高中物理動(dòng)能定理教案

《正弦定理》導(dǎo)學(xué)案。

《正弦定理》導(dǎo)學(xué)案

教學(xué)目標(biāo)：
1．讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。
2．通過對(duì)實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。
3．通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
4．培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。
教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過程。
教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計(jì)算器，直尺，量角器。
六、教學(xué)過程：
（一）結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)
師生活動(dòng)：
師：每天我們都在科技樓里學(xué)習(xí)，對(duì)科技樓熟悉嗎？
生：當(dāng)然熟悉。
師：那大家知道科技樓有多高嗎？
學(xué)生不知道。激起學(xué)生興趣！
師：給大家一個(gè)皮尺和測(cè)角儀，你能測(cè)出樓的高度嗎？
學(xué)生思考片刻，教師引導(dǎo)。
生1：在樓的旁邊取一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，再用一個(gè)標(biāo)桿，利用三角形相似。
師：方法可行嗎？
生2：B點(diǎn)位置在樓內(nèi)不確定，故BC長(zhǎng)度無法測(cè)量，一次測(cè)量不行。
師：你有什么想法？
生2：可以再取一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)D.
師：多次測(cè)量取得數(shù)據(jù)，為了能與上次數(shù)據(jù)聯(lián)系，我們應(yīng)把D點(diǎn)取在什么位置？
生2：向前或向后
師：好，模型如圖（2）：我們?cè)O(shè)正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)，正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì),CD=10m,那么我們能計(jì)算出AB嗎？
生3：由正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)求出AB。
師：很好，我們可否換個(gè)角度，在正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)中，能求出AD,也就求出了AB。在正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)中，已知兩角，也就相當(dāng)于知道了三個(gè)角，和其中一個(gè)角的對(duì)邊，要求出AD，就需要我們來研究三角形中的邊角關(guān)系。
師：探究一般三角形中的邊角關(guān)系，我們應(yīng)從我們最熟悉的特殊三角形入手！
生4：直角三角形。
師：直角三角形的邊與角之間存在怎樣的關(guān)系？
生5：思考交流得出，如圖4，在Rt正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,
則有正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)，正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)，又正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì),
則正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)
從而在直角三角形ABC中，正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)
（三）證明猜想，得出定理
師生活動(dòng)：
教師：那么，在斜三角形中也成立嗎？
用幾何畫板演示，用多媒體的手段對(duì)結(jié)論加以驗(yàn)證！
但特殊不能代替一般，具體不能代替抽象，這個(gè)結(jié)果還需要嚴(yán)格的證明才能成立，如何證明哪？前面探索過程對(duì)我們有沒有啟發(fā)？
學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié)。（以下證明過程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述）
教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.
師：我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)了平面向量，向量是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具，而且和向量的聯(lián)系緊密，那么同學(xué)們能否用向量的知識(shí)證明正弦定理？
學(xué)生要思考一下。
師：觀察式子結(jié)構(gòu)，里面有邊及其邊的夾角，與向量的哪一部分知識(shí)有關(guān)？
生7：向量的數(shù)量積
師：那向量的數(shù)量積的表達(dá)式是什么？
生8：正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)
師：表達(dá)式里是角的余弦，我們要證明的式子里是角的正弦。
生：利用誘導(dǎo)公式。
師：式子變形為：正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì),再
師：很好，那我們就用向量來證明正弦定理，同學(xué)們請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?br> 學(xué)生討論合作，就可以解決這個(gè)問題
教師：由于時(shí)間有限，對(duì)正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)下去再探索。
設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。
（三）利用定理，解決引例
師生活動(dòng)：
教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。
學(xué)生：馬上得出
在正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)中，正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)
正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)
（四）了解解三角形概念
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識(shí)的完整性
教師：一般地，把三角形的三個(gè)角正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)、正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)、正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)和它們的對(duì)邊正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)、正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)、正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過程叫做解三角形。
設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會(huì)用新的知識(shí)，新的定理，解決問題更方便，更簡(jiǎn)單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識(shí)的欲望。
（五）運(yùn)用定理，解決例題
師生活動(dòng)：
教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。
學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型：
①如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)；
②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩角，如正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)。
師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。
例1：在正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)中，已知正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)，正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)，正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)，解三角形。
分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)求出第三個(gè)角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。
例2：在正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)中，已知正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)，正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)，正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)，解三角形。
例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流
（七）嘗試小結(jié)：
教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。
學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。
師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時(shí)補(bǔ)充，要體現(xiàn)：
（1）正弦定理的內(nèi)容（正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)）及其證明思想方法。
（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其他元素。
（3）分類討論的數(shù)學(xué)思想。
設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語言表達(dá)能力。JaB88.coM

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正弦定理

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，高中教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來，使高中教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。所以你在寫高中教案時(shí)要注意些什么呢？以下是小編為大家收集的“正弦定理”歡迎大家與身邊的朋友分享吧！

課題:1.1正弦定理（2）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】運(yùn)用正弦定理解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題
【課前預(yù)習(xí)】
1．在中，若，則的形狀是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形
2．在中，若，則的形狀是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等邊三角形
3．在中，若，，則________________．
4．在中，，則是________________三角形．

5．在中，計(jì)算的值．
【課堂研討】
例1.如圖，海中小島周圍海里內(nèi)有暗礁，一艘船正在向南航行，在處測(cè)得小島在船的南偏東，航行海里后，在處測(cè)得小島在船的南偏東，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁危險(xiǎn)？

例2.在中，已知，試判斷的形狀．

例3.在中，是的平分線，用正弦定理證明：．

【學(xué)后反思】
課題:1.1正弦定理（2）檢測(cè)案
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【課堂檢測(cè)】
1．根據(jù)下列條件，判斷的形狀：
（1）；（2）．

2．已知的外接圓的面積是，求的值．

3．為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁，，要測(cè)算出，兩點(diǎn)間的距離，測(cè)量人員在岸邊定出基線，測(cè)得，，，試計(jì)算的長(zhǎng)．

【課后鞏固】
1．在中，已知，則的形狀是________________．
2．在中，已知，，則的取值范圍是________________．
3．在中，已知，，且最長(zhǎng)邊為，則最短邊的長(zhǎng)為_______．
4．在中，已知，求．

5．為了測(cè)量校園里旗桿的高度，學(xué)生們?cè)趦商帨y(cè)得點(diǎn)的仰角分別為和，測(cè)得的距離為，那么旗桿的高度是多少米？

6．海上有兩個(gè)小島相距海里，從島觀測(cè)島與島成的視角，從島觀測(cè)島和島成的視角，那么島與島之間的距離是多少海里？

7．在中，的外角平分線交的延長(zhǎng)線于，用正弦定理證明：

8．在中，設(shè)，，，已知，
證明為正三角形．

正弦定理（一）

班級(jí)：小組：姓名：編號(hào)：
總課題解三角形
課題正弦定理（一）
主備劉芳審核使用時(shí)間
學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握正弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題
學(xué)習(xí)重點(diǎn)利用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題
學(xué)習(xí)難點(diǎn)利用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題
學(xué)法建議
教學(xué)過程反思、總結(jié)
一、引入新課
1．如右圖，中的邊角關(guān)系：

_____________；

______________；

____________；

邊___________________________．
2．任意中的邊角關(guān)系是否也可以如此？如何證明？

3．正弦定理（內(nèi)容）：
4．練習(xí)：
（1）在中，已知，，，則_________；

（2）在中，已知，，，則_________；
（3）一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為和，如果角所對(duì)的邊長(zhǎng)為，那么角所對(duì)的邊長(zhǎng)是_________；
二、典例賞析
例1嘗試用其他方法證明正弦定理．

例2在中，，，，求，．

例3根據(jù)下列條件解三角形：
（1），，；
（2），，．
歸納小結(jié)：
利用正弦定理解以下兩類斜三角形：
（1）已知兩角與任一邊,求其他和；
（2）已知兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊的（從而進(jìn)一步求出其他的和）．
仿照正弦定理的證法一，證明，并運(yùn)用此結(jié)論解決下面問題：
（1）在中，已知，，，求；
（2）在中，已知，，，求和；
三、針對(duì)訓(xùn)練：
1．在中，
（1）已知，，，求，；
（2）已知，，，求，．

2．根據(jù)下列條件解三角形：
（1），，；（2），，．

課堂小結(jié)
利用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題．

正弦定理教案

教學(xué)設(shè)計(jì)
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)內(nèi)容是正弦定理教學(xué)的第一節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理．做好正弦定理的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力．
在初中學(xué)習(xí)過關(guān)于任意三角形中大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有著密切的聯(lián)系；這里的一個(gè)重要問題是：是否能得到這個(gè)邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示．也就是如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題．這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對(duì)過去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)．在學(xué)法上主要指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力．
本節(jié)課以及后面的解三角形中涉及到計(jì)算器的使用與近似計(jì)算，這是一種基本運(yùn)算能力，學(xué)生基本上已經(jīng)掌握了．若在解題中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，則應(yīng)及時(shí)糾正，若沒出現(xiàn)問題就順其自然，不必花費(fèi)過多的時(shí)間．
本節(jié)可結(jié)合課件“正弦定理猜想與驗(yàn)證”學(xué)習(xí)正弦定理．
三維目標(biāo)
1．通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．
2．通過正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的能力．通過學(xué)生的積極參與和親身實(shí)踐，并成功解決實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和勇于探索的創(chuàng)新精神．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的證明及其基本運(yùn)用．
教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索和證明；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，判斷解的個(gè)數(shù)．
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(特例引入)教師可先通過直角三角形的特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的邊角關(guān)系，若∠C為直角，則有a＝csinA，b＝csinB，這兩個(gè)等式間存在關(guān)系嗎？學(xué)生可以得到asinA＝bsinB，進(jìn)一步提問，等式能否與邊c和∠C建立聯(lián)系？從而展開正弦定理的探究．
思路2.(情境導(dǎo)入)如圖，某農(nóng)場(chǎng)為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，在林場(chǎng)中設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A和B，某日兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的林場(chǎng)人員分別測(cè)到C處有火情發(fā)生．在A處測(cè)到火情在北偏西40°方向，而在B處測(cè)到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正東方向10千米處．現(xiàn)在要確定火場(chǎng)C距A、B多遠(yuǎn)？將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC與BC的長(zhǎng)．”這就是一個(gè)解三角形的問題．為此我們需要學(xué)習(xí)一些解三角形的必要知識(shí)，今天要探究的是解三角形的第一個(gè)重要定理——正弦定理，由此展開新課的探究學(xué)習(xí)．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1閱讀本章引言，明確本章將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容及本章將要解決哪些問題？
2聯(lián)想學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)中的邊角關(guān)系，能否得到直角三角形中角與它所對(duì)的邊之間在數(shù)量上有什么關(guān)系？
3由2得到的數(shù)量關(guān)系式，對(duì)一般三角形是否仍然成立？
4正弦定理的內(nèi)容是什么，你能用文字語言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它？
5什么叫做解三角形？
6利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問題呢？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引言，點(diǎn)出本章數(shù)學(xué)知識(shí)的某些重要的實(shí)際背景及其實(shí)際需要，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)解三角形知識(shí)的必要性．如教師可提出以下問題：怎樣在航行途中測(cè)出海上兩個(gè)島嶼之間的距離？怎樣測(cè)出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨?？這些實(shí)際問題的解決需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識(shí)．讓學(xué)生明確本章將要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個(gè)定理解三角形及解決測(cè)量中的一些問題．
關(guān)于任意三角形中大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生探究其數(shù)量關(guān)系．先觀察特殊的直角三角形．如下圖，在Rt△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，則asinA＝bsinB＝csinC＝c.從而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.
那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖討論分析．
如下圖，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，有CD＝asinB＝bsinA，則asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.從而asinA＝bsinB＝csinC.
(當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成)
通過上面的討論和探究，我們知道在任意三角形中，上述等式都成立．教師點(diǎn)出這就是今天要學(xué)習(xí)的三角形中的重要定理——正弦定理．
正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即
asinA＝bsinB＝csinC
上述的探究過程就是正弦定理的證明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進(jìn)行證明．教師提醒學(xué)生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生觀察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系；描述了任意三角形中大邊對(duì)大角的一種準(zhǔn)確的數(shù)量關(guān)系．因?yàn)槿绻螦＜∠B，由三角形性質(zhì)，得a＜b.當(dāng)∠A、∠B都是銳角，由正弦函數(shù)在區(qū)間(0，π2)上的單調(diào)性，可知sinA＜sinB.當(dāng)∠A是銳角，∠B是鈍角時(shí)，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函數(shù)在區(qū)間(π2，π)上的單調(diào)性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，所以仍有sinA＜sinB.
正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，教師鼓勵(lì)學(xué)生課下進(jìn)一步探究正弦定理的其他證明方法．
討論結(jié)果：
(1)～(4)略．
(5)已知三角形的幾個(gè)元素(把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過程叫做解三角形．
(6)應(yīng)用正弦定理可解決兩類解三角形問題：①已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，由三角形內(nèi)角和定理，可以計(jì)算出三角形的另一角，并由正弦定理計(jì)算出三角形的另兩邊，即“兩角一邊問題”．這類問題的解是唯一的．②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，可以計(jì)算出另一邊的對(duì)角的正弦值，進(jìn)而確定這個(gè)角和三角形其他的邊和角，即“兩邊一對(duì)角問題”．這類問題的答案有時(shí)不是唯一的，需根據(jù)實(shí)際情況分類討論．
應(yīng)用示例
例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9cm，解此三角形．
活動(dòng)：解三角形就是已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程，在本例中就是求解∠C，b，c.
此題屬于已知兩角和其中一角所對(duì)邊的問題，直接應(yīng)用正弦定理可求出邊b，若求邊c，則先求∠C，再利用正弦定理即可．
解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得
∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.
根據(jù)正弦定理，得
b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；
c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．
點(diǎn)評(píng)：(1)此類問題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易掌握，如果已知兩角及兩角所夾的邊，也是先利用三角形內(nèi)角和定理180°求出第三個(gè)角，再利用正弦定理．
(2)對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器．

變式訓(xùn)練
在△ABC中(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)，
(1)已知c＝3，A＝45°，B＝60°，求b；
(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120°，求a.
解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，
bsinB＝csinC，
∴b＝csinBsinC＝3sin60°sin75°≈1.6.
(2)∵asinA＝bsinB，
∴a＝bsinAsinB＝12sin30°sin120°≈6.9.

例2已知△ABC，根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的三角形中其他邊和角的大小(保留根號(hào)或精確到0.1)：
(1)∠A＝60°，∠B＝45°，a＝10；
(2)a＝3，b＝4，∠A＝30°；
(3)b＝36，c＝6，∠B＝120°.
活動(dòng)：教師可引導(dǎo)學(xué)生先畫圖，加強(qiáng)直觀感知，明確解的實(shí)際情況，這樣在求解之后，無需作進(jìn)一步的檢驗(yàn)，使學(xué)生在運(yùn)用正弦定理求邊、角時(shí)，感到目的明確，思路清晰流暢，同時(shí)體會(huì)分析問題的重要性，養(yǎng)成解題前自覺判定解題策略的良好習(xí)慣，而不是盲目亂試，靠運(yùn)氣解題．
解：(1)因?yàn)椤螩＝180°－60°－45°＝75°，所以由正弦定理，得
b＝asinBsinA＝10sin45°sin60°＝1063≈8.2，c＝asinCsinA＝10sin75°sin60°≈11.2(如圖1所示)．
圖1
(2)由正弦定理，得
sinB＝bsinAa＝4sin30°3＝23，
因此∠B≈41.8°或∠B≈138.2°(如圖2所示)．
圖2
當(dāng)∠B≈41.8°時(shí)，
∠C≈180°－30°－41.8°＝108.2°，c＝asinCsinA＝3sin108.2°sin30°≈5.7；
當(dāng)∠B≈138.2°時(shí)，
∠C≈180°－30°－138.2°＝11.8°，
c＝asinCsinA＝3sin11.8°sin30°≈1.2(如圖2所示)．
(3)由正弦定理，得
sinC＝csinBb＝6sin120°36＝6×3236＝22，
因此∠C＝45°或∠C＝135°.
因?yàn)椤螧＝120°，所以∠C＜60°.
因此∠C＝45°，∠A＝180°－∠B－∠C＝15°.
再由正弦定理，得
a＝bsinAsinB＝36sin15°32≈2.2(如圖3所示)．
圖3
點(diǎn)評(píng)：通過此例題可使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能，可以通過分析獲得，這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形．當(dāng)然對(duì)于不符合題意的解的取舍，也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷，對(duì)于這一點(diǎn)，我們通過下面的變式訓(xùn)練來體會(huì)．
變式訓(xùn)練
在△ABC中，已知a＝60，b＝50，A＝38°，求B(精確到1°)和c.(保留兩個(gè)有效數(shù)字)
解：∵b＜a，∴B＜A，因此B也是銳角．
∵sinB＝bsinAa＝50sin38°60≈0.5131，
∴B≈31°.
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°.
∴c＝asinCsinA＝60sin111°sin38°≈91.

例3如圖，在△ABC中，∠A的角平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，求證：BDDC＝ABAC.
活動(dòng)：這是初中平面幾何中角平分線的性質(zhì)定理，用平面幾何的方法很容易證得．教材安排本例的目的是讓學(xué)生熟悉正弦定理的應(yīng)用，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析相關(guān)的三角形的邊角關(guān)系，讓學(xué)生自己證明．
證明：如圖，在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得
BDsinβ＝ABsinα，①
DCsinβ＝ACsin180°－α＝ACsinα，②
①÷②，得BDDC＝ABAC.
點(diǎn)評(píng)：解完此題后讓學(xué)生體會(huì)是如何通過正弦定理把所要證的線段連在一起的．本例可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用．
例4在△ABC中，A＝45°，B∶C＝4∶5，最大邊長(zhǎng)為10，求角B、C，外接圓半徑R及面積S.
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析條件B∶C＝4∶5，由于A＋B＋C＝180°，由此可求解出B、C，這樣就轉(zhuǎn)化為已知三個(gè)角及最大角所對(duì)的邊解三角形，顯然其解唯一，結(jié)合正弦定理的平面幾何證法，由此可解三角形，教師讓學(xué)生自己探究此題，對(duì)于思路有阻的學(xué)生可給予適當(dāng)點(diǎn)撥．
解：由A＋B＋C＝180°及B∶C＝4∶5，可設(shè)B＝4k，C＝5k，
則9k＝135°，故k＝15°，那么B＝60°，C＝75°.
由正弦定理，得R＝102sin75°＝5(6－2)，
由面積公式S＝12bcsinA＝12c2RsinBsinA＝75－253.
點(diǎn)評(píng)：求面積時(shí)，b未知但可轉(zhuǎn)化為b＝2RsinB，從而解決問題．
1.在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，則△ABC是()
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
答案：D
解析：運(yùn)用正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB以及結(jié)論sin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)，
由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，
∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝(sin2A－sin2B)sinC.
∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)sinC.
若sin(A－B)＝0，則A＝B.
若sin(A－B)≠0，則sin2A＋sin2B＝sin2C?a2＋b2＝c2.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．故選D.
2．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于()
A．1∶2∶3B．3∶2∶1
C．1∶3∶2D．2∶3∶1
答案：C
知能訓(xùn)練
1．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，則△ABC的面積S的值是()
A.2B.3＋1C.12(3＋1)D．22
2．在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，則此三角形的最大邊長(zhǎng)為__________．
3．在△ABC中，若(3b－c)cosA＝acosC，則cosA＝__________.
答案：
1．B解析：由正弦定理asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝22，B＝180°－A－C＝105°，
∴△ABC的面積S＝12acsinB＝12×2×22sin105°＝3＋1.
2.532＋66解析：∵B＝105°，C＝15°，∴A＝60°.
∴b為△ABC的最長(zhǎng)邊．
由正弦定理，得
b＝asinBsinA＝5sin105°sin60°＝532＋66.
3.33解析：由正弦定理，知
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC的外接圓半徑)．
∴(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，
化簡(jiǎn)，得3sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.
∵0＜sinB≤1，
∴cosA＝33.
課堂小結(jié)
1．先由學(xué)生回顧本節(jié)課正弦定理的證明方法、正弦定理可以解決的兩類問題及解三角形需要注意的問題，特別是兩解的情況應(yīng)怎樣理解．
2．我們?cè)谕谱C正弦定理時(shí)采用了從特殊到一般的分類討論思想，以“直角三角形”作問題情境，由此展開問題的全面探究，正弦定理的證明方法很多，如平面幾何法、向量法、三角形面積法等．讓學(xué)生課后進(jìn)一步探究這些證明方法，領(lǐng)悟這些方法的思想內(nèi)涵．
3．通過例3引入了三角形外接圓半徑R與正弦定理的關(guān)系．但應(yīng)引起學(xué)生注意，R的引入能給我們解題帶來極大的方便．
作業(yè)
習(xí)題1—1A組1、2、3.
設(shè)計(jì)感想
本教案設(shè)計(jì)思路是：立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，讓學(xué)生親身經(jīng)歷提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受創(chuàng)造的快樂，知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到較好的落實(shí)．
本教案的設(shè)計(jì)時(shí)刻注意引導(dǎo)并鼓勵(lì)學(xué)生提出問題．一方面鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提出問題；另一方面注意妥善處理學(xué)生提出的問題，啟發(fā)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將問題逐步引向深入．根據(jù)上述設(shè)想，引導(dǎo)學(xué)生從感興趣的實(shí)際問題到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的情況，從而形成猜想，激起進(jìn)一步探究的欲望，然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明，并讓學(xué)生通過自己的努力發(fā)現(xiàn)多種證法，開闊學(xué)生視野．
備課資料
一、知識(shí)擴(kuò)展
1．判斷三角形解的方法
“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角”解三角形，這類問題分為一解、兩解和無解三種情況．一方面，我們可以利用課本上的幾何圖形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函數(shù)的有界性進(jìn)行分析．
設(shè)已知a、b、A，則利用正弦定理
sinB＝bsinAa，
如果sinB＞1，則問題無解；
如果sinB＝1，則問題有一解；
如果求出的sinB＜1，則可得B的兩個(gè)值，但要通過“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對(duì)大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷．
2．利用正弦定理進(jìn)行邊角互換
對(duì)于三角形中的三角函數(shù)，在進(jìn)行恒等變形時(shí)，常常將正弦定理寫成
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R為△ABC的外接圓半徑)．
這樣可以很方便地把邊和角的正弦進(jìn)行轉(zhuǎn)換，我們將在以后具體應(yīng)用．
3．正弦定理的其他幾種證明方法
(1)三角形面積法
如圖，已知△ABC，設(shè)BC＝a，CA＝b，AB＝c，作AD⊥BC，垂足為D.
則Rt△ADB中，sinB＝ADAB，
∴AD＝ABsinB＝csinB.
∴S△ABC＝12aAD＝12acsinB.
同理，可得S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴acsinB＝absinC＝bcsinA.
∴sinBb＝sinCc＝sinAa，即asinA＝bsinB＝csinC.
(2)平面幾何法
如圖，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圓，O為圓心，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交圓于C′點(diǎn)，設(shè)BC′＝2R，則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，
∴sinC＝sinC′＝c2R.∴csinC＝2R.
同理，可得asinA＝2R，bsinB＝2R.
∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R.
這就是說，對(duì)于任意的三角形，上述關(guān)系式均成立，因此，我們得到等式asinA＝bsinB＝csinC.
這種證明方法簡(jiǎn)潔明快．在鞏固平面幾何知識(shí)的同時(shí)，將任意三角形與其外接圓聯(lián)系在一起，并且引入了外接圓半徑R，得到asinA＝bsinB＝csinC＝2R這一等式，其變式為a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可以更快捷地實(shí)現(xiàn)邊角互化．特別是可以更直觀地看出正弦定理描述的三角形中大邊對(duì)大角的準(zhǔn)確數(shù)量關(guān)系，為正弦定理的應(yīng)用帶來更多的便利．
(3)向量法
①如圖，△ABC為銳角三角形，過點(diǎn)A作單位向量j垂直于AC→，則j與AB→的夾角為90°－A，j與CB→的夾角為90°－C.
由向量的加法原則可得AC→＋CB→＝AB→，
為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j的數(shù)量積運(yùn)算，得到j(luò)(AC→＋CB→)＝j(luò)AB→，
由分配律可得jAC→＋jCB→＝j(luò)AB→.
∴|j||AC→|cos90°＋|j||CB→|cos(90°－C)＝|j||AB→|cos(90°－A)．
∴asinC＝csinA.∴asinA＝csinC.
同理，可得csinC＝bsinB.
∴asinA＝bsinB＝csinC.
②如圖，△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)A＞90°，過點(diǎn)A作與AC→垂直的單位向量j，則j與AB→的夾角為A－90°，j與CB→的夾角為90°－C.
由AC→＋CB→＝AB→，得jAC→＋jCB→＝j(luò)AB→，
即acos(90°－C)＝ccos(A－90°)，
∴asinC＝csinA.∴asinA＝csinC.
同理，可得bsinB＝csinC.∴asinA＝bsinB＝csinC.
③當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，asinA＝bsinB＝csinC顯然成立．
綜上所述，正弦定理對(duì)于銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形均成立．
二、備用習(xí)題
1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，則b等于()
A．52B．102C.1063D．56
2．△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且sinB＝12，sinC＝32，則a∶b∶c等于…()
A．1∶3∶2B．1∶1∶3
C．1∶2∶3D．2∶1∶3或1∶1∶3
3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，則a等于…()
A.6B．2C.3D.2
4．在銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且B＝2A，則ba的取值范圍是…()
A．(－2,2)B．(0,2)C．(1，3)D．(2，3)
5．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，則△ABC的面積為________．
6．在△ABC中，已知a＝334，b＝4，A＝30°，則sinB＝________.
7．在△ABC中，cosA＝－513，cosB＝35，
(1)求sinC的值；
(2)設(shè)BC＝5，求△ABC的面積．
參考答案：
1．D解析：由正弦定理，知bsinB＝asinA，即bsin60°＝10sin45°，解得b＝56.
2．D解析：由題意，知C＝60°或120°，B＝30°，因此A＝90°或30°.故選D.
3．D解析：由正弦定理得6sin120°＝2sinC，得sinC＝12，于是有C＝30°或C＝150°(不符合題意，舍去)．從而A＝30°.于是△ABC是等腰三角形，a＝c＝2.
4．D解析：由正弦定理知ba＝sinBsinA，又∵B＝2A，
∴ba＝sin2AsinA＝2cosA.
∵△ABC為銳角三角形，
∴0°＜B＜90°.∴0°＜2A＜90°.
∴0°＜A＜45°.又∵0°＜C＜90°，
∴A＋B＞90°.∴3A＞90°.
∴A＞30°.∴30°＜A＜45°.
∴2＜2cosA＜3，
即2＜ba＜3.故選D.
5.1534解析：由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA，即5sinC＝7sin120°，∴sinC＝57×32＝5314.
因此sinB＝3314，
所以S△ABC＝12×5×7×3314＝1534.
6.839解析：由正弦定理，得4sinB＝334sin30°，解得sinB＝839.
7．解：(1)由cosA＝－513，得sinA＝1213.
由cosB＝35，得sinB＝45，
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝1665.
(2)由正弦定理，得
AC＝BC×sinBsinA＝5×451213＝133，
∴△ABC的面積S＝12×BC×AC×sinC＝12×5×133×1665＝83.

正弦定理、余弦定理的應(yīng)用