小學(xué)語文的教學(xué)教案

直線與平面垂直的判定教學(xué)設(shè)計3（反思稿）。

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，作為高中教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂趣，幫助高中教師在教學(xué)期間更好的掌握節(jié)奏。高中教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面是小編為大家整理的“直線與平面垂直的判定教學(xué)設(shè)計3（反思稿）”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時它又是直線和平面所成的角、直線與平面、平面與平面距離等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是空間點、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一。

直線與平面垂直的定義：如果一條直線與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就稱這條直線與這個平面互相垂直。定義中的“任意一條直線”就是“所有直線”。定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的所有直線。

直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。該定理把原來定義中要求與任意一條（無限）直線垂直轉(zhuǎn)化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，使直線與平面垂直的判定簡捷而又具有可操作性。

對直線與平面垂直的定義的研究遵循“直觀感知、抽象概括”的認知過程展開，而對直線與平面垂直的判定的研究則遵循“直觀感知、操作確認、歸納總結(jié)、初步運用”的認知過程展開，通過該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，進一步培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和幾何直觀能力，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力、一定的推理論證能力和運用圖形語言進行交流的能力。同時體驗和感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，即“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”，“無限問題轉(zhuǎn)化為有限問題”，“直線與直線垂直和直線與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化”。

教學(xué)重點：直觀感知、操作確認，概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

二、目標和目標解析

目標：理解直線與平面垂直的意義，掌握直線與平面垂直的判定定理。

目標解析：

1、借助對圖片、實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義。

2、通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理。

3、能運用直線與平面垂直的判定定理，證明與直線和平面垂直有關(guān)的簡單命題：在平面內(nèi)選擇兩條相交直線，證明它們與平面外的直線垂直。

4、能運用直線與平面垂直定義證明兩條直線垂直，即證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面。

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線、平面平行的判定及性質(zhì)，學(xué)習(xí)了兩直線（共面或異面）互相垂直的位置關(guān)系，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會，有了一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力。

在直線與平面垂直的判定定理中，學(xué)生對為什么要且只要兩條相交直線的理解有一定的困難，因為定義中“任一條直線”指的是“所有直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導(dǎo)致學(xué)生形成理解上的思維障礙。同時，由于學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力有待進一步加強，在直線與平面垂直判定定理的運用中，不知如何選擇已知平面內(nèi)的兩條相交直線證直線與平面線垂直，或選擇與直線垂直的平面證明直線與直線垂直，導(dǎo)致證明過程中無從著手或發(fā)生錯誤。

教學(xué)難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及其初步運用。

四、教學(xué)支持條件分析

為了有效實現(xiàn)教學(xué)目標，條件許可準備投影儀，多媒體課件，三角板，教鞭（表直線）。學(xué)生自備學(xué)具：三角形紙片、三角板、筆（表直線）、課本（表平面）。

五、教學(xué)過程設(shè)計

（一）、觀察歸納直線與平面垂直的定義

1、直觀感知

問題1：請同學(xué)們觀察圖片，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關(guān)系？你能舉出一些類似的例子嗎？

設(shè)計意圖：從實際背景出發(fā)，直觀感知直線和平面垂直的位置關(guān)系，從而建立初步印象，為下一步的數(shù)學(xué)抽象做準備。

師生活動：觀察圖片，引導(dǎo)學(xué)生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內(nèi)直立的墻角線和地面的位置關(guān)系，直立書的書脊與桌面的位置關(guān)系等，由此引出課題。

2、觀察歸納

思考1：直線和平面垂直的意義是什么？

我們已經(jīng)學(xué)過直線和平面平行的判定和性質(zhì)，知道直線和平面平行的問題可轉(zhuǎn)化為考察直線和平面內(nèi)直線平行的關(guān)系,直線和平面垂直的問題同樣可以轉(zhuǎn)化為考察直線和平面內(nèi)直線的關(guān)系。

問題2：（1）如圖1，在陽光下觀察直立于地面旗桿AB及它在地面的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在直線的位置關(guān)系是什么？

（2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B′C′的位置關(guān)系又是什么？由此可以得到什么結(jié)論？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”與“降維”的思想來思考問題，通過觀察思考，感知直線與平面垂直的本質(zhì)內(nèi)涵。

師生活動：學(xué)生思考作答,教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)異面直線所成角的概念得出旗桿所在直線與地面內(nèi)的任意一條直線都垂直。

問題3：如圖2，AC、AD是用來固定旗桿AB的鐵鏈，它們與地面內(nèi)任意一條直線都垂直嗎？

設(shè)計意圖：通過反面剖析，進一步感悟直線與平面垂直的本質(zhì)。

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生將三角板直立于桌面上，用一直角邊作旗桿AB，斜邊作為鐵鏈AC，觀察桌面上的直線（用筆表示）是否與AC垂直，由此否定上述結(jié)論。

問題4、通過上述觀察分析，你認為應(yīng)該如何定義一條直線與一個平面垂直？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生歸納、概括出直線與平面垂直的定義。

師生活動：學(xué)生回答，教師補充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞，同時給出直線與平面垂直的記法與畫法。

定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作：l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。

畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖3。

3、辨析討論

辨析1：下列命題是否正確，為什么？

（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直。

（2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任一直線。

設(shè)計意圖：通過問題辨析與討論，加深概念的理解，掌握概念的本質(zhì)屬性。由（1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思。由（2）使學(xué)生明確，直線與平面垂直的定義既是判定又是性質(zhì)，“直線與直線垂直”和“直線與平面垂直”可以相互轉(zhuǎn)化。

師生活動：命題（1）判斷中引導(dǎo)學(xué)生用筆表直線，用三角板兩直角邊表兩垂直直線，用書本表平面舉出反例。教師利用三角板和教鞭進行演示，將一塊大直角三角板的一條直角邊AC放在黑板面上，這時另一條直角邊BC就和黑板面的一條直線（即三角板與黑板面的交線AC）垂直，在此基礎(chǔ)上在黑板面上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移動，那么BC始終和EF垂直，但BC不一定和黑板面垂直，最后教師給出反例的直觀圖4。由命題（2）給出下列常用命題：

指出它是判斷直線與直線垂直的常用方法，它將直線與直線垂直的問題轉(zhuǎn)化為判定一條直線垂直于另一條直線所在的平面。

（二）、探究發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理

1、分析實例

思考2：我們該如何檢驗學(xué)校廣場上的旗桿是否與地面垂直？

雖然可以根據(jù)直線與平面垂直的定義判定直線與平面垂直，但由于利用定義判定直線與平面垂直需要考察平面內(nèi)的每一條直線與已知直線是否垂直，這種方法實際上難以實施，因為我們無法去一一檢驗。因而有必要尋找一個便捷、可行的判斷直線和平面垂直的方法。

問題5、如圖,觀察跨欄、簡易木架等實物，你認為其豎桿能豎直立于地面的原因是什么?

設(shè)計意圖：通過圖片觀察思考，感知判定直線與平面垂直時只需平面內(nèi)有限條直線（兩條相交直線），從中體驗有限與無限之間的辯證關(guān)系。

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，師生共同分析豎桿能豎直立于地面的原因：它固定在兩相交橫桿上且與兩橫桿垂直。

2、操作確認

實驗：如圖5，請同學(xué)們拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個試驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.

問題6：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

設(shè)計意圖：通過觀察試驗，分析折痕AD與桌面不垂直的原因，探究發(fā)現(xiàn)折痕AD與桌面垂直的條件。

師生活動：在折紙試驗中，學(xué)生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)學(xué)生進行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。學(xué)生再次折紙，經(jīng)過討論交流，發(fā)現(xiàn)當且僅當折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD與桌面垂直。

問題7:如圖6,由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕AD與桌面垂直的條件：AD垂直桌面內(nèi)兩條相交直線。

師生活動：師生共同分析折痕AD是BC邊上的高時的實質(zhì)：AD是BC邊上的高時，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD。這就是說，當AD垂直于桌面內(nèi)的兩條兩條相交直線CD、BD時，它就垂直于桌面。

問題8：（1）如圖7，把AD、BD、CD抽象為直線、、，把桌面抽象為平面，直線與平面垂直的條件是什么？

（2）如圖8,若α內(nèi)兩條相交直線、與無公共點且，直線還垂直平面α嗎？由此你能給出判定直線與平面垂直的方法嗎？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生歸納出直線與平面垂直的判定定理，并能用符號語言準確表示，使學(xué)生明白要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關(guān)緊要的。

師生活動：學(xué)生敘述結(jié)論，不完善的地方教師引導(dǎo)、補充完整，并結(jié)合“兩條相交直線確定一個平面”的事實作簡要說明。然后讓學(xué)生用圖形語言與符號語言來表示定理。指出定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

用符號語言表示為：

3、質(zhì)疑深化

辨析2：下列命題是否正確，為什么？

如果一條直線與一個梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面。

設(shè)計意圖：通過辨析，強化定理中“兩條相交直線”的條件。

師生活動：學(xué)生思考作答，教師再次強調(diào)“相交”條件。

（三）、初步應(yīng)用

例1、求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。

設(shè)計意圖：初步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運用判定定理的條件。

師生活動：學(xué)生根據(jù)題意畫圖（如圖9），將其轉(zhuǎn)化為幾何命題：△ABC中，a⊥AC,a⊥BC，求證：a⊥AB。請兩位同學(xué)板演，其余同學(xué)在練習(xí)本上完成，師生共同評析，明確運用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相交”的條件。

例2、如圖10，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。

設(shè)計意圖：進一步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理或用定義證明直線與平面垂直，體會空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系。

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析思路，可用判定定理證，也可利用定義證，提示輔助線的添法。學(xué)生在練習(xí)本上完成，對照課本P73例1,完善自己的解題步驟。讓學(xué)生用文字語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。指出：命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，其結(jié)果可以作為直線和平面垂直的又一個判定方法。

練習(xí)、如圖11，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點，判斷下列結(jié)論是否正確：

①AC⊥面CDD1C1②AC⊥面BDD1B1

③EF⊥面BDD1B1④AC⊥BD1

設(shè)計意圖：利用所學(xué)知識解決直線與平面垂直的有關(guān)問題，體會轉(zhuǎn)化思想在解決問題中的作用。其中①是定義的應(yīng)用，②是判定定理的應(yīng)用，③是例2結(jié)論的應(yīng)用，④是判定定理與定義的應(yīng)用。

師生活動：學(xué)生思考討論，請一位同學(xué)用投影儀展示并分析其思路，教師參與討論。

（四）、總結(jié)反思

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？

（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

（3）關(guān)于直線與平面垂直你還有什么問題？

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生對問題進行質(zhì)疑和概括。

師生活動：學(xué)生發(fā)言，互相補充，教師點評完善，歸納出判斷直線與平面垂直的三種方法：利用定義，利用判定定理，利用例2的結(jié)論。這些方法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。同時強調(diào)“平面化”是解決立體幾何問題的一般思路。

六、目標檢測設(shè)計

1、如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD.求證：PO⊥平面ABCD。

2、課本P74練習(xí)1

3、課本P73探究題：如圖，直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時，？

4、設(shè)計一個檢驗學(xué)校廣場上的旗桿是否與地面垂直的方案，寫出實施步驟和依據(jù)。

設(shè)計意圖：通過訓(xùn)練，鞏固本課所學(xué)知識，感悟其中蘊涵的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。其中第1題主要運用直線與平面垂直的判定定理，第2、3題是活用直線與平面垂直的定義與判定定理，第4題前后呼應(yīng)，為解決課中給出的問題提供各種方案，是本課所學(xué)知識的實際應(yīng)用。

附：板書設(shè)計

精選閱讀

直線與平面垂直的判定

第一課時直線與平面垂直的判定

（一）教學(xué)目標
1．知識與技能
（1）使學(xué)生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理；
（2）使學(xué)生掌握直線和平面所成的角求法；
（3）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納、概括結(jié)論.
2．過程與方法
（1）通過教學(xué)活動，使學(xué)生了解，感受直線和平面垂直的定義的形成過程；
（2）探究判定直線與平面垂直的方法.
3．情態(tài)、態(tài)度與價值觀
培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從“感性認識”到“理性認識”過程中獲取新知.
（二）教學(xué)重點、難點
重點：（1）直線與平面垂直的定義和判定定理；
（2）直線和平面所成的角.
難點：直線與平面垂直判定定理的探究.
教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖
新課導(dǎo)入問題：直線和平面平行的判定方法有幾種？師投影問題，學(xué)生回答.
生：可用定義可判斷，也可依判定定理判斷.復(fù)習(xí)鞏固
探索新知一、直線和平面垂直的定義、畫法
如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們惟一的公共點P叫做垂足.
畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表不平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖.
師：日常生活中我們對直線與平面垂直有很多感性認識，如旗桿與地面，橋柱與水面等，你能舉出更多的例子來嗎？
師：在陽光下觀察，直立于地面的旗桿及它在地面的影子，它們的位置關(guān)系如何？
生：旗桿與地面內(nèi)任意一條經(jīng)B的直線垂直.
師：那么旗桿所在直線與平面內(nèi)不經(jīng)過B點的直線位置關(guān)系如何，依據(jù)是什么？（圖）
生：垂直，依據(jù)是異面直線垂直的定義.
師：你能嘗試給線面垂直下定義嗎？
……
師：能否將任意直線改為無數(shù)條直線？學(xué)生找一反例說明.培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納概括結(jié)論.
探索新知二、直線和平面垂直的判定
1．試驗如圖，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.
（1）折痕AD與桌面垂直嗎？
（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？
2．直線與平面垂直的判定定理：
一條直線與一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.
思考：能否將直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”改為一條直線或兩條平行直線？師：下面請同學(xué)們準備一塊三角形的小紙片，我們一起來做一個實驗，（投影問題）.
學(xué)生動手實驗，然后回答問題.
生：當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面垂直.
師：此時AD垂直上的一條直線還是兩條直線？
生：AD垂直于桌面兩條直線，而且這兩條直線相交.
師：怎么證明？
生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD
……
師：直線和平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納概括結(jié)論.
典例剖析例1如圖，已知a∥b，a⊥，求證：b⊥.
證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線m、n.
因為直線a⊥，根據(jù)直線與平面垂直的定義知
a⊥m，a⊥n.
又因為b∥a，
所以b⊥m，b⊥n.
又因為，m、n是兩條相交直線，
b⊥.
師：要證b⊥，需證b與內(nèi)任意一條直線的垂直，又a∥b，問題轉(zhuǎn)化為a與面內(nèi)任意直線m垂直，這個結(jié)論顯然成立.
學(xué)生依圖及分析寫出證明過程.
……
師：此結(jié)論可以直接利用，判定直線和平面垂直.鞏固所知識培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸能力、書寫表達能力.
探索新知二、直線和平面所成的角
如圖，一條直線PA和一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線的平面的交點A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角.教師借助多媒體直接講授，注意直線和平面所成的角是分三種情況定義的.借助多媒體講授，提高上課效率.
典例剖析例2如圖，在正方體ABCD–A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.
分析：找出直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：連結(jié)BC1交B1C于點O，連結(jié)A1O.
設(shè)正方體的棱長為a，因為A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因為BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.
所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，
，，
所以，
∠BA1O=30°
因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.師：此題A1是斜足，要求直線A1B與平面A1B1CD所成的角，關(guān)鍵在于過B點作出（找到，面A1B1CD的垂線，作出（找到）了面A1B1CD的垂線，直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影就知道了，怎樣過B作平面A1B1CD的垂線呢？
生：連結(jié)BC1即可.
師：能證明嗎？
學(xué)生分析，教師板書，共同完成求解過程.點拔關(guān)鍵點，突破難點，示范書寫及解題步驟.
隨堂練習(xí)1．如圖，在三棱錐V–ABC中，VA=VC，AB=BC，求證：VB⊥AC.
2．過△ABC所在平面外一點P，作PO⊥，垂足為O，連接PA，PB，PC.
（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，則點O是AB邊的心.
（2）若PA=PB=PC，則點O是△ABC的心.
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PB⊥PA，則點O是△ABC的.心.
3．兩條直線和一個平面所成的角相等，這兩條直線一定平行嗎？
4．如圖，直四棱柱A′B′C′D′–ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A′C⊥B′D′？
學(xué)生獨立完成
答案：
1．略
2．（1）AB邊的中點；（2）點O是△ABC的外心；（3）點O是△ABC的垂心.
3．不一定平行.
4．AC⊥BD.鞏固所學(xué)知識
歸納總結(jié)1．直線和平面垂直的定義判定
2．直線和平面所成的角定義與解答步驟、完善.
3．線線垂直線面垂直學(xué)生歸納總結(jié)教師補充鞏固學(xué)習(xí)成果，使學(xué)生逐步養(yǎng)成愛總結(jié)，會總結(jié)的習(xí)慣和能力.
課后作業(yè)2.7第一課時習(xí)案學(xué)生獨立完成強化知識
提升能力
備選例題
例1如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M為BD中點，作AO⊥MC，交MC于O．求證：AO⊥平面BCD．
【解析】連結(jié)AM
∵AB=AD，CB=CD，M為BD中點．
∴BD⊥AM，BD⊥CM．
又AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM．
∵AO平面ACM，∴BD⊥AO．
又MC⊥AO，BD∩MC=M，∴AO⊥平面貌BCD．
【評析】本題為了證明AO⊥平面BCD，先證明了平面BCD內(nèi)的直線垂直于AO所在的平面．這一方法具有典型性，即為了證明線與面的垂直，需要轉(zhuǎn)化為線與線的垂直；為了解決線與線的垂直，又需轉(zhuǎn)化為另一個線與面的垂直，再化為新的線線垂直．這樣互相轉(zhuǎn)化，螺旋式往復(fù)，最終使問題得到解決．
例2已知棱長為1的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值．
【解析】取CD的中點F，連接EF交平面ABC1D1于O，連AO．
由已知正方體，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO為所求．
在Rt△EOA中，
，
，
sin∠EAO=．
所以直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值為．
【評析】求直線和平面所成角的步驟：
（1）作——作出斜線和平面所成的角；
（2）證——證明所作或找到的角就是所求的角；
（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角形）
（4）答．

直線與平面垂直的判定教學(xué)設(shè)計

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系和直線、平面平行的判定及其性質(zhì)之后進行的，其主要內(nèi)容是直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用。

直線與平面垂直是通過直線和平面內(nèi)的任意一條直線（無一例外）都垂直來定義的，定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的所有直線，這也可以看成是線線垂直的一個判定方法；直線與平面垂直的判定定理本節(jié)是通過折紙試驗來感悟的，即一條直線只要與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直就可以判定直線與平面垂直了，它把原來定義中要求與任意一條（無限）垂直轉(zhuǎn)化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，概言之，線不在多，相交就行。直線與平面垂直的判定方法除了定義法、判定定理外，還有如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面，這是直線與平面垂直判定的一種間接方法，也是十分重要的。

本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容蘊含豐富的數(shù)學(xué)思想，即“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”，“無限轉(zhuǎn)化為有限”“線線垂直與線面垂直互相轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想。

直線與平面垂直是研究空間中的線線關(guān)系和線面關(guān)系的橋梁，為后繼面面垂直的學(xué)習(xí)、距離的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、目標和目標解析

1.借助對實例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；

2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直的判定定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題；

3.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發(fā)展合情推理能力，同時感悟和體驗“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、“無限轉(zhuǎn)化為有限”等數(shù)學(xué)思想.

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)是熟悉的日常生活中的具體直線與平面垂直的直觀形象（學(xué)生的客觀現(xiàn)實）和直線與直線垂直的定義、直線與平面平行的判定定理等數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)（學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實），這為學(xué)生學(xué)習(xí)直線與平面垂直定義和判定定理等新知識奠定基礎(chǔ)。

學(xué)生學(xué)習(xí)的困難在于如何從直線與平面垂直的直觀形象中提煉出直線與平面垂直的定義，感悟直線與平面垂直的意義；以及如何從折紙試驗中探究出直線與平面垂直的判定定理。

教學(xué)的重點是直線與平面垂直的定義和直線與平面垂直判定定理的探究；教學(xué)的難點是操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。

四、學(xué)習(xí)行為分析

本節(jié)課安排在立體幾何的初始階段，是學(xué)生空間觀念形成的關(guān)鍵時期，課堂上學(xué)生通過感知、觀察、提煉直線與平面垂直的定義，進而通過辨析討論，深化對定義的理解。進一步，在一個具體的數(shù)學(xué)問題情境中猜想直線與平面垂直的判定定理，并在教師的指導(dǎo)下，通過動手操作、觀察分析、自主探索等活動，切身感受直線與平面垂直判定定理的形成過程,體會蘊涵在其中的思想方法。繼而，通過課本例1的學(xué)習(xí)概括直線與平面垂直的幾種常用判定方法。再通過練習(xí)與課后小結(jié)，使學(xué)生進一步加深對直線與平面垂直的判定定理的理解。

五、教學(xué)支持條件分析

觀察和展示現(xiàn)實生活中的實例與圖片，以直觀感知直線與平面垂直的形象；準備三角形紙片，用于探究直線與平面垂直的判定定理；制作多媒體課件動態(tài)演示，以加深對直線與平面垂直定義及判定定理的感知與理解。

六、教學(xué)過程設(shè)計

1.從實際背景中感知直線與平面垂直的形象

問題1：空間一條直線和一個平面有哪幾種位置關(guān)系？

設(shè)計意圖：此問基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，通過對已學(xué)相關(guān)知識的追憶，尋找新知識學(xué)習(xí)的“固著點”。

問題2：在日常生活中你見得最多的直線與平面相交的情形是什么？請舉例說明。

設(shè)計意圖：此問基于學(xué)生的客觀現(xiàn)實，通過對生活事例的觀察，讓學(xué)生直觀感知直線與平面相交中一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進一步探究直線與平面垂直的意義。

2.提煉直線與平面垂直的定義

問題3：你能給出直線和平面垂直的定義嗎？回憶一下直線與直線垂直是如何定義的？

設(shè)計意圖：兩直線垂直有相交垂直和異面垂直，而異面直線垂直是轉(zhuǎn)化為兩直線相交垂直，實質(zhì)上是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，讓學(xué)生回憶直線與直線垂直的定義，旨在由此得到啟發(fā)：用“平面化”的思想來思考問題，即能否用一條直線垂直于一個平面內(nèi)的直線，來定義這條直線與這個平面垂直？

問題4：結(jié)合對下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義．

(1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)隨著太陽的移動,影子BC的位置也會移動,而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會發(fā)生改變?

(3)旗桿AB與地面上任意一條不過點B的直線B1C1的位置關(guān)系如何?依據(jù)是什么？

設(shè)計意圖：第（1）與（2）兩問旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條過點B的直線垂直，第（3）問進一步讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條不過點B的直線也垂直，在這里，主要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關(guān)系來分析、歸納直線與平面垂直這一概念。

（學(xué)生敘寫定義，并建立文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化）

思考：（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？

（2）如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線是否垂直于這個平面內(nèi)的所有直線？

（對問（1），在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上用直角三角板在黑板上直觀演示；對問（2）可引導(dǎo)學(xué)生給出符號語言表述：若，則)

設(shè)計意圖：通過對問題（1）的辨析討論，深化直線與平面垂直的概念。通過對問題（2）的辨析討論旨在讓學(xué)生掌握線線垂直的一種判定方法。

通常定義可以作為判定依據(jù)，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內(nèi)的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，因為我們無法去一一檢驗。這就有必要去尋找比定義法更簡捷、可行的直線與平面垂直的判定方法。

3.探究直線與平面垂直的判定定理

創(chuàng)設(shè)情境猜想定理：某公司要安裝一根8米高的旗桿，兩位工人先從旗桿的頂點掛兩條長10米的繩子，然后拉緊繩子并把繩子的下端放在地面上兩點（和旗桿腳不在同一直線上）。如果這兩點都和旗桿腳距離6米，那么表明旗桿就和地面垂直了，你知道這是為什么嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知以及已有經(jīng)驗，進行合情推理，猜想判定定理。

師生活動：（折紙試驗）請同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗：過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD（如圖1），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

問題5：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

（組織學(xué)生動手操作、探究、確認）

設(shè)計意圖：通過折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，且B、D、C不在同一直線上的翻折之后豎起的折痕AD才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2），其它位置都不能使AD與桌面垂直。

問題6：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？（可從線與線的關(guān)系考慮）如果我們把折痕抽象為直線，把BD、CD抽象為直線，把桌面抽象為平面(如圖3)，那么你認為保證直線與平面垂直的條件是什么？

對于兩條相交直線必須在平面內(nèi)這一點，教師可引導(dǎo)學(xué)生操作：將紙片繞直線AD（點D始終在桌面內(nèi)）轉(zhuǎn)動，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內(nèi)。問：直線AD現(xiàn)在還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導(dǎo)學(xué)生認識到直線CD、BD都必須是平面內(nèi)的直線）

設(shè)計意圖：通過操作讓學(xué)生認識到兩條相交直線必須在平面內(nèi)，從而更凸現(xiàn)出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內(nèi)兩條相交直線。

問題7：如果將圖3中的兩條相交直線、的位置改變一下，仍保證

，（如圖4）你認為直線還垂直于平面嗎？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生明白要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，這是無關(guān)緊要的。

根據(jù)試驗，請你給出直線與平面垂直的判定方法。

（學(xué)生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化）

問題8：（1）與直線與平面垂直的定義相比,你覺得這個判定定理的優(yōu)越性體現(xiàn)在哪里?

（2）你覺得定義與判定定理的共同點是什么?

設(shè)計意圖：通過和直線與平面垂直定義的比較，讓學(xué)生體會“無限轉(zhuǎn)化為有限”的數(shù)學(xué)思想，通過尋找定義與判定定理的共同點，感悟和體會“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”的數(shù)學(xué)思想.

思考：現(xiàn)在，你知道兩位工人是根據(jù)什么原理安裝旗桿的嗎？為什么要求繩子在地面上兩點和旗桿腳不在同一直線上？

如果安裝完了，請你去檢驗旗桿與地面是否垂直，你有什么好方法？

設(shè)計意圖：用學(xué)到手的知識解釋實際生活中的問題，增強學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識，同時通過提出“為什么要求繩子在地面上兩點和旗桿腳不在同一直線上？”（對該問題可引導(dǎo)學(xué)生用三角形紙片來驗證），從而來深化對直線與平面垂直判定定理的理解。

4.直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用

如圖5，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，請列舉與平面ABCD垂直的直線。并說明這些直線有怎樣的位置關(guān)系？

思考：如圖6，已知，則嗎？請說明理由。

（分別用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的定義證明；并讓學(xué)生用語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面）

設(shè)計意圖：這個例題給出了判斷直線和平面垂直的一個常用的命題，這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系。

練習(xí)：如圖，在三棱錐V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中點。

求證：AC⊥平面VKB

思考：

(1)在三棱錐V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求證：VB⊥AC；

(2)在⑴中，若E、F分別是AB、BC的中點，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系；

(3)在⑵的條件下，有人說“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，對嗎？

設(shè)計意圖：例2重在對直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用．變式（1）在例2的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了直線與平面垂直的意義；變式（2）是對例1判定方法的應(yīng)用；變式（3）的判斷在于進一步鞏固直線與平面垂直的判定定理。3個小題環(huán)環(huán)相扣，匯集了本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，突出了知識間內(nèi)在聯(lián)系和融會貫通。

5.小結(jié)回授

（1）本節(jié)課你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語言敘述。

（2）直線與平面垂直的判定定理中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計意圖：以問題討論的方式進行小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生運用自己理解的語言對問題進行質(zhì)疑和概括。

七、目標檢測設(shè)計

1．課本P73探究：如圖2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A1C⊥B1D1．

2．如圖，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，寫出圖中所有的直角三角形。

3．課本P74練習(xí)2

設(shè)計意圖：第1題是本節(jié)教材中的一道探究題，主要運用直線與平面垂直的意義與判定定理；第2題也是活用直線與平面垂直的意義與判定定理，前兩題重在檢測本節(jié)課的知識與技能目標，檢測運用知識解決問題的能力；第3題通過學(xué)生探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察——分析——歸納和綜合運用知識的能力。

直線與平面垂直的判定教學(xué)設(shè)計（2）

直線與平面垂直的定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就稱直線與平面互相垂直。定義中的“任意一條直線”就是“所有直線”。

直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：將“直線與平面垂直”的問題轉(zhuǎn)化為“直線與直線垂直”的問題。

直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中線線垂直位置關(guān)系的拓展，又是面面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時它又是直線和平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是點、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一。

對直線與平面垂直的定義的研究遵循“直觀感知、抽象概括”的認知過程展開，而對直線與平面垂直的判定的研究則遵循“直觀感知、操作確認、歸納總結(jié)、初步運用”的認知過程展開，通過該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，能進一步培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和一定的推理論證能力，同時體會“平面化”思想和“降維”思想。

教學(xué)重點：直觀感知、操作確認，概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

二、目標和目標解析

目標：理解直線與平面垂直的意義，掌握直線與平面垂直的判定定理。

目標解析：

1、借助對圖片、實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義。

2、通過直觀感知、操作確認，歸納、概括出直線與平面垂直的判定定理。

3、能運用直線與平面垂直的判定定理，證明與直線和平面垂直有關(guān)的簡單命題：在平面內(nèi)選擇兩條相交直線，證明它們與平面外的直線垂直。

4、能運用直線與平面垂直定義證明兩條直線垂直，即證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面。

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線、平面平行的判定及性質(zhì)，學(xué)習(xí)了兩直線（共面或異面）互相垂直的位置關(guān)系，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會，有了一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力。

在直線與平面垂直的判定定理中，為什么至少要兩條直線，并且是兩條相交直線，學(xué)生的理解有一定的困難，因為定義中“任一條直線”指的是“所有直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導(dǎo)致學(xué)生形成理解上的思維障礙。同時，由于學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力有待進一步加強，在直線與平面垂直判定定理的運用中，不知如何選擇平面內(nèi)的兩條相交直線證線面垂直（抑或選擇平面證線面垂直從而得到線線垂直）導(dǎo)致證明過程中無從著手或發(fā)生錯誤。

教學(xué)難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。

四、教學(xué)支持條件分析

為了有效實現(xiàn)教學(xué)目標，條件許可準備投影儀，多媒體課件，三角板。學(xué)生自備學(xué)具：三角形紙片、鐵絲、三角板。

五、教學(xué)過程設(shè)計

（一）、觀察歸納直線與平面垂直的定義

1、直觀感知

問題1：請同學(xué)們觀察圖片，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關(guān)系？你能舉出一些類似的例子嗎？

設(shè)計意圖：從實際背景出發(fā)，直觀感知直線和平面垂直的位置關(guān)系，使學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數(shù)學(xué)抽象做準備。

師生活動：觀察圖片，引導(dǎo)學(xué)生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內(nèi)直立的墻角線和地面位置關(guān)系，桌子腿與地面的位置關(guān)系，直立書的書脊與桌面的位置關(guān)系等，由此引出課題。

2、觀察思考

思考：如何定義一條直線與一個平面垂直呢？

我們已經(jīng)學(xué)過直線和平面平行的判定和性質(zhì)，知道直線和平面平行的問題可轉(zhuǎn)化為考察直線和平面內(nèi)直線平行的關(guān)系,直線和平面垂直的問題同樣可以轉(zhuǎn)化為考察一條直線和一個平面內(nèi)直線的關(guān)系，然后加以解決。

問題2：（1）如圖1，在陽光下觀察直立于地面旗桿AB及它在地面的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在直線位置關(guān)系是什么？

（2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B1C1的位置關(guān)系又是什么？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”的思想來思考問題，通過觀察，感知直線與平面垂直的本質(zhì)屬性。

師生活動：教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，引導(dǎo)學(xué)生得出旗桿所在直線與地面內(nèi)的直線都垂直。

3、抽象概括

問題3、通過上述觀察分析，你認為應(yīng)該如何定義一條直線與一個平面垂直？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生歸納、概括出直線與平面垂直的定義。

師生活動：學(xué)生思考作答，教師補充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞，定義是說這條直線和平面內(nèi)所有直線垂直。同時給出線面垂直的記法與畫法。

定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作：l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。

畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖2。

4、辯析舉例

辨析：下列命題是否正確，為什么？

（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直。

（2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任一直線。

設(shè)計意圖：通過問題辨析，加深概念的理解，掌握概念的本質(zhì)屬性。由（1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思，定義的實質(zhì)就是直線與平面內(nèi)所有直線都垂直。由（2）使學(xué)生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，線線垂直與線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化。

師生活動：命題（1）判斷中引導(dǎo)學(xué)生用鐵絲表直線，用三角板兩直角邊表兩垂直直線，桌面表平面舉出反例。教師利用三角板和教鞭進行演示，將一塊大直角三角板的一條直角邊AC放在講臺上演示，這時另一條直角邊BC就和講臺上的一條直線（即三角板與桌面的交線AC）垂直，但它不一定和講臺桌面垂直.在此基礎(chǔ)上在講臺上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移動，那么BC始終和EF垂直，但它不一定和講臺桌面垂直，最后教師用多媒體課件展示反例的直觀圖，如圖3。

由命題（2）給出下列常用命題：

這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，它是判斷線線垂直的常用方法。

（二）、探究發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理

1、觀察猜想

思考：我們該如何檢驗學(xué)校廣場上的旗桿是否與地面垂直？

雖然可以根據(jù)定義判定直線與平面垂直，但這種方法實際上難以實施。有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？

問題4、觀察跨欄、簡易木架等實物，你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？

設(shè)計意圖：通過問題思考與實例分析，尋找具有可操作性的判定方法，體驗有限與無限之間的辯證關(guān)系。

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，給出猜想：一條直線與一個平面內(nèi)兩相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

2、操作確認

問題5：如圖4，請同學(xué)們拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

設(shè)計意圖：通過實驗，引導(dǎo)學(xué)生獨立發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和幾何直觀能力。

師生活動：在折紙試驗中，學(xué)生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)學(xué)生進行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。學(xué)生再次折紙，進而探究直線與平面垂直的條件，經(jīng)過討論交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要保證折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強幾何直觀性。

3、合情推理

問題6：根據(jù)上面的試驗，結(jié)合兩條相交直線確定一個平面的事實，你能給出直線與平面垂直的判定方法嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知及已有知識經(jīng)驗，進行合情推理，獲得判定定理。

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶出“兩條相交直線確定一個平面”，以及直觀過程中獲得的感知，將“與平面內(nèi)所有直線垂直”逐步歸結(jié)到“與平面內(nèi)兩條相交直線垂直”，進而歸納出直線與平面垂直的判定定理。同時指出要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關(guān)緊要的.定理充分體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

用符號語言表示為：

4、質(zhì)疑深化

辨析：如果一條直線與一個梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面嗎？

設(shè)計意圖：通過辨析，強化定理中“兩條相交直線”的條件。

師生活動：學(xué)生思考作答，教師再次強調(diào)“相交”條件。

（三）、直線與平面垂直的判定定理的初步應(yīng)用

嘗試練習(xí)1、求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。

設(shè)計意圖：初步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運用線面垂直判定定理的條件。

師生活動：學(xué)生根據(jù)題意畫圖（如圖6），將其轉(zhuǎn)化為幾何命題：不妨設(shè)a⊥AC,a⊥BC求證：a⊥AB。請兩位同學(xué)板演，其余同學(xué)在練習(xí)本上完成，師生共同評析，明確運用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相交”的條件。

嘗試練習(xí)2、如圖7，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。

設(shè)計意圖：進一步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直，體會轉(zhuǎn)化思想在證題中的作用，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可用判定定理證，提示輔助線的添法，將思路集中在如何在平面內(nèi)α內(nèi)找到兩條與直線b垂直的相交直線上。另外，再引導(dǎo)學(xué)生將已知條件具體化的過程中，逐步明確根據(jù)異面直線所成角的概念解決問題。學(xué)生練習(xí)本上完成，對照課本P73例1,完善自己的解題步驟。同時指出：本例結(jié)果可以作為直線和平面垂直的又一個判定定理.這樣判定一條直線與已知平面垂直，可以用這條直線垂直于平面兩條相交直線來證明，也可以用這條直線的平行直線垂直于平面來證明.

嘗試練習(xí)3：如圖8，直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時，？

設(shè)計意圖：能合理尋找平面證線面垂直從而得出線線垂直，體會轉(zhuǎn)化思想在證題中的作用。

師生活動：學(xué)生思考討論，請一位同學(xué)用投影儀展示并分析其思路，教師參與討論。

（四）、總結(jié)反思

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？

（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)的什么數(shù)學(xué)思想？

（3）關(guān)于直線與平面垂直你還有什么問題？

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生對問題多質(zhì)疑、多概括。

師生活動：學(xué)生發(fā)言，互相補充，教師點評完善，歸納出判斷直線與平面垂直的方法，給出框圖（投影展示）。

六、目標檢測設(shè)計

1、如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD.求證：PO⊥平面ABCD

2、課本P74練習(xí)1、2

3、課本P86A組10

4、如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，則圖中有幾個直角三角形?由此你認為三棱錐中最多有幾個直角三角形？

（板書設(shè)計）

《直線與平面垂直的判定與性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計

《直線與平面垂直的判定與性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計

【教學(xué)目標】

1、知識與技能目標：

掌握直線和平面垂直的定義及判定定理、性質(zhì)定理；掌握判定直線和平面垂直的方法；掌握直線和平面垂直的性質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納、概括結(jié)論。

2、過程與方法目標：

感受直線和平面垂直的定義的形成過程；探究判定直線與平面垂直的方法。

3、情感態(tài)度與價值觀目標：

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從“感性認識”到“理性認識”過程中獲取新知。

【教學(xué)重點】直線與平面垂直的定義和判定定理。

【教學(xué)難點】直線與平面垂直的定義和判定定理的探究。

【教學(xué)方法】實踐操作、師生互動、共同探究的方法

【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué)

【課時安排】1課時

教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

舉例：旗桿與地面，大橋的橋柱和水面等的位置關(guān)系。
模型演示：直棱柱的側(cè)棱與底面的位置關(guān)系。

【設(shè)計意圖】生活中處處有數(shù)學(xué)的存在.學(xué)生對一些實例雖然熟悉，但往往知其然，不知其所然，用這樣的實例導(dǎo)入，學(xué)生必然有要探個究竟的心理.激發(fā)出了學(xué)生探究的興趣和主動性。

（二）研探新知

1、直線與平面垂直的定義：直線l與平面內(nèi)α的任意一條直線都垂直。記作：l⊥α。

直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，垂線與平面的交點P叫做垂足。

2、直線與平面垂直的判定：

（1）探究：準備一塊三角形紙片。

過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）。

①折痕AD與桌面所在平面α垂直嗎？

②如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面α垂直？（AD是BC邊上的高）

（2）思考：

①有人說，折痕AD所在直線已桌面所在平面α上的一條直線垂直，就可以判斷AD垂直平面α，你同意他的說法嗎？

②如圖，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD，由此你能得到什么結(jié)論？

【設(shè)計意圖】通過實踐活動，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實踐、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，發(fā)現(xiàn)折紙法可以驗證直線和平面垂直的判定定理的原因，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)認識，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，促進了學(xué)生數(shù)學(xué)水平的提高.有助于學(xué)生逐步形成對數(shù)學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)策略.同時對比折紙?zhí)剿鞯倪^程，體會思維實驗和符號化的理性思維。

（3）歸納定理：（直線與平面垂直的判定定理）

一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

作用：由線線垂直得到線面垂直。（線不在多，相交就行。）

強調(diào)：①定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

②定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

3、實際應(yīng)用，鞏固深化

例1：有一根旗桿AB高8米，它的頂端A掛有一條長10米的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點（和旗桿腳不在同一條直線上）C、D，如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6米，那么旗桿就和地面升起垂直，為什么？

分析：AB⊥BC，AB⊥BD，且B、C、D三點不共線。

課堂練習(xí)：已知三角形ABC，直線l⊥AB，l⊥AC，求證l⊥BC。

【設(shè)計意圖】由實例出發(fā)反映了直線與平面垂直的判定定理的廣泛應(yīng)用，強調(diào)了直線與平面垂直的判定定理的重要性。直線與平面垂直的判定定理求定積分是解決一些直線與平面位置關(guān)系的有力工具，是一種普遍性的方法。

例2：直線a、b和平面α有以下三種關(guān)系：（1）a//b，（2），（3），如果任意取其中兩個作為前提，另一個作為結(jié)論構(gòu)造命題，能構(gòu)成幾個命題？并判斷其真假。如果是真命題，請予以證明；如果是假命題，請舉一個反例。

命題1：如圖，已知a//b，a⊥α，求證：b⊥α

證明：在平面α內(nèi)作兩條相交直線m，n，因為直線，根據(jù)直線與平面垂直的定義知，又因為a//b，所以，又因為，m，n是兩條相交直線，所以。

歸納：兩條互相平行的直線，如果有一條與一個平面垂直，則另一條也與這個平面垂直。

命題2：如圖，已知直線a⊥α，b⊥α，那么a//b。

證明（反證法）假設(shè)a、b不平行，且，是經(jīng)過點O與直線b平行的直線。直線b與確定平面β，設(shè)，則。因為a⊥α、b⊥α，所以a⊥c、b⊥c，又因為，所以。這樣在平面β內(nèi)，經(jīng)過直線c上同一點O就有兩條直線b，與c垂直，顯然不可能，因此a//b。

【設(shè)計意圖】歸納出直線與平面垂直的性質(zhì)：垂直于同一平面的兩條直線平行。同時可以由兩條直線與一個平面垂直判定兩條直線平行，性質(zhì)定理揭示了“平行”與“垂直”之間的內(nèi)在聯(lián)系。

歸納性質(zhì)：（直線與平面垂直的性質(zhì)）垂直于同一平面的兩條直線平行。

（三）課堂練習(xí)：課本P67，練習(xí)1、2。

1、如圖，在三棱錐V—ABC中，VA=VC，AB=BC，求證：VB⊥AC。

2、過三角形ABC所在平面α外一點P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC。

（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，則點O是AB邊的點。

（2）若PA=PB=PC，則點O是三角形ABC的心。

（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是三角形ABC的心。

【設(shè)計意圖】通過練習(xí)，加深學(xué)生對直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想意識。

（四）歸納小結(jié)：

師：同學(xué)們，請問這節(jié)課你們學(xué)習(xí)了哪些知識？在應(yīng)用過程中應(yīng)該注意什么？你有什么收獲？

想好后，可以站起來和大家一起分享

生：認真反思，對本節(jié)內(nèi)容進行歸納小結(jié)。

師：（鼓勵學(xué)生踴躍方言，并加以完善）

（1）獲得直線與平面垂直的判定定理的基本過程。

（2）直線與平面垂直的判定定理的內(nèi)容。

（強調(diào)：定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視。）

（3）直線與平面垂直的判定定理體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是什么？

（強調(diào)：定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。）

【設(shè)計意圖】通過小結(jié)，讓學(xué)生在反思中整理知識，整理思維，從而獲得解決問題的思想方法。體驗成功的快樂，積累學(xué)習(xí)的經(jīng)驗。，

（五）課后作業(yè)：

1、正方體ABCD—A1B1C1D1中，求證：AC⊥BDD1B1。

2、如圖，已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC，O、D分別為AB、AC的中點，求證：OD⊥平面PAC。

3、如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，求證：MN⊥CD。

【設(shè)計意圖】進一步加深學(xué)生對直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的理解，體會“平行”與“垂直”之間的內(nèi)在聯(lián)系，以及“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。