高中三角函數(shù)的教案

§3.2.2空間角與距離的計算舉例。

§3.2.2空間角與距離的計算舉例
【學(xué)情分析】：
教學(xué)對象是高二的學(xué)生，學(xué)生已經(jīng)具備空間向量與立方體幾何的相關(guān)知識,上次課已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的方向向量和平面的法向量，所以本節(jié)課是通過舉例來求空間的距離和角。我們可以將空間中的有關(guān)距離和角的問題，轉(zhuǎn)化為空間向量的數(shù)量積來解決。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識與技能：能用向量方法進(jìn)行有關(guān)距離的計算；能用向量方法解決線線、線面與面面的夾角的計算問題.
（2）過程與方法：在解決問題中，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法，加深對相關(guān)知識的理解。
（3）情感態(tài)度與價值觀：體會把立方體幾何幾何轉(zhuǎn)化為向量問題優(yōu)勢，培養(yǎng)探索精神。
【教學(xué)重點】：
將空間角與距離的計算轉(zhuǎn)化為向量的夾角與模來計算.
【教學(xué)難點】：
將空間角與距離的計算轉(zhuǎn)化為向量的夾角與模來計算.
【教學(xué)過程設(shè)計】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖
一、復(fù)習(xí)引入
1．兩個向量的數(shù)量積如何運算？
2．向量的模與向量的數(shù)量積是什么關(guān)系？
3．向量的加法法則。為探索新知識做準(zhǔn)備.
二、探究與練習(xí)
一、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”
學(xué)生回顧用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”，與老師共同得出用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：
（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）
（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進(jìn)行向量運算）
（3）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形問題）
二、例題
例1：如圖1：一個結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？
解：如圖1，設(shè)
化為向量問題
依據(jù)向量的加法法則，
進(jìn)行向量運算
回到圖形問題
這個晶體的對角線的長是棱長的倍。
思考：
（1）本題中四棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關(guān)系？
分析:
（2）如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于,那么有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎?
分析:
∴這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長。
（3）本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？（提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點間的距離）
分析：面面距離點面距離向量的?；貧w圖形
解：
練習(xí):
如圖2，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的長都是1，點D，E分別是邊OA，BC的中點，連結(jié)DE，計算DE的長
例2：如圖3，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為
a和b,CD的長為c,AB的長為d。求庫底與水壩所成二面角的余弦值
解：如圖
化為向量問題
根據(jù)向量的加法法則
進(jìn)行向量運算

設(shè)向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成的二面角。
因此

回到圖形問題
庫底與水壩所成二面角的余弦值為

思考：
（1）本題中如果夾角可以測出，而AB未知，其他條件不變，可以計算出AB的長嗎？
分析：
∴可算出AB的長。
（2）如果已知一個四棱柱的各棱長和一條對角線的長，并且以同一頂點為端點的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？
分析：如圖，設(shè)以頂點A為端點的對角線長為d，三條棱長分別為a,b,c,各棱間夾角為.
（3）如果已知一個四棱柱的各棱長都等a，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值嗎？
分析：二面角平面角向量的夾角回歸圖形
解：如圖，在平面AB1內(nèi)過A1作A1E⊥AB于點E，在平面AC內(nèi)作CF⊥AB于F。
∴可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值。
練習(xí)：
（1）如圖4，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長。
2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。
讓學(xué)生通過回顧尋找將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的步驟。

例1的圖形比較規(guī)范，容易把握，可以讓學(xué)生很好地體會向量解題的優(yōu)勢。
（dSBj1.COm 讀書筆記吧）

這是例題1的推廣，方法類似，學(xué)生進(jìn)一步體會.
及時進(jìn)行類比訓(xùn)練，鞏固所學(xué)方法和技能。

例2是關(guān)于角的有關(guān)問題，引導(dǎo)學(xué)生找到相應(yīng)的向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

三、小結(jié)1．用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。
2．面面距離點面距離向量的?；貧w圖形
二面角平面角向量的夾角回歸圖形
反思?xì)w納
四、作業(yè)課本P112第2、4題。

練習(xí)與測試：
（基礎(chǔ)題）
1．正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
答：C。
2．如圖，在棱長為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是、AD的中點。那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于（）
A．B．C．D．
答：B。
3，把正方形ABCD沿對角線AC折起,當(dāng)以A、B、C、D四點為頂點的棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為）
A．90°B．60°C，45°D．30°
答：C。
4，已知是兩條異面直線的公垂線段，，則所成的角為．
答：或。
（中等題）
5，一條線段夾在一個直二面角的兩個面內(nèi)，它和兩個面所成的角都是30°，
這條線段與這個二面角的棱所成的角為。
答：
6，棱長為4的正方體中，是正方形的中心，點在棱上，且．
（Ⅰ）求直線與平面所成的角的三角函數(shù)值；
（Ⅱ）設(shè)點在平面上的射影是，求證：．
解：（1）連BP，則角APB為直線與平面所成的角，
（2）
所以

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空間角的計算學(xué)案練習(xí)題

俗話說，磨刀不誤砍柴工。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以讓上課時的教學(xué)氛圍非?；钴S，幫助高中教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的高中教案呢？下面是小編為大家整理的“空間角的計算學(xué)案練習(xí)題”，但愿對您的學(xué)習(xí)工作帶來幫助。

§空間角的計算(一)
一、知識要點
1.用向量方法解決線線所成角；
2.用向量方法解決線面所成角。
二、典型例題
例1.如圖，在正方體中，點分別在，上，且，，求與所成角的余弦值。

例2.在正方體中，是的中點，點在上，且，求直線與平面所成角余弦值的大小。

三、鞏固練習(xí)
1.設(shè)分別是兩條異面直線的方向向量，且，則異面直線與所成角大小為；
2.在正方體，與平面所成角的大小為，與平面所成角大小為，與平面所成角的大小為；
3.平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影得夾角45°，平面內(nèi)一條直線和這條斜線在平面內(nèi)的射影夾角為45°，則斜線與平面內(nèi)這條直線所成角為；

四、小結(jié)

五、作業(yè)
1.平面的一條斜線和這個平面所成角的范圍為，兩條異面直線所成角的范圍為；
2.已知為兩條異面直線，，分別是它們的方向向量，則與所成角為；
3.已知向量是直線的方向向量是平面的法向量，則直線與平面所成角為；
4.正方體中，O為側(cè)面的中心，則與平面所成角的正弦值為；
5.長方體中，，點是線段的中點，則與平面所成角為；
6.已知平面相交于，，則直線與平面所成角的余弦值為；
7.如圖，內(nèi)接于的直徑，為的直徑，且，為中點，求異面直線與所成角的余弦值。

8.如圖，正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為。
求與側(cè)面所成角大小。

空間兩點間的距離

總課題空間直角坐標(biāo)系總課時第38課時
分課題空間兩點間的距離分課時第2課時
教學(xué)目標(biāo)通過具體到一般的過程，讓學(xué)生推導(dǎo)出空間兩點間的距離公式，通過類比方式得到兩點構(gòu)成的線段的中點公式．
重點難點空間兩點間的距離公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用．
引入新課
問題1．平面直角坐標(biāo)系中的許多公式能推廣到空間直角坐標(biāo)系中去嗎？

問題2．平面直角坐標(biāo)系中兩點間距離公式如何表示？
試猜想空間直角坐標(biāo)系中兩點的距離公式．

問題3．平面直角坐標(biāo)系中兩點，的線段的中點坐標(biāo)是什么？
空間中兩點，的線段的中點坐標(biāo)又是什么？

例題剖析
例1求空間兩點，間的距離．

例2平面上到坐標(biāo)原點的距離為的點的軌跡是單位圓，其方程為．
在空間中，到坐標(biāo)原點的距離為的點的軌跡是什么？試寫出它的軌跡方程．

例3證明以，，為頂點的是等腰三角形．
例4已知，，求：
（1）線段的中點和線段長度；
（2）到，兩點距離相等的點的坐標(biāo)滿足什么條件．

鞏固練習(xí)
1．已知空間中兩點和的距離為，求的值．

2．試解釋方程的幾何意義．

3．已知點，在軸上求一點，使．

4．已知平行四邊形的頂點，，．
求頂點的坐標(biāo)．

課堂小結(jié)
空間兩點間距離公式；空間兩點的中點的坐標(biāo)公式．
課后訓(xùn)練
一基礎(chǔ)題
1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知的頂點坐標(biāo)分別是，，
，則的形狀是．
2．若，，，則的中點到點的距離是．
3．點與點之間的距離是．
4．在軸上有一點，它與點之間的距離為，
則點的坐標(biāo)是．
二提高題
5．已知：空間三點，，，
求證：，，在同一條直線上．

6．（1）求點關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)；

（2）求點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點的坐標(biāo)；

（3）求點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)；

三能力題
7．已知點，的坐標(biāo)分別為，，
當(dāng)為何值時，的值最小．最小值為多少？
8．在平面內(nèi)的直線上確定一點，使到點的距離最?。?br>

空間兩點間的距離公式

2.3.2空間兩點間的距離公式
一、教學(xué)目標(biāo)：通過特殊到一般的情況推導(dǎo)出空間兩點間的距離公式
二、教學(xué)重點、難點
重點：空間兩點間的距離公式
難點：一般情況下，空間兩點間的距離公式的推導(dǎo)。
三、教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式
四、教學(xué)過程
由平面上兩點間的距離公式，引入空間兩點距離公式的猜想

先推導(dǎo)特殊情況下的空間兩點間的距離公式
推導(dǎo)一般情況下的空間兩點間的距離公式

問題問題設(shè)計意圖師生活動
在平面上任意兩點A，B之間距離的公式為|AB|=，那么對于空間中任意兩點A，B之間距離的公式會是怎樣呢？你猜猜？通過類比，充分發(fā)揮學(xué)生的聯(lián)想能力。師：、只需引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測，是否正確無關(guān)緊要。
生：踴躍回答
（2）空間中任意一點P到原點之間的距離公式會是怎樣呢？
[1]從特殊的情況入手，化解難度師：為了驗證一下同學(xué)們的猜想，我們來看比較特殊的情況，引導(dǎo)學(xué)生用勾股定理來完成
學(xué)生：在教師的指導(dǎo)下作答
得出

問題問題設(shè)計意圖師生活動
（3）如果是定長r,那么表示什么圖形？
任何知識的猜想都要建立在學(xué)生原有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以通過類比在平面直角坐標(biāo)系中，方程表示原點或圓，得到知識上的升華，提高學(xué)習(xí)的興趣。師：注意引導(dǎo)類比平面直角坐標(biāo)系中，方程表示的圖形，讓學(xué)生有種回歸感。
生：猜想說出理由

（4）如果是空間中任意一點到點之間的距離公式會是怎樣呢？
[2]人的認(rèn)知是從特殊情況到一般情況的
師生：一起推導(dǎo)，但是在推導(dǎo)的過程中要重視學(xué)生思路的引導(dǎo)。
得出結(jié)論：
五、教后反思：

空間角

題目第九章(B)直線、平面、簡單幾何體空間角
高考要求
1掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角的概念
2會求直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角
知識點歸納
1．異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，所成的角的大小與點的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）．為了簡便，點通常取在異面直線的一條上
異面直線所成的角的范圍：
2．求異面直線所成的角的方法：（1）幾何法；（2）向量法
3．直線和平面所成角
（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角
一直線垂直于平面，所成的角是直角
一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0角
直線和平面所成角范圍：0，
（2）定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角
4．公式：平面的斜線a與內(nèi)一直線b相交成θ角，且a與相交成1角，a在上的射影c與b相交成2角，則有
5二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面若棱為，兩個面分別為的二面角記為；
6．二面角的平面角：
（1）過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角
（2）一個平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角
說明：①二面角的平面角范圍是；
②二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直
7．二面角的求法：⑴幾何法；⑵向量法
8求二面角的射影公式：，
其中各個符號的含義是：是二面角的一個面內(nèi)圖形F的面積，是圖形F在二面角的另一個面內(nèi)的射影，是二面角的大小
9．三種空間角的向量法計算公式：
⑴異面直線所成的角：；
⑵直線與平面(法向量)所成的角：；
⑶銳二面角：，其中為兩個面的法向量
題型講解
例1直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
解法一：(幾何法)如圖，連結(jié)D1F1，
則D1F1
BC∴D1F1
設(shè)點E為BC中點
∴D1F1BEEF1
∴∠EF1A或補角即為所求
由余弦定理可求得cos∠EF1A=．
解法二：(向量法)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)BC=1
則A（－1，0，0），F(xiàn)1（－，0，1），
B（0，－1，0），D1（－，－，1）
即=（，0，1），=（－，，1）
∴cos，=
點評：解法一與解法二從兩個不同角度求異面直線所成的角．解法一體現(xiàn)傳統(tǒng)方法作—證—算；解法二把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運算，應(yīng)注意體會兩種方法的特點．
例2在正四面體ABCD中，E為AD的中點，求直線CE與平面BCD成的角．
分析:求線面角的關(guān)鍵在于找出斜線在平面內(nèi)的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面內(nèi)作交線的垂線，線面角即可作出，然后轉(zhuǎn)化到三角形中求解．
解法一:取BC的中點F，連結(jié)AF、DF
∵正四面體ABCD
∴BC⊥AF，BC⊥DF
∴BC⊥面AFD，
而BC平面BCD
∴面AFD⊥面BCD
過E作EH⊥DF于H，
而DF平面BCD，則EH⊥面BCD
則∠ECH為CE與面BCD所成的角．
在Rt△CEH中，sin∠ECH=．
即CE與平面BCD成的角為arcsin．
解法二：如圖建立以三角形BCD的中心O為原點，,OD,OA依次為y軸，z軸X軸平行于BC
設(shè)正四面體ABCD的棱長為，
則
∴
∵E為AD的中點，∴
∴
又因為平面BCD的法向量為，
∴即CE與平面BCD成的角滿足：
點評：求線面角的兩種方法
例3如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E為D1C1的中點，求二面角E—BD—C的正切值．
解法一：∵ABCD—A1B1C1D1是長方體，
∴作EF⊥面BCD，而E為的中點，則F為CD的中點，過F作FM⊥BD交BD于M，連EM，由三垂線定理知EM⊥BD，
∴∠EMF就是二面角E—BD—C的平面角，〕又∵AB＝2，BB1＝BC＝1，EF＝1，
FM＝1×＝
∴tan∠EMF＝．
解法二：∵S△BDF＝S△EBDcosθ
而S△BDF＝BDFM＝＝，
又BD＝，ED＝，BE＝
∴ED2+BE2＝BD2
∴DE⊥EB故S△EBD＝EDEB＝
∴cosθ＝；tanθ＝．
解法三：過E作棱BD的垂線EM交BD于M，過C點作棱BD的垂線CN交BD于N，E、C是異面直線EM、CN上兩點，CE＝．EM＝，
而FM⊥BD，CN⊥BD，F(xiàn)為CD中點，
∴MN＝DM＝
∴2＝cosθ
cosθ＝，tanθ＝．
解法四：如圖，建立坐標(biāo)系，則D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)
設(shè)平面DBE的方程為：（過原點D=0）
則
∴平面DBE的一個法向量為
又因為平面BCD的一個法向量為
二面角E—BD—C的余弦值為：
∴
點評：選此題意在通過此題使學(xué)生掌握二面角平面角的作法及求法．即三垂線定理及逆定理法，投影法，利用異面直線上兩點間的距離公式法．
例4正方體ABCD-EFGH的棱長為a，點P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,
⑴求直線PQ與平面ABCD所成的角的正切值；
⑵求直線PQ與AD所成的角
分析：（1）先作出PQ在面ABCD內(nèi)的射影，由于面BFGC⊥面ABCD，作QM⊥BC于M，則MP就是QP在面ABCD內(nèi)的射影，∠QPM就是要求的角，也可以先求出面ABCD的法向量與的角，然后再求它的余角即得
（2）（向量法）解：建立坐標(biāo)系后，求出
可由cos求解，
解（1）作QM⊥BC于M，連MP，則∠QMP就是直線PQ與平面ABCD所成的角則易得：QM=，MP=（1-
tan∠QPM=
（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則
Q（0，P（
A（a,0,0）,D(a,a,0),
,=(0,a,0)
QP與AD所成的角為90°
例5如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值
分析：此題中二面角的棱沒有畫出，按常規(guī)解可延長BA，CD相交于E，則SE是二面角的棱，因為DA⊥面ABS，過點A作SE的垂線交SE于F，連結(jié)DF，則∠ADF就是所求二面角的平面角
若用向量法求解，就是要求兩個面的法向量所成的角或補角
解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知D（，C（1，1，0），
S（0，0，1），可知是面SAB的法向量
設(shè)平面SCD的法向量=（x，y，z）
=0，
可推出令x=2,則有y=-1,z=1,=（2，-1，1）
設(shè)所求二面角的大小為θ，則
cosθ==
,tan
例6已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD
（1）證明：C1C⊥BD；
（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD請給出證明
證明：如設(shè)∠C1CB=θ，由題設(shè)，∠C1CD=∠BCD=θ令=，=，=，||=1，||=x，因為四邊形ABCD為菱形，所以||=1，
（1）∵-
∴=(-)=-
=1xcosθ-1xcosθ=0
∴C1C⊥BD
（2）假設(shè)A1C⊥平面C1BD成立
則A1C⊥C1D，從而=0
由于=-，=++
因此
=(++)(-)
=2++-c--2
=2++-2=1+11cosθ-1xcosθ-x2
=（1-x）(1+x+cosθ)
從而(1-x)(1+x+cosθ)=0
由于1+x+cosθ＞0，因此，x=1
也就是說時，A1C⊥平面C1BD成立
點評：平行六面體的12條棱共分三組，每組四條棱兩兩平行，故可取共頂點的三條棱作為空間向量的基底，此題中，，三個共點向量為基底，其余向量可由此三個向量生成
小結(jié)：
空間角的求解有兩種方法一種是幾何法，另一種是向量法．
1．幾何法一般要有三個步驟．
（1）作圖：如上例中作出二面角的平面角及題中涉及的有關(guān)圖形等；
（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的；
（3）計算：在證明的基礎(chǔ)上計算得出結(jié)果．
2．向量法是把求角的問題轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角．這里平面的法向量常用待定系數(shù)法求解，平面的法向量是關(guān)鍵．
學(xué)生練習(xí)
1．異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點，則過P點且與a、b所成的角都是30°的直線有（）
A．1條B．2條C．3條D．4條
解析：將a、b平移到點P，則過P與a、b所成的角都是30°的直線為2條．
答案：B
2．平面α的斜線與α所成的角為30°，則此斜線和α內(nèi)所有不過斜足的直線中所成的角的最大值為（）
A．30°B．60°C．90°D．150°
解析：本題易誤選D，因斜線和α內(nèi)所有不過斜足的直線為異面直線，故最大角為90°．
答案：C
3．在邊長為a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝a，這時二面角B—AD—C的大小為（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
解析：折起后△BCD為正三角形．
答案：C
4．四面體ABCD中，E、F分別是AC、BD的中點，若CD=2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
解析：取AD中點G，連結(jié)EG、GF，則GECD，GE=AB
∵CD=2AB∴GE=2GF，∵EF⊥AB，∴EF⊥GF．
∴∠GEF=30°
答案：A
5．在正方體A—C1中，E、F分別為D1C1與AB的中點，則A1B1與截面A1ECF所成的角為（）
A．a(chǎn)rctanB．a(chǎn)rccosC．a(chǎn)rcsinD．都不對
解：（向量法）建立以D為原點，DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的坐標(biāo)系，設(shè)棱長為1
設(shè)平面A1FCE的法向量=（x，y，z）,則=0，=0
∵=（－1，，0），=（0，－，1）
∴,令y=2,∴=（1，2，1）
又∵=（0，1，0）∴cos,=
∴A1B1與平面A1FCE成的角為arcsin答案：A
6．一條直線與直二面角的兩個面所成的角分別是α和β，則α＋β的范圍是_____．
解：設(shè)A、B分別為平面M、N內(nèi)任一點，過A、B分別作AC⊥，BD⊥垂足為C、D．則∠BAD=α，∠ABC=β,α+β≤α+∠ABD=90°
又∵α+β≥0°,∴α+β∈[0°，90°]
答案：[0°，90°]
7．在平面角為銳角的二面角α—EF—β中，A∈EF，AGα，∠GAE＝45°，若AG與β所成角為30°，則二面角α—EF—β的平面角為______．
答案：45°
8．二面角α——β的平面角為120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB＝AC＝BD＝，則CD的長為．
解析：∵，AC⊥，BD⊥．AB∈．
∴，
∴
答案：2
9．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（－2，3），B（3，－2），沿x軸把直角坐標(biāo)平面折成大小為θ的二面角后，｜AB｜＝4，則θ的值為．
答案：60°

課前后備注