一元二次方程高中教案
發(fā)表時間：2020-10-06七年級數(shù)學(xué)上建立一元一次方程模型教案(湘教版)。
第3章一元一次方程3.1建立一元一次方程模型
【教學(xué)目標(biāo)】
知識與技能
1.理解一元一次方程及解的概念.
2.建立實際問題的方程模型,運用一元一次方程分析和解決實際問題.
過程與方法
通過學(xué)生觀察、獨立思考等過程,培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括的能力.
情感態(tài)度
培養(yǎng)學(xué)生由算術(shù)解法過渡到代數(shù)解法解方程的基本能力,滲透化未知為已知的重要數(shù)學(xué)思想.
教學(xué)重點
體會方程模型的重要性,了解一元一次方程的概念.
教學(xué)難點
正確理解方程作為實際問題的數(shù)學(xué)模型的作用.
【教學(xué)過程】
一、情景導(dǎo)入,初步認(rèn)知
在小學(xué)算術(shù)中,我們學(xué)習(xí)了用算術(shù)方法解決實際問題的有關(guān)知識,那么,一個實際問題能否應(yīng)用方程來解決呢?若能解決,怎樣解?用方程解應(yīng)用題與用算術(shù)方法解應(yīng)用題相比較,它有什么優(yōu)越性呢?
為了回答上述這幾個問題,我們先來了解一下方程.
【教學(xué)說明】引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)學(xué)生的求知欲.
二、思考探究,獲取新知
1.請你表示出下面兩個問題中的等量關(guān)系.
(1)如圖,甲、乙兩站的高速鐵路長1068km,“和諧號”高速列車從甲站開出2.5h后,離乙站還有318km,該高速列車的平均速度是多少?
(2)如圖,這是一個長方體形的包裝盒,長為1.2m,高為1m,表面積為6.8m2,這個包裝盒的底面寬是多少?
問題(1)的等量關(guān)系是:已行駛的路程+剩余的路程=全長.設(shè)高速列車的平均速度是xkm/h,我們可以用含x的式子表示上述等量關(guān)系,即2.5x+318=1068.
問題(2)的等量關(guān)系是:底面積+側(cè)面積=表面積.若設(shè)包裝盒的底面寬是ym,則等量關(guān)系可表示為:1.2×y×2+y×1×2+1.2×1×2=6.8,即:2.4y+2y+2.4=6.8.
【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生分析問題,用文字表示題目中的等量關(guān)系式.再根據(jù)等量關(guān)系式列出式子.
2.觀察所列出的兩個等式,它們有什么共同特征?
【歸納結(jié)論】我們把含有未知數(shù)的等式叫做方程.
像上面這樣,把所要求的量用字母x(y……)表示,根據(jù)問題中的等量關(guān)系列出方程,這一過程叫做建立方程.
3.思考:對于2.5x+318=1068,2.4y+2y+2.4=6.8方程,有幾個未知數(shù),每個未知數(shù)的次數(shù)是多少?
【教學(xué)說明】組織學(xué)生進行全班交流,得出以上方程的特點是:(1)方程中不含分母或分母中不含未知數(shù);(2)只含有一個未知數(shù);(3)未知數(shù)的指數(shù)都是1.
【歸納結(jié)論】只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程.
4.方程的解.
在方程x+5=8中,當(dāng)x=3時,方程兩邊的值相等,我們就說x=3是方程x+5=8的解.
【歸納結(jié)論】能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.
【教學(xué)說明】了解方程的解的含義;判斷是否為方程的解的方法:將解帶入原方程,分別計算左邊和右邊,看是否相等,相等則為原方程的解.
三、運用新知,深化理解
1.教材P84例1.
2.下列方程中,是一元一次方程的是(B)
A.x2-4x=3B.x=0
C.x+2y=D.x-1=
3.下列方程中解是x=1的方程是(C)
A.2x-2=3xB.x+5=2x-4
C.3x-6=4x-7D.5x+2=4x-3
4.下列各數(shù)中是方程4x-5=7的解的是(B)
A.1B.3C.-3D.4
5.某品牌電飯煲成本價為x元,銷售商對其定價為350元,若按8折銷售仍可獲利15元,根據(jù)題意,下面所列方程正確的是(A)
A.350×0.8-x=15B.350×8-x=15
C.350×0.8=x-15D.350×8=x-15
6.以x=-3為解的方程是(D)
A.3x-7=2B.5x-2=-x
C.6x+8=-26D.x+7=4x+16
7.在下列方程中:①x+2y=3,②-3x=9,③=y+,④x=0,是一元一次方程的有③④(只填序號).
8.已知方程(m-2)x|m|-1+3=m-5是關(guān)于x的一元一次方程,則m=-2.
9.若方程(m2-1)x2-mx+8=x是關(guān)于x的一元一次方程,求代數(shù)式2006m-∣m-1∣的值.
解:由一元一次方程的定義可知:
m2-1=0
m=±1
當(dāng)m=1時,2006m-∣m-1∣=2006;
當(dāng)m=-1時,2006m-∣m-1∣=-2008.
10.檢驗下面方程后面括號內(nèi)所列各數(shù)是否為這個方程的解.
2(x+2)-5(1-2x)=-13,{x=-1,1}
解:將x=-1代入方程的兩邊得
左邊=2(-1+2)-5[1-2×(-1)]=-13
右邊=-13
因為左邊=右邊,所以x=-1是方程的解.
將x=1代入方程的兩邊得
左邊=2(1+2)-5(1-2×1)=11
右邊=-13
因為左邊≠右邊,所以x=1不是方程的解.
11.建立下列各問題中的方程模型.
(1)小明去商店買練習(xí)冊,回來后告訴同學(xué):“店主告訴我,如果多買些就可以享受8折優(yōu)惠,我就買了20本,結(jié)果總共便宜了1.6元,你猜原來每本練習(xí)冊的價格是多少元?”
解:設(shè)原來每本練習(xí)冊的價格為x元
20(1-80%)x=1.6
(2)張強與劉偉參加植樹活動,兩人共植樹75棵,其中張強比劉偉多植了15棵樹.那么劉偉植了多少棵樹?
解:設(shè)劉偉植了x棵,則可列方程
x+15+x=75
(3)甲隊有32人,乙隊有28人,現(xiàn)在從乙隊抽調(diào)一些人到甲隊,使甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的2倍.問應(yīng)該從乙隊抽調(diào)多少人?
解:設(shè)應(yīng)該從乙隊抽調(diào)x人.則可列方程
32+x=2×(28-x)
(4)某車間原計劃用13小時生產(chǎn)一批零件,后來每小時多生產(chǎn)10件,用了12小時,不但完成任務(wù),而且還多生產(chǎn)60件,問原計劃每小時生產(chǎn)多少個零件?
解:設(shè)原計劃每小時生產(chǎn)x個零件,則所列方程為
12(x+10)=13x+60
【教學(xué)說明】對本節(jié)知識進行鞏固練習(xí).
四、師生互動、課堂小結(jié)
先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進行總結(jié).教師作以補充.
【課后作業(yè)】
布置作業(yè):教材“習(xí)題3.1”中第2、3題.
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課題：3.1.1一元一次方程（2）教學(xué)目標(biāo)
①理解一元一次方程、方程的解等概念；
②掌握檢驗?zāi)硞€值是不是方程的解的方法；
③培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)間題尋找相等關(guān)系、根據(jù)相等關(guān)系列出方程的能力；
④體驗用估算方法尋求方程的解的過程，培養(yǎng)學(xué)生求實的態(tài)度。
教學(xué)重點
重點是尋找相等關(guān)系、列出方程．
教學(xué)難點
對于復(fù)雜一點的方程，用估算的方法尋求方程的解，需要多次的嘗試，也需要一定的估計能力
教學(xué)過程（師生活動）
設(shè)計理念
情境引入
問題：小雨、小思的年齡和是25.小雨年齡的2倍比小思的年齡大8歲，小雨、小思的年齡各是幾歲？
如果設(shè)小雨的年齡為x歲，你能用不同的方法表示小思的年齡嗎？
在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師加以引導(dǎo)：小思的年齡可以用兩個不同的式子25-x和2x-8來表示，這說明許多實際問題中的數(shù)量關(guān)系可以用含字母的式子來表示．
由于這兩個不同的式子表示的是同一個量，因此我們又
可以寫成：25-x=2x-8．這樣就得到了一個方程．
用學(xué)生身邊的實際問題作為引入，能有效地激
發(fā)學(xué)生的參與欲望．用不同的方法表示同一個量，可以自然地列出方程．
自主嘗試
①．嘗試：
讓學(xué)生嘗試解答教科書第67頁的例1。對于基礎(chǔ)比
較差的學(xué)生，教師可以作如下提示：
(1）選擇一個未知數(shù)，設(shè)為x，
(2）對于這三個問題，分別考慮：
用含x的式子表示這臺計算機的檢修時間；
用含x的式子分別表示長方形的長和寬；
用含x的式子分別表示男生和女生的人數(shù)．
(3)找一個問題中的相等關(guān)系列出方程．
②交流：
在學(xué)生基本完成解答的基礎(chǔ)上，請幾名學(xué)生匯報所列的方程，并解釋方程等號左右兩邊式子的含義．
③教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上作補充講解，并強調(diào)：
（1）方程等號兩邊表示的是同一個量；
(2)左右兩邊表示的方法不同．
簡單地說：列方程就是用兩種不同的方法表示同一個量．以第(1)題為例：方程左邊的式子1700＋150x”表示計算機已使用的時間加上后來可使用的時間，也就是規(guī)定的檢修時間．右邊的2450”也是規(guī)定檢修的時間．這樣就有“1700十150x=2450.
④討論：
問題1：在第(1)題中，你還能用兩種不同的方法來表示另一個量，再列出方程嗎？
讓學(xué)生在學(xué)習(xí)小組內(nèi)討論，然后分組匯報交流：
選“已使用的時間”可列方程：2450-150x=1700.
選“還可使用的時間”可列方程：150x=2450-1700.
問題2：在第(3)題中，你還能設(shè)其他的未知數(shù)為x嗎？
在學(xué)生獨立思考、小組討論的基礎(chǔ)上交流：
設(shè)這個學(xué)校的男生數(shù)為x，那么女生數(shù)為(x+80)，全校的學(xué)生數(shù)為(x+x+80).
列方程：x＋80=52％(x+x＋80)．
本環(huán)節(jié)采用“嘗試一交流一講評一討論”四個
步驟。
這幾個問題的提示教師可根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)靈活處理．
“解釋式子的含義”有必要，它可以培養(yǎng)學(xué)生的自查的習(xí)慣。
強調(diào)的目的在于抓住列方程的關(guān)鍵。
討論的目的在于突出重點，突破難點，同時培養(yǎng)學(xué)生的靈活性，也為后面的“移項”打下伏筆。
建立概念
①概念的建立．
讓學(xué)生在觀察上述方程的基礎(chǔ)上，教師進行歸納：各方程都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．
“一元”：一個未知數(shù)；“一次”：未知數(shù)的指數(shù)是一次．判斷下列方程是不是一元一次方程：
（1）23-x=一7：（2）2a-b=3
(3)y+3＝6y-9；（4）0.32m-(3＋0.02m)=0.7.
（5）x2＝1（6）
②引導(dǎo)學(xué)生歸納：
從上面的分析過程我們可以發(fā)現(xiàn)，用方程的方法來解決實際問題，一般要經(jīng)歷哪幾個步驟？在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師用方框表示：
實際問題
一元一次方程
設(shè)未知數(shù)列方程
分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實際問題的一種方法．
概念的建立要經(jīng)歷由感性到理性的過程，“判斷”的目的就是為了對概念進一步理解。
學(xué)生參與，滲透建立數(shù)學(xué)模型的思想。
估算求解
列出方程后，還必須解這個方程，求出未知數(shù)的值．對于簡單的方程，我們可以采用估算的方法．
①問題：你認(rèn)為該怎樣進行估算？
可以采用“嘗試—發(fā)現(xiàn)—歸納”的方法：讓學(xué)生嘗試后發(fā)現(xiàn)，要求出答案必須用一些具體的數(shù)值代入，看方程是否成立，最后教師進行歸納．
可以像教科書那樣用列表的方法進行嘗試，也可以像下面的示意圖那樣按程序進行嘗試．
②在此基礎(chǔ)上給出概念：能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解．求方程的解的過程，叫做解方程．
一般地，要檢驗?zāi)硞€值是不是方程的解，可以用這個值代替未知數(shù)代人方程，看方程左右兩邊的值是否相等．
估算是一種重要的方法，應(yīng)引起重視。
課堂練習(xí)
練習(xí)教科書第69頁中練習(xí)
小結(jié)與作業(yè)
課堂小結(jié)
著重引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個方面進行歸納：
①這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？
②用列方程的方法解決實際問題的一般思路是什么？
③列方程的實質(zhì)就是用兩種不同的方法來表示同一個量．
④估算是一種重要的方法．
思考：教科書第69頁中的“思考”．（不一定讓學(xué)生估算出方程的解，目的是體驗用估算的方法有時會很麻煩）
對于較復(fù)雜的方程，用估算的辦法一時很難求出方程的解，只須讓學(xué)生有所體驗即可。
本課作業(yè)
①必做題：教科書第73頁習(xí)題2.1第2,6,7,8題·
②選做題：教科書第74頁習(xí)題2.1第11題．
③備選題：
（1）x=3是下列哪個方程的解？（）
A.3x-1-9=0B.x=10-4x
C.x(x-2)＝3D.2x-7＝12
（2）方程的解是（）
A.－3.B－C.12D.－12
（3）已知x－5與2x－4的值互為相反數(shù)，列出關(guān)于x的方程．
(4)某班開展為貧困山區(qū)學(xué)校捐書活動，捐的書比平均每人捐3本多21本，比平均每人捐4本少27本，求這個班，有多少名學(xué)生？如果設(shè)這個班有x名學(xué)生，請列出關(guān)于x的方程．
本課教育評注（課堂設(shè)計理念，實際教學(xué)效果及改進設(shè)想）
學(xué)生要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，是經(jīng)過前人的篩選和整理了的，但對于他們來說仍是全新的、未知的．這就需要教師通過對學(xué)習(xí)內(nèi)容的重新設(shè)計，啟發(fā)學(xué)生去思考，引導(dǎo)學(xué)生去探究，使學(xué)生在一定的條件下，經(jīng)過自身的學(xué)習(xí)活動，把新的知識納人原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進行重組、整合，構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．這就是建構(gòu)主義的教學(xué)觀．本教學(xué)設(shè)計在這方面力求得到體現(xiàn)．另外還體現(xiàn)了以下幾個特點：
①符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．本設(shè)計以學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)問題引人，然后采用先嘗試的方法學(xué)習(xí)例1的內(nèi)容．對于概念的建立采用從具體到抽象、從理論到實踐的過程，對于方法的探索采用從特殊到一般的思想．、
②體現(xiàn)了自主學(xué)習(xí)、合作交流的新課程理念．對于例題的處理，改變了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，采用了“嘗試—交流—講評—討論”的方式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性、參與性．對于用估算的方法求方程的解時，同樣采用了“嘗試—發(fā)現(xiàn)—歸納”的方式．
③重視算法算理的滲透也是新課程的一個特點．本設(shè)計一開始就讓學(xué)生用兩種不同的方式來表示同一個量，在一步一步的學(xué)習(xí)中，逐步體現(xiàn)“列方程就是用兩種不同的方式來表示同一個量”的觀點．在用估算的方法求方程的解時，體現(xiàn)了用具體的數(shù)值代入檢驗的方法．
七年級數(shù)學(xué)上冊《一元一次方程模型與算法》知識點匯總湘教版
七年級數(shù)學(xué)上冊《一元一次方程模型與算法》知識點匯總湘教版
1、（1）方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程．
方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點①等式；②含有未知數(shù)．
（2）列方程的步驟：
①設(shè)出字母所表示的未知數(shù)；
②找出問題中的相等關(guān)系；
③列出含有未知數(shù)的等式----方程．
2、（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．
注意：方程的解和解方程是兩個不同的概念，方程的解是指使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，具有名詞性．而解方程是求方程解的過程，具有動詞性．
（2）規(guī)律方法總結(jié)：
無論是給出方程的解求其中字母系數(shù)，還有判斷某數(shù)是否為方程的解，這兩個方向的問題，一般都采用代入計算是方法．
3、（1）等式的性質(zhì)
性質(zhì)1、等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；
性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．
（2）利用等式的性質(zhì)解方程
利用等式的性質(zhì)對方程進行變形，使方程的形式向x=a的形式轉(zhuǎn)化．
應(yīng)用時要注意把握兩關(guān)：
①怎樣變形；
②依據(jù)哪一條，變形時只有做到步步有據(jù)，才能保證是正確的．
4、（1）一元一次方程的定義
只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．
（2）一元一次方程定義的應(yīng)用（如是否是一元一次方程，從而確定一些待定字母的值）
這類題目要嚴(yán)格按照定義中的幾個關(guān)鍵詞去分析，考慮問題需準(zhǔn)確，全面．求方程中字母系數(shù)的值一般采用把方程的解代入計算的方法．
5、定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．
6、（1）解一元一次方程的一般步驟：
去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化．
（2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號外的項在乘括號內(nèi)各項后能消去分母，就先去括號．
（3）在解類似于“ax+bx=c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）x=c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax=b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax=b系數(shù)化為1時，要準(zhǔn)確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分?jǐn)?shù)時；二要準(zhǔn)確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負(fù)．
7、解含絕對值符號的一元一次方程要根據(jù)絕對值的性質(zhì)和絕對值符號內(nèi)代數(shù)式的值分情況討論，即去掉絕對值符號得到一般形式的一元一次方程，再求解．
例如：解方程|x|=2
解：去掉絕對值符號x=2或-x=2
方程的解為x1=2或x2=-2．
8、定義：如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程．
（或者說，如果第一個方程的解都是第二個方程的解，并且第二個方程的解也都是第一個方程的解，那么這兩個方程叫做同解方程．）
9、審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程．
（1）“總量=各部分量的和”是列方程解應(yīng)用題中一個基本的關(guān)系式，在這一類問題中，表示出各部分的量和總量，然后利用它們之間的等量關(guān)系列方程．
（2）“表示同一個量的不同式子相等”是列方程解應(yīng)用題中的一個基本相等關(guān)系，也是列方程的一種基本方法．通過對同一個量從不同的角度用不同的式子表示，進而列出方程．
10、（一）、一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=利潤進價×100%）；（4）工程問題（①工作量=人均效率×人數(shù)×?xí)r間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量）；（5）行程問題（路程=速度×?xí)r間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）．
（二）、利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．
七年級數(shù)學(xué)上一元一次方程專題復(fù)習(xí)(浙教版)
期中期末串講--一元一次方程
易考點、易考題型梳理
一元一次方程
一元一次方程的解法
題一：下列方程的解法對不對？如果不對，錯在哪里？應(yīng)怎樣改正？
解方程：
解：去分母，得2(x－1)－3(x+2)=1
去括號，得4x－1－3x+6=1
移項，合并同類項，得x=4
列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟
1．審題；2．設(shè)元；3．列方程；4．解方程；5．檢驗；6．答題．
常見應(yīng)用問題：
1．和、差、倍、分問題；2．行程問題；3．工程問題；4．?dāng)?shù)字問題；5．市場經(jīng)濟問題；
6．儲蓄問題；7．盈虧問題；8．配套問題；9．圖表問題；10．幾何問題．
題二：預(yù)計高速列車在北京、天津間單程直達運行時間為半小時．某次試車時，試驗列車由北京到天津的行駛時間比預(yù)計時間多用了6分鐘，由天津返回北京的行駛時間與預(yù)計時間相同．如果這次試車時，由天津返回北京比去天津時平均每小時多行駛40千米，那么這次試車時由北京到天津的平均速度是每小時多少千米？
滿分沖刺
題一：解方程：
(1)；(2)．
題二：某商場經(jīng)銷一種商品，由于進貨時價格比原進價降低了6.4％，使得利潤增加了8個百分點，求經(jīng)銷這種商品原來的利潤率．
期中期末串講--一元一次方程
講義參考答案
易考點、易考題型梳理
題一：去分母，得2(x－1)－3(x+2)=6
去括號，得4x－2－3x－6=6
移項，合并同類項，得x=14
題二：200．
滿分沖刺
題一：；42．題二：17%．
