高中三角函數(shù)的教案

§1.3.4三角函數(shù)的應(yīng)用。

§1.3.4三角函數(shù)的應(yīng)用
一、教學(xué)目標(biāo)：
1.掌握用待定系數(shù)法求三角函數(shù)解析式的方法；
2.培養(yǎng)學(xué)生用已有的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力；
3.能用計(jì)算機(jī)處理有關(guān)的近似計(jì)算問題.
二、重點(diǎn)難點(diǎn)：
重點(diǎn)是待定系數(shù)法求三角函數(shù)解析式;
難點(diǎn)是選擇合理數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.
三、教學(xué)過程：
【創(chuàng)設(shè)情境】
三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用.
【自主學(xué)習(xí)探索研究】
1．學(xué)生自學(xué)完成P42例1
點(diǎn)O為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運(yùn)動(dòng)到距平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開始計(jì)時(shí).
（1）求物體對(duì)平衡位置的位移x(cm)和時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）求該物體在t=5s時(shí)的位置.
（教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)析.并回答下列問題：據(jù)物理常識(shí)，應(yīng)選擇怎樣的函數(shù)式模擬物體的運(yùn)動(dòng)；怎樣求和初相位θ；第二問中的“t=5s時(shí)的位置”與函數(shù)式有何關(guān)系？）
2．講解p43例2(題目加已改變)

2．講析P44例3
海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮是返回海洋.下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深.
（1）選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點(diǎn)時(shí)的近似數(shù)值.
（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？
（3）若船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？
問題：
（1）選擇怎樣的數(shù)學(xué)模型反映該實(shí)際問題？
（2）圖表中的最大值與三角函數(shù)的哪個(gè)量有關(guān)？
（3）函數(shù)的周期為多少？
（4）“吃水深度”對(duì)應(yīng)函數(shù)中的哪個(gè)字母？

3．學(xué)生完成課本P45的練習(xí)1，3并評(píng)析.

【提煉總結(jié)】
從以上問題可以發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)知識(shí)在解決實(shí)際問題中有著十分廣泛的應(yīng)用，而待定系數(shù)法是三角函數(shù)中確定函數(shù)解析式最重要的方法.三角函數(shù)知識(shí)作為數(shù)學(xué)工具之一，在以后的學(xué)習(xí)中將經(jīng)常有所涉及.學(xué)數(shù)學(xué)是為了用數(shù)學(xué)，通過學(xué)習(xí)我們逐步提高自己分析問題解決問題的能力.
四、布置作業(yè)：
P46習(xí)題1.3第14、15題

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弧度制三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

金臺(tái)高級(jí)中學(xué)編寫人：徐春妮
§9三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟
2.利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型.
學(xué)法指導(dǎo)
三角形應(yīng)用的步驟是：
1．分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖：
2．建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與未知量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型。
3．求解：利用三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解。
4．檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解。即解三角應(yīng)用題的基本思路
要點(diǎn)導(dǎo)讀
課后測(cè)評(píng)
一、選擇題
1.。已知A,B,C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,且sinAsinBsinC,則()
(A)ABC(B)ABC(C)A+B(D)B+C
2．.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(cos800,sin800),B(cos200,sin200)，則|AB|的值是()
(A)(B)(C)(D)1
3.。02年北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小
正方形拼成的一個(gè)大正方形,若直角三角形中較小的銳角為θ,大正方形的
面積為1,小正方形的面積是,則sin2θ-cos2θ的值是()
(A)1(B)(C)(D)-
4．.D、C、B三點(diǎn)在地面同一直線上,DC=a,從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角
分別是α、β（αβ）,則A點(diǎn)離地面的高度等于()
(A)(B)(C)(D)
5．.甲、乙兩人從直徑為2r的圓形水池的一條直徑的兩端同時(shí)按逆時(shí)針方向沿池做圓周運(yùn)動(dòng),已知甲速是乙速的兩倍,乙繞池一周為止,若以θ表示乙在某時(shí)刻旋轉(zhuǎn)角的弧度數(shù),l表示甲、乙兩人的直線距離，則l=f(θ)的圖象大致是

6.。電流強(qiáng)度I(安培)隨時(shí)間t(秒)變化的函數(shù)I=Asin(ωt+φ)的圖象如圖
所示，則當(dāng)t=秒時(shí)的電流強(qiáng)度()
(A)0(B)10(C)-10(D)5
二.填空題
7．.三角形的內(nèi)角x滿足2cos2x+1=0則角x=;
8．.一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)和面積的數(shù)值都是5，則這個(gè)扇形中心角的度數(shù)是;
9．設(shè)y=f(t)是某港口水的深度y(米)關(guān)于時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)，其中0≤t≤24.下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系：
t03691215182124
y1215.112.19.111.914.911.98.912.1
經(jīng)長(zhǎng)期觀察，函數(shù)y=f(t)的圖象可以近似地看成函數(shù)y=k+Asin(ωt+φ)的圖象.則一個(gè)能近似表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是.
10。直徑為10cm的輪子有一長(zhǎng)為6cm的弦，P是該弦的中點(diǎn)，輪子以5弧度/秒的角速度旋轉(zhuǎn)，則經(jīng)過5秒鐘后點(diǎn)P經(jīng)過的弧長(zhǎng)是.
三.解答題
11．.以一年為一個(gè)周期調(diào)查某商品出廠價(jià)格及該商品在商店銷售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠價(jià)格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的,已知3月份出廠價(jià)格最高為8元,7月份出廠價(jià)格最低為4元;而該商品在商店的銷售價(jià)格是在8元基礎(chǔ)上按月份也是隨正弦曲線波動(dòng)的.并已知5月份銷售價(jià)最高為10元.9月份銷售價(jià)最低為6元.假設(shè)某商店每月購(gòu)進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月能售完，請(qǐng)估計(jì)哪個(gè)月盈利最大？并說明理由.

12．.一個(gè)大風(fēng)車的半徑為8米，12分鐘旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)
離地面2米，求風(fēng)車翼片的一個(gè)端點(diǎn)離地面距離h(米)與時(shí)間
t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式.

13．.一鐵棒欲通過如圖所示的直角走廊，試回答下列問題：
（1）證明棒長(zhǎng)L(θ)=；
（2）當(dāng)θ∈(0,)時(shí),作出上述函數(shù)的圖象（可用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)）；
（3）由(2)中的圖象求L(θ)的最小值；
（4）解釋(3)中所求得的L是能夠通過這個(gè)直角走廊的鐵棒的長(zhǎng)度的最大值.

學(xué)生反思：

§3弧度制．
課前指導(dǎo)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解弧度的意義；了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的可建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；熟記特殊角的弧度數(shù)．“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系
能正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，能推導(dǎo)弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式，并能運(yùn)用公式解決一些實(shí)際問題
學(xué)法指導(dǎo)
角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換：
①將角度化為弧度：
；；；．
②將弧度化為角度：
；；；．
要點(diǎn)導(dǎo)讀
1.規(guī)定把周角的作為1度的角,用叫做角度制．

2．叫做1弧度的角；叫做弧度制．在弧度制下,1弧度記做1rad．在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略．
3.弧度制的性質(zhì)：
①半圓所對(duì)的圓心角為②整圓所對(duì)的圓心角為
③正角的弧度數(shù)是．④負(fù)角的弧度數(shù)是．
⑤零角的弧度數(shù)是．⑥角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值
4．特殊角的弧度
角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
弧度
5．弧長(zhǎng)公式
_____________.
課堂導(dǎo)學(xué)
例1．將下列各角化成2kπ+α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并確定其所在的象限．
；．

課后測(cè)評(píng)
一．選擇題（每小題5分）
1、下列各角中與240°角終邊相同的角為（）
A．２π３B．－５π６C．－２π３D．７π６
2、若角α終邊在第二象限，則π－α所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3、把－1125°化成α＋2kπ（0≤α＜2π,k∈Z＝）的形式是（）
A．－π4－6πＢ．7π4－6πＣ．－π4－8πＤ．7π4－8π
4、已知集合M=｛x∣x=,∈Z｝，N=｛x∣x=,k∈Z｝，則（）
A．集合M是集合N的真子集B．集合N是集合M的真子集
C．M=ND．集合M與集合N之間沒有包含關(guān)系
5、若2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為4cm,則這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積是（）
Ａ．4cm2Ｂ．2cm2Ｃ．4πcm2Ｄ．2πcm2
6、集合｛α∣α=－,k∈Z｝∩｛α∣－παπ｝為（）
A．｛－π5,3π10｝B．｛－7π10,4π5｝C．｛－π5,3π10,－7π10,4π5｝D．｛3π10,7π10｝
二．填空題（每小題5分）
1、若角α，關(guān)于y軸對(duì)稱，則α，的關(guān)系是；
2、若角α，滿足，則的范圍；
3、將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是．
4、已知是第二象限角，且則的集合是．
三．解答題（每小題10分）
已知=1690o，
(1)把表示成的形式，其中k∈Z，∈．

（2）求，使與的終邊相同，且．

課后測(cè)評(píng)B
一、選擇題（每題5分共60分）
(1）在半徑不等的兩個(gè)圓內(nèi)，1弧度的圓心角（）
A.所對(duì)的弧長(zhǎng)相等B.所對(duì)的弦長(zhǎng)相等
C.所對(duì)的弧長(zhǎng)等于各自的半徑D.以上都不對(duì)
(2).把化為的形式是（）
A.B.C.D.
(3).把表示成的形式，使最小的的值是（）
A.B.C.D.
(4).若是第二象限角，那么和都不是（）
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
(5).將分針撥慢十分鐘，則分針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)是（）
A、B、C、D、
(6)圓弧長(zhǎng)度等于其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，其圓心角的弧度數(shù)是（）
A、B、C、D、2
(7)已知集合，
則等于（）
A、B、{}C、
D、或}
(8).設(shè)且17的終邊與的終邊相同,則等于()
A.B.C.D.1
(9).集合
則A、B的關(guān)系為()
A.B.C.A=BD,A
(10)已知扇形的半徑為12cm,弧長(zhǎng)為18cm,則扇形圓心角的弧度數(shù)為()
A.B.C.D.
(11).終邊在第一、四象限的角的集合可表示為()
A.B.
C.D.
（12）若是第四象限的角，則在（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
二、填空題（每題5分共10分）
(13)已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)弧的弧長(zhǎng)是
(14)用弧度制表示x軸上方的角的集合
(15)扇形的半徑是5cm，弧長(zhǎng)是cm那么扇形的面積是cm
(16)
三、解答題（每題10分共20分）
17.已知扇形的周長(zhǎng)為40cm,當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí),才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？

18.如圖,一條弦AB的長(zhǎng)等于它所在的圓的半徑R,求弦AB和劣弧AB所組成的弓形的面積.
AB
R
R
學(xué)生反思：
O

三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，作為教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，有效的提高課堂的教學(xué)效率。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用”，但愿對(duì)您的學(xué)習(xí)工作帶來(lái)幫助。

難點(diǎn)17三角函數(shù)式模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用
三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.
●難點(diǎn)磁場(chǎng)
(★★★★★)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B.，求cos的值.
●案例探究
［例1］在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北30°東，俯角為60°的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北60°西、俯角為30°的C處。
(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米；
(2)又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？
命題意圖：本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識(shí)，以及學(xué)生的識(shí)圖能力和綜合運(yùn)用三角知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
知識(shí)依托：主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)系.
錯(cuò)解分析：考生對(duì)方位角識(shí)別不準(zhǔn)，計(jì)算易出錯(cuò).
技巧與方法：主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來(lái)解決問題.
解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60°PA=1，∴AB=(千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=(千米)
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACBcos30°－cosACBsin30°.
在△ACD中，據(jù)正弦定理得，
∴
答：此時(shí)船距島A為千米.
［例2］已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設(shè)x=cos，f(x)=cosB().
(1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域；
(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；
(3)求這個(gè)函數(shù)的值域.
命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用三角知識(shí)解決綜合問題的能力，并且考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用的程度和考生的運(yùn)算能力，//屬★★★★級(jí)題目.
知識(shí)依托：主要依據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)公式和性質(zhì)以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去解決問題.
錯(cuò)解分析：考生對(duì)三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn)，并且不易想到運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題.
技巧與方法：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式.在求定義域時(shí)要注意||的范圍.
解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°
∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1
又4x2－3≠0，∴x≠，∴定義域?yàn)?，)∪(，1］.
(2)設(shè)x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)=
=，若x1，x2∈()，則4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，則4x12－3＞0.
4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.
即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù).
(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.
故f(x)的值域?yàn)?－∞，－)∪［2，+∞.
●錦囊妙計(jì)
本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有：
(1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；
(2)熟練地進(jìn)行邊角和已知關(guān)系式的等價(jià)轉(zhuǎn)化；
(3)能熟練運(yùn)用三角形基礎(chǔ)知識(shí)，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘.
●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、選擇題
1.(★★★★★)給出四個(gè)命題：(1)若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；(2)若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，則△ABC為正三角形.以上正確命題的個(gè)數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
二、填空題
2.(★★★★)在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，//則的值為__________.
3.(★★★★)在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，則cos2(B+C)=__________.
三、解答題
4.(★★★★)已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積.
5.(★★★★★)如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離r的平方成反比，即I=k，其中k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？
6.(★★★★)在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，.
(1)求角A的度數(shù)；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.
7.(★★★★)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數(shù)列，又∠A－∠C=，試求∠A、∠B、∠C的值.
8.(★★★★★)在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求AD∶AB的值.
參考答案
難點(diǎn)磁場(chǎng)
解法一：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°.
設(shè)α=，則A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，
依題設(shè)條件有
整理得4cos2α+2cosα－3=0(M)
(2cosα－)(2cosα+3)=0，∵2cosα+3≠0，
∴2cosα－=0.從而得cos.
解法二：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°
①，把①式化為cosA+cosC=－2cosAcosC②，
利用和差化積及積化和差公式，②式可化為
③，
將cos=cos60°=，cos(A+C)=－代入③式得：
④
將cos(A－C)=2cos2()－1代入④：4cos2()+2cos－3=0，(*)，
殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、1.解析：其中(3）(4）正確.
答案：B
二、2.解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，
答案：
3.解析：∵A為最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°.
∵cos(2A+C)=－，∴sin(2A+C)=.
∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB=.故cosB=.
即sin(A+C)=，cos(A+C)=－.
∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－，
∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1=.
答案：
三、4.解：如圖：連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積：
S=S△ABD+S△CDB=ABADsinA+BCCDsinC
∵A+C=180°，∴sinA=sinC
故S=(ABAD+BCCD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA
由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2ABADcosA=20－16cosA
在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CBCDcosC=52－48cosC
∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，
∴64cosA=－32，cosA=－，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8.
5.解：R=rcosθ，由此得：，

7.解：由a、b、3c成等比數(shù)列，得：b2=3ac
∴sin2B=3sinCsinA=3(－)［cos(A+C)－cos(A－C)］
∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－［cos(A+C)－cos］
即1－cos2(A+C)=－cos(A+C)，解得cos(A+C)=－.
∵0＜A+C＜π，∴A+C=π.又A－C=∴A=π，B=，C=.
8.解：按題意，設(shè)折疊后A點(diǎn)落在邊BC上改稱P點(diǎn)，顯然A、P兩點(diǎn)關(guān)于折線DE對(duì)稱，又設(shè)∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再設(shè)AB=a，AD=x，∴DP=x.在△ABC中，
∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，?
由正弦定理知：.∴BP=
在△PBD中，,
∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴當(dāng)60°+2θ=90°，即θ=15°時(shí)，
sin(60°+2θ)=1，此時(shí)x取得最小值a，即AD最小，∴AD∶DB=2－3.

任意角的三角函數(shù)

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)方面無(wú)論做什么事都有計(jì)劃和準(zhǔn)備，作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂趣，幫助高中教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。高中教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“任意角的三角函數(shù)”，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！

4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（二）
教學(xué)目的：
知識(shí)目標(biāo)：1.復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、定義域與值域、符號(hào)、及誘導(dǎo)公式；
2.利用三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值；
3.利用三角函數(shù)線比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍。
能力目標(biāo)：掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的定義域、值域有更深的理解。
德育目標(biāo)：學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；
教學(xué)重點(diǎn)：正弦、余弦、正切線的概念。
教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切線的利用。
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1.三角函數(shù)的定義
2.誘導(dǎo)公式
練習(xí)1.D
練習(xí)2.B
練習(xí)3.C
二、講解新課：
當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足時(shí)，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線。
1．有向線段：
坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。
規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為負(fù)。
有向線段：帶有方向的線段。
2．三角函數(shù)線的定義：
設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)，
過作軸的垂線，垂足為；過點(diǎn)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延
長(zhǎng)線交與點(diǎn).
由四個(gè)圖看出：
當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段，于是有
，，

我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。
說明：
（1）三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。
（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂
足；正切線由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn)。
（3）三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的
為負(fù)值。
（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。
4．例題分析：
例1．作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。
（1）；（2）；（3）；（4）．
解：圖略。
例5.利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍．

答案：（1）；（2）；
三、鞏固與練習(xí)：P17面練習(xí)
四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：
1．三角函數(shù)線的定義；
2．會(huì)畫任意角的三角函數(shù)線；
3．利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小，求角的范圍。
五、課后作業(yè)：作業(yè)4

參考資料
例1.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?br> 1與2與
解：如圖可知：
tantan
例2．利用單位圓尋找適合下列條件的0到360的角
1sin≥2tan
解：12

30≤≤150

3090或210270

補(bǔ)充：1．利用余弦線比較的大??；
2．若，則比較、、的大小；
3．分別根據(jù)下列條件，寫出角的取值范圍：
（1）；（2）；（3）．

三角函數(shù)

一名優(yōu)秀的教師就要對(duì)每一課堂負(fù)責(zé)，教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以保證學(xué)生們?cè)谏险n時(shí)能夠更好的聽課，幫助教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？小編收集并整理了“三角函數(shù)”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

第二十四教時(shí)
教材：倍角公式，推導(dǎo)“和差化積”及“積化和差”公式
目的：繼續(xù)復(fù)習(xí)鞏固倍角公式，加強(qiáng)對(duì)公式靈活運(yùn)用的訓(xùn)練；同時(shí)，讓學(xué)生推導(dǎo)出和差化積和積化和差公式，并對(duì)此有所了解。
過程：
一、復(fù)習(xí)倍角公式、半角公式和萬(wàn)能公式的推導(dǎo)過程：
例一、已知，，tan=，tan=，求2+
（《教學(xué)與測(cè)試》P115例三）
解：∴
又∵tan20，tan0∴，
∴∴2+=
例二、已知sincos=，，求和tan的值
解：∵sincos=∴
化簡(jiǎn)得：∴
∵∴∴即
二、積化和差公式的推導(dǎo)

sin(+)+sin()=2sincossincos=[sin(+)+sin()]
sin(+)sin()=2cossincossin=[sin(+)sin()]
cos(+)+cos()=2coscoscoscos=[cos(+)+cos()]
cos(+)cos()=2sinsinsinsin=[cos(+)cos()]
這套公式稱為三角函數(shù)積化和差公式，熟悉結(jié)構(gòu)，不要求記憶，它的優(yōu)點(diǎn)在于將“積式”化為“和差”，有利于簡(jiǎn)化計(jì)算。（在告知公式前提下）
例三、求證：sin3sin3+cos3cos3=cos32
證：左邊=(sin3sin)sin2+(cos3cos)cos2
=(cos4cos2)sin2+(cos4+cos2)cos2
=cos4sin2+cos2sin2+cos4cos2+cos2cos2
=cos4cos2+cos2=cos2(cos4+1)
=cos22cos22=cos32=右邊
∴原式得證
三、和差化積公式的推導(dǎo)
若令+=，=φ，則，代入得：
∴
這套公式稱為和差化積公式，其特點(diǎn)是同名的正（余）弦才能使用，它與積化和差公式相輔相成，配合使用。
例四、已知coscos=，sinsin=，求sin(+)的值
解：∵coscos=，∴①
sinsin=，∴②
∵∴∴
∴
四、小結(jié)：和差化積，積化和差
五、作業(yè)：《課課練》P36—37例題推薦1—3
P38—39例題推薦1—3
P40例題推薦1—3