高中函數(shù)教案

函數(shù)概念。

年級高一

學科數(shù)學

課題

函數(shù)概念2

授課時間

撰寫人

學習重點

求一些簡單函數(shù)的定義域與值域，并能用“區(qū)間”的符號表示；

學習難點

求函數(shù)的定義域與值域及對函數(shù)的定義域或值域書寫形式

學習目標

1.會求一些簡單函數(shù)的定義域值域

2.對函數(shù)概念的進一步理解

3.會對函數(shù)的定義域或值域正確書寫

教學過程

一自主學習

復習

1.函數(shù)的概念：

2．函數(shù)的三要素是、、.3.函數(shù)與y＝3x是不是同一個函數(shù)？為何？4.求函數(shù)定義域的規(guī)則

練一練

求下列函數(shù)的定義域（用區(qū)間表示）.（1）；

（2）；

（3）

二師生互動

例1求下列函數(shù)的值域（用區(qū)間表示）：（1）y＝x－3x＋4；（2）；（3）y＝；（4）.

變式：求函數(shù)的值域及定義域。

小結(jié)：求函數(shù)值域的常用方法有：

觀察法、配方法、拆分法、基本函數(shù)法.

練一練

求下列函數(shù)的定義域及值域

（1）（2）（3）例2對函數(shù)，以下說法中正確的是

（1）是的函數(shù)；（2）對于不同的，的值也不同；（3）表示當x=a時函數(shù)的值，是一個常量；（4）一定可以用一個具體式子表示出來；（5）當和確定后，的值也就確定了。

三鞏固練習

1.函數(shù)的定義域是（）.A.B.C.RD.2.函數(shù)的值域是（）.A.B.C.D.R3.下列各組函數(shù)的圖象相同的是（）

A.

B.

C.

D.4.函數(shù)f(x)=+的定義域用區(qū)間表示是.5.已知，則的值6.函數(shù)對任意實數(shù)滿足條件，若，則

四課后反思

五課后鞏固練習

1.設一個矩形周長為80，其中一邊長為x，求它的面積y關(guān)于x的函數(shù)的解析式，并寫出定義域.

2．(2009江西)函數(shù)的定義域

3.（2007北京)已知函數(shù)，分別由下表給出

則的值為；當時，．

相關(guān)知識

函數(shù)概念及性質(zhì)

二師生互動
例1函數(shù)的定義域
練一練
求函數(shù)的定義域
例2例2已知函數(shù)是偶函數(shù)，且時，.
（1）求的值；（2）求時的值；
（3）當0時，求的解析式．
練一練
設函數(shù)．
（1）求它的定義域；（2）判斷它的奇偶性；
（3）求證：；
（4）求證：在上遞增.

三鞏固練習
1..函數(shù)的值域是（）
A．B.C.D.
2.若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（）
A．[，3]B．[2，]C．[，]D．[3，]
3若f(x)=-x2+2ax與在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的值范圍是（）
A．B．C．（0，1）D．
4函數(shù)的圖像關(guān)于（）
A．軸對稱B．直線對稱C．坐標原點對稱D．直線對稱
5已知定義域為R的函數(shù)f(x)在上為減函數(shù),且y=f(x+8)函數(shù)為偶函數(shù),則()
A.f(6)f(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(10)
6設，則使函數(shù)的定義域為R且為奇函數(shù)的所有值為（）
（A）（B）（C）（D）
7在上的最大值為，最小值為.

四課后反思

五課后鞏固練習
1.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈［－5,5］.
(1)當a＝－1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；
(2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在［－5,5］上是單調(diào)函數(shù).
2.設，當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

函數(shù)概念的應用

1.2.1函數(shù)的概念
第二課時函數(shù)概念的應用

課前預習學案
一、預習目標
1．通過預習熟知函數(shù)的概念
2．了解函數(shù)定義域及值域的概念
二、預習內(nèi)容
1．函數(shù)的概念：設A、B是__________，如果按照某個確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的_______數(shù)x，在集合B中都有__________的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱_______為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的_______；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合_________叫做函數(shù)的值域．值域是集合B的______。
注意：①如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；②函數(shù)的定義域、值域要寫成_________的形式．
定義域補充：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：（1）分式的分母________；(2)偶次方根的被開方數(shù)_________；(3)對數(shù)式的真數(shù)_______；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底_________.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以_______(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.
2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：_______、_________和__________
注意：（1）函數(shù)三個要素中．由于值域是由定義域和對應關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的_______和_________完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。
相同函數(shù)的判斷方法：①____________________；②______________________(兩點必須同時具備)
3.函數(shù)圖象的畫法
①描點法：②圖象變換法：常用變換方法有三種，即平移變換、__________和___________
4．區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：________、_________、_________；
說明：實數(shù)集可以表示成(–∞，+∞)不可以表示成[–∞，+∞]--------切記高.考.資.源.
5．什么叫做映射：一般地，設A、B是兩個____的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的________元素x，在集合B中都有_________的元素y與之對應，那么就稱對應_________為從集合A到集合B的一個映射。
說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應
①集合A、B及對應法則f是確定的②對應法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關(guān)系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有____與之對應（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是____；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有對應的元素。
6．函數(shù)最大值：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足：
（1）__________________________________(2)________________________________
那么我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值；
函數(shù)最小值：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足：
（1）__________________________________(2)__________________________________
那么我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值
7：分段函數(shù)
在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應把幾種不同的表達式用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．說明：（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的____，值域是各段值域的_____．
三、提出疑惑
同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學案
一、學習目標
1．進一步加深對函數(shù)概念的理解，掌握同一函數(shù)的標準；
2．了解函數(shù)值域的概念并能熟練求解常見函數(shù)的定義域和值域．
學習重點
能熟練求解常見函數(shù)的定義域和值域．
學習難點
對同一函數(shù)標準的理解，尤其對函數(shù)的對應法則相同的理解．
二、學習過程
創(chuàng)設情境
下列函數(shù)f(x)與g(x)是否表示同一個函數(shù)？為什么？
（1）f(x)＝(x－1)0；g(x)＝1；（2）f(x)＝x；g(x)＝x2；
（3）f(x)＝x2；g(x)＝(x+1)2；、（4）f(x)＝|x|；g(x)＝x2．
講解新課
總結(jié)同一函數(shù)的標準：定義域相同、對應法則相同
例1求下列函數(shù)的定義域：
（1）；（2）；

變式練習1求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）．

若A是函數(shù)的定義域，則對于A中的每一個x，在集合B都有一個值輸出值y與之對應．我們將所有的輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域．

因此我們可以知道：對于函數(shù)f：AB而言，如果如果值域是C，那么，因此不能將集合B當成是函數(shù)的值域．
我們把函數(shù)的定義域、對應法則、值域稱為函數(shù)的三要素．如果函數(shù)的對應法則與定義域都確定了，那么函數(shù)的值域也就確定了．

例2．求下列兩個函數(shù)的定義域與值域：
（1）f(x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；
（2）f(x)=(x-1)2+1．

變式練習2求下列函數(shù)的值域：
（1），，；
（2）；

三、當堂檢測
（1）P25練習7；
（2）求下列函數(shù)的值域：
①；②,，6]．③．

課后練習與提高
1.函數(shù)滿足則常數(shù)等于（）
A.B.C.D.
2.設，則的值為（）
A.B.C.D.
3.已知函數(shù)定義域是，則的定義域是（）
A.B.C.D.
4.函數(shù)的值域是（）
A.B.C.D.
5.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，f（－2）＝10，則f（2）=____．
6.若函數(shù)，則=

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ
（一）函數(shù)
1．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，了解映射的概念,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域
2．理解函數(shù)的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據(jù)不同的要求選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞唵蔚暮瘮?shù)。
3．了解分段函數(shù)，能用分段函數(shù)來解決一些簡單的數(shù)學問題。
4．理解函數(shù)的單調(diào)性，會討論和證明一些簡單的函數(shù)的單調(diào)性；理解函數(shù)奇偶性的含義，會判斷簡單的函數(shù)奇偶性。
5．理解函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x，并能求出一些簡單的函數(shù)的最大（?。┲?br> 6．會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)
（二）指數(shù)函數(shù)
1．了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景。
2．理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。
3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，會求與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題。
4．知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。
（三）對數(shù)函數(shù)
1．理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用。
2．理解對數(shù)函數(shù)的概念；會求與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題
3．知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型
4．了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（）。
（四）冪函數(shù)
1．了解冪函數(shù)的概念。
2．結(jié)合函數(shù)的圖像，了解它們的變化情況。
（五）函數(shù)與方程
1．了解函數(shù)零點的概念，結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系。
2．理解并掌握連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法。能利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)判別函數(shù)零點的個數(shù)
（六）函數(shù)模型及其應用
1．了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征。知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。
2．了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應用。
3．能利用給定的函數(shù)模型解決簡單的實際問題。

根據(jù)考試大綱的要求，結(jié)合2009年高考的命題情況，我們可以預測2010年集合部分在選擇、填空和解答題中都有涉及，高考命題熱點有以下兩個方面：一是集合的運算、集合的有關(guān)述語和符號、集合的簡單應用等作基礎性的考查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；二是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言和符號為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡易邏輯知識考查學生的數(shù)學思想、數(shù)學方法和數(shù)學能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn)
函數(shù)是高考數(shù)學的重點內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點和思想方法貫穿整個高中數(shù)學的全過程，包括解決幾何問題.在近幾年的高考試卷中，選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函數(shù)試題，而且?？汲Ｐ?以基本函數(shù)為模型的應用題和綜合題是高考命題的新趨勢.
考試熱點：①考查函數(shù)的表示法、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)和函數(shù)的圖象.②函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列是相互關(guān)聯(lián)的概念，通過對實際問題的抽象分析，建立相應的函數(shù)模型并用來解決問題，是考試的熱點.③考查運用函數(shù)的思想來觀察問題、分析問題和解決問題，滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論的基本數(shù)學思想.
第1課時函數(shù)及其表示
一、映射
1．映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種對應關(guān)系f，對于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它對應，這樣的對應叫做到的映射，記作.
2．象與原象：如果f:A→B是一個A到B的映射，那么和A中的元素a對應的叫做象，叫做原象。
二、函數(shù)
1．定義：設A、B是，f:A→B是從A到B的一個映射，則映射f:A→B叫做A到B的，記作.
2．函數(shù)的三要素為、、，兩個函數(shù)當且僅當分別相同時，二者才能稱為同一函數(shù)。
3．函數(shù)的表示法有、、。

例1.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）.
A.B.
C.D.
解：C??
變式訓練1：下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是（）?
A.y=?B.y=()2?C.y=lg10xD.y=?
解：C??
例2.給出下列兩個條件：（1）f(+1)=x+2;?(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.試分別求出f(x)的解析式.?
解：（1）令t=+1,∴t≥1，x=（t-1）2.?
則f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈［1，+∞).?
（2）設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),?
∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,?則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.?
∴，?∴，又f(0)=3c=3,∴f(x)=x2-x+3.?
變式訓練2：（1）已知f（）=lgx，求f（x）；?
（2）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；?
（3）已知f（x）滿足2f（x）+f（）=3x，求f（x）.?
解：(1)令+1=t，則x=，?
∴f（t）=lg，∴f（x）=lg,x∈(1,+∞).?
（2）設f（x）=ax+b，則?
3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，?
∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.?
（3）2f（x）+f（）=3x，①?
把①中的x換成，得2f（）+f（x）=②?
①×2-②得3f（x）=6x-，∴f（x）=2x-.
例3.等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直線MN⊥AD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域.?
解：作BH⊥AD，H為垂足，CG⊥AD，G為垂足，?
依題意，則有AH=，AG=a.?
（1）當M位于點H的左側(cè)時，N∈AB，?
由于AM=x，∠BAD=45°.?∴MN=x.?∴y=S△AMN=x2（0≤x≤）.?
（2）當M位于HG之間時，由于AM=x，?∴MN=，BN=x-.?
∴y=SAMNB=［x+（x-）］=ax-?
（3）當M位于點G的右側(cè)時，由于AM=x，MN=MD=2a-x.?
∴y=SABCD-S△MDN=
綜上：y=
變式訓練3：已知函數(shù)f(x)=
（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求f(1)，f(-1),f的值.
解：（1）分別作出f(x)在x＞0,x=0,x＜0段上的圖象，如圖所示，作法略.
（2）f(1)=12=1,f(-1)=-f=f(1)=1.

1．了解映射的概念，應緊扣定義，抓住任意性和唯一性．
2．函數(shù)的解析式常用求法有：待定系數(shù)法、換元法（或湊配法）、解方程組法．使用換元法時，要注意研究定義域的變化．
3．在簡單實際問題中建立函數(shù)式，首先要選定變量，然后尋找等量關(guān)系，求得函數(shù)的解析式，還要注意定義域．若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應法則不同，可用分段函數(shù)來表示．

第2課時函數(shù)的定義域和值域
一、定義域：
1．函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式的集合.
2．常見的三種題型確定定義域：
①已知函數(shù)的解析式，就是.
②復合函數(shù)f[g(x)]的有關(guān)定義域，就要保證內(nèi)函數(shù)g(x)的域是外函數(shù)f(x)的域.
③實際應用問題的定義域，就是要使得有意義的自變量的取值集合.
二、值域：
1．函數(shù)y＝f(x)中，與自變量x的值的集合.
2．常見函數(shù)的值域求法，就是優(yōu)先考慮，取決于，常用的方法有：①觀察法；②配方法；③反函數(shù)法；④不等式法；⑤單調(diào)性法；⑥數(shù)形法；⑦判別式法；⑧有界性法；⑨換元法（又分為法和法）
例如：①形如y＝，可采用法；②y＝，可采用法或法；③y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c，可采用法；④y＝x－，可采用法；⑤y＝x－，可采用法；⑥y＝可采用法等.

例1.求下列函數(shù)的定義域：?
（1）y=;?(2)y=;?(3)y=.?
解：（1）由題意得化簡得
即故函數(shù)的定義域為{x|x＜0且x≠-1}.?
（2）由題意可得解得?
故函數(shù)的定義域為{x|-≤x≤且x≠±}.?
（3）要使函數(shù)有意義，必須有?
即∴x≥1,故函數(shù)的定義域為［1，+∞）.?
變式訓練1：求下列函數(shù)的定義域：?
（1）y=+(x-1)0;(2)y=+(5x-4)0;(3)y=+lgcosx;?
解：（1）由得?所以-3＜x＜2且x≠1.?
故所求函數(shù)的定義域為（-3，1）∪(1,2).?
（2）由得?∴函數(shù)的定義域為
（3）由,得
借助于數(shù)軸，解這個不等式組，得函數(shù)的定義域為
例2.設函數(shù)y=f(x)的定義域為［0，1］，求下列函數(shù)的定義域.?
（1）y=f(3x);(2)y=f();?
(3)y=f(;?(4)y=f(x+a)+f(x-a).??
解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤,?y=f(3x)的定義域為［0,］.?
（2）仿（1）解得定義域為［1，+∞).?
（3）由條件，y的定義域是f與定義域的交集.?
列出不等式組
故y=f的定義域為.
（４）由條件得討論：?
①當即0≤a≤時，定義域為［a,1-a］;?
②當即-≤a≤0時，定義域為［-a,1+a］.?
綜上所述：當0≤a≤時，定義域為［a，1-a］；當-≤a≤0時，定義域為［-a，1+a］.?
變式訓練2：若函數(shù)f(x)的定義域是［0，1］，則f(x+a)f(x-a)（0＜a＜）的定義域是（）A.?B.［a，1-a］?C.［-a，1+a］?D.［0，1］?
解：?B
例3.求下列函數(shù)的值域：?
（1）y=(2)y=x-;?(3)y=.?
解：（1）方法一（配方法）?
∵y=1-而
∴0＜∴∴值域為.
方法二（判別式法）
由y=得(y-1)
∵y=1時,1.又∵R，∴必須=(1-y)2-4y(y-1)≥0.
∴∵∴函數(shù)的值域為.（2）方法一（單調(diào)性法）?
定義域，函數(shù)y=x,y=-均在上遞增，
故y≤
∴函數(shù)的值域為.
方法二（換元法）?
令=t,則t≥0，且x=?∴y=-（t+1）2+1≤（t≥0）,?
∴y∈（-∞，］.?
（3）由y=得,ex=?∵ex＞0,即＞0,解得-1＜y＜1.?
∴函數(shù)的值域為{y|-1＜y＜1}.?
變式訓練3：求下列函數(shù)的值域：?
（1）y=;?(2)y=|x|.?
解：（1）(分離常數(shù)法)y=-，∵≠0,
∴y≠-.故函數(shù)的值域是{y|y∈R,且y≠-}.?
(2)方法一(換元法)?
∵1-x2≥0,令x=sin,則有y=|sincos|=|sin2|,?
故函數(shù)值域為［0，］.
方法二y=|x|
∴0≤y≤即函數(shù)的值域為.
例4．若函數(shù)f（x）=x2-x+a的定義域和值域均為［1，b］（b＞1），求a、b的值.?
解：∵f（x）=(x-1)2+a-.
∴其對稱軸為x=1，即［1，b］為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.
∴f（x）min=f（1）=a-=1①
f（x）max=f（b）=b2-b+a=b②
由①②解得
變式訓練4：已知函數(shù)f(x)=x2-4ax+2a+6(x∈R).?
（1）求函數(shù)的值域為［0，+∞)時的a的值；?
（2）若函數(shù)的值均為非負值，求函數(shù)f(a)=2-a|a+3|的值域.?
解：(1）∵函數(shù)的值域為［0，+∞),?
∴Δ=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0∴a=-1或a=.?
（2）對一切x∈R，函數(shù)值均非負,∴Δ=8(2a2-a-3)≤0-1≤a≤,∴a+3＞0,?
∴f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a).
∵二次函數(shù)f(a)在上單調(diào)遞減，∴f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4，?
∴f(a)的值域為.

1．求函數(shù)的定義域一般有三類問題：一是給出解釋式（如例1），應抓住使整個解式有意義的自變量的集合；二是未給出解析式（如例2），就應抓住內(nèi)函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域；三是實際問題，此時函數(shù)的定義域除使解析式有意義外，還應使實際問題或幾何問題有意義.
2．求函數(shù)的值域沒有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、單調(diào)性法、有界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法）外，應根據(jù)問題的不同特點，綜合而靈活地選擇方法.
第3課時函數(shù)的單調(diào)性

一、單調(diào)性
1．定義：如果函數(shù)y＝f(x)對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、、x2，當x1、x2時，①都有，則稱f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個；②都有，則稱f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個.
若函數(shù)f(x)在整個定義域l內(nèi)只有唯一的一個單調(diào)區(qū)間，則f(x)稱為.
2．判斷單調(diào)性的方法：
(1)定義法，其步驟為：①；②；③.
(2)導數(shù)法，若函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上可導，①若，則f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；②若，則f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).
二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論
1．若f(x),g(x)均為增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)函數(shù)；
2．若f(x)為增(減)函數(shù)，則－f(x)為；
3．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有的單調(diào)性；
4．復合函數(shù)y＝f[g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)相同，則f[g(x)]為，若f(x),g(x)的單調(diào)性相反，則f[g(x)]為.
5．奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性.

例1.已知函數(shù)f(x)=ax+(a＞1)，證明：函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).?
證明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨設x1＜x2,則x2-x1＞0,＞1且＞0,?
∴，又∵x1+1＞0,x2+1＞0,?
∴＞0,?
于是f(x2)-f(x1)=+＞0,?
故函數(shù)f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù).?
方法二f(x)=ax+1-(a＞1),?
求導數(shù)得=axlna+,∵a＞1,∴當x＞-1時，axlna＞0,＞0,?
＞0在（-1，+∞）上恒成立，則f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù).?
方法三∵a＞1,∴y=ax為增函數(shù)，?
又y=，在（-1，+∞）上也是增函數(shù).?
∴y=ax+在（-1，+∞）上為增函數(shù).
變式訓練1：討論函數(shù)f（x）=x+（a＞0）的單調(diào)性.?
解：方法一顯然f（x）為奇函數(shù)，所以先討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，
設x1＞x2＞0,則?
f(x1)-f(x2)=（x1+）-（x2+）=(x1-x2)（1-）.
∴當0＜x2＜x1≤時，＞1,?
則f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0，］上是減函數(shù).?
當x1＞x2≥時，0＜＜1，則f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2),?
故f（x）在［，+∞）上是增函數(shù).∵f（x）是奇函數(shù)，?
∴f（x）分別在（-∞，-］、［，+∞）上為增函數(shù)；?
f（x）分別在［-，0）、（0，］上為減函數(shù).?
方法二由=1-=0可得x=±
當x＞或x＜-時，＞0∴f（x）分別在（，+∞）、（-∞，-］上是增函數(shù).?
同理0＜x＜或-＜x＜0時，＜0?
即f（x）分別在（0，］、［-，0）上是減函數(shù).
例2.判斷函數(shù)f(x)=在定義域上的單調(diào)性.?
解：函數(shù)的定義域為{x|x≤-1或x≥1},?
則f(x)=,?
可分解成兩個簡單函數(shù).?
f(x)==x2-1的形式.當x≥1時，u(x)為增函數(shù)，為增函數(shù).?
∴f（x）=在［1，+∞)上為增函數(shù).當x≤-1時，u（x)為減函數(shù)，為減函數(shù)，?
∴f(x)=在（-∞,-1］上為減函數(shù).?
變式訓練2：求函數(shù)y=（4x-x2）的單調(diào)區(qū)間.?
解：由4x-x2＞0，得函數(shù)的定義域是（0，4）.令t=4x-x2，則y=t.?
∵t=4x-x2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x2的單調(diào)減區(qū)間是［2，4），增區(qū)間是（0，2］.?
又y=t在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)y=（4x-x2）的單調(diào)減區(qū)間是（0，2］，單調(diào)增區(qū)間是［2，4).
例3.求下列函數(shù)的最值與值域：?
（1）y=4-;(2)y=x+;(3)y=.?
解：（1）由3+2x-x2≥0得函數(shù)定義域為［-1，3］，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.?
∴t∈［0，4］，∈［0，2］，
從而，當x=1時，ymin=2，當x=-1或x=3時，ymax=4.故值域為［2，4］.?
(2)方法一函數(shù)y=x+是定義域為{x|x≠0}上的奇函數(shù),故其圖象關(guān)于原點對稱,故只討論
x＞0時,即可知x＜0時的最值.?
∴當x＞0時,y=x+≥2=4，等號當且僅當x=2時取得.當x＜0時，y≤-4,?
等號當且僅當x=-2時取得.綜上函數(shù)的值域為（-∞，-4］∪［4，+∞），無最值.?
方法二任取x1,x2,且x1＜x2,?
因為f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=?
所以當x≤-2或x≥2時，f(x)遞增,當-2＜x＜0或0＜x＜2時，f(x)遞減.?
故x=-2時，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2時，f(x)最小值=f(2)=4,?
所以所求函數(shù)的值域為（-∞，-4］∪［4，+∞），無最大（?。┲??
（3）將函數(shù)式變形為?y=,?
可視為動點M（x,0）與定點A（0，1）、B（2，-2）距離之和，連結(jié)AB，則直線AB與x軸的交點（橫坐標）即為所求的最小值點.?
ymin=|AB|=，可求得x=時，ymin=.?
顯然無最大值.故值域為［，+∞）.?
變式訓練3：在經(jīng)濟學中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x（x＞0）臺的收入函數(shù)為R（x）=3000x-20x2(單位：元)，其成本函數(shù)為C（x）=500x+4000（單位：元），利潤是收入與成本之差.?
（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；?
（2）利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）是否具有相同的最大值？?
解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3000x-20x2）-（500x+4000）=-20x2+2500x-4000
（x∈［1，100］且x∈N,）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2500（x+1）-4000-（-20x2+2500x-4000）
=2480-40x（x∈［1，100］且x∈N）.?
（2）P（x）=-20(x-2+74125，當x=62或63時，P(x)max=74120（元）.?
因為MP（x）=2480-40x是減函數(shù)，所以當x=1時，MP(x)max=2440(元）.?
因此，利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）不具有相同的最大值.?
例4．（2009廣西河池模擬）已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f(x)滿足f(=f(x1)-f(x2)，且當x＞1時，f(x)＜0.
（1）求f(1)的值；?
（2）判斷f(x）的單調(diào)性；?
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.?
解：（1）令x1=x2＞0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.?
（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1＞x2,則＞1,由于當x＞1時，f(x)＜0,?
所以f＜0,即f(x1)-f(x2)＜0,因此f(x1)＜f(x2),?
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).?
（3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.?
由于函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，?
由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集為{x|x＞9或x＜-9}.
變式訓練4：函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x＞0時，f(x)＞1.?
（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；?
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.?
解：（1）設x1,x2∈R，且x1＜x2,?
則x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.
∴f（x2）＞f(x1).?
即f(x)是R上的增函數(shù).
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，?
∴f（2）=3，
∴原不等式可化為f(3m2-m-2)＜f(2),?
∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m2-m-2＜2,
解得-1＜m＜,故解集為（-1,）.

1．證明一個函數(shù)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)的方法有：(1)定義法.其過程是：作差——變形——判斷符號，而最常用的變形是將和、差形式的結(jié)構(gòu)變?yōu)榉e的形式的結(jié)構(gòu)；(2)求導法.其過程是：求導——判斷導函數(shù)的符號——下結(jié)論.
2．確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法有：(1)觀察法；(2)圖象法（即通過畫出函數(shù)圖象，觀察圖象，確定單調(diào)區(qū)間）；(3)定義法；(4)求導法.注意：單調(diào)區(qū)間一定要在定義域內(nèi).
3．含有參量的函數(shù)的單調(diào)性問題，可分為兩類：一類是由參數(shù)的范圍判定其單調(diào)性；一類是給定單調(diào)性求參數(shù)范圍，其解法是由定義或?qū)?shù)法得到恒成立的不等式，結(jié)合定義域求出參數(shù)的取值范圍.
第4課時函數(shù)的奇偶性

1．奇偶性：
①定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有，則稱f(x)為奇函數(shù)；若，則稱f(x)為偶函數(shù).如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x).
②簡單性質(zhì)：
1）圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對稱.
2）函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于對稱.
2．與函數(shù)周期有關(guān)的結(jié)論：
①已知條件中如果出現(xiàn)、或（、均為非零常數(shù)，），都可以得出的周期為；
②的圖象關(guān)于點中心對稱或的圖象關(guān)于直線軸對稱，均可以得到周期

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性.?
（1）f(x)=;?
(2)f(x)=log2(x+)(x∈R);?
(3)f(x)=lg|x-2|.?
解：（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定義域是{-1，1}.?
∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),?
故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).?
（2）方法一易知f(x)的定義域為R，?
又∵f(-x)=log2［-x+］=log2=-log2(x+)=-f(x),?
∴f(x)是奇函數(shù).?
方法二易知f(x)的定義域為R，?
又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+］+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),?
∴f(x)為奇函數(shù).?
（3）由|x-2|＞0，得x≠2.?
∴f（x）的定義域{x|x≠2}關(guān)于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).?
變式訓練1：判斷下列各函數(shù)的奇偶性：?
（1）f（x）=（x-2）；?
（2）f（x）=；?
（3）f（x）=
解：（1）由≥0，得定義域為［-2，2），關(guān)于原點不對稱，故f（x）為非奇非偶函數(shù).?
（2）由得定義域為（-1，0）∪（0，1）.?
這時f（x）=.?
∵f（-x）=-∴f（x）為偶函數(shù).?
（3）x＜-1時，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.?
x＞1時，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).?
-1≤x≤1時，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.?
∴對定義域內(nèi)的每個x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函數(shù).?
例2已知函數(shù)f(x),當x,y∈R時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).?
（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；?
（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最值.?
（1）證明：∵函數(shù)定義域為R，其定義域關(guān)于原點對稱.?
∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,?
∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),?
∴f(x)為奇函數(shù).?
（2）解：方法一設x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），?
∴f（x+y）-f（x）=f（y）.?∵x∈R+，f（x）＜0,?
∴f(x+y)-f(x)＜0,?∴f(x+y)＜f(x).?
∵x+y＞x,?∴f(x)在（0，+∞）上是減函數(shù).又∵f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，?
∴f（x）在（-∞,+∞）上是減函數(shù).∴f（-2）為最大值，f(6)為最小值.?
∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.?
∴所求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.?
方法二設x1＜x2,且x1,x2∈R.?
則f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).?
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上單調(diào)遞減.?
∴f（-2）為最大值，f（6）為最小值.∵f（1）=-，?
∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.?
∴所求f(x）在區(qū)間［-2，6］上的最大值為1，最小值為-3.?
變式訓練2：已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x∈(-∞,0)時，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.?
解：∵f（x）是奇函數(shù)，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.?
當x＞0時，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），?
即f（x）=-xlg(2+x)（x＞0）.∴f(x)=
即f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R).
例3已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x)?.?
（1）求證：f(x)是周期函數(shù)；?
（2）若f(x)為奇函數(shù)，且當0≤x≤1時，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2009］上的所有x的個數(shù).?
（1）證明：∵f（x+2）=-f（x），?
∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù).
（2）解：當0≤x≤1時，f(x)=x,?
設-1≤x≤0,則0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x.?
∵f(x)是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）,?
∴-f（x）=-x，即f(x)=x.
故f(x)=x(-1≤x≤1)
又設1＜x＜3,則-1＜x-2＜1,?
∴f(x-2)=(x-2),
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），?
∴-f（x）=（x-2），?
∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）.
∴f（x）=
由f(x)=-,解得x=-1.?
∵f（x）是以4為周期的周期函數(shù).?故f(x)=-的所有x=4n-1(n∈Z).
令0≤4n-1≤2009,則≤n≤,?
又∵n∈Z，∴1≤n≤502（n∈Z）,?
∴在［0，2009］上共有502個x使f(x)=-.
變式訓練3：已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.?
（1）試判斷f(x)的奇偶性；?
（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.
解：(1)當a=0時，函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),?
此時,f(x)為偶函數(shù).當a≠0時，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,?
f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此時，f(x)為非奇非偶函數(shù).?
（2）當x≤a時,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,?
∵a≤,故函數(shù)f(x)在（-∞，a］上單調(diào)遞減，?
從而函數(shù)f(x)在（-∞，a］上的最小值為f(a)=a2+1.?
當x≥a時，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,?
∵a≥-，故函數(shù)f(x)在［a，+∞）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f(x)在［a，+∞)上的
最小值為f(a)=a2+1.?
綜上得，當-≤a≤時，函數(shù)f(x)的最小值為a2+1.

1．奇偶性是某些函數(shù)具有的一種重要性質(zhì)，對一個函數(shù)首先應判斷它是否具有這種性質(zhì).判斷函數(shù)的奇偶性應首先檢驗函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后根據(jù)奇偶性的定義判斷（或證明）函數(shù)是否具有奇偶性.如果要證明一個函數(shù)不具有奇偶性，可以在定義域內(nèi)找到一對非零實數(shù)a與－a，驗證f(a)±f(－a)≠0.
2．對于具有奇偶性的函數(shù)的性質(zhì)的研究，我們可以重點研究y軸一側(cè)的性質(zhì)，再根據(jù)其對稱性得到整個定義域上的性質(zhì).
3．函數(shù)的周期性：第一應從定義入手，第二應結(jié)合圖象理解.
第5課時指數(shù)函數(shù)
1．根式：
(1)定義：若，則稱為的次方根
①當為奇數(shù)時，次方根記作__________；
②當為偶數(shù)時，負數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù)，記作________(a0).
(2)性質(zhì)：
①；
②當為奇數(shù)時，；
③當為偶數(shù)時，_______＝
2．指數(shù)：
(1)規(guī)定：
①a0＝(a≠0)；
②a-p＝；
③.
(2)運算性質(zhì)：
①(a0,r、Q)
②(a0,r、Q)
③(a0,r、Q)
注：上述性質(zhì)對r、R均適用.
3．指數(shù)函數(shù)：
①定義：函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，1)函數(shù)的定義域為；2)函數(shù)的值域為；3)當________時函數(shù)為減函數(shù)，當_______時為增函數(shù).
②函數(shù)圖像：
1)過點，圖象在；2)指數(shù)函數(shù)以為漸近線(當時，圖象向無限接近軸，當時，圖象向無限接近x軸)；3)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.
③函數(shù)值的變化特征：

例1.已知a=,b=9.求：（1）（2）.
解：（1）原式=.÷［a］?==a.?
∵a=，∴原式=3.?
（2）方法一化去負指數(shù)后解.?
∵a=∴a+b=
方法二利用運算性質(zhì)解.?
∵a=∴a+b=

變式訓練1：化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù)）:
（1）
（2）
解：（1）原式=
（2）原式=-
例2.函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是（）
A.f(bx)≤f(cx)?B.f(bx)≥f(cx)
C.f(bx)＞f(cx)D.大小關(guān)系隨x的不同而不同
解：A
變式訓練2：已知實數(shù)a、b滿足等式，下列五個關(guān)系式：?①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.?其中不可能成立的關(guān)系式有（）
A.1個?B.2個?C.3個?D.4個?
解：B??
例3.求下列函數(shù)的定義域、值域及其單調(diào)區(qū)間：?
（1）f(x)=3;?（2）g(x)=-(.
解：（1）依題意x2-5x+4≥0,?解得x≥4或x≤1,?
∴f（x）的定義域是（-∞，1］∪［4，+∞）.?
令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），?
∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥30=1,?
∴函數(shù)f(x)的值域是［1，+∞）.?
∵u=,∴當x∈（-∞，1］時，u是減函數(shù)，?
當x∈［4，+∞）時，u是增函數(shù).而3＞1,∴由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，?
f（x）=3在（-∞，1］上是減函數(shù)，在［4，+∞）上是增函數(shù).?
故f（x）的增區(qū)間是［4，+∞），減區(qū)間是（-∞，1］.?
（2）由g(x)=-(?
∴函數(shù)的定義域為R，令t=(x(t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,?
∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等號成立的條件是t=2,?
即g(x)≤9,等號成立的條件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.?
由g(t)=-(t-2)2+9(t＞0),而t=(是減函數(shù)，∴要求g(x)的增區(qū)間實際上是求g(t)的減區(qū)間，?求g(x)的減區(qū)間實際上是求g(t)的增區(qū)間.?
∵g（t）在（0，2］上遞增，在［2，+∞）上遞減，?
由0＜t=(≤2,可得x≥-1,?由t=(≥2,可得x≤-1.?
∴g（x）在［-1，+∞）上遞減，在（-∞，-1］上遞增，?
故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1］，單調(diào)遞減區(qū)間是［-1，+∞）.?
變式訓練3：求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：?（1）y=(;(2)y=2.?
解：（1）函數(shù)的定義域為R.?
令u=6+x-2x2,則y=(.?
∵二次函數(shù)u=6+x-2x2的對稱軸為x=,?
在區(qū)間［，+∞）上，u=6+x-2x2是減函數(shù)，?
又函數(shù)y=(u是減函數(shù)，?
∴函數(shù)y=(在［，+∞）上是增函數(shù).?
故y=(單調(diào)遞增區(qū)間為［，+∞）.?
（2）令u=x2-x-6,則y=2u,?
∵二次函數(shù)u=x2-x-6的對稱軸是x=,
在區(qū)間［，+∞）上u=x2-x-6是增函數(shù).?
又函數(shù)y=2u為增函數(shù)，?
∴函數(shù)y=2在區(qū)間［，+∞）上是增函數(shù).?
故函數(shù)y=2的單調(diào)遞增區(qū)間是［，+∞）.
例4．設a＞0,f(x)=是R上的偶函數(shù).?
（1）求a的值；?
（2）求證：f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù).?
（1）解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），?∴
∴（a-=0對一切x均成立，?
∴a-=0，而a＞0,∴a=1.
（2）證明在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2,
則f(x1)-f(x2)=+--
=(
∵x1＜x2,∴有??
∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴＞1,
-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),
故f(x)在（0,+∞）上是增函數(shù).
變式訓練4：已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當x∈(0,1)時，f(x)=.
（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；?
（2）證明：f(x)在（0，1）上是減函數(shù).?
（1）解：當x∈(-1,0)時，-x∈(0,1).?
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-
由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),?
得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在區(qū)間［-1，1］上，有?f（x）=
(2)證明當x∈(0,1)時，f(x)=
設0＜x1＜x2＜1,?
則f(x1)-f(x2)=
∵0＜x1＜x2＜1,∴＞0，2-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),?
故f(x)在（0，1）上單調(diào)遞減.

1．＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N0，a0，a≠1)是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應化為同底.
2．處理指數(shù)函數(shù)的有關(guān)問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解.
3．含有參數(shù)的指數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類.
4．含有指數(shù)的較復雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函數(shù)(特別是二次函數(shù))形成的
函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要注意知識的相互滲透或綜合.
第6課時對數(shù)函數(shù)
1．對數(shù)：
(1)定義：如果，那么稱為，記作，其中稱為對數(shù)的底，N稱為真數(shù).
①以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，記作___________．
②以無理數(shù)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，記作_________．
(2)基本性質(zhì)：
①真數(shù)N為(負數(shù)和零無對數(shù))；②；③；
④對數(shù)恒等式：．
(3)運算性質(zhì)：
①loga(MN)＝___________________________；
②loga＝____________________________；
③logaMn＝(n∈R).
④換底公式：logaN＝(a0，a≠1，m0，m≠1，N0)
⑤.
2．對數(shù)函數(shù)：
①定義：函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，1)函數(shù)的定義域為(；2)函數(shù)的值域為；3)當______時，函數(shù)為減函數(shù)，當______時為增函數(shù)；
4)函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù).
②1)圖象經(jīng)過點()，圖象在；2)對數(shù)函數(shù)以為漸近線(當時，圖象向上無限接近y軸；當時，圖象向下無限接近y軸)；
4)函數(shù)y＝logax與的圖象關(guān)于x軸對稱．
③函數(shù)值的變化特征：
例1計算：（1）
（2）2(lg)2+lglg5+;?
（3）lg-lg+lg.??
解：（1）方法一利用對數(shù)定義求值?
設=x,?則(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.?
方法二利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解?
==(2+)-1=-1.?
（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1|?
=lg+(1-lg)=1.?
（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245?
=(5lg2-2lg7)-×+(2lg7+lg5)?
=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5?
=lg(2×5)=lg10=.??
變式訓練1：化簡求值.?
（1）log2+log212-log242-1;?
（2）(lg2)2+lg2lg50+lg25;?
（3）(log32+log92)(log43+log83).?
解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2?
（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.?
（3）原式=(
例2比較下列各組數(shù)的大小.?
（1）log3與log5;?（2）log1.10.7與log1.20.7;?
（3）已知logb＜loga＜logc,比較2b,2a,2c的大小關(guān)系.?
解：（1）∵log3＜log31=0,?而log5＞log51=0,∴l(xiāng)og3＜log5.?
(2)方法一∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,?∴0＞,?
∴,?
即由換底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.?
方法二作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖象.?
如圖所示兩圖象與x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.?
(3)∵y=為減函數(shù)，且,?
∴b＞a＞c,而y=2x是增函數(shù)，∴2b＞2a＞2c.?
變式訓練2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，則loga的大小關(guān)系是（）
A.logaB.
C.D.
解：C
例3已知函數(shù)f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果對于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，
試求a的取值范圍.?
解：當a＞1時，對于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.?
所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上為增函數(shù)，
∴對于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.
因此，要使|f(x)|≥1對于任意x∈［3，+∞）都成立.?
只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.
當0＜a＜1時，對于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,?
∴|f(x)|=-f(x).
∵f（x）=logax在［3，+∞）上為減函數(shù)，?
∴-f（x）在［3，+∞）上為增函數(shù).?
∴對于任意x∈［3，+∞）都有?
|f(x)|=-f(x)≥-loga3.
因此，要使|f(x)|≥1對于任意x∈［3，+∞）都成立，?
只要-loga3≥1成立即可，?
∴l(xiāng)oga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a＜1.?
綜上，使|f(x)|≥1對任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范圍是：(1，3］∪［，1）.
變式訓練3：已知函數(shù)f（x）=log2(x2-ax-a)在區(qū)間（-∞,?1-］上是單調(diào)遞減函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍.?
解：令g(x)=x2-ax-a,
則g(x)=（x-）2-a-,?由以上知g(x）的圖象關(guān)于直線x=對稱且此拋物線開口向上.?
因為函數(shù)f(x)=log2g(x)的底數(shù)2＞1,?
在區(qū)間（-∞,1-］上是減函數(shù)，?
所以g(x)=x2-ax-a在區(qū)間（-∞,1-］上也是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)＞0.?
∴
解得2-2≤a＜2.?
故a的取值范圍是{a|2-2≤a＜2}.
例4已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過A、B作y軸的平行與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點.?
（1）證明:點C、D和原點O在同一直線上；?
（2）當BC平行于x軸時，求點A的坐標.?
（1）證明設點A、B的橫坐標分別為x1、x2,?
由題設知x1＞1,x2＞1,則點A、B的縱坐標分別為log8x1、log8x2.?
因為A、B在過點O的直線上，所以
點C、D的坐標分別為(x1,log2x1)、(x2,log2x2),?
由于log2x1==3log8x1,log2x2=3log8x2,?
OC的斜率為k1=,?
OD的斜率為由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直線上.?
（2）解：由于BC平行于x軸，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31,?
代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x31=3x1,?
又因x1＞1,解得x1=,于是點A的坐標為（，log8).
變式訓練4：已知函數(shù)f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).?
（1）求f(x)的定義域；?（2）求f(x)的值域.?
解：（1）f(x)有意義時，有?
由①、②得x＞1,由③得x＜p,因為函數(shù)的定義域為非空數(shù)集，故p＞1,f(x)的定義域是(1,p).
（2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］?
=log2［-（x-）2+］(1＜x＜p),?
①當1＜＜p，即p＞3時，?
0＜-(x-,?
∴l(xiāng)og2≤2log2(p+1)-2.?
②當≤1，即1＜p≤3時，?
∵0＜-(x-
∴l(xiāng)og2＜1+log2(p-1).?
綜合①②可知：?
當p＞3時，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］;?
當1＜p≤3時，函數(shù)f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).

1．處理對數(shù)函數(shù)的有關(guān)問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解.
2．對數(shù)函數(shù)值的變化特點是解決含對數(shù)式問題時使用頻繁的關(guān)鍵知識，要達到熟練、運用自如的水平，使用時常常要結(jié)合對數(shù)的特殊值共同分析.
3．含有參數(shù)的指對數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類.
4．含有指數(shù)、對數(shù)的較復雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函數(shù)(特別是二次函數(shù))形成的函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要注意知識的相互滲透或綜合.
第7課時函數(shù)的圖象

一、基本函數(shù)圖象特征（作出草圖）
1．一次函數(shù)為；
2．二次函數(shù)為；
3．反比例函數(shù)為；
4．指數(shù)函數(shù)為，對數(shù)函數(shù)為.
二、函數(shù)圖象變換
1．平移變換：①水平變換：y＝f(x)→y＝f(x－a)(a0)
y＝f(x)→y＝f(x＋a)(a0)
②豎直變換：y＝f(x)→y＝f(x)＋b(b0)
y＝f(x)→y＝f(x)－b(b0)
2．對稱變換：
①y＝f(－x)與y＝f(x)關(guān)于對稱
②y＝－f(x)與y＝f(x)關(guān)于對稱
③y＝－f(－x)與y＝f(x)關(guān)于對稱
④y＝f-1(x)與y＝f(x)關(guān)于對稱
⑤y＝|f(x)|的圖象是將y＝f(x)圖象的
⑥y＝f(|x|)的圖象是將y＝f(x)圖象的
3．伸縮變換：
①y＝Af(x)(A0)的圖象是將y＝f(x)的圖象的.
②y＝f(ax)(a0)的圖象是將y＝f(x)的圖象的.
4．若對于定義域內(nèi)的任意x，若f(a－x)＝f(a＋x)(或f(x)＝f(2a－x))，則f(x)關(guān)于對稱，若f(a－x)＋f(a＋x)＝2b(或f(x)＋f(2a－x)＝2b)，則f(x)關(guān)于對稱.

例1作出下列函數(shù)的圖象.?
（1）y=(lgx+|lgx|);?（2）y=;?（3）y=|x|.?
解：（1）y=
（2）由y=,得y=+2.?作出y=的圖象，將y=的圖象向右平移一個單位，再向上平移2個單位得y=+2的圖象.?
（3）作出y=（）x的圖象，保留y=（）x圖象中x≥0的部分，加上y=（）x的圖象中x＞0的部分關(guān)于y軸的對稱部分，即得y=（）|x|?的圖象.其圖象依次如下：?

變式訓練1：作出下列各個函數(shù)的圖象：（1）y=2-2x；（2）y=|log（1-x）|；
（3）y=.?
解：（1）由函數(shù)y=2x的圖象關(guān)于x軸對稱可得到y(tǒng)=-2x的圖象，再將圖象向上平移2個單位，可得y=2-2x的圖象.如圖甲.?
（2）由y=logx的圖象關(guān)于y軸對稱，可得y=log（-x）的圖象，再將圖象向右平移1個單位，即得到y(tǒng)=log(1-x).然后把x軸下方的部分翻折到x軸上方，可得到y(tǒng)=|log（1-x）|的圖象.如圖乙.?
（3）y=.?
先作出y=-的圖象，如圖丙中的虛線部分，然后將圖象向左平移1個單位，向上平移2個單位，即得到所求圖象.如圖丙所示的實線部分.
例2函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象如圖,則函數(shù)y=f(x)g(x)的圖象可能是（）?

解：?A??
變式訓練2：設a＞1,實數(shù)x,y滿足|x|-loga=0,則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象形狀大致是()

解：?B??
例3設函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3).?
（1）證明：f(x)是偶函數(shù)；?
（2）畫出函數(shù)的圖象；?
（3）指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；?
（4）求函數(shù)的值域.?
（1）證明f(-x)=(-x)2-2|-x|-1?=x2-2|x|-1=f(x),?
即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù).?
（2）解：當x≥0時，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,?
當x＜0時，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,?
即f(x)=
根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如圖所示.?
（3）解：函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為［-3，-1），［-1，0），［0，1），［1，3］.
f（x）在區(qū)間［-3，-1）和［0，1）上為減函數(shù)，在［-1，0），［1，3］上為增函數(shù).（4）解：當x≥0時，函數(shù)f(x)=(x-1)2-2的最小值為-2,最大值為f(3)=2;?
當x＜0時，函數(shù)f(x)=(x+1)2-2的最小值為-2,最大值為f(-3)=2;?
故函數(shù)f(x)的值域為［-2，2］.
變式訓練3：當x∈(1,2)時,不等式(x-1)2＜logax恒成立,則a的取值范圍為.?
解：(1,2］

1．作函數(shù)圖象的基本方法是：
①討論函數(shù)的定義域及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；
②考慮是否可由基本初等函數(shù)的圖象變換作出圖象；
③準確描出關(guān)鍵的點線(如圖象與x、y軸的交點，極值點(頂點)，對稱軸，漸近線，等等).
2．圖象對稱性證明需歸結(jié)為任意點的對稱性證明.
3．注意分清是一個函數(shù)自身是對稱圖形，還是兩個不同的函數(shù)圖象對稱.
第8課時冪函數(shù)
1．冪函數(shù)的概念：一般地，我們把形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)；
注意：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別．
2.冪函數(shù)的性質(zhì)：
（1）冪函數(shù)的圖象都過點；
（2）當時，冪函數(shù)在上；當時，冪函數(shù)在上；
（3）當時，冪函數(shù)是；當時，冪函數(shù)是．
3．冪函數(shù)的性質(zhì)：
（1）都過點；
（2）任何冪函數(shù)都不過象限；
（3）當時，冪函數(shù)的圖象過．
4．冪函數(shù)的圖象在第一象限的分布規(guī)律：（1）在經(jīng)過點平行于軸的直線的右側(cè)，按冪指數(shù)由小到大的關(guān)系冪函數(shù)的圖象從到分布；
（2）冪指數(shù)的分母為偶數(shù)時，圖象只在象限；冪指數(shù)的分子為偶數(shù)時，圖象在第一、第二象限關(guān)于軸對稱；冪指數(shù)的分子、分母都為奇數(shù)時，圖象在第一、第三象限
關(guān)于對稱．

例1.寫出下列函數(shù)的定義域，并指出它們的奇偶性：
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
解：（1）此函數(shù)的定義域為R，
∴此函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）
∴此函數(shù)的定義域為
此函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱
∴此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．
（3）
∴此函數(shù)的定義域為
∴此函數(shù)為偶函數(shù)
（4）
∴此函數(shù)的定義域為
∴此函數(shù)為偶函數(shù)
（5）
∴此函數(shù)的定義域為
此函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱
∴此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)
（6）
∴此函數(shù)的定義域為
∴此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
變式訓練1：討論下列函數(shù)的定義域、值域，奇偶性與單調(diào)性：
（1）（2）（3）（4）（5）
分析：要求冪函數(shù)的定義域和值域，可先將分數(shù)指數(shù)式化為根式．
解：（1）定義域R，值域R，奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增．
（2）定義域，值域，偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
（3）定義域，值域，偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增．
（4）定義域，值域，奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．
（5）定義域，值域，非奇非偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減．
例2比較大?。?br> （1）（2）
（3）
（4）
解：（1）∵在上是增函數(shù)，，∴
（2）∵在上是增函數(shù)，
，∴
（3）∵在上是減函數(shù)，
，∴；
∵是增函數(shù)，，
∴；
綜上，
（4）∵，，，
∴
變式訓練2：將下列各組數(shù)用小于號從小到大排列：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
例3已知冪函數(shù)（）的圖象與軸、軸都無交點，且關(guān)于原點對稱，求的值．
分析：冪函數(shù)圖象與軸、軸都無交點，則指數(shù)小于或等于零；圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)．結(jié)合，便可逐步確定的值．
解：∵冪函數(shù)（）的圖象與軸、軸都無交點，
∴，∴；
∵，∴，又函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，
∴是奇數(shù)，∴或．
變式訓練3：證明冪函數(shù)在上是增函數(shù)．
分析：直接根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來證明．
證明：設，
則
即
此函數(shù)在上是增函數(shù)

1．注意冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別．
2.冪函數(shù)的性質(zhì)要熟練掌握
第9課時函數(shù)與方程
1．一元二次函數(shù)與一元二次方程
一元二次函數(shù)與一元二次方程（以后還將學習一元二次不等式）的關(guān)系一直是高中數(shù)學函數(shù)這部分內(nèi)容中的重點，也是高考必考的知識點．我們要弄清楚它們之間的對應關(guān)系：一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標是對應一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是對應的一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標．
2．函數(shù)與方程
兩個函數(shù)與圖象交點的橫坐標就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函數(shù)與圖象交點的橫坐標．
3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的區(qū)間，則必有，再取區(qū)間的中點，再判斷的正負號，若，則根在區(qū)間中；若，則根在中；若，則即為方程的根．按照以上方法重復進行下去，直到區(qū)間的兩個端點的近似值相同（且都符合精確度要求），即可得一個近似值．

例1.（1）若，則方程的根是()
A．B．－C．2D．－2
解：A．

（2）設函數(shù)對都滿足,且方程恰有6個不同的實數(shù)根，則這6個實根的和為（）
A．0B．9C．12D．18
解：由知的圖象有對稱軸，方程的6個根在軸上對應的點關(guān)于直線對稱，依次設為，故6個根的和為18，答案為D．

（3）已知，（、、∈R），則有（）
A．B．C．D．
解法一：：依題設有
∴是實系數(shù)一元二次方程的一個實根；
∴△＝≥0∴，答案為B．
解法二：去分母，移項，兩邊平方得：＋＝20．
∴，答案為B．
（4）關(guān)于的方程的兩個實根、滿足，則實數(shù)m的取值范圍
解：設，則，
即：，解得：．
（5）若對于任意，函數(shù)的值恒大于零,則的取值范圍是
解：設，顯然，
則，即，解得：．
變式訓練1：當時，函數(shù)的值有正值也有負值，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
解：D
例2.設依次是方程,，
的實數(shù)根，試比較的大小．
解：在同一坐標內(nèi)作出函數(shù)，，的圖象
從圖中可以看出，
又，故
變式訓練2：已知函數(shù)滿足，且∈[－1,1]時，，則與的圖象交點的個數(shù)是()
A．3B．4C．5D．6
解：由知故是周期為2的函數(shù)，在同一坐標系中作出與的圖象，可以看出，交點個數(shù)為4．
例3.已知二次函數(shù)為常數(shù)，且滿足條件：，且方程有等根
（1）求的解析式；
（2）是否存在實數(shù)、，使定義域和值域分別為［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，說明理由
解：（1）∵方程有等根，∴，得b=2．
由知此函數(shù)圖象的對稱軸方程為，得，
故．
（2），∴4n1，即
而拋物線的對稱軸為∴時，在［m，n］上為增函數(shù)
若滿足題設條件的m，n存在，則，
又，∴，這時定義域為［–2，0］，值域為［–8，0］
由以上知滿足條件的m、n存在，．
變式訓練3：已知函數(shù)(
（1）求證：在(0,+∞)上是增函數(shù)；
（2）若在(0,+∞)上恒成立，求的取值范圍；
（3）若在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求的取值范圍
解：（1）證明任取
∵，∴，，
∴，即，故在(0,+∞)上是增函數(shù)
（2）解：∵在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,
∴在（0，+∞）上恒成立，
令，當且僅當即x=時取等號
要使在(0,+∞)上恒成立，則
故的取值范圍是［,+∞)．
（3）解：由（1）在定義域上是增函數(shù)
∴，即，
故方程有兩個不相等的正根m，n，注意到，
故只需要(,由于，則．
例4．若函數(shù)的圖象與軸有交點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
解：令，得：，∵，∴，即．
變式訓練4：對于函數(shù)，若存在∈R,使成立，則稱為的不動點已知函數(shù)
（1）當時，求的不動點；
（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；
解：（1）當時，
由題意可知，得
故當當時，的不動點．
（2）∵恒有兩個不動點，
∴，
即恒有兩相異實根
∴恒成立
于是解得
故當b∈R，恒有兩個相異的不動點時，

本節(jié)主要注意以下幾個問題：
1．利用函數(shù)的圖象求方程的解的個數(shù)；
2．一元二次方程的根的分布；
3．利用函數(shù)的最值解決不等式恒成立問題
第10課時函數(shù)模型及其應用
1．抽象概括：研究實際問題中量，確定變量之間的主、被動關(guān)系，并用x、y分別表示問題中的變量；
2．建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學數(shù)學內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；
3．求解函數(shù)模型：根據(jù)實際問題所需要解決的目標及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點正確選擇函數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實際問題的解.
這些步驟用框圖表示是：

例1.如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF都等于x，當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求出最大面積.?
解：設四邊形EFGH的面積為S，?
則S△AEH=S△CFG=x2,
S△BEF=S△DGH=（a-x）（b-x），?
∴S=ab-2［2+（a-x）（b-x）］?
=-2x2+（a+b）x=-2（x-2+?
由圖形知函數(shù)的定義域為{x|0＜x≤b}.?
又0＜b＜a,∴0＜b＜,若≤b,即a≤3b時，?
則當x=時，S有最大值;?
若＞b,即a＞3b時，?
S（x）在（0,b］上是增函數(shù)，?
此時當x=b時，S有最大值為?
-2(b-)2+=ab-b2,?
綜上可知，當a≤3b時，x=時，?
四邊形面積Smax=,?
當a＞3b時，x=b時，四邊形面積Smax=ab-b2.?
變式訓練1：某商人將進貨單價為8元的某種商品按10元一個銷售時，每天可賣出100個，現(xiàn)在他采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品銷售單價每漲1元，銷售量就減少10個，問他將售價每個定為多少元時，才能使每天所賺的利潤最大？并求出最大值.
解：設每個提價為x元（x≥0），利潤為y元，每天銷售總額為（10+x）（100-10x）元，
進貨總額為8（100-10x）元，?
顯然100-10x＞0,即x＜10,?
則y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x＜10).?
當x=4時，y取得最大值，此時銷售單價應為14元，最大利潤為360元.?
例2.據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度
v（km/h）與時間t（h）的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T（t，0）作橫軸
的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t（h）內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s（km）.（1）當t=4時，求s的值；?
（2）將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關(guān)系式表示出來；?
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這
場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將
侵襲到N城？如果不會，請說明理由.?
解：（1）由圖象可知：
當t=4時，v=3×4=12,?
∴s=×4×12=24.?
（2）當0≤t≤10時，s=t3t=t2，?
當10＜t≤20時，s=×10×30+30（t-10）=30t-150；?
當20＜t≤35時，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.
綜上可知s=
(3)∵t∈［0，10］時，smax=×102=150＜650.?
t∈（10，20］時，smax=30×20-150=450＜650.?
∴當t∈（20，35］時，令-t2+70t-550=650.?
解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,?
∴t=30，所以沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城.?
變式訓練2：某工廠生產(chǎn)一種機器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺，
需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售的收入函數(shù)為R（x）=5x-（萬元）(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）.
（1）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；?
（2）年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？?
（3）年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本？?
解：（1）當x≤5時，產(chǎn)品能售出x百臺；?
當x＞5時，只能售出5百臺，?
故利潤函數(shù)為L（x）=R（x）-C（x）?
=
(2)當0≤x≤5時，L（x）=4.75x--0.5，?
當x=4.75時，L(x)max=10.78125萬元.?
當x＞5時，L（x）=12-0.25x為減函數(shù)，?
此時L（x）＜10.75(萬元）.∴生產(chǎn)475臺時利潤最大.?
（3）由
得x≥4.75-=0.1(百臺）或x＜48(百臺).?
∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺至4800臺時，工廠不虧本.?
例3.某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x，3x噸.?
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)；?
（2）若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費.?
解：（1）當甲的用水量不超過4噸時，即5x≤4，乙的用水量也不超過4噸，
y=（5x+3x）×1.8=14.4x;?
當甲的用水量超過4噸，乙的用水量不超過4噸時，?
即3x≤4且5x＞4,?
y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.?
當乙的用水量超過4噸時，?
即3x＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，?
所以y=
(2)由于y=f(x)在各段區(qū)間上均為單調(diào)遞增，?
當x∈［0，］時,y≤f（）＜26.4;?
當x∈（，］時，y≤f（）＜26.4;?
當x∈（,+∞）時，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,?
所以甲戶用水量為5x=7.5噸，?
付費S1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);?
乙戶用水量為3x=4.5噸，?
付費S2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).
變式訓練3：1999年10月12日“世界60億人口日”，提出了“人類對生育的選擇將決定世界未來”的主題，控制人口急劇增長的緊迫任務擺在我們的面前.?
（1）世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？?
（2）我國人口在1998年底達到12.48億，若將人口平均增長率控制在1%以內(nèi)，我國人口在2008年底至多有多少億？?
以下數(shù)據(jù)供計算時使用：
數(shù)N1.0101.0151.0171.3102.000
對數(shù)lgN0.00430.00650.00730.11730.3010
數(shù)N3.0005.00012.4813.1113.78
對數(shù)lgN0.47710.69901.09621.11761.1392
解：（1）設每年人口平均增長率為x，n年前的人口數(shù)為y，?
則y(1+x)n=60，則當n=40時，y=30，?
即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2，
兩邊取對數(shù)，則40lg(1+x)=lg2，?
則lg（1+x）==0.007525，?
∴1+x≈1.017，得x=1.7%.
（2）依題意，y≤12.48（1+1%）10?，?
得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392,?
∴y≤13.78，故人口至多有13.78億.
答每年人口平均增長率為1.7%，2008年人口至多有13.78億.

解決函數(shù)應用問題應著重注意以下幾點：
1．閱讀理解、整理數(shù)據(jù)：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；
2．建立函數(shù)模型：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題的目標表示為這個變量的函數(shù)，建立函數(shù)模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，不要忘記考察函數(shù)的定義域；
3．求解函數(shù)模型：主要是計算函數(shù)的特殊值，研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大(小)值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用.
4．還原評價：應用問題不是單純的數(shù)學問題，既要符合數(shù)學學科又要符合實際背景，因于解出的結(jié)果要代入原問題進行檢驗、評判最后作出結(jié)論，作出回答.

函數(shù)單元測試題
一、選擇題
1.函數(shù)y=的定義域是（）?
?A.［1，+∞）B.（,+∞）?C.［，1］?D.（,1］?
2.（2009河南新鄭二中模擬）設函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c,給出下列四個命題：（）
①當b≥0時，函數(shù)y=f(x)是單調(diào)函數(shù)
②當b=0,c＞0時，方程f(x)=0只有一個實根
③函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點（0，c）對稱
④方程f(x)=0至多有3個實根，其中正確命題的個數(shù)為
?A.1個B.2個C.3個D.4個?
3.（2008湛江模擬）下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）?
?A.y=x(x∈(0,+∞))B.y=3x(x∈R)?
?C.y=x(x∈R)?D.y=lg|x|(x≠0)?
4.（2008杭州模擬）已知偶函數(shù)f(x)滿足條件：當x∈R時，恒有f(x+2)=f(x),且0≤x≤1時，有＞0,則f（,f（,f（的大小關(guān)系是（）
?A.f（＞f（＞f（?
B.f（＞f（＞f（?
?C.f（＞f（＞f（
?D.f（＞f（＞f（,
5.如圖為函數(shù)y=m+lognx的圖象，其中m，n為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
?A.m＜0,n＞1?B.m＞0,n＞1?
?C.m＞0,0＜n＜1??D.m＜0,0＜n＜1?
6.已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當x∈(0,1)時，f(x)=2x-1，則f(log212)的值為（）?A.B.C.2D.11?
7.（2008重慶理，4）已知函數(shù)y=的最大值為M，最小值為m，則的值為（）?A.B.?C.D.?
8.若方程2ax2-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一解，則a的取值范圍是（）
?A.a＜-1?B.a＞1?C.-1＜a＜1D.0≤a＜1?
9.f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(2)=0,則方程f(x)=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是（）
?A.5?B.4C.3D.2?
10.某農(nóng)貿(mào)市場出售西紅柿，當價格上漲時，供給量相應增加，而需求量相應減少，具體調(diào)查結(jié)果如下表：
表1市場供給表?
單價（元/kg）22.42.83.23.64
供給量
（1000kg）506070758090
表2市場需求表?
單價（元/kg）43.42.92.62.32
供給量
（1000kg）506065707580
根據(jù)以上提供的信息，市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應在區(qū)間（）?
?A.（2.3，2.4）內(nèi)?B.（2.4，2.6）內(nèi)?
?C.（2.6，2.8）內(nèi)?D.（2.8，2.9）內(nèi)?
11.(2008成都模擬)已知函數(shù)f(x)=loga(+bx)(a＞0且a≠1)，則下列敘述正確的是（）
?A.若a=,b=-1,則函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù)?
?B.若a=,b=-1,則函數(shù)f（x)為R上的減函數(shù)?
?C.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則b=±1?
?D.若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則b=1?
12.設函數(shù)f（x）=若f(a)＜1,則實數(shù)a的取值范圍是（）
?A.（-∞,-3）B.(1,+∞)?C.(-3,1)D.(-∞,-3)(1,+∞)?
二、填空題
13.（2009廣西河池模擬）已知函數(shù)f(x)=log2(x2+1)(x≤0)，則=.
14.已知函數(shù)f(x)=則f(log23)的值為.?
15.（2008通州模擬）用二分法求方程x3-2x-5=0在區(qū)間［2，3］內(nèi)的實根，取區(qū)間中點x0=2.5,那么下一個有實根的區(qū)間是.?
答案（2，2.5）?
16.（2008福州模擬）對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1,x2(x1≠x2),?
有如下結(jié)論：?
①f(x1+x2)=f(x1)f(x2);?
②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);?
③＞0;?
④f()＜
當f(x)=2x時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是.?
三、解答題
17．設直線x=1是函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸，對于任意x∈R，f(x+2)=-f(x),當-1≤x≤1時，f(x)=x3.
（1）證明：f(x)是奇函數(shù)；?
（2）當x∈［3，7］時，求函數(shù)f(x)的解析式.?

18.等腰梯形ABCD的兩底分別為AB=10，CD=4，兩腰AD=CB=5，動點P由B點沿折線BCDA向A運動，設P點所經(jīng)過的路程為x，三角形ABP的面積為S?
（1）求函數(shù)S=f(x)的解析式；?
（2）試確定點P的位置，使△ABP的面積S最大.?

19.（2008深圳模擬）據(jù)調(diào)查，某地區(qū)100萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民，人均收入3000元，為了增加農(nóng)民的收入，當?shù)卣e極引進資本，建立各種加工企業(yè)，對當?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進行深加工，同時吸收當?shù)夭糠洲r(nóng)民進入加工企業(yè)工作，據(jù)估計，如果有x(x＞0)萬人進企業(yè)工作，那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均收入有望提高2x%,而進入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均收入為3000a元(a＞0).?
（1）在建立加工企業(yè)后，要使從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的年總收入不低于加工企業(yè)建立前的農(nóng)民的年總收入，試求x的取值范圍；?
（2）在（1）的條件下，當?shù)卣畱撊绾我龑мr(nóng)民（即x多大時），能使這100萬農(nóng)民的人均年收入達到最大.?

20.設a,b∈R，且a≠2,定義在區(qū)間（-b,b）內(nèi)的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).?
（1）求b的取值范圍；?
（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.?

21.已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.?
(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);?
(2)設有且僅有一個實數(shù)x0,使得f(x0)=x0,求函數(shù)f(x)解析表達式.?

22.（2008南京模擬）已知函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間［-，］上的偶函數(shù)，且
x∈［0，］時，f（x）=-x2-x+5.?
（1）求函數(shù)f(x)的解析式；?
（2）若矩形ABCD的頂點A，B在函數(shù)y=f(x)的圖象上，頂點C，D在x軸上，求矩形ABCD面積的最大值.?

函數(shù)單元測試題答案
一、選擇題
1.D??
2.?D??
3.?C??
4.（B??
5.?D??
6.?A??
7.C??
8.B??
9.B??
10.C??
11.A??
12.?C??
二、填空題
13.-?
14.?
15.（2，2.5）?
16.①③④?
三、解答題
17．（1）證明∵x=1是f(x)的圖象的一條對稱軸，?
∴f（x+2）=f(-x).又∵f(x+2)=-f(x),?
∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函數(shù).?
（2）解∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f［（x+2）+2］?
=-f（x+2）=f（x），∴T=4.若x∈［3，5］，則(x-4)∈［-1，1］，?
∴f（x-4）=（x-4）3.又∵f(x-4)=f(x),?
∴f(x)=(x-4)3,x∈［3，5］.若x∈(5，7］，則(x-4)∈(1，3］，f(x-4)=f(x).?
由x=1是f(x)的圖象的一條對稱軸可知f［2-(x-4)］=f(x-4)?
且2-(x-4)=(6-x)∈［-1，1］，故f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)3=-(x-6)3.?
綜上可知f(x)=
18.解（1）過C點作CE⊥AB于E，?
在△BEC中，CE==4，∴sinB=.?
由題意，當x∈（0，5］時，過P點作PF⊥AB于F，?
∴PF=xsinB=x，∴S=×10×x=4x,?
當x∈(5，9］時，∴S=×10×4=20.?
當x∈（9，14］時，AP=14-x，PF=APsinA=，?
∴S=×10×(14-x)×=56-4x.綜上可知,函數(shù)S=f(x)=
(2)由(1)知,當x∈(0,5］時,f(x)=4x為增函數(shù),所以,當x=5時,取得最大值20.?
當x∈(5,9］時,f(x)=20,最大值為20.當x∈(9,14］時,f(x)=56-4x為減函數(shù),無最大值.?綜上可知:當P點在CD上時,△ABP的面積S最大為20.
19.解（1）由題意得?
（100-x）3000（1+2x%）≥100×3000,即x2-50x≤0,解得0≤x≤50.?
又∵x＞0,∴0＜x≤50.?
(2)設這100萬農(nóng)民的人均年收入為y元,?
則y=
=-.∴若25（a+1）≤50,即0＜a≤1時，當x=25（a+1）時，
ymax=
若a＞1時，函數(shù)在上是增函數(shù).∴當x=50時，
ymax=×502+30(a+1)×50+3000=-1500+1500a+1500+3000=1500a+3000.
答若0＜a≤1,當x=25(a+1)時,使100萬農(nóng)民人均年收入最大.?
若a＞1,當x=50時,使100萬農(nóng)民的人均年收入最大.?
20.解（1）f(x)=lg(-b＜x＜b)是奇函數(shù)等價于：?
對任意x∈(-b,b)都有?
①式即為，由此可得?
,也即a2x2=4x2,此式對任意x∈(-b,b)都成立相當于a2=4,
因為a≠2,所以a=-2，
代入②式，得＞0,即-＜x＜,此式對任意x∈(-b,b)都成立相當于
-≤-b＜b≤,?
所以b的取值范圍是（0,］.?
（2）設任意的x1,x2∈(-b,b)，且x1＜x2,由b∈（0，］，得-≤-b＜x1＜x2＜b≤,?所以0＜1-2x2＜1-2x1,0＜1+2x1＜1+2x2,?
從而f(x2)-f(x1)=
因此f(x)在（-b,b)內(nèi)是減函數(shù)，具有單調(diào)性.
21.解(1)因為對任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,?
所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即f(1)=1.?
若f(0)=a,則f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.?
(2)因為對任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因為有且只有一個實數(shù)x0,使得f(x0)=x0.?
所以對任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0.在上式中令x=x0,有f(x0)-+x0=x0.?
又因為f(x0)=x0,所以x0-=0,故x0=0或x0=1.若x0=0,則f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x.?
但方程x2-x=x有兩個不同實根，與題設條件矛盾，故x0≠0.?
若x0=1，則有f(x）-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1.易驗證該函數(shù)滿足題設條件.?
22.解（1）當x∈［-，0］時，-x∈［0，］.?
∴f(-x)=-(-x)2-(-x)+5=-x2+x+5.又∵f(x)是偶函數(shù)，?
∴f（x）=f(-x)=-x2+x+5.?∴f(x)=?
（2）由題意，不妨設A點在第一象限，坐標為（t,-t2-t+5）,其中t∈（0，］.?
由圖象對稱性可知B點坐標為（-t，-t2-t+5）.則S(t)=S矩形ABCD=2t（-t2-t+5）=-2t3-2t2+10t.?=-6t2-4t+10.由=0，得t1=-（舍去），t2=1.
當0＜t＜1時，＞0;t＞1時,＜0.?
∴S(t)在（0，1］上單調(diào)遞增，在［1，］上單調(diào)遞減.∴當t=1時，矩形ABCD的面積取得極大值6，
且此極大值也是S（t）在t∈（0，］上的最大值.從而當t=1時，矩形ABCD的面積取得最大值6.
五年高考薈萃
2009年高考題
1.（2009全國卷Ⅰ理）函數(shù)的定義域為R，若與都是奇函數(shù)，則()
A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)
C.D.是奇函數(shù)
答案D
解析與都是奇函數(shù)，
，
函數(shù)關(guān)于點，及點對稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，，即是奇函數(shù)。故選D
2.(2009浙江理）對于正實數(shù)，記為滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：且，有．下列結(jié)論中正確的是()
A．若，，則
B．若，，且，則
C．若，，則
D．若，，且，則
答案C
解析對于，即有，令，有，不妨設，，即有，因此有，因此有．
3.（2009浙江文）若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A.，在上是增函數(shù)
B.，在上是減函數(shù)
C.，是偶函數(shù)
D.，是奇函數(shù)
答案C
【命題意圖】此題主要考查了全稱量詞與存在量詞的概念和基礎知識，通過對量詞的考查結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進行了交匯設問．
解析對于時有是一個偶函數(shù)
4.(2009山東卷理)函數(shù)的圖像大致為().
答案A
解析函數(shù)有意義,需使,其定義域為,排除C,D,又因為,所以當時函數(shù)為減函數(shù),故選A.
【命題立意】:本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì).本題的難點在于給出的函數(shù)比較復雜,需要對其先變形,再在定義域內(nèi)對其進行考察其余的性質(zhì).
5.(2009山東卷理)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=，
則f（2009）的值為()
A.-1B.0C.1D.2
答案C
解析由已知得,,,
,,
,,,
所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復性出現(xiàn).,所以f（2009）=f（5）=1,故選C.
【命題立意】:本題考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對數(shù)的運算.
6.(2009山東卷文)函數(shù)的圖像大致為().
答案A.
解析函數(shù)有意義,需使,其定義域為,排除C,D,又因為,所以當時函數(shù)為減函數(shù),故選A.
【命題立意】:本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì).本題的難點在于給出的函數(shù)比較復雜,需要對其先變形,再在定義域內(nèi)對其進行考察其余的性質(zhì).
7.(2009山東卷文)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=，
則f（3）的值為()
A.-1B.-2C.1D.2
答案B
解析由已知得,,,
,,故選B.
【命題立意】:本題考查對數(shù)函數(shù)的運算以及推理過程.
8.(2009山東卷文)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則().
A.B.
C.D.
答案D
解析因為滿足,所以,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),則,,,又因為在R上是奇函數(shù)，,得,,而由得,又因為在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以,所以,即,故選D.
【命題立意】:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì),運用化歸的數(shù)學思想和數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.
9.（2009全國卷Ⅱ文）函數(shù)y=(x0)的反函數(shù)是（）
（A）（x0）（B）（x0）
（B）（x0）（D）（x0）
答案B
解析本題考查反函數(shù)概念及求法，由原函數(shù)x0可知AC錯,原函數(shù)y0可知D錯.
10.（2009全國卷Ⅱ文）函數(shù)y=的圖像（）
（A）關(guān)于原點對稱（B）關(guān)于主線對稱
（C）關(guān)于軸對稱（D）關(guān)于直線對稱
答案A
解析本題考查對數(shù)函數(shù)及對稱知識，由于定義域為（-2，2）關(guān)于原點對稱，又f(-x)=-f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，選A。
11.（2009全國卷Ⅱ文）設則（）
（A）（B）（C）（D）
答案B
解析本題考查對數(shù)函數(shù)的增減性，由1lge0,知ab,又c=lge,作商比較知cb,選B。
12.（2009廣東卷理）若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，其圖像經(jīng)過點，則（）
A.B.C.D.
答案B
解析，代入，解得，所以，選B.
13.（2009廣東卷理）已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā),并沿同一路線（假定為直線）行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為（如圖2所示）．那么對于圖中給定的，下列判斷中一定正確的是（）
A.在時刻，甲車在乙車前面
B.時刻后，甲車在乙車后面
C.在時刻，兩車的位置相同
D.時刻后，乙車在甲車前面
答案A
解析由圖像可知，曲線比在0～、0～與軸所圍成圖形面積大，則在、時刻，甲車均在乙車前面，選A.
14.（2009安徽卷理）設＜b,函數(shù)的圖像可能是（）
答案C
解析，由得，∴當時，取極大值0，當時取極小值且極小值為負。故選C。
或當時，當時，選C
15.（2009安徽卷文）設，函數(shù)的圖像可能是（）
答案C
解析可得的兩個零解.
當時,則
當時,則當時,則選C。
16.（2009江西卷文）函數(shù)的定義域為（）
A．B．C．D．
答案D
解析由得或,故選D.
17.（2009江西卷文）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于，都有，且當時，，則的值為（）
A．B．C．D．
答案C
解析,故選C.
18.（2009江西卷文）如圖所示，一質(zhì)點在平面上沿曲線運動，
速度大小不變，其在軸上的投影點的運動速度的圖象
大致為()

函數(shù)的概念與性質(zhì)

函數(shù)的概念與性質(zhì)
一、學習要求
①了解映射的概念，理解函數(shù)的概念；
②了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)單調(diào)性奇偶性的方法；
③了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)；
④理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理數(shù)冪的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)；
⑤理解對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；⑥能夠應用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決某些簡單實際問題．

二、兩點解讀
重點：①求函數(shù)定義域；②求函數(shù)的值域或最值；③求函數(shù)表達式或函數(shù)值；④二次函數(shù)與二次方程、二次不等式相結(jié)合的有關(guān)問題；⑤指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)；⑥求反函數(shù)；⑦利用原函數(shù)和反函數(shù)的定義域值域互換關(guān)系解題．
難點：①抽象函數(shù)性質(zhì)的研究；②二次方程根的分布．

三、課前訓練
1．函數(shù)的定義域是（D）
（A）（B）（C）（D）
2．函數(shù)的反函數(shù)為（B）
（A）（B）
（C）（D）
3．設則．
4．設，函數(shù)是增函數(shù)，則不等式的解集為(2,3)

四、典型例題
例1設，則的定義域為（）
（A）（B）
（C）（D）
解：∵在中，由，得，∴，
∴在中，．
故選B
例2已知是上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）
（A）（B）（C）（D）
解：∵是上的減函數(shù)，當時，，∴；又當時，，∴，∴，且，解得：．∴綜上，，故選C
例3函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若，則
解：∵函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，
∴，即的周期為4，
∴，
∴
例4設的反函數(shù)為,若×
，則2
解：
∴m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=2
（另解∵,
∴）
例5已知是關(guān)于的方程的兩個實根，則實數(shù)為何值時，大于3且小于3？
解：令，則方程
的兩個實根可以看成是拋物線與軸的兩個交點（如圖所示），
故有：，所以：，
解之得：
例6已知函數(shù)有如下性質(zhì):如果常數(shù),那么該函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)．如果函數(shù)的值域為，求b的值；
解：函數(shù)的最小值是，則＝6，∴；