的一個重要定理，那就是零點存在性定理．這是我們本節(jié)課的第三個知識點．板書(三、零點存在性定理)．
教師活動：用屏幕顯示
(函數(shù)零點存在性定理：
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點．
即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．)
教師活動：這個定理比較長，找個同學給大家讀一下，讓大家更好地體會定理的內(nèi)容．
學生活動：讀出定理．
教師活動：大家注意到了嗎，定理中，開始時是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，結(jié)果推出時卻是在開區(qū)間(a，b)上存在零點．你怎樣理解這種差異？
學生活動：思考作答．
教師活動：雖然我們已經(jīng)得到了零點存在性定理，但同學們真的那么坦然嗎？結(jié)合黑板上的圖象，再結(jié)合定理的敘述形式，你對定理的內(nèi)容可有疑問？
學生活動：通過觀察黑板上的板書圖象，大致說出以下問題：
1．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)f(b)＜0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)會是只有一個零點嗎？
2．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)f(b)＞0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)就一定沒有零點嗎？
3．在什么條件下，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可存在唯一零點？
教師活動：那我們就來解決一下這些問題．
學生活動：通過黑板上的圖象舉出反例，得出結(jié)論．
1．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)f(b)＜0，則只能確定f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，有幾個不一定．
2．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)f(b)＞0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)也可能有零點．
3．在零點存在性定理的條件下，如果函數(shù)再具有單調(diào)性，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可存在唯一零點．
【環(huán)節(jié)七：應(yīng)用所學，答疑解惑】把握理論實質(zhì)，解決初始問題
教師活動：現(xiàn)在我們不用畫出圖象也能判斷函數(shù)零點是否存在，存在幾個了．那解決lnx＋2x－6＝0的根的存在性問題應(yīng)該是游刃有余了．
用屏幕顯示
判斷下列方程是否有實根，有幾個實根？
lnx＋2x－6＝0
學生活動：通過對零點存在性的探究和理解，表述該問題的解法.
【環(huán)節(jié)八：歸納總結(jié)，梳理提升】總結(jié)基礎(chǔ)知識，提升解題意識
教師活動：本節(jié)課的知識點已經(jīng)在黑板上呈現(xiàn)出來了，但最重要的，也是貫穿本節(jié)課始終，起到靈魂作用的卻是三大數(shù)學思想，即化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，函數(shù)與方程的數(shù)學思想．數(shù)學思想才是數(shù)學的靈魂所在，也是數(shù)學的魅力所在，對我們解決問題起著絕對的指導作用．愿我們每個同學在今后的學習中體味、感悟、應(yīng)用、升華！
【環(huán)節(jié)九：理論內(nèi)化，鞏固升華】整理思想方法，靈活應(yīng)用解題
設(shè)置四個練習題，檢驗學生對本節(jié)課內(nèi)容的掌握情況，增強學生對所學新知的應(yīng)用意識．
1．函數(shù)f(x)＝x(x2－16)的零點為()
A．(0,0)，(4,0)B．0,4
C．(－4,0)，(0,0)，(4,0)D．－4,0,4
2．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且f(x)在(0，＋∞)上有一個零點，則f(x)的零點個數(shù)為()
A．3B．2C．1D．不確定
3．已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下對應(yīng)值表：
x1234567
f(x)239－711－5－12－26
那么函數(shù)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有()
A．5個B．4個C．3個D．2個
4．函數(shù)f(x)＝－x3－3x＋5的零點所在的大致區(qū)間為()
A．(－2,0)B．(1,2)C．(0,1)D．(0,0.5)
【環(huán)節(jié)十：布置作業(yè)，舉一反三】延伸課堂思維，增強應(yīng)用意識
已知f(x)＝|x2－2x－3|－a，求a取何值時能分別滿足下列條件．
(1)有2個零點；(2)有3個零點；(3)有4個零點．
板書設(shè)計
屏幕方程的根與函數(shù)的零點
一、函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y＝f(x)，使方程f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．
二、方程的根與函數(shù)零點之間的等價關(guān)系
三、零點存在性定理

3.1.1方程的根與函數(shù)的零點教案

§3.1.1方程的根與函數(shù)的零點

教學目的：

1、結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；

2、根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計算器或計算機用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。

教學重點：函數(shù)的零點的概念及求法；能夠借助計算器或計算機用二分法求相應(yīng)方程的近似解。

教學難點：利用函數(shù)的零點作簡圖；對二分法的理解。

課時安排：3課時

教學過程：

一、引入課題

1、思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有什么關(guān)系？

2、指出：

（1）方程x2-2x-3=0的根與函數(shù)y=x2-2x-3的圖象之間的關(guān)系；

（2）方程x2-2x+1=0的根與函數(shù)y=x2-2x+1的圖象之間的關(guān)系；

（3）方程x2-2x+3=0的根與函數(shù)y=x2-2x+3的圖象之間的關(guān)系.

二、新課教解

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有如下關(guān)系：

判別式

△=b2-4ac

△0

△=0

△0

二次函y=ax2+bx+c

的圖象

x

y

x1

x2

x

y

x1=x2

y

x

與x軸有兩個交點（x1,0）,(x2,0)

與x軸有唯一的交點（x1,0）

與x軸沒有交點

一元一次方程

ax2+bx+c=0

的根

有兩個不等的

實數(shù)根x1，x2

x1x2

有兩個相等實數(shù)

根x1=x2

沒有實數(shù)根

2、函數(shù)零點的概念

對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(zeropoint).

方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點

3、連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判別方法：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有f(a)·f(b)0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.

例1求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點個數(shù).

練習：P103第1、2題．

思考：怎樣求解方程lnx+2x-6=0？

4、二分法

對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷、且f(a)·f(b)0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷把函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法。

步驟：1、確定區(qū)間[a,b]，驗證f(a)·f(b)0，給定精確度ε

2、求區(qū)間(a,b)的中點x1

3、計算f(x1);

(1)若f(x1)=0,則x1就是函數(shù)的零點

(2)若f(a)·f(x1)0,則令b=x1(此時零點x0∈(a,x1))

(3)若f(b)·f(x1)0,則令a=x1(此時零點x0∈(x1,b))

4、判斷是否達到精確度ε，即若|a-b|ε,則得到零點的近似值a(或b)；否則得復2～4。

例2、借助電子計算器或計算機用二分法求方程

的近似解（精確到0.1）。

練習：P106第1、2題．

三、歸納小結(jié)，強化思想

本節(jié)主要學習了函數(shù)的零點的概念及求法；借助計算器或

計算機用二分法求相應(yīng)方程的近似解。

四、作業(yè)布置

1．必做題：教材P108習題3．1（A組）第1－6題．

2．選做題：教材P109習題3．1（B組）第2題

《方程的根與函數(shù)的零點》教案設(shè)計

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，作為教師就要早早地準備好適合的教案課件。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，幫助教師在教學期間更好的掌握節(jié)奏。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面是小編為大家整理的“《方程的根與函數(shù)的零點》教案設(shè)計”，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

《方程的根與函數(shù)的零點》教案設(shè)計

1、教學設(shè)計的理念
本節(jié)課以提升數(shù)學核心素養(yǎng)的為目標任務(wù)，樹立學科育人的教學理念，以層層遞進的“問題串”引導學生學習，運用從特殊到一般的研究策略，進行教學流程的“再創(chuàng)造”，積極啟發(fā)學生思考。
2、教學分析
在本節(jié)課之前，已經(jīng)學習了函數(shù)概念與性質(zhì)，研究并掌握了部分基本初等函數(shù)，接下來就要研究函數(shù)的應(yīng)用。函數(shù)的應(yīng)用，教材分三步來展開，第一步，建立一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的本質(zhì)聯(lián)系.第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數(shù)圖象和性質(zhì)研究方程的解，進一步體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系.第三步，在函數(shù)模型的應(yīng)用過程中，通過建立函數(shù)模型以及模型的求解，更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系.
3、教學目標
（1）經(jīng)歷函數(shù)零點概念生成過程，理解函數(shù)的零點與方程的根之間的本質(zhì)聯(lián)系；
（2）經(jīng)歷零點存在性定理的發(fā)現(xiàn)過程，理解零點存在定理，會判斷函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)是否有零點；
（3）積極培養(yǎng)學生良好的學習習慣，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。
4、教學重點、難點
教學重點：零點的概念及零點存在性的判定。
教學難點：探究判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法。
5、教學過程
環(huán)節(jié)一：利用一個學生不能求解的方程來創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學生的求知欲，引導學生將復雜的問題簡單化，從已有認知結(jié)構(gòu)出發(fā)來思考問題
環(huán)節(jié)二：建立一元二次方程的根與相應(yīng)二次函數(shù)圖象的關(guān)系，突出數(shù)形結(jié)合的思想方法，并引導學生從特殊到一般，得到方程的根與相應(yīng)函數(shù)零點的本質(zhì)聯(lián)系
環(huán)節(jié)三：利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，從直觀到抽象，具體到一般，得到判斷函數(shù)零點存在的充分條件（即函數(shù)的零點存在性定理）
環(huán)節(jié)四：學會判斷函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)是否存在零點
教學過程與操作設(shè)計：
環(huán)節(jié)
教學內(nèi)容設(shè)置
師生雙邊互動
創(chuàng)
設(shè)
情
境
《方程的根與函數(shù)的零點》教學設(shè)計先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象：
方程與函數(shù)
方程與函數(shù)
方程與函數(shù)
師：引導學生解方程，畫函數(shù)圖象，分析方程的根與圖象和軸交點坐標的關(guān)系，引出零點的概念．
組
織
探
究
二次函數(shù)的零點：
二次函數(shù)
．
１）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點．
２）△＝０，方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點．
３）△＜０，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點．
生：獨立思考完成解答，觀察、思考、總結(jié)、概括得出結(jié)論，并進行交流．
師：上述結(jié)論推廣到一般的一元二次方程和二次函數(shù)又怎樣？
環(huán)節(jié)
教學內(nèi)容設(shè)置
師生雙邊互動
組
織
探
究
函數(shù)零點的概念：
對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．
函數(shù)零點的意義：
函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．
即：
方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．
函數(shù)零點的求法：
求函數(shù)的零點：
（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根；
（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．
師：引導學生仔細體會左邊的這段文字，感悟其中的思想方法．
生：認真理解函數(shù)零點的意義，并根據(jù)函數(shù)零點的意義探索其求法：
代數(shù)法；
幾何法．
環(huán)節(jié)
教學內(nèi)容設(shè)置
師生互動設(shè)計
探
究
與
發(fā)
現(xiàn)
零點存在性的探索：
（Ⅰ）觀察二次函數(shù)的圖象：
在區(qū)間上有零點______；
_______，_______,
·_____0（＜或＞）．
在區(qū)間上有零點______；
·____0（＜或＞）．
由以上探索，你可以得出什么樣的結(jié)論？
怎樣利用函數(shù)零點存在性定理，斷定函數(shù)在某給定區(qū)間上是否存在零點．
生：根據(jù)函數(shù)零點的意義探索研究二次函數(shù)的零點情況，形成結(jié)論．
師：引導學生結(jié)合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值的符號情況，與函數(shù)零點是否存在之間的關(guān)系．
環(huán)節(jié)
教學內(nèi)容設(shè)置
師生互動設(shè)計
例
題
研
究
例1．求函數(shù)的零點個數(shù)．
問題：
1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點個數(shù)？
2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？
《方程的根與函數(shù)的零點》教學設(shè)計
師：引導學生探索判斷函數(shù)零點的方法，指出可以借助計算機或計算器來畫函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象對函數(shù)有一個零點形成直觀的認識．
生：借助計算機或計算器畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定零點所在的區(qū)間，然后利用函數(shù)單調(diào)性判斷零點的個數(shù)．
6、小結(jié)與反饋：說說方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系，并給出判定方程在某個區(qū)產(chǎn)存在根的基本步驟．
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