小學六年級數(shù)學教案
發(fā)表時間：2020-11-24八年級數(shù)學下冊第六章《平行四邊形》知識點歸納（北師大版）。
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八年級數(shù)學下冊第六章《平行四邊形》知識點歸納（北師大版）
一、平行四邊形性質(zhì)（dG15.Com 工作總結(jié)之家）
1.定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
2性質(zhì)：
（1）平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心。
（2）平行四邊形對邊相等；
（3）平行四邊形對角相等；
（4）平行四邊形對角線互相平分
二、平行四邊形判定
1、判定：
（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（2）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
2、平行線之間的距離：如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離都相等，這個距離稱為平行線之間的距離。
三、三角形的中位線
1、定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
2、定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。
四、多邊形的內(nèi)角和與外角和
1、定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）*180°
2、定理：多邊形的外角和等于360°
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北師大版八年級數(shù)學下第六章平行四邊形全章復習與鞏固（提高）知識講解
《平行四邊形》全章復習與鞏固（提高）
責編：杜少波
【學習目標】
1.掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理.
2.掌握三角形的中位線定理.
3.了解多邊形的定義以及內(nèi)角、外角、對角線等概念.掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.
4.積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展推理能力.
【知識網(wǎng)絡(luò)】
【要點梳理】
要點一、平行四邊形的定義
平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“口ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.
要點詮釋：平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心.
要點二、平行四邊形的性質(zhì)定理
平行四邊形的對角相等；
平行四邊形的對邊相等；
平行四邊形的對角線互相平分；
要點詮釋：（1）平行四邊形的性質(zhì)定理中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.
（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時根據(jù)需要進行選擇.
（3）利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決.
要點三、平行四邊形的判定定理
1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
2.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
3.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
要點詮釋：
（1）這些判定方法是學習本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當幾種方法都能判定同一個
行四邊形時，應(yīng)選擇較簡單的方法.
（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).
要點四、平行線間的距離
1.兩條平行線間的距離：
（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值.
2．平行線性質(zhì)定理及其推論
夾在兩條平行線間的平行線段相等.
平行線性質(zhì)定理的推論：
夾在兩條平行線間的垂線段相等.
要點五、三角形的中位線
三角形的中位線
1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
要點詮釋：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.
（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.
（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.
要點六、多邊形內(nèi)角和、外角和
邊形的內(nèi)角和為(－2)180°(≥3)．
要點詮釋：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；
(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于；
多邊形的外角和為360°．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).
【典型例題】
類型一、平行四邊形的性質(zhì)與判定
1、（2015海淀區(qū)二模）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC邊上一點，以AD為邊作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．
（1）直接寫出∠ADE的度數(shù)（用含α的式子表示）；
（2）以AB，AE為邊作平行四邊形ABFE，
①如圖2，若點F恰好落在DE上，求證：BD=CD；
②如圖3，若點F恰好落在BC上，求證：BD=CF．
【思路點撥】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，繼而求得∠ADE的度數(shù)；
（2）①由四邊形ABFE是平行四邊形，易得∠EDC=∠ABC=α，則可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，證得AD⊥BC，又由AB=AC，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，即可證得結(jié)論；②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四邊形ABFE是平行四邊形，可得AE∥BF，AE=BF．即可證得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可證得AD=CD，又由AD=AE=BF，證得結(jié)論．
【答案與解析】
解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，
∴∠BAC=180°﹣2α，
∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠DAE=2α，
∵AE=AD，
∴∠ADE=90°﹣α；
（2）①證明：∵四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AB∥EF．
∴∠EDC=∠ABC=α，
由（1）知，∠ADE=90°﹣α，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD；
②證明：∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠C=∠B=α．
∵四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AE∥BF，AE=BF．
∴∠EAC=∠C=α，
由（1）知，∠DAE=2α，
∴∠DAC=α，
∴∠DAC=∠C．
∴AD=CD．
∵AD=AE=BF，
∴BF=CD．
∴BD=CF．
【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)與判定．注意（2）①中證得AD⊥BC是關(guān)鍵，（2）②中證得AD=CD是關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】分別以口ABCD（∠CDA≠90°）的三邊AB，CD，DA為斜邊作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如圖1，當三個等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時，連接GF，EF．請判斷GF與EF的關(guān)系并證明）；
（2）如圖2，當三個等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時，連接GF，EF，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
【答案】
解：（1）GF⊥EF，GF＝EF成立；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，
∴∠GDF＝∠GDC＋∠CDA＋∠ADF＝90°＋∠CDA，
∠EAF＝360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD＝270°﹣（180°﹣∠CDA）＝90°＋∠CDA，
∴∠FDG＝∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，
∴∠GFE＝90°，∴GF⊥EF；
（2）GF⊥EF，GF＝EF成立；
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，
∴∠BAE＋∠FAD＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，
∴∠EAF＋∠CDF＝45°，
∵∠CDF＋∠FDG＝45°，
∴∠FDG＝∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，
∴∠GFE＝90°，
∴GF⊥EF．
2、如圖，點D是△ABC的邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不與點B重合）．以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點P、E在直線AB的同側(cè)），如果BD＝AB，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為（）
A．B．C．D．
【答案與解析】
解：過點P作PH∥BC交AB于H，連接CH，PF，
∵APBE，
∴四邊形APEB是平行四邊形，
∴PE∥AB，PE＝AB，
∵四邊形BDEF是平行四邊形，
∴EF∥BD，EF＝BD，
即EF∥AB，
∴P，E，F(xiàn)共線，
設(shè)BD＝，∵BD＝AB，∴PE＝AB＝4，
則PF＝PE－EF＝3，
∵PH∥BC，
∴，
∵PF∥AB，
∴四邊形BFPH是平行四邊形，
∴BH＝PF＝3，
∵＝BH：AB＝3：4＝3：4，
∴＝3：4．
【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)與三角形面積比的求解方法．此題難度較大，注意準確作出輔助線，注意等高三角形面積的比等于其對應(yīng)底的比．
舉一反三：
【變式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分別以AB、AC、BC為一邊在BC邊同側(cè)作正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四點為頂點圍成的四邊形的面積．
【答案】
證明：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠BAC＝90°
∵△ABD、△ACE和△BCF為正三角形，
∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC,
∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60°
∴∠1＝∠2
易證△BAC≌△BDF（SAS），
∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90°
同理可證△BAC≌△FEC
∴AB＝AD＝EF＝3
∴四邊形AEFD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）
∵DF∥AE，DF⊥BD
延長EA交BD于H點，AH⊥BD，則H為BD中點
∴平行四邊形AEFD的面積＝DF×DH＝4×＝6.
3、在平行四邊形ABCD中，點A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分別AB和CD的五等分點，點B1，B2和D1，D2分別是BC和DA的三等分點，已知四邊形A4B2C4D2的面積為1，則平行四邊形ABCD面積為（）
A．2B．C．D．15
【思路點撥】可以設(shè)平行四邊形ABCD的面積是S，根據(jù)等分點的定義利用平行四邊形ABCD的面積減去四個角上的三角形的面積，就可表示出四邊形A4B2C4D2的面積，從而得到兩個四邊形面積的關(guān)系，即可求解．
【答案】C；
【解析】
解：設(shè)平行四邊形ABCD的面積是S，設(shè)AB＝5，BC＝3．
AB邊上的高是3，BC邊上的高是5．
則S＝53＝35．即＝＝．
△AA4D2與△B2CC4全等，B2C＝BC＝，B2C邊上的高是5＝4．
則△AA4D2和△B2CC4的面積是2＝．
同理△D2C4D與△A4BB2的面積是．
則四邊形A4B2C4D2的面積是S－－－－＝，即＝1，
解得S＝．
【總結(jié)升華】考查平行四邊形的性質(zhì)和三角形面積計算，正確利用等分點的定義，得到兩個四邊形的面積的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
類型二、三角形的中位線
4、如圖，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC＝10，則PQ的長為（）
A.B.C.3D.4
【答案】C；
【解析】
解：易證△ABQ≌△EBQ,AB＝BE，Q為AE中點，
△ACP≌△DCP,AC＝CD，P為AD中點，
∴PQ∥DE,PQ＝DE，
∵AB＋AC＋BC＝26，BC＝10，
∴AB＋AC＝BE＋CD＝16＝BD＋DE＋DE＋EC＝BC＋DE，
∴DE＝6，PQ＝DE＝3.
【總結(jié)升華】本題考查了三角形的中位線定理及等腰三角形的判定，注意培養(yǎng)自己的敏感性，一般出現(xiàn)高、角平分線重合的情況，都需要找到等腰三角形．
類型三、多邊形內(nèi)角和與外角和
5、若一個多邊形的每個外角都等于60°，則它的內(nèi)角和等于（）
A．180°B．720°C．1080°D．540°
【思路點撥】由一個多邊形的每個外角都等于60°，根據(jù)邊形的外角和為360°計算出多邊形的邊數(shù)，然后根據(jù)邊形的內(nèi)角和定理計算即可．
【答案】B；
【解析】
解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，
∵多邊形的每個外角都等于60°，
∴＝360°÷60°＝6，
∴這個多邊形的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°．
【總結(jié)升華】本題考查了邊形的內(nèi)角和定理：邊形的內(nèi)角和＝（－2）180°；也考查了邊形的外角和為360°．
舉一反三：
【變式】（2016秋小金縣校級期末）一個多邊形的每個內(nèi)角都相等，且一個外角比一個內(nèi)角大60°，求這個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)及邊數(shù)．
【答案】解：設(shè)內(nèi)角是x°，外角是y°，
則得到一個方程組，
解得．
而任何多邊形的外角是360°，
則多邊形中外角的個數(shù)是360÷120=3，
故這個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是60°，邊數(shù)是三邊形．
6、甲、乙兩人想在正五邊形ABCDE內(nèi)部找一點P，使得四邊形ABPE為平行四邊形，其作法如下：
（甲）連接BD、CE，兩線段相交于P點，則P即為所求
（乙）先取CD的中點M，再以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AM于P點，則P即為所求．
對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）
A．兩人皆正確B．兩人皆錯誤
C．甲正確，乙錯誤D．甲錯誤，乙正確
【思路點撥】求出五邊形的每個角的度數(shù)，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度數(shù)，根據(jù)平行四邊形的判定判斷即可．
【答案】C；
【解析】
解：甲正確，乙錯誤，
理由是：如圖，∵正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是＝108°，
AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°－108°）＝36°，
同理∠CBD＝∠CDB＝36°，
∴∠ABP＝∠AEP＝108°－36°＝72°，
∴∠BPE＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A，
∴四邊形ABPE是平行四邊形，即甲正確；
∵∠BAE＝108°，
∴∠BAM＝∠EAM＝54°，
∵AB＝AE＝AP，
∴∠ABP＝∠APB＝×（180°－54°）＝63°，∠AEP＝∠APE＝63°，
∴∠BPE＝360°－108°－63°－63°≠108°，
即∠ABP＝∠AEP，∠BAE≠∠BPE，
∴四邊形ABPE不是平行四邊形，即乙錯誤；
【總結(jié)升華】本題考查了正五邊形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定的應(yīng)用，注意：有兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
北師大版九年級數(shù)學上冊《特殊平行四邊形》知識點歸納
北師大版九年級數(shù)學上冊《特殊平行四邊形》知識點歸納
一.菱形的性質(zhì)與判定
1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
2性質(zhì)：（1）菱形是軸對稱圖形。（2）菱形的四條邊相等。（3）菱形的對角線互相垂直平分。（4）
3.判定：（1）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。（2）四邊相等的四邊形是菱形。
二、矩形的性質(zhì)與判定
1、定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，
2、性質(zhì)：（1）、矩形是軸對稱圖形。（2）、矩形的四個角都是直角。（3）矩形的對角線相等。
推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
3、判定：（1）對角線相等的平行四邊形是矩形。（2）有三個角是直角的四邊形是矩形。
三.正方形的性質(zhì)與判定
1、定義：有一組鄰邊相等，并且有地全直角是直角的平行四邊形叫做正方形。
2、性質(zhì)：（1）正方形的四個角是直角，四條邊相等。（2）正方形的對角線相等且互相垂直平分。
3、判定：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。（2）對角線互相垂直的矩形是正方形（3）有一個角是直角的菱形是正方形（4）對角線相等的菱形是正方形。
八年級數(shù)學下冊《平行四邊形》教案
八年級數(shù)學下冊《平行四邊形》教案
一、教學目標
1．以邊玩邊學的方式，通過運用圖形的變換，探索平行四邊形的定義和性質(zhì)。能利用平行四邊形概念和性質(zhì)進行簡單的推理和計算。
2．經(jīng)歷探索平行四邊形性質(zhì)的過程，發(fā)展學生的思維水平和良好的思維品質(zhì)，提高學生有條理的表達能力。
3．通過拼圖，發(fā)展學生的動手能力、探索能力、合情推理能力，培養(yǎng)合作交流的習慣。體
驗數(shù)學與生活的聯(lián)系，激發(fā)學生學習的興趣。
二、教學重點
平行四邊形的定義和性質(zhì)
三、教學難點
探索和掌握平行四邊形的性質(zhì)
四、教學過程
（一）情境創(chuàng)設(shè)
（二）探索活動
活動一：探索平行四邊形的概念
（1）拼四邊形.
（2）給出平行四邊形的定義.
（3）①請你舉出生活中具有平行四邊形形象的例子.②欣賞圖片.
（4）練議：辨析平行四邊形.
活動二：探索平行四邊形的對稱性
（1）操作：旋轉(zhuǎn)平行四邊形中的一個三角形使其與另一個三角形重合.
（2）結(jié)論：平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.
活動三：探究平行四邊形的性質(zhì)
（1）運用平行四邊形的中心對稱性研究平行四邊形的性質(zhì).
（2）運用平行四邊形的定義研究平行四邊形的性質(zhì).
（3）練議：
①下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具備的是（）
(A)對角相等(B)鄰角互補(C)對角互補(D)對角線互相平分
②在□ABCD中，若AB=8，周長等于36，則與DC=，BC=.
③如圖，在□ABCD中，若B=50，
則A=，D=．
活動四：平行四邊形的定義與性質(zhì)的應(yīng)用
⑴請同桌的兩個同學合作，用四張三角形紙片拼出一個大三角形.
⑵課件展示拼大三角形的過程.
⑶例題研究：
如圖，已知∥，∥，
∥圖中有幾個平行四邊形？將它們表示出來，并說明理由.
討論：①△ABC的三個角與△的三個角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？
②點A、B、C分別為△各邊中點嗎？為什么？
（三）鞏固練習
如圖，□ABCD的對角線相交于點O，BC=7cm,
BD=10cmAC=6cm,求△AOD的周長.
（四）課堂小結(jié)
（五）作業(yè)布置
1、必做題：課本P90頁第1、2題.
2、選做題：如圖，在△ABC中，AB=AC，
點P、E、F分別在BC、AB、AC上，
且PE∥AC，PF∥AB，PE+PF與AB相等嗎？為什么？
【設(shè)計意圖】平行四邊形是我們常見的一種基本圖形,它也是矩形、菱形、正方形的基礎(chǔ)，同時它與梯形又有所區(qū)別.本節(jié)課是在學生學了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上進行的，所以本節(jié)課采用邊玩邊學的方式，對圖形進行變換，讓學生通過操作觀察探索交流歸納有條理地表達等途徑，獲得平行四邊形的定義和性質(zhì).讓學生通過經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用過程，更好地理解數(shù)學知識的意義，掌握必要的基礎(chǔ)知識與基本技能，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學知識的意識與能力.本節(jié)課無論是課題的引入，還是定義的形成；無論是性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，還是例題的講解，都是在玩中實現(xiàn)，在玩中升華，自始至終都貫穿著在玩中學，在學中玩的理念.
