高中拋物線教案

《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》導(dǎo)學(xué)案。

2.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1)
授課
時間第周星期第節(jié)課型講授新課主備課人徐春妮
學(xué)習(xí)
目標(biāo)掌握拋物線的定義、圖像和標(biāo)準(zhǔn)方程
重點難點重難點是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
學(xué)習(xí)
過程
與方
法自主學(xué)習(xí)：
閱讀P70頁一、拋物線的定義
畫拋物線的方法？
你能從畫法中歸納出拋物線的定義嗎?
定義有何限制？
這個定點和定直線叫作拋物線的什么？

閱讀P70頁二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，回答下列問題
①根據(jù)拋物線的定義，如何建立坐標(biāo)系，求其標(biāo)準(zhǔn)方程？
②拋物線的定義和橢圓的定義有什么不同？

③閱讀圖3-13，方程中的P指圖中那條線段的長？焦點的橫坐標(biāo)
和準(zhǔn)線方程有什么關(guān)系？
④自己推導(dǎo)拋物線的方程

精講互動：
⑴閱讀例一，例二，想一想知道焦點的坐標(biāo)，或準(zhǔn)線方程為什么可求標(biāo)準(zhǔn)方程
⑵P72頁的《思考交流》你自己完成？

達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：
完成P72頁練習(xí)

作業(yè)
布置
學(xué)習(xí)小結(jié)/教學(xué)
反思
2.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）
授課
時間第周星期第節(jié)課型講授新課主備課人徐春妮
學(xué)習(xí)
目標(biāo)①回憶拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
②拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程中，的幾何意義是什么
重點難點①對函數(shù)的幾何意義的理解
②拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程在實際生活中的應(yīng)用
學(xué)習(xí)
過程
與方
法自主學(xué)習(xí)：
閱讀P72頁，回答以下問題
①函數(shù)上的點滿足什么條件？

②文中“某定點”，“某直線”指什么點和線？

③如何找到這個點和線？點線距離和點點距離的計算公式有啥區(qū)別？

④對要進行怎樣變形？變形的手段是什么？

閱讀P73頁思考交流，回答提出的問題.
想一想，例3還有哪些方法可解？

“車能安全通過隧道”集裝箱應(yīng)在什么位置？判斷的依據(jù)是什么？
如何建立坐標(biāo)系求拋物線方程？

精講互動：

達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：
P76習(xí)題3-2A組4

作業(yè)
布置
學(xué)習(xí)小結(jié)/教學(xué)
反思

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拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，幫助高中教師更好的完成實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。高中教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案》，僅供參考，歡迎大家閱讀。

拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握拋物線的定義、幾何圖形,會推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
2.能夠利用給定條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
3.通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考與推理，學(xué)會反思與感悟，形成良好的數(shù)學(xué)觀。并進一步感受坐標(biāo)法及數(shù)形結(jié)合的思想
二、教學(xué)重點
拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
三、教學(xué)難點
拋物線定義的形成過程及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)（關(guān)鍵是坐標(biāo)系方案的選擇）
四、教學(xué)過程
（一）復(fù)習(xí)舊知
在初中，我們學(xué)習(xí)過了二次函數(shù)，知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線
例如：（1），（2）的圖象（展示兩個函數(shù)圖象）：
（二）講授新課
1.課題引入
在實際生活中，我們也有許多的拋物線模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的薩爾南拱門,它就是用不銹鋼鑄成的拋物線形的建筑物。到底什么樣的曲線才可以稱做是拋物線？它具有怎樣的幾何特征？它的方程是什么呢？
這就是我們今天要研究的內(nèi)容.（板書：課題§2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程）
2.拋物線的定義
信息技術(shù)應(yīng)用（課堂中展示畫圖過程）
先看一個實驗：
如圖：點F是定點，是不經(jīng)過點F的定直線，H是上任意一點，過點H作，線段FH的垂直平分線交MH于點M。拖動點H，觀察點M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？（學(xué)生觀察畫圖過程，并討論）
可以發(fā)現(xiàn)，點M隨著H運動的過程中，始終有|MH|=|MF|,即點M與定點F和定直線的距離相等。（也可以用幾何畫板度量|MH|，|MF|的值）
（定義引入）：
我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線（不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.（板書）
思考？若F在上呢？（學(xué)生思考、討論、畫圖）
此時退化為過F點且與直線垂直的一條直線.
3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
從拋物線的定義中我們知道，拋物線上的點滿足到焦點F的距離與到準(zhǔn)線的距離相等。那么動點的軌跡方程是什么，即拋物線的方程是什么呢？
要求拋物線的方程，必須先建立直角坐標(biāo)系.
問題設(shè)焦點F到準(zhǔn)線的距離為，你認(rèn)為應(yīng)該如何選擇坐標(biāo)系求拋物線的方程？按照你建立直角坐標(biāo)系的方案，求拋物線的方程.
（引導(dǎo)學(xué)生分組討論，回答，并不斷補充常見的幾種建系方法，叫學(xué)生應(yīng)用投影儀展示計算結(jié)果）
123

注意：1.標(biāo)準(zhǔn)方程必須出來，此表格在黑板上板書。
2.若出現(xiàn)比較復(fù)雜建系方案，可以以引入的字母參數(shù)較多為由，先排除計算
3.強調(diào)P的意義。
4.教師說明曲線方程與方程的曲線：從上述過程可以看到，拋物線上任意一點的坐標(biāo)都滿足方程，以方程的解為坐標(biāo)的點到拋物線的焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，即方程的解為坐標(biāo)的點都在拋物線上。所以這些方程都是拋物線的方程.
（選擇標(biāo)準(zhǔn)方程）
師：觀察4（3）個建系方案及其對應(yīng)的方程，你認(rèn)為哪種建系方案使方程更簡單？
（學(xué)生選擇，說明1.對稱軸2.焦點3.方程無常數(shù)項，頂點在原點）
推導(dǎo)過程：取過焦點F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如右圖所示，則有F（,0）,l的方程為x=—.
設(shè)動點M（x,y），由拋物線定義得：
化簡得y2=2px(p＞0)
師：我們把方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是。
師：在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，選擇不同的坐標(biāo)系得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，對于拋物線，當(dāng)我們選擇如圖三種建立坐標(biāo)系的方法，我們也可以得到不同形式的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（學(xué)生分前兩排，中間兩排，后面兩排三組分別計算三種情況，一起填充表格）
圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程

y2=2px(p＞0)
（,0）

x=—

y2=—2px(p＞0)
（—,0）

x=

x2=2py(p＞0)
（0,）

y=—

x2=—2py(p＞0)
（0,—）

y=

(三)例題講解
例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,
（2）已知拋物線的焦點是，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解：（1）∵拋物線方程為y2=6x
∴p=3，則焦點坐標(biāo)是（，0），準(zhǔn)線方程是x=—.
（2）∵焦點在y軸的負(fù)半軸上，且=2，∴p=4
則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：x2=—8y.
變式訓(xùn)練1：
(1)已知拋物線的準(zhǔn)線方程是x=—，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是2y2+5x=0,求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.
解(1)∵焦點是F（0，3），∴拋物線開口向上，且=3，則p=6
∴所求拋物線方程是x2=12y
(2)∵拋物線方程是2y2+5x=0，即y2=—x，∴p=[高考學(xué)習(xí)網(wǎng)XK]
則焦點坐標(biāo)是F(—,0)，準(zhǔn)線方程是x=
例2點M與點F（4，0）的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1，求點M的軌跡方程.
解：如右圖所示，設(shè)點M的坐標(biāo)為（x,y)
由已知條件可知，點M與點F的距離等于它到直線x+4=0的距離.根據(jù)拋物線的定義，點M的軌跡是以F（4，0）為焦點的拋物線.
∵=4，∴p=8
因為焦點在x軸的正半軸上，所以點M的軌跡方程為y2=16x.
變式訓(xùn)練2：
在拋物線y2=2x上求一點P，使P到焦點F與到點A（3，2）的距離之和最小.
解：如下圖所示，設(shè)拋物線的點P到準(zhǔn)線的距離為|PQ|
由拋物線定義可知：|PF|=|PQ|
∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|
顯然當(dāng)P、Q、A三點共線時，|PQ|+|PA|最小.
∵A(3,2)，可設(shè)P（x0,2)代入y2=2x得x0=2
故點P的坐標(biāo)為（2，2）.
(四)小結(jié)
1、拋物線的定義；
2、拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程；
3、注意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的字母P的幾何意義.
(五)課后練習(xí)

§2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

§2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
【學(xué)情分析】：
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過橢圓和雙曲線，掌握了橢圓和雙曲線的定義。經(jīng)歷了根據(jù)橢圓和雙曲線的幾何特征，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識與技能：
掌握拋物線定義和拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的概念；能根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求焦距和焦點，初步掌握求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。
（2）過程與方法：
在進一步培養(yǎng)學(xué)生類比、數(shù)形結(jié)合、分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想方法的過程中，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力。
（3）情感、態(tài)度與價值觀：
培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神、審美觀和理論聯(lián)系實際思想。
【教學(xué)重點】：
拋物線的定義和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
【教學(xué)難點】：
（1）拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；
（2）利用拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的知識解決實際問題。
【課前準(zhǔn)備】：
Powerpoint或投影片
【教學(xué)過程設(shè)計】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖

一、復(fù)習(xí)引入拋物線的定義

1.橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（）的點的軌跡.

2．雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（）的點的軌跡.

3．思考：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時是橢圓，當(dāng)e1時是雙曲線．那么，當(dāng)e＝1時它是什么曲線呢？

拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線l的距離相等的點的軌跡。點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．學(xué)生已經(jīng)學(xué)過橢圓和雙曲線是如何形成的。通過類似的方法，讓學(xué)生了解拋物線的形成，從而理解并掌握拋物線的定義。
二、建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過點F且垂直于直線l，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合．
設(shè),則焦點F的坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線的方程為．
設(shè)點M(x，y)是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d．
由拋物線的定義，拋物線就是點的集合
．
∵；d=．
∴．
化簡得：．

注：叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸，坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是．

探究：
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式？請?zhí)骄恐筇顚懴卤怼?/p>

根據(jù)拋物線的定義，讓學(xué)生逐步填空，推出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

通過填空，讓學(xué)生牢固掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
三、例題講解例1求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)過點(-3,2)；(2)焦點在直線x-2y-4=0。
分析：根據(jù)已知條件求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的p即可，注意標(biāo)準(zhǔn)方程的形式。
解：（1）設(shè)拋物線方程為y2=-2px或x2=2py(p0),則將點(-3,2)方程得或。
∴所求的拋物線方程為
（2）令ｘ＝０，由方程x-2y-4=0的ｙ=-2.
∴拋物線的焦點為F(0,-2).
設(shè)拋物線方程為x2=2py。則由得,
∴所求的拋物線方程為x2=-8y
或令y=0由x-2y-4=0得x=4,
∴拋物線焦點為Ｆ(4,0).
設(shè)拋物線方程為y2=2px。則由得,
∴所求的拋物線方程為y2=16x
注意：本題是用待定系數(shù)法來解的，要注意解題方法與技巧。

例2已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。(1)y2=6x；(2)y=ax2.
分析：先寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，再求焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。
解：（1）由拋物線方程得焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程是
（2）將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為
例3已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，拋物線上的點M（-3，m）到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值。
分析：解本題的基本思路有兩個，其一設(shè)拋物線方程，利用點M在拋物線上和點M到焦點的距離等于5，列出關(guān)于m、p的方程組，解關(guān)于m、p的方程組；其二利用拋物線的定義，得點M到準(zhǔn)線的距離為5，直接得p的關(guān)系式，求出p的值。為了讓學(xué)生熟悉拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程而設(shè)置的。
解：（方法一）設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p0),則焦點，由題設(shè)可得，解之得或.故所求的拋物線方程為y2=-8x，ｍ的值為
（方法二）由拋物線的定義可知，點M到準(zhǔn)線的距離為5，∵M的坐標(biāo)為（-3，m），∴,∴p=4，故所求的拋物線方程為y2=-8x，ｍ的值為

四、鞏固練習(xí)1．選擇：
⑴若拋物線y2=2px(p0)上橫坐標(biāo)為-6的點到焦點
的距離是10,則焦點到準(zhǔn)線的距離是(B)
A、4B、8C、16D、32
⑵過拋物線的焦點作直線交拋物線于,若,那么等于(B)
A.10B.8C.6D.4
⑶已知點F是拋物線的焦點,M是拋物線上的動點。當(dāng)最小時，M點的坐標(biāo)是(C)
A.B.C.D.

2．填空：
⑴拋物線y2=12x上與焦點的距離等于9的點的坐標(biāo)是；
⑵拋物線y2=2px（p＞0）上一點M到焦點的距離是a（a），則點M到準(zhǔn)線的距離是_a_，點M的橫坐標(biāo)是．

四、鞏固練習(xí)
3．(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(2)已知拋物線的焦點坐標(biāo)是F(0，－2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=－8y．

4．已知點M與點F（4，0）的距離比它到直線L：x+5=0的距離小1，求點M的軌跡方程。
分析：根據(jù)拋物線的定義可知，動點M的軌跡是以F為焦點，直線x+4=0為準(zhǔn)線的拋物線。
又由焦點位置可得，所求的點的軌跡方程是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
解：如圖8-20所示，設(shè)點M的坐標(biāo)為M(x,y),則由已知條件得“點M與點F（4，0）的距離比它到直線L：x+5=0的距離小1”，就是“點M與點F（4，0）的距離等于它到直線L：x+4=0的距離”，根據(jù)拋物線的定義可知，動點M的軌跡是以F為焦點M，直線x+4=0為準(zhǔn)線的拋物線，且
∴所求的拋物線方程為y2=16x.圍繞拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí)，讓學(xué)生熟練掌握拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。
五、課后練習(xí)1.(浙江)函數(shù)y＝ax2＋1的圖象與直線y＝x相切，則a＝(B)
(A)(B)(C)(D)1
2.（上海）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線（B）
(A)有且僅有一條(B)有且僅有兩條
(C)有無窮多條(D)不存在
3.拋物線上一點的縱坐標(biāo)為4，則點與拋物線焦點的距離為(D)
(A)2(B)3(C)4(D)5
4.（江蘇卷）拋物線y=4上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標(biāo)是(B)
(A)(B)(C)(D)0
5．求經(jīng)過點A（2，－3）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
分析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個參數(shù)p，因此，只要確定了拋物線屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式，再求出p值就可以寫出其方程，但要注意兩解的情況
解：經(jīng)過點A（2，－3）的拋物線可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：
y2＝2px或x2＝－2py．（如圖）
點A（2，－3）坐標(biāo)代入，即9＝4p，得2p＝
點A（2，－3）坐標(biāo)代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
y2＝x或x2＝－y

6.點M與點F（4，0）的距離比它到直線l：x＋5＝0的距離小1，求點M的軌跡方程．
分析：畫出示意圖2-14可知原條件M點到F（4，0）和到x＝－4距離相等，由拋物線的定義，點M的軌跡是以F（4，0）為焦點，x＝－4為準(zhǔn)線的拋物線．所求方程是y2＝16x．

根據(jù)學(xué)生情況分層布置作業(yè)。

練習(xí)與測試：（說明：題目6個（以上）——其中基礎(chǔ)題4個，難題2個；每個題目應(yīng)該附有詳細(xì)解答）
1．選擇題
（1）已知拋物線方程為y＝ax2（a＞0），則其準(zhǔn)線方程為（D）
(A)
(B)
(C)
(D)

（2）拋物線（m≠0）的焦點坐標(biāo)是（B）
(A)（0，）或（0，）
(B)（0，）

(C)（0，）或（0，）
(D)（0，）

（3）焦點在直線3x－4y－12＝0上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（C）
(A)y2＝16x或x2＝16y(B)y2＝16x或x2＝12y
(C)x2＝－12y或y2＝16x(D)x2＝16y或y2＝－12x

2．根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）過點（－3，4）
（2）過焦點且與x軸垂直的弦長是16
解：（1）或
（2）y2＝±16x

3．點M到點（0，8）的距離比它到直線y＝－7的距離大1，求M點的軌跡方程．
解：x2＝32y

4．已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓C:x2+(y+3)2=1外切，求動圓圓心M的軌跡方程。
分析：設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為r，則由題意可得M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，則動圓圓心的軌跡是一條拋物線，其方程易求。
解：設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為r，
則由題意可得M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，
則動圓圓心的軌跡是以C（0，-3）為焦點，y=3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為x2=-12y。
變題：（1）已知動圓M與y軸相切，且與定圓C:x2+y2=2ax(a0)外切，求動圓圓心M的軌跡方程。
（2）已知動圓M與y軸相切，且與定圓C:x2+y2=2ax(a0)相切，求動圓圓心M的軌跡方程。
解：（1）當(dāng)x0時，y=0；當(dāng)x≥0時，y2=4ax。
（2）本題可分外切時，當(dāng)x0時，y=0；當(dāng)x≥0時，y2=4ax。內(nèi)切時當(dāng)x≥0時，y=0(x≠a);當(dāng)x0時，y2=4ax。

拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)案例2

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