高中物理動能定理教案

《正弦定理》知識點。

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，作為高中教師就要早早地準備好適合的教案課件。教案可以讓學生更好的吸收課堂上所講的知識點，幫助高中教師有計劃有步驟有質量的完成教學任務。高中教案的內容要寫些什么更好呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“《正弦定理》知識點”，僅供參考，希望能為您提供參考！

《正弦定理》知識點

首先,我們要了解下正弦定理的應用領域
在解三角形中,有以下的應用領域:
(1)已知三角形的兩角與一邊,解三角形
(2)已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角,解三角形
(3)運用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉換關系
直角三角形的一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦
正弦定理
在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R為三角形外接圓的半徑)
其次,余弦的應用領域
余弦定理
余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理,直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題,若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識,則使用起來更為方便、靈活。
正弦定理的變形公式
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;在一個三角形中,各邊與其所對角的正弦的比相等,且該比值都等于該三角形外接圓的直徑已知三角形是確定的,利用正弦定理解三角形時,其解是唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對角,由于該三角形具有不穩(wěn)定性,所以其解不確定,可結合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角,大角對大邊”定理和三角形內角和定理去考慮解決問題
(3)相關結論:a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R為外接圓半徑)
(4)設R為三角外接圓半徑,公式可擴展為:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即當一內角為90°時,所對的邊為外接圓的直徑。靈活運用正弦定理,還需要知道它的幾個變形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2RasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA
(5)a=bsinA/sinBsinB=bsinA/a

正弦、余弦典型例題
1.在△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,則sinA的值為
2.已知α為銳角,且
,則α的度數(shù)是()A.30°B.45°C.60°D.90°
3.在△ABC中,若
,∠A,∠B為銳角,則∠C的度數(shù)是()A.75°B.90°C.105°D.120°
4.若∠A為銳角,且
,則A=()A.15°B.30°C.45°D.60°
5.在△ABC中,AB=AC=2,AD⊥BC,垂足為D,且AD=,E是AC中點,EF⊥BC,垂足為F,求sin∠EBF的值。
正弦、余弦解題訣竅
1、已知兩角及一邊,或兩邊及一邊的對角(對三角形是否存在要討論)用正弦定理
2、已知三邊,或兩邊及其夾角用余弦定理
3、余弦定理對于確定三角形形狀非常有用,只需要知道最大角的余弦值為正,為負,還是為零,就可以確定是鈍角。直角還是銳角。

擴展閱讀

正弦定理（一）

班級：小組：姓名：編號：
總課題解三角形
課題正弦定理（一）
主備劉芳審核使用時間
學習目標掌握正弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題
學習重點利用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題
學習難點利用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題
學法建議
教學過程反思、總結
一、引入新課
1．如右圖，中的邊角關系：

_____________；

______________；

____________；

邊___________________________．
2．任意中的邊角關系是否也可以如此？如何證明？

3．正弦定理（內容）：
4．練習：
（1）在中，已知，，，則_________；

（2）在中，已知，，，則_________；
（3）一個三角形的兩個內角分別為和，如果角所對的邊長為，那么角所對的邊長是_________；
二、典例賞析
例1嘗試用其他方法證明正弦定理．

例2在中，，，，求，．

例3根據(jù)下列條件解三角形：
（1），，；
（2），，．
歸納小結：
利用正弦定理解以下兩類斜三角形：
（1）已知兩角與任一邊,求其他和；
（2）已知兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的（從而進一步求出其他的和）．
仿照正弦定理的證法一，證明，并運用此結論解決下面問題：
（1）在中，已知，，，求；
（2）在中，已知，，，求和；
三、針對訓練：
1．在中，
（1）已知，，，求，；
（2）已知，，，求，．

2．根據(jù)下列條件解三角形：
（1），，；（2），，．

課堂小結
利用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．

正弦定理教案

教學設計
整體設計
教學分析
本節(jié)內容是正弦定理教學的第一節(jié)課，其主要任務是引入并證明正弦定理．做好正弦定理的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力．
在初中學習過關于任意三角形中大邊對大角、小邊對小角的邊角關系，本節(jié)內容是處理三角形中的邊角關系，與初中學習的三角形的邊與角的基本關系有著密切的聯(lián)系；這里的一個重要問題是：是否能得到這個邊、角關系準確量化的表示．也就是如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題．這樣，用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，形成良好的知識結構．在學法上主要指導學生掌握“觀察——猜想——證明——應用”這一思維方法，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力．
本節(jié)課以及后面的解三角形中涉及到計算器的使用與近似計算，這是一種基本運算能力，學生基本上已經掌握了．若在解題中出現(xiàn)了錯誤，則應及時糾正，若沒出現(xiàn)問題就順其自然，不必花費過多的時間．
本節(jié)可結合課件“正弦定理猜想與驗證”學習正弦定理．
三維目標
1．通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法，會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題．
2．通過正弦定理的探究學習，培養(yǎng)學生探索數(shù)學規(guī)律的思維能力，培養(yǎng)學生用數(shù)學的方法去解決實際問題的能力．通過學生的積極參與和親身實踐，并成功解決實際問題，激發(fā)學生對數(shù)學學習的熱情，培養(yǎng)學生獨立思考和勇于探索的創(chuàng)新精神．
重點難點
教學重點：正弦定理的證明及其基本運用．
教學難點：正弦定理的探索和證明；已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，判斷解的個數(shù)．
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1.(特例引入)教師可先通過直角三角形的特殊性質引導學生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的邊角關系，若∠C為直角，則有a＝csinA，b＝csinB，這兩個等式間存在關系嗎？學生可以得到asinA＝bsinB，進一步提問，等式能否與邊c和∠C建立聯(lián)系？從而展開正弦定理的探究．
思路2.(情境導入)如圖，某農場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，在林場中設立了兩個觀測點A和B，某日兩個觀測點的林場人員分別測到C處有火情發(fā)生．在A處測到火情在北偏西40°方向，而在B處測到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正東方向10千米處．現(xiàn)在要確定火場C距A、B多遠？將此問題轉化為數(shù)學問題，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC與BC的長．”這就是一個解三角形的問題．為此我們需要學習一些解三角形的必要知識，今天要探究的是解三角形的第一個重要定理——正弦定理，由此展開新課的探究學習．
推進新課
新知探究
提出問題
1閱讀本章引言，明確本章將學習哪些內容及本章將要解決哪些問題？
2聯(lián)想學習過的三角函數(shù)中的邊角關系，能否得到直角三角形中角與它所對的邊之間在數(shù)量上有什么關系？
3由2得到的數(shù)量關系式，對一般三角形是否仍然成立？
4正弦定理的內容是什么，你能用文字語言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它？
5什么叫做解三角形？
6利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問題呢？
活動：教師引導學生閱讀本章引言，點出本章數(shù)學知識的某些重要的實際背景及其實際需要，使學生初步認識到學習解三角形知識的必要性．如教師可提出以下問題：怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測量底部不可到達的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨?？這些實際問題的解決需要我們進一步學習任意三角形中邊與角關系的有關知識．讓學生明確本章將要學習正弦定理和余弦定理，并學習應用這兩個定理解三角形及解決測量中的一些問題．
關于任意三角形中大邊對大角、小邊對小角的邊角關系，教師引導學生探究其數(shù)量關系．先觀察特殊的直角三角形．如下圖，在Rt△ABC中，設BC＝a，AC＝b，AB＝c，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，則asinA＝bsinB＝csinC＝c.從而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.
那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立呢？教師引導學生畫圖討論分析．
如下圖，當△ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，有CD＝asinB＝bsinA，則asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.從而asinA＝bsinB＝csinC.
(當△ABC是鈍角三角形時，解法類似銳角三角形的情況，由學生自己完成)
通過上面的討論和探究，我們知道在任意三角形中，上述等式都成立．教師點出這就是今天要學習的三角形中的重要定理——正弦定理．
正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即
asinA＝bsinB＝csinC
上述的探究過程就是正弦定理的證明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進行證明．教師提醒學生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時點撥學生觀察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各邊與其對應角的正弦之間的一個關系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關系；描述了任意三角形中大邊對大角的一種準確的數(shù)量關系．因為如果∠A＜∠B，由三角形性質，得a＜b.當∠A、∠B都是銳角，由正弦函數(shù)在區(qū)間(0，π2)上的單調性，可知sinA＜sinB.當∠A是銳角，∠B是鈍角時，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函數(shù)在區(qū)間(π2，π)上的單調性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，所以仍有sinA＜sinB.
正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，教師鼓勵學生課下進一步探究正弦定理的其他證明方法．
討論結果：
(1)～(4)略．
(5)已知三角形的幾個元素(把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過程叫做解三角形．
(6)應用正弦定理可解決兩類解三角形問題：①已知三角形的任意兩個角與一邊，由三角形內角和定理，可以計算出三角形的另一角，并由正弦定理計算出三角形的另兩邊，即“兩角一邊問題”．這類問題的解是唯一的．②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，可以計算出另一邊的對角的正弦值，進而確定這個角和三角形其他的邊和角，即“兩邊一對角問題”．這類問題的答案有時不是唯一的，需根據(jù)實際情況分類討論．
應用示例
例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9cm，解此三角形．
活動：解三角形就是已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程，在本例中就是求解∠C，b，c.
此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題，直接應用正弦定理可求出邊b，若求邊c，則先求∠C，再利用正弦定理即可．
解：根據(jù)三角形內角和定理，得
∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.
根據(jù)正弦定理，得
b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；
c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．
點評：(1)此類問題結果為唯一解，學生較易掌握，如果已知兩角及兩角所夾的邊，也是先利用三角形內角和定理180°求出第三個角，再利用正弦定理．
(2)對于解三角形中的復雜運算可使用計算器．

變式訓練
在△ABC中(結果保留兩個有效數(shù)字)，
(1)已知c＝3，A＝45°，B＝60°，求b；
(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120°，求a.
解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，
bsinB＝csinC，
∴b＝csinBsinC＝3sin60°sin75°≈1.6.
(2)∵asinA＝bsinB，
∴a＝bsinAsinB＝12sin30°sin120°≈6.9.

例2已知△ABC，根據(jù)下列條件，求相應的三角形中其他邊和角的大小(保留根號或精確到0.1)：
(1)∠A＝60°，∠B＝45°，a＝10；
(2)a＝3，b＝4，∠A＝30°；
(3)b＝36，c＝6，∠B＝120°.
活動：教師可引導學生先畫圖，加強直觀感知，明確解的實際情況，這樣在求解之后，無需作進一步的檢驗，使學生在運用正弦定理求邊、角時，感到目的明確，思路清晰流暢，同時體會分析問題的重要性，養(yǎng)成解題前自覺判定解題策略的良好習慣，而不是盲目亂試，靠運氣解題．
解：(1)因為∠C＝180°－60°－45°＝75°，所以由正弦定理，得
b＝asinBsinA＝10sin45°sin60°＝1063≈8.2，c＝asinCsinA＝10sin75°sin60°≈11.2(如圖1所示)．
圖1
(2)由正弦定理，得
sinB＝bsinAa＝4sin30°3＝23，
因此∠B≈41.8°或∠B≈138.2°(如圖2所示)．
圖2
當∠B≈41.8°時，
∠C≈180°－30°－41.8°＝108.2°，c＝asinCsinA＝3sin108.2°sin30°≈5.7；
當∠B≈138.2°時，
∠C≈180°－30°－138.2°＝11.8°，
c＝asinCsinA＝3sin11.8°sin30°≈1.2(如圖2所示)．
(3)由正弦定理，得
sinC＝csinBb＝6sin120°36＝6×3236＝22，
因此∠C＝45°或∠C＝135°.
因為∠B＝120°，所以∠C＜60°.
因此∠C＝45°，∠A＝180°－∠B－∠C＝15°.
再由正弦定理，得
a＝bsinAsinB＝36sin15°32≈2.2(如圖3所示)．
圖3
點評：通過此例題可使學生明確，利用正弦定理求角有兩種可能，可以通過分析獲得，這就要求學生熟悉已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形．當然對于不符合題意的解的取舍，也可通過三角形的有關性質來判斷，對于這一點，我們通過下面的變式訓練來體會．
變式訓練
在△ABC中，已知a＝60，b＝50，A＝38°，求B(精確到1°)和c.(保留兩個有效數(shù)字)
解：∵b＜a，∴B＜A，因此B也是銳角．
∵sinB＝bsinAa＝50sin38°60≈0.5131，
∴B≈31°.
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°.
∴c＝asinCsinA＝60sin111°sin38°≈91.

例3如圖，在△ABC中，∠A的角平分線AD與邊BC相交于點D，求證：BDDC＝ABAC.
活動：這是初中平面幾何中角平分線的性質定理，用平面幾何的方法很容易證得．教材安排本例的目的是讓學生熟悉正弦定理的應用，教師可引導學生分析相關的三角形的邊角關系，讓學生自己證明．
證明：如圖，在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得
BDsinβ＝ABsinα，①
DCsinβ＝ACsin180°－α＝ACsinα，②
①÷②，得BDDC＝ABAC.
點評：解完此題后讓學生體會是如何通過正弦定理把所要證的線段連在一起的．本例可以啟發(fā)學生利用正弦定理將邊的關系轉化為角的關系，并且注意互補角的正弦值相等這一特殊關系式的應用．
例4在△ABC中，A＝45°，B∶C＝4∶5，最大邊長為10，求角B、C，外接圓半徑R及面積S.
活動：教師引導學生分析條件B∶C＝4∶5，由于A＋B＋C＝180°，由此可求解出B、C，這樣就轉化為已知三個角及最大角所對的邊解三角形，顯然其解唯一，結合正弦定理的平面幾何證法，由此可解三角形，教師讓學生自己探究此題，對于思路有阻的學生可給予適當點撥．
解：由A＋B＋C＝180°及B∶C＝4∶5，可設B＝4k，C＝5k，
則9k＝135°，故k＝15°，那么B＝60°，C＝75°.
由正弦定理，得R＝102sin75°＝5(6－2)，
由面積公式S＝12bcsinA＝12c2RsinBsinA＝75－253.
點評：求面積時，b未知但可轉化為b＝2RsinB，從而解決問題．
1.在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，則△ABC是()
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
答案：D
解析：運用正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB以及結論sin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，
由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，
∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝(sin2A－sin2B)sinC.
∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)sinC.
若sin(A－B)＝0，則A＝B.
若sin(A－B)≠0，則sin2A＋sin2B＝sin2C?a2＋b2＝c2.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．故選D.
2．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于()
A．1∶2∶3B．3∶2∶1
C．1∶3∶2D．2∶3∶1
答案：C
知能訓練
1．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，則△ABC的面積S的值是()
A.2B.3＋1C.12(3＋1)D．22
2．在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，則此三角形的最大邊長為__________．
3．在△ABC中，若(3b－c)cosA＝acosC，則cosA＝__________.
答案：
1．B解析：由正弦定理asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝22，B＝180°－A－C＝105°，
∴△ABC的面積S＝12acsinB＝12×2×22sin105°＝3＋1.
2.532＋66解析：∵B＝105°，C＝15°，∴A＝60°.
∴b為△ABC的最長邊．
由正弦定理，得
b＝asinBsinA＝5sin105°sin60°＝532＋66.
3.33解析：由正弦定理，知
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC的外接圓半徑)．
∴(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，
化簡，得3sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.
∵0＜sinB≤1，
∴cosA＝33.
課堂小結
1．先由學生回顧本節(jié)課正弦定理的證明方法、正弦定理可以解決的兩類問題及解三角形需要注意的問題，特別是兩解的情況應怎樣理解．
2．我們在推證正弦定理時采用了從特殊到一般的分類討論思想，以“直角三角形”作問題情境，由此展開問題的全面探究，正弦定理的證明方法很多，如平面幾何法、向量法、三角形面積法等．讓學生課后進一步探究這些證明方法，領悟這些方法的思想內涵．
3．通過例3引入了三角形外接圓半徑R與正弦定理的關系．但應引起學生注意，R的引入能給我們解題帶來極大的方便．
作業(yè)
習題1—1A組1、2、3.
設計感想
本教案設計思路是：立足于所創(chuàng)設的情境，通過學生自主探索、合作交流，讓學生親身經歷提出問題、解決問題、應用反思的過程，使學生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受創(chuàng)造的快樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到較好的落實．
本教案的設計時刻注意引導并鼓勵學生提出問題．一方面鼓勵學生大膽地提出問題；另一方面注意妥善處理學生提出的問題，啟發(fā)學生抓住問題的數(shù)學實質，將問題逐步引向深入．根據(jù)上述設想，引導學生從感興趣的實際問題到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的情況，從而形成猜想，激起進一步探究的欲望，然后引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明，并讓學生通過自己的努力發(fā)現(xiàn)多種證法，開闊學生視野．
備課資料
一、知識擴展
1．判斷三角形解的方法
“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形，這類問題分為一解、兩解和無解三種情況．一方面，我們可以利用課本上的幾何圖形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函數(shù)的有界性進行分析．
設已知a、b、A，則利用正弦定理
sinB＝bsinAa，
如果sinB＞1，則問題無解；
如果sinB＝1，則問題有一解；
如果求出的sinB＜1，則可得B的兩個值，但要通過“三角形內角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關性質進行判斷．
2．利用正弦定理進行邊角互換
對于三角形中的三角函數(shù)，在進行恒等變形時，常常將正弦定理寫成
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R為△ABC的外接圓半徑)．
這樣可以很方便地把邊和角的正弦進行轉換，我們將在以后具體應用．
3．正弦定理的其他幾種證明方法
(1)三角形面積法
如圖，已知△ABC，設BC＝a，CA＝b，AB＝c，作AD⊥BC，垂足為D.
則Rt△ADB中，sinB＝ADAB，
∴AD＝ABsinB＝csinB.
∴S△ABC＝12aAD＝12acsinB.
同理，可得S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴acsinB＝absinC＝bcsinA.
∴sinBb＝sinCc＝sinAa，即asinA＝bsinB＝csinC.
(2)平面幾何法
如圖，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圓，O為圓心，連結BO并延長交圓于C′點，設BC′＝2R，則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，
∴sinC＝sinC′＝c2R.∴csinC＝2R.
同理，可得asinA＝2R，bsinB＝2R.
∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R.
這就是說，對于任意的三角形，上述關系式均成立，因此，我們得到等式asinA＝bsinB＝csinC.
這種證明方法簡潔明快．在鞏固平面幾何知識的同時，將任意三角形與其外接圓聯(lián)系在一起，并且引入了外接圓半徑R，得到asinA＝bsinB＝csinC＝2R這一等式，其變式為a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可以更快捷地實現(xiàn)邊角互化．特別是可以更直觀地看出正弦定理描述的三角形中大邊對大角的準確數(shù)量關系，為正弦定理的應用帶來更多的便利．
(3)向量法
①如圖，△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量j垂直于AC→，則j與AB→的夾角為90°－A，j與CB→的夾角為90°－C.
由向量的加法原則可得AC→＋CB→＝AB→，
為了與圖中有關角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算，得到j(AC→＋CB→)＝jAB→，
由分配律可得jAC→＋jCB→＝jAB→.
∴|j||AC→|cos90°＋|j||CB→|cos(90°－C)＝|j||AB→|cos(90°－A)．
∴asinC＝csinA.∴asinA＝csinC.
同理，可得csinC＝bsinB.
∴asinA＝bsinB＝csinC.
②如圖，△ABC為鈍角三角形，不妨設A＞90°，過點A作與AC→垂直的單位向量j，則j與AB→的夾角為A－90°，j與CB→的夾角為90°－C.
由AC→＋CB→＝AB→，得jAC→＋jCB→＝jAB→，
即acos(90°－C)＝ccos(A－90°)，
∴asinC＝csinA.∴asinA＝csinC.
同理，可得bsinB＝csinC.∴asinA＝bsinB＝csinC.
③當△ABC為直角三角形時，asinA＝bsinB＝csinC顯然成立．
綜上所述，正弦定理對于銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形均成立．
二、備用習題
1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，則b等于()
A．52B．102C.1063D．56
2．△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且sinB＝12，sinC＝32，則a∶b∶c等于…()
A．1∶3∶2B．1∶1∶3
C．1∶2∶3D．2∶1∶3或1∶1∶3
3．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，則a等于…()
A.6B．2C.3D.2
4．在銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且B＝2A，則ba的取值范圍是…()
A．(－2,2)B．(0,2)C．(1，3)D．(2，3)
5．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，則△ABC的面積為________．
6．在△ABC中，已知a＝334，b＝4，A＝30°，則sinB＝________.
7．在△ABC中，cosA＝－513，cosB＝35，
(1)求sinC的值；
(2)設BC＝5，求△ABC的面積．
參考答案：
1．D解析：由正弦定理，知bsinB＝asinA，即bsin60°＝10sin45°，解得b＝56.
2．D解析：由題意，知C＝60°或120°，B＝30°，因此A＝90°或30°.故選D.
3．D解析：由正弦定理得6sin120°＝2sinC，得sinC＝12，于是有C＝30°或C＝150°(不符合題意，舍去)．從而A＝30°.于是△ABC是等腰三角形，a＝c＝2.
4．D解析：由正弦定理知ba＝sinBsinA，又∵B＝2A，
∴ba＝sin2AsinA＝2cosA.
∵△ABC為銳角三角形，
∴0°＜B＜90°.∴0°＜2A＜90°.
∴0°＜A＜45°.又∵0°＜C＜90°，
∴A＋B＞90°.∴3A＞90°.
∴A＞30°.∴30°＜A＜45°.
∴2＜2cosA＜3，
即2＜ba＜3.故選D.
5.1534解析：由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA，即5sinC＝7sin120°，∴sinC＝57×32＝5314.
因此sinB＝3314，
所以S△ABC＝12×5×7×3314＝1534.
6.839解析：由正弦定理，得4sinB＝334sin30°，解得sinB＝839.
7．解：(1)由cosA＝－513，得sinA＝1213.
由cosB＝35，得sinB＝45，
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝1665.
(2)由正弦定理，得
AC＝BC×sinBsinA＝5×451213＝133，
∴△ABC的面積S＝12×BC×AC×sinC＝12×5×133×1665＝83.

《正弦定理》導學案

《正弦定理》導學案

教學目標：
1．讓學生從已有的幾何知識出發(fā),通過對任意三角形邊角關系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。
2．通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。
3．通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質，增強學習的成功心理，激發(fā)學習數(shù)學的興趣。
4．培養(yǎng)學生合情合理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
五、教學重點與難點
教學重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應用。
教學難點：正弦定理的猜想提出過程。
教學準備：制作多媒體課件，學生準備計算器，直尺，量角器。
六、教學過程：
（一）結合實例，激發(fā)動機
師生活動：
師：每天我們都在科技樓里學習，對科技樓熟悉嗎？
生：當然熟悉。
師：那大家知道科技樓有多高嗎？
學生不知道。激起學生興趣！
師：給大家一個皮尺和測角儀，你能測出樓的高度嗎？
學生思考片刻，教師引導。
生1：在樓的旁邊取一個觀測點C，再用一個標桿，利用三角形相似。
師：方法可行嗎？
生2：B點位置在樓內不確定，故BC長度無法測量，一次測量不行。
師：你有什么想法？
生2：可以再取一個觀測點D.
師：多次測量取得數(shù)據(jù)，為了能與上次數(shù)據(jù)聯(lián)系，我們應把D點取在什么位置？
生2：向前或向后
師：好，模型如圖（2）：我們設正弦定理教學設計，正弦定理教學設計,CD=10m,那么我們能計算出AB嗎？
生3：由正弦定理教學設計求出AB。
師：很好，我們可否換個角度，在正弦定理教學設計中，能求出AD,也就求出了AB。在正弦定理教學設計中，已知兩角，也就相當于知道了三個角，和其中一個角的對邊，要求出AD，就需要我們來研究三角形中的邊角關系。
師：探究一般三角形中的邊角關系，我們應從我們最熟悉的特殊三角形入手！
生4：直角三角形。
師：直角三角形的邊與角之間存在怎樣的關系？
生5：思考交流得出，如圖4，在Rt正弦定理教學設計ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,
則有正弦定理教學設計，正弦定理教學設計，又正弦定理教學設計,
則正弦定理教學設計
從而在直角三角形ABC中，正弦定理教學設計
（三）證明猜想，得出定理
師生活動：
教師：那么，在斜三角形中也成立嗎？
用幾何畫板演示，用多媒體的手段對結論加以驗證！
但特殊不能代替一般，具體不能代替抽象，這個結果還需要嚴格的證明才能成立，如何證明哪？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？
學生分組討論，每組派一個代表總結。（以下證明過程，根據(jù)學生回答情況進行敘述）
教師：我們把這條性質稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
師：我們在前面學習了平面向量，向量是解決數(shù)學問題的有力工具，而且和向量的聯(lián)系緊密，那么同學們能否用向量的知識證明正弦定理？
學生要思考一下。
師：觀察式子結構，里面有邊及其邊的夾角，與向量的哪一部分知識有關？
生7：向量的數(shù)量積
師：那向量的數(shù)量積的表達式是什么？
生8：正弦定理教學設計
師：表達式里是角的余弦，我們要證明的式子里是角的正弦。
生：利用誘導公式。
師：式子變形為：正弦定理教學設計,再
師：很好，那我們就用向量來證明正弦定理，同學們請試一試！
學生討論合作，就可以解決這個問題
教師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學下去再探索。
設計意圖：經歷證明猜想的過程，進一步引導啟發(fā)學生利用已有的數(shù)學知識論證猜想，力圖讓學生體驗數(shù)學的學習過程。
（三）利用定理，解決引例
師生活動：
教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。
學生：馬上得出
在正弦定理教學設計中，正弦定理教學設計
正弦定理教學設計
（四）了解解三角形概念
設計意圖：讓學生了解解三角形概念，形成知識的完整性
教師：一般地，把三角形的三個角正弦定理教學設計、正弦定理教學設計、正弦定理教學設計和它們的對邊正弦定理教學設計、正弦定理教學設計、正弦定理教學設計叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。
設計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學生體會用新的知識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，激發(fā)學生不斷探索新知識的欲望。
（五）運用定理，解決例題
師生活動：
教師：引導學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。
學生：討論正弦定理可以解決的問題類型：
①如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如正弦定理教學設計；
②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如正弦定理教學設計。
師生：例1的處理，先讓學生思考回答解題思路，教師板書，讓學生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。
例1：在正弦定理教學設計中，已知正弦定理教學設計，正弦定理教學設計，正弦定理教學設計，解三角形。
分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內角和為正弦定理教學設計求出第三個角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。
例2：在正弦定理教學設計中，已知正弦定理教學設計，正弦定理教學設計，正弦定理教學設計，解三角形。
例2的處理，目的是讓學生掌握分類討論的數(shù)學思想，可先讓中等學生講解解題思路，其他同學補充交流
（七）嘗試小結：
教師：提示引導學生總結本節(jié)課的主要內容。
學生：思考交流，歸納總結。
師生：讓學生嘗試小結，教師及時補充，要體現(xiàn)：
（1）正弦定理的內容（正弦定理教學設計）及其證明思想方法。
（2）正弦定理的應用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。
（3）分類討論的數(shù)學思想。
設計意圖：通過學生的總結，培養(yǎng)學生的歸納總結能力和語言表達能力。

正弦定理、余弦定理的應用