小學(xué)微課教案

發(fā)表時(shí)間：2020-11-12

4.2微積分基本定理。

4.2微積分基本定理
教學(xué)過程：
1、復(fù)習(xí)：
定積分的概念及用定義計(jì)算
2、引入新課
我們講過用定積分定義計(jì)算定積分,但其計(jì)算過程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法，也是比較一般的方法。
變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系
設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(t),速度為v(t)（），
則物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為。
另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（t）在上的增量來表達(dá)，即
=

而。
對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)，是否也有
若上式成立，我們就找到了用的原函數(shù)（即滿足）的數(shù)值差來計(jì)算在上的定積分的方法。
注：1：定理如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)，則
證明：因?yàn)?與都是的原函數(shù)，故
-=C（）
其中C為某一常數(shù)。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
此處并不要求學(xué)生理解證明的過程
為了方便起見，還常用表示，即
該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也提供計(jì)算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)的影響，是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。
例1．計(jì)算下列定積分：
（1）；（2）。
解：（1）因?yàn)椋?br> 所以。
（2））因?yàn)椋?br> 所以
。
練習(xí)：計(jì)算
解：由于是的一個(gè)原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有
===
例2．計(jì)算下列定積分：
。
由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。
解：因?yàn)椋?br> 所以
，
，
.
可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0:
(l）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時(shí)（圖1.6一3)，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；
圖1.6一3(2）
（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時(shí)（圖1.6一4)，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；
(3）當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為0（圖1.6一5)，且等于位于x軸上方的曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積．
例3．汽車以每小時(shí)32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度=1.8米/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？
解:首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時(shí)間。當(dāng)t=0時(shí)，汽車速度=32公里/小時(shí)=米/秒8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為當(dāng)汽車停住時(shí),速度,故從解得秒
于是在這段時(shí)間內(nèi),汽車所走過的距離是
=米,即在剎車后,汽車需走過21.90米才能停住.
微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠(yuǎn)的學(xué)科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果．
四：課堂小結(jié)：
本節(jié)課借助于變速運(yùn)動(dòng)物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進(jìn)而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡(jiǎn)便方法，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識(shí)比較熟練，希望，不明白的同學(xué)，回頭來多復(fù)習(xí)！
五：教學(xué)后記：

延伸閱讀

微積分基本定理導(dǎo)學(xué)案及練習(xí)題

一、基礎(chǔ)過關(guān)
1．已知物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)s＝s(t)，那么下列命題正確的是()
①它在時(shí)間段[a，b]內(nèi)的位移是s＝s(t)|ba；
②它在某一時(shí)刻t＝t0時(shí)，瞬時(shí)速度是v＝s′(t0)；
③它在時(shí)間段[a，b]內(nèi)的位移是s＝limn→∞i＝1nb－ans′(ξi)；
④它在時(shí)間段[a，b]內(nèi)的位移是s＝bas′(t)dt.
A．①B．①②
C．①②④D．①②③④
2．若F′(x)＝x2，則F(x)的解析式不正確的是()
A．F(x)＝13x3B．F(x)＝x3C．F(x)＝13x3＋1D．F(x)＝13x3＋c(c為常數(shù))
3．10(ex＋2x)dx等于()
A．1B．e－1C．eD．e＋1
4．已知f(x)＝x2，－1≤x≤0，1，0x≤1，則1－1f(x)dx的值為()
A.32B.43C.23D．－23
5．π20sin2x2dx等于()
A.π4B.π2－1C．2D.π－24
6．1－1|x|dx等于()
A．1－1xdx
B．1－1(－x)dx
C．0－1(－x)dx＋10xdx
D．0－1xdx＋10(－x)dx
二、能力提升
7．設(shè)f(x)＝lgx，x0x＋?a03t2dt，x≤0，若f[f(1)]＝1，則a＝________.
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若10f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，則x0的值為________．
9．設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且10f(x)dx＝5，10xf(x)dx＝176，則f(x)的解析式為________．
10．計(jì)算下列定積分：
(1)21(ex＋1x)dx；(2)91x(1＋x)dx；(3)200(－0.05e－0.05x＋1)dx；(4)211xx＋1dx.

11．若函數(shù)f(x)＝x3，x∈[0，1]，x，x∈1，2]，2x，x∈2，3].求30f(x)dx的值．

12．已知f(a)＝10(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．

平面向量基本定理

每個(gè)老師不可缺少的課件是教案課件，大家在認(rèn)真寫教案課件了。只有寫好教案課件計(jì)劃，可以更好完成工作任務(wù)！有哪些好的范文適合教案課件的？以下是小編為大家精心整理的“平面向量基本定理”，希望能為您提供更多的參考。

課時(shí)5平面向量基本定理
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．掌握平面向量的基本定理，能用兩個(gè)不共線向量表示一個(gè)向量；或一個(gè)向量分解為兩個(gè)向量。
2．能應(yīng)用平面向量基本定理解決一些幾何問題。
【知識(shí)梳理】
若，是不共線向量，是平面內(nèi)任一向量
在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作=，=，=，使=λ1=λ2
==+=λ1+λ2
得平面向量基本定理：

注意：1、必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底
2這個(gè)定理也叫共面向量定理
3λ1，λ2是被，，唯一確定的實(shí)數(shù)。
【例題選講】
1．如圖，ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC，BD交于M，，，試用基底、表示。
2．設(shè)、是平面內(nèi)一組基底，如果=3-2，=4+，=8-9，求證：A，B，D三點(diǎn)共線。

3．設(shè)、是平面內(nèi)一組基底，如果=2+k，=--3，=2-，若A，B，D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值。

4．中，，DE//BC，與邊AC相交于點(diǎn)E，中線AM與DE交于點(diǎn)N，如圖，，，試用、表示。

【歸納反思】
1．平面向量基本定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它說明同一平面內(nèi)的任一向量都可以表示為其他兩個(gè)不共線向量的線性組合。
2．在解具體問題時(shí)適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其它向量能夠用基底來表示，選擇了兩個(gè)不共線地向量，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可以用唯一表示，這樣幾何問題就可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含的代數(shù)運(yùn)算。
【課內(nèi)練習(xí)】
1．下面三種說法，正確的是
（1）一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；
（2）一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)對(duì)不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；
（3）零向量不可為基底中的向量；
2．如果、是平面內(nèi)一組基底，，那么下列命題中正確的是
（1）若實(shí)數(shù)m,n，使m+n=,則m=n=0;
（2）空間任一向量可以表示為=m+n，這里m,n是實(shí)數(shù)；
（3）對(duì)實(shí)數(shù)m,n，向量m+n不一定在平面；
（4）對(duì)平面內(nèi)的任一向量，使=m+n的實(shí)數(shù)m,n有無數(shù)組。
3．若G是的重心，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，則=
4．如圖，在中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN與CM交于點(diǎn)P，設(shè)，試用，表示。

5．設(shè)，，，求證：A、B、D三點(diǎn)共線。

【鞏固提高】
1．設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組中不能作為基底的是
A+和-B3-2和-6+4
C+2和+2D和+
2．若，，，則=
A+B+C+D+
3．平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（3，1），B（-1，3），點(diǎn)C滿足，其中，且=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為
4．O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足
，則P的軌跡一定通過的心
5．若點(diǎn)D在的邊BC上，且=，則3m+n的值為
6．設(shè)=+5，=-2+8，=3（-），求證：A、B、D三點(diǎn)共線。

7．在圖中，對(duì)于平行四邊形ABCD，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且BN=BD，求證：M，N，C三點(diǎn)共線。

8．已知=5+2，=6+y，，，是一組基底，求y的值。

9．如圖，在中，D、E分別是線段AC的兩個(gè)四等份點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，設(shè)，，試用，為基底表示向量。

問題統(tǒng)計(jì)與分析

平面向量的基本定理

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，幫助教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。你知道怎么寫具體的教案內(nèi)容嗎？經(jīng)過搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“平面向量的基本定理”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

2.3.1平面向量基本定理

一、課題：平面向量基本定理
二、教學(xué)目標(biāo)：1．理解向量的坐標(biāo)表示法,掌握平面向量與一對(duì)有序?qū)崝?shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；
2．正確地用坐標(biāo)表示向量，對(duì)起點(diǎn)不在原點(diǎn)的平面向量能利用向量相等的
關(guān)系來用坐標(biāo)表示；
3．掌握兩向量的和、差,實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)表示法。
三、教學(xué)重、難點(diǎn)：1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
2．對(duì)平面向量的坐標(biāo)表示的理解。
四、教學(xué)過程：
（一）復(fù)習(xí)：
1．平面向量的基本定理：；
2．在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)實(shí)數(shù)表示，那么，每一個(gè)向量可否也用
一對(duì)實(shí)數(shù)來表示？
（二）新課講解：
1．向量的坐標(biāo)表示的定義：
分別選取與軸、軸方向相同的單位向量，作為基底，對(duì)于任一向量，，（），實(shí)數(shù)對(duì)叫向量的坐標(biāo)，記作．
其中叫向量在軸上的坐標(biāo)，叫向量在軸上的坐標(biāo)。
說明：（1）對(duì)于，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)；
（2）相等的向量的坐標(biāo)也相同；
（3），，；
（4）從原點(diǎn)引出的向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)。

例1如圖，用基底，分別表示向量、、、，并求出它們的坐標(biāo)。
解：由圖知：；
；
；

2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：
問題：已知，，求，．
解：
即．
同理：．
結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。
3．向量的坐標(biāo)計(jì)算公式：
已知向量，且點(diǎn)，，求的坐標(biāo)．
．

歸納：（1）一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示它的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是這二個(gè)向量的坐標(biāo)相等。

4．實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)：
已知和實(shí)數(shù)，求
結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。
例2已知，，求，，的坐標(biāo)．
解：=；；
．

例3已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)。
解：設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
∵，，
由，得．
∴∴∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

例4（1）已知的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標(biāo)為，
．
（2）已知，，，且，求，．
解：（2）由題意，，
∴∴．

五、課堂小結(jié)：1．正確理解平面向量的坐標(biāo)意義；
2．掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
3．能用平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算解決一些實(shí)際問題。
六、作業(yè)：
補(bǔ)充：1．已知向量與相等，其中，，求；
2．已知向量，，，，且，求．