高中拋物線教案

《拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案。

古人云，工欲善其事，必先利其器。作為教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)，幫助教師掌握上課時(shí)的教學(xué)節(jié)奏。寫(xiě)好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？小編特地為大家精心收集和整理了“《拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案”，歡迎閱讀，希望您能閱讀并收藏。

2.2拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
授課
時(shí)間第周星期第節(jié)課型講授新課主備課人張梅
學(xué)習(xí)
目標(biāo)依據(jù)拋物線圖形及標(biāo)準(zhǔn)方程，概括出拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).掌握性質(zhì)與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能依據(jù)性質(zhì)畫(huà)拋物線簡(jiǎn)圖
重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)是由圖形和方程觀察概括出性質(zhì)，離心率的意義及轉(zhuǎn)化是難點(diǎn)
學(xué)習(xí)
過(guò)程
與方
法自主學(xué)習(xí)
【回顧】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有：
閱讀課本P74至75例5前，回答：標(biāo)準(zhǔn)方程中
①拋物線關(guān)于對(duì)稱，其對(duì)稱軸叫作拋物線的軸，拋物線只有對(duì)稱軸
②拋物線的范圍為
③拋物線的頂點(diǎn)
④拋物線的離心率是指，即e=
⑤拋物線的通徑

2．閱讀例5，完成表格：
拋物線方程焦點(diǎn)頂點(diǎn)

精講互動(dòng)：
⑴閱讀P75《思考交流》自主完成

⑵自主完成課本P75練習(xí)

達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：
⑴拋物線上到直線的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

⑵拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，而焦點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，求拋物線的方程

布置1求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線上的拋物線方程
2過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作垂直于軸的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求以F為圓心，AB為直徑的圓的方程

學(xué)習(xí)小結(jié)/教學(xué)
反思

擴(kuò)展閱讀

拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

俗話說(shuō)，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，使教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。那么如何寫(xiě)好我們的教案呢？以下是小編為大家收集的“拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”大家不妨來(lái)參考。希望您能喜歡！

2.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
（一）教學(xué)目標(biāo)：
1．掌握拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì)；
2．能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對(duì)拋物線方程進(jìn)行討論，在此基礎(chǔ)上列表、描點(diǎn)、畫(huà)拋物線圖形；
3．在對(duì)拋物線幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化.
（二）教學(xué)重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用
（三）教學(xué)難點(diǎn)：拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用
（四）教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)引入：（學(xué)生回顧并填表格）
1．拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.
圖形

方程

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線

2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
相同點(diǎn)：(1)拋物線都過(guò)原點(diǎn)；(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的，即.
不同點(diǎn)：(1)圖形關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，x為一次項(xiàng)，y為二次項(xiàng)，方程右端為、左端為；圖形關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，x為二次項(xiàng)，y為一次項(xiàng)，方程右端為，左端為.（2）開(kāi)口方向在x軸（或y軸）正向時(shí)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）的正半軸上，方程右端取正號(hào)；開(kāi)口在x軸（或y軸）負(fù)向時(shí)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）負(fù)半軸時(shí)，方程右端取負(fù)號(hào).
二、講解新課：
類似研究雙曲線的性質(zhì)的過(guò)程，我們以為例來(lái)研究一下拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：
1．范圍
因?yàn)閜＞0，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸．
2．對(duì)稱性
以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸．
3．頂點(diǎn)
拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．在方程中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)．
4．離心率
拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1．
對(duì)于其它幾種形式的方程，列表如下：（學(xué)生通過(guò)對(duì)照完成下表）
標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn)對(duì)稱軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線離心率

注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.
思考：拋物線有沒(méi)有漸近線？（體會(huì)拋物線與雙曲線的區(qū)別）
三、例題講解：
例1已知拋物線關(guān)于x軸為對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫(huà)出圖形．
分析：首先由已知點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，求參數(shù)p．
解：由題意，可設(shè)拋物線方程為，因?yàn)樗^(guò)點(diǎn)，
所以，即
因此，所求的拋物線方程為．
將已知方程變形為，根據(jù)計(jì)算拋物線在的范圍內(nèi)幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得
x01234…
y022.83.54…
描點(diǎn)畫(huà)出拋物線的一部分，再利用對(duì)稱性，就可以畫(huà)出拋物線的另一部分
點(diǎn)評(píng)：在本題的畫(huà)圖過(guò)程中，如果描出拋物線上更多的點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無(wú)限延伸，但并不能像雙曲線那樣無(wú)限地接近于某一直線，也就是說(shuō)，拋物線沒(méi)有漸近線．
例2斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng).
解法1：如圖所示，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程x=—1.
由題可知，直線AB的方程為y=x—1
代入拋物線方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0
解上述方程得x1=3+2,x2=3—2
分別代入直線方程得y1=2+2,y2=2—2
即A、B的坐標(biāo)分別為（3+2，2+2），（3—2，2—2）
∴|AB|=
解法2：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x1+x2=6,x1x2=1
∴|AB|=|x1—x2|
解法3：設(shè)A（x1,y1)、B(x2,y2),由拋物線定義可知，
|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=—1的距離|AA′|
即|AF|=|AA′|=x1+1
同理|BF|=|BB′|=x2+1
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8
點(diǎn)評(píng)：解法2是利用韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，是解析幾何中求弦長(zhǎng)的一種普遍適用的方法；解法3充分利用了拋物線的定義，解法簡(jiǎn)潔，值得引起重視。
變式訓(xùn)練：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于,兩點(diǎn)，若，求。
解：，，。
點(diǎn)評(píng)：由以上例2以及變式訓(xùn)練可總結(jié)出焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)：或。
四、達(dá)標(biāo)練習(xí)：
1．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，那么=（）
（A）10（B）8（C）6（D）4
2．已知為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
3．過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線它交于、兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程是______
4.定長(zhǎng)為的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動(dòng)，求中點(diǎn)到軸距離的最小值，并求出此時(shí)中點(diǎn)的坐標(biāo).
參考答案：1.B2.B3.4.,M到軸距離的最小值為.
五、小結(jié)：拋物線的離心率、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、準(zhǔn)線、中心等.
六、課后作業(yè)：
1．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫(huà)出草圖．
（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于8．
（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且過(guò)P（4，2）點(diǎn)．
（3）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上點(diǎn)P（m，－3）到焦點(diǎn)距離為5．
2．過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在準(zhǔn)線上的射影是A2、B2，則∠A2FB2等于.
3．拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，過(guò)焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16，求拋物線方程．
4．以橢圓的右焦點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線，求拋物線截橢圓在準(zhǔn)線所得的弦長(zhǎng)．
5．有一拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂4米時(shí)，水面寬40米，當(dāng)水面下降1米時(shí)，水面寬是多少米？
習(xí)題答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90°3．x2＝±16y4．5．米
七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）

§2.3.2拋物線的幾何性質(zhì)（１）

§2.3.2拋物線的幾何性質(zhì)（１）
【學(xué)情分析】：
由于學(xué)生具備了曲線與方程的部分知識(shí)，掌握了研究解析幾何的基本方法，因而利用已有橢圓與雙曲線的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)、歸納知識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐和創(chuàng)新意識(shí)上下工夫，訓(xùn)練基本技能。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識(shí)與技能：
熟練掌握拋物線的范圍，對(duì)稱性，頂點(diǎn)，準(zhǔn)線，離心率等幾何性質(zhì)。
（2）過(guò)程與方法：
重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)；啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，善于獨(dú)立思考。
（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：
培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)，實(shí)事求是的個(gè)性品質(zhì)和數(shù)學(xué)交流合作能力，以及勇于探索，勇于創(chuàng)新的求知意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與熱情。
【教學(xué)重點(diǎn)】：
熟練掌握拋物線的范圍，對(duì)稱性，頂點(diǎn)，準(zhǔn)線，離心率等幾何性質(zhì)。
【教學(xué)難點(diǎn)】：
熟練掌握拋物線的范圍，對(duì)稱性，頂點(diǎn)，準(zhǔn)線，離心率等幾何性質(zhì)及其應(yīng)用。
【課前準(zhǔn)備】：
Powerpoint或投影片
【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

一、復(fù)習(xí)引入

1．已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0，－2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，=2，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
2.填空：動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F的距離和它到定直線的距離的比等于e，則當(dāng)0＜e＜1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是拋物線；當(dāng)e＞1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．
3.復(fù)習(xí)橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的主要內(nèi)容：

通過(guò)離心率的填空引出拋物線。引起學(xué)生的興趣。
二、拋物線的幾何性質(zhì)類比研究歸納拋物線的幾何性質(zhì)：
引導(dǎo)學(xué)生填寫(xiě)表格。通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生掌握拋物線的四種圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程。
三、例題講解例1已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)A（4,2），求這條拋物線的準(zhǔn)線方程。
解：⑴若拋物線開(kāi)口向右，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
∵
∴
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
⑵若拋物線開(kāi)口向上，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
∵
∴
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

例2汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線焦點(diǎn)處。已知燈口的直徑是24cm，燈深10cm，那么燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)距離是多少？
讓學(xué)生運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)，寫(xiě)出符合條件的拋物線的準(zhǔn)線方程。

三、例題講解分析：依標(biāo)準(zhǔn)方程特點(diǎn)和幾何性質(zhì)建系，由待定系數(shù)法求解，強(qiáng)調(diào)方程的完備性。
解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，軸垂直于燈口直徑．
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得點(diǎn)的坐標(biāo)是（40，30）且在拋物線上，代入方程得：，
所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)是.

例3過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點(diǎn)，
求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．
分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來(lái)證比較簡(jiǎn)捷．
證明：如圖．設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過(guò)A、E、B分別向準(zhǔn)線引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則
｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜
所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，
因而圓E和準(zhǔn)線相切．

運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和綜合解題能力。

四、鞏固練習(xí)1．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，那么=（B）
（A）10（B）8（C）6（D）4
2．已知為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（B）
（A）3（B）4（C）5（D）6
3．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段、的長(zhǎng)分別是、，則=（C）
（A）（B）（C）（D）
4．過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線它交于、兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程是
5.定長(zhǎng)為的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動(dòng)，求中點(diǎn)到軸距離的最小值，并求出此時(shí)中點(diǎn)的坐標(biāo)
（答案：,M到軸距離的最小值為）

6.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值．
解法一：由焦半徑關(guān)系，設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p＞0)，則準(zhǔn)線方
因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離|MF|與到準(zhǔn)線的距離
得p=4．
因此，所求拋物線方程為y2=-8x．
又點(diǎn)M(-3，m)在此拋物線上，故m2=-8(-3)．
解法二：由題設(shè)列兩個(gè)方程，可求得p和m．由題意
在拋物線上且|MF|=5，故
分層訓(xùn)練，讓學(xué)生牢牢掌握拋物線的幾何性質(zhì)。

由學(xué)生演板．
五、課后練習(xí)1．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫(huà)出草圖．
（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于8．
（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且過(guò)P（4，2）點(diǎn)．
（3）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上點(diǎn)P（m，－3）到焦點(diǎn)距離為5．

2．過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在準(zhǔn)線上的射影是A2，B2，則∠A2FB2等于

3．拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，過(guò)焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16，求拋物線方程．

4．以橢圓的右焦點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線，求拋物線截橢圓在準(zhǔn)線所得的弦長(zhǎng)．

5．有一拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂4米時(shí)，水面寬40米，當(dāng)水面下降1米時(shí)，水面寬是多少米？

6．已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),其上一點(diǎn)M(2,m)到焦點(diǎn)的距離等于3,求拋物線方程及m值。

習(xí)題答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90°3．x2＝±16y4．
5．米6．y2=4x,m=或
課后練習(xí)注意分層訓(xùn)練，讓學(xué)生牢牢掌握拋物線的幾何性質(zhì)。

練習(xí)與測(cè)試：
1.求適合下列條件的拋物線的方程：
（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為（0，5）；
（2）對(duì)稱軸為x軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（-3，4）。
2.若P（x0，y0）是拋物線y2=-32x上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則PF=（）。
（A）x0+8（B）x0-8（C）8-x0（D）x0+16
3.一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2m時(shí)，水面寬4m，若水面下降1m，求水面寬度。
4.已知拋物線關(guān)于x軸為對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：由題意，可設(shè)拋物線方程為，因?yàn)樗^(guò)點(diǎn)，
所以，即
因此，所求的拋物線方程為．

5.探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈的圓的直徑60cm，燈深為40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置．
分析：這是拋物線的實(shí)際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋物線上一點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出p值．
解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合，x軸垂直于燈口直徑．
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(p＞0)．
由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是(40，30)，代入方程，得，
即
所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為．

§2.3.２拋物線的幾何性質(zhì)（２）

§2.3.２拋物線的幾何性質(zhì)（２）
【學(xué)情分析】：
由于學(xué)生具備了曲線與方程的部分知識(shí)，掌握了研究解析幾何的基本方法，因而利用已有橢圓與雙曲線的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)、歸納知識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐和創(chuàng)新意識(shí)上下工夫，訓(xùn)練基本技能。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識(shí)與技能：
熟練掌握拋物線的范圍，對(duì)稱性，頂點(diǎn)，準(zhǔn)線，離心率等幾何性質(zhì)；掌握直線與拋物線位置關(guān)系等相關(guān)概念及公式。
（2）過(guò)程與方法：
重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)；啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，善于獨(dú)立思考。
（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：
培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)，實(shí)事求是的個(gè)性品質(zhì)和數(shù)學(xué)交流合作能力，以及勇于探索，勇于創(chuàng)新的求知意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與熱情。
【教學(xué)重點(diǎn)】：
拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用。
【教學(xué)難點(diǎn)】：
拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用。
【課前準(zhǔn)備】：
Powerpoint或投影片
【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
一、復(fù)習(xí)引入
回顧拋物線的幾何性質(zhì)：
將基本公式用填空的形式鞏固。
二、知識(shí)準(zhǔn)備設(shè)圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|為：
或

二、例題講解例1．正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)．
分析：觀察圖，正三角形及拋物線都是軸對(duì)稱圖形，如果能證明x軸是它們公共的對(duì)稱軸，則容易求出三角形邊長(zhǎng)．
解：如圖，設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn)A、B在拋物線上，且坐標(biāo)分別為、，則，
又|OA|＝|OB|，所以
即
∵，∴．
由此可得，即線段AB關(guān)于x軸對(duì)稱．
因?yàn)閤軸垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以
所以，

例2．過(guò)拋物線y＝的焦點(diǎn)作傾斜角為α的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=8，求傾斜角α．
解：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－4y，則焦點(diǎn)F（0,-1）
⑴當(dāng)α＝90°時(shí)，則直線l：x＝0（不合題意，舍去）
⑵當(dāng)α≠90°時(shí)，設(shè)k＝tanα，則直線l：y+1＝kx；即y=kx-1．與x2＝－4y聯(lián)立，消去y得：x2＋4kx-4=0
則x1+x2=－4k；x1x2=－4；
∴＝
∴=＝4（1+k2）＝8
∴k＝±1
∴α＝45°或135°

圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法

二、例題講解例3．已知拋物線方程為，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長(zhǎng)為3，求p的值．
解：設(shè)與拋物線交于
由弦長(zhǎng)公式
|AB|===3
則有
由
從而由于p0，解得
圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題
三、鞏固練習(xí)1．若正三角形一頂點(diǎn)在原點(diǎn)，另外兩點(diǎn)在拋物線y2=4x上，求此正三角形的邊長(zhǎng)。
（答案：邊長(zhǎng)為8）
2．正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求正三角形外接圓的方程
分析：依題意可知圓心在軸上，且過(guò)原點(diǎn)，
故可設(shè)圓的方程為：，
又∵圓過(guò)點(diǎn)，
∴所求圓的方程為
3．已知拋物線,過(guò)點(diǎn)(4,1)引一弦,使它恰在這點(diǎn)被平分,則此弦所在直線方程為
解析:設(shè)直線與拋物線交點(diǎn)為則
,
4．已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若，（為原點(diǎn)）且，求拋物線的方程
（答案：）

5．頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線被直線截得的弦長(zhǎng)為，求拋物線的方程
（答案：或）
四、課后練習(xí)1．斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)．
解：如圖，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，
拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(1，0)，
所以直線AB的方程為y=x-1①
與y2=4x②聯(lián)立，解得：
將x1、x2的值代入方程①中，得
即A、B的坐標(biāo)分別為
、

2．已知拋物線與直線相交于、兩點(diǎn)，以弦長(zhǎng)為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)，求此拋物線的方程
（答案：）

3.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是圓與拋物線的交點(diǎn)，且的垂心恰好是拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程
（答案：）

4．已知直角的直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，、在拋物線上，（1）分別求、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積；（2）直線是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不經(jīng)過(guò)，說(shuō)明理由；（3）求點(diǎn)在線段上的射影的軌跡方程
答案：（1）；；
（2）直線過(guò)定點(diǎn)
（3）點(diǎn)的軌跡方程為
5．已知直角的直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，、在拋物線上，原點(diǎn)在直線上的射影為，求拋物線的方程（答案：）

練習(xí)與測(cè)試：
1．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且過(guò)點(diǎn)P（4，2）的拋物線方程是（）
(A)x2＝8y(B)x2＝4y(C)x2＝2y(D)
2．拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到頂點(diǎn)的距離等于它們到準(zhǔn)線的距離，這點(diǎn)坐標(biāo)是(A)（2，4）(B)（2，±4）(C)（1，）(D)（1，±）
3．直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),并且與軸垂直,若被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4,則()
A.4B.2C.D.
4．拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，過(guò)焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)等于8，則拋物線方程為
5．拋物線y2＝－6x，以此拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程是
6．以雙曲線的右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)的拋物線截雙曲線的左準(zhǔn)線得弦AB，求△OAB的面積．

7．已知拋物線與直線相交于A、B兩點(diǎn),
①求證;;
②當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí),求的值.

測(cè)試題答案：
1．A2．D3．A4．x2＝±8y5．6．
7．解析(證明):設(shè);
,由A,N,B共線
,又
--------------------------------------------------------------③
②由得

橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案