高中等差數(shù)列的教案

遞推數(shù)列中的通項(xiàng)公式。

課時25遞推數(shù)列中的通項(xiàng)公式
【教學(xué)目標(biāo)】1．掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系，并能由數(shù)列前n項(xiàng)和求出通項(xiàng)公
式；能解決簡單的由遞推關(guān)系給出的數(shù)列；
2．掌握一些常見數(shù)列綜合問題的求解方法；
【知識點(diǎn)】
1、和的關(guān)系
⑴；⑵。
2、由遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式

【典型例題】
【例1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足，求an

【例2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足，，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

【例3】⑴若數(shù)列滿足，，求。
⑵已知，（）求an
(3)已知數(shù)列中，，，求。
（WWW.SxW9.Com 實(shí)習(xí)報(bào)告網(wǎng)）

【例4】(1)在數(shù)列中，，，求。
(2)數(shù)列中，，求。
(3)已知，，且，求an

【例5】(1)設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的正數(shù)數(shù)列，且，求。(2)設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且,求an

【例7】（1）已知數(shù)列{an}中，，求an
（2）已知數(shù)列{an}中，，求an
(3)已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，求

【例8】數(shù)列{an}前n項(xiàng)和是Sn，且，(n=1，2，3，…，
求：(1)a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)的值。

例9．?dāng)?shù)列中，，前項(xiàng)和為，且，，求。

【作業(yè)】
1、如果數(shù)列的前n項(xiàng)和，an=_________
2、數(shù)列{an}滿足：，則an=_________
3、已知a1=－,(n∈N*,n≥2),則an=_________
4、數(shù)列中，，則________
5、數(shù)列{an}中，a1=1,a2=,且n≥2時，有=,則=
6、數(shù)列滿足：，則=
7、數(shù)列中，，，則=

8、已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為

9、等差數(shù)列中，，則________
10、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，求證：（1）數(shù)列是G.P；（2）。

11、數(shù)列中
（1）求數(shù)列前n項(xiàng)的和（2）設(shè)Sn=，求Sn

12、設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和是Sn=2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1=b1，b2(a2－a1)=b1（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn。

【典型錯誤及原因分析】

擴(kuò)展閱讀

數(shù)列的遞推公式（選學(xué)）教案

教學(xué)設(shè)計(jì)
2．1.2數(shù)列的遞推公式(選學(xué))
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)作為選學(xué)內(nèi)容，課標(biāo)對遞推公式?jīng)]有明確要求．考慮到它在認(rèn)識數(shù)列中的作用，教材把它單列一節(jié)作為選學(xué)．實(shí)際上，遞推公式作為數(shù)列的一種表示方法，有其獨(dú)特的作用，高考試卷中常常見到它的蹤影，因此，教學(xué)中還是把它作為必學(xué)內(nèi)容對待為好．
數(shù)列作為刻畫自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，教材意圖是用函數(shù)的觀點(diǎn)和遞推的觀點(diǎn)理解數(shù)列．同上節(jié)一樣本節(jié)也是通過一些例子及章頭前言中的事例來引入遞推公式．并通過例題，讓學(xué)生明確數(shù)列的遞推公式應(yīng)包括數(shù)列的首項(xiàng)和公式本身．沒有首項(xiàng)，就沒有遞推的基礎(chǔ)，沒有遞推公式則無法向后延續(xù)．讓學(xué)生體會，給出首項(xiàng)和遞推公式，就可唯一確定一個數(shù)列．
數(shù)列的遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法，它與數(shù)列的通項(xiàng)公式緊密相連，但作為開始認(rèn)識數(shù)列，本節(jié)不宜過分拓展，加大難度，僅限于理解遞推公式的定義，并能用數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式寫出數(shù)列的后續(xù)各項(xiàng)即可．
三維目標(biāo)
1．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，理解數(shù)列遞推公式的意義，理解遞推公式與通項(xiàng)公式的異同．會根據(jù)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式寫出數(shù)列的后續(xù)各項(xiàng)．
2．通過探究、交流、觀察、分析等教學(xué)方式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，并通過思考與討論本章章頭左圖中的說明，體會數(shù)學(xué)來源于生活．
3．通過對數(shù)列遞推公式的探究，培養(yǎng)學(xué)生動手試驗(yàn)，大膽猜想的優(yōu)秀品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生對科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：理解用遞推公式定義數(shù)列的方法；能用遞推公式和首項(xiàng)寫出數(shù)列的后續(xù)各項(xiàng)．
教學(xué)難點(diǎn)：利用數(shù)列的遞推公式和首項(xiàng)，猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式．
課時安排
1課時
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(章頭圖引入)讓學(xué)生觀察章頭圖中左圖兔子的繁殖情況．假設(shè)每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子發(fā)生死亡的情況，這樣每個月兔子的對數(shù)，依次可以排成一個數(shù)列，你能把這個數(shù)列的每一項(xiàng)(第一項(xiàng)除外)用前一項(xiàng)表示出來嗎？由此展開新課的探究．
思路2.(直接引入)我們知道數(shù)列1,2,3,4，…可用通項(xiàng)公式an＝n表示．容易發(fā)現(xiàn)，這個數(shù)列從第2項(xiàng)起的任一項(xiàng)都可用它的前一項(xiàng)表示出來，即an＝an－1＋1(n≥2)，這就是數(shù)列的另一種表示方法，也就是今天我們探究的主要內(nèi)容：遞推公式．由此展開探究．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
(1)多媒體演示圖1，是工廠生產(chǎn)的鋼管堆放示意圖，你能寫出它的一個通項(xiàng)公式嗎？你能找出它的相鄰兩層之間的關(guān)系嗎？
(2)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n.從第2項(xiàng)起，它的任一項(xiàng)與它相鄰的前一項(xiàng)有什么關(guān)系？章頭數(shù)列3，1coscoscos…從第2項(xiàng)起，它的任一項(xiàng)與它相鄰的前一項(xiàng)有什么關(guān)系呢？
(3)怎樣理解遞推公式？若已知數(shù)列an＝2an－1＋1，你能寫出這個數(shù)列嗎？為什么？
活動：教師用多媒體演示工廠生產(chǎn)的鋼管堆放示意圖．引導(dǎo)學(xué)生觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數(shù)學(xué)模型．由學(xué)生合作探究，必要時教師給予點(diǎn)撥．
模型一：自上而下
第1層鋼管數(shù)為4，即1?4＝1＋3；
第2層鋼管數(shù)為5，即2?5＝2＋3；
第3層鋼管數(shù)為6，即3?6＝3＋3；
第4層鋼管數(shù)為7，即4?7＝4＋3；
第5層鋼管數(shù)為8，即5?8＝5＋3；
第6層鋼管數(shù)為9，即6?9＝6＋3；
第7層鋼管數(shù)為10，即7?10＝7＋3.
若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且an＝n＋3(1≤n≤7)．
模型二：上下層之間的關(guān)系
自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1，
即a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1.
依此類推：an＝an－1＋1(2≤n≤7)．
在教師的引導(dǎo)點(diǎn)撥下，學(xué)生最終能得到以上兩種數(shù)學(xué)模型，教師適時給以點(diǎn)評．首先表揚(yáng)學(xué)生的這種探究問題的精神，不怕困難敢于鉆研，而且推得兩個很重要的結(jié)論．對于推得的an＝n＋3，只要將n的具體值代入，我們就會很快地求出某一層的鋼管數(shù)．因?yàn)檫@一關(guān)系反映了每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律，這會給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來很大方便，這是由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，是非常正確和成功的．對于推得an＝an－1＋1(2≤n≤7且n∈N*)的同學(xué)就更值得表揚(yáng)，因?yàn)檫@是我們沒有見過的，這就是創(chuàng)新，這就是聰明智慧的閃現(xiàn)．這個關(guān)系式說明：只要知道a1，則以后的每一項(xiàng)都等于它的前項(xiàng)加1，這樣就可以求出第二項(xiàng)，以此類推即可求出其他項(xiàng)．這就是我們今天要探究的一個重點(diǎn)內(nèi)容，也就是數(shù)列的另一種表示法，遞推公式法．我們把數(shù)列中具有這種遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式．遞推公式很重要，顯然教材上涉及的內(nèi)容不多，但在每年的高考卷上都有所體現(xiàn)，應(yīng)引起注意．下一節(jié)要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列就是最簡單的遞推數(shù)列．
引導(dǎo)學(xué)生給遞推公式這樣下定義：通過給出數(shù)列的第一項(xiàng)(或前若干項(xiàng))，并給出數(shù)列的某一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前若干項(xiàng))的關(guān)系式來表示數(shù)列，這種表示數(shù)列的式子叫做這個數(shù)列的遞推公式．
注意：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法．如下列數(shù)字排列的一個數(shù)列：3,5,8,13,21,34,55,89，遞推公式為a1＝3，a2＝5，an＝an－1＋an－2(3≤n≤8)．掌握遞推公式的關(guān)鍵一點(diǎn)是把握其中的遞推關(guān)系，應(yīng)特別注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系中前項(xiàng)和后項(xiàng)，或前、后幾項(xiàng)之間的關(guān)系．
有了以上探究活動，學(xué)生很容易探究出問題(2)(3)，至此，學(xué)生對數(shù)列的表示方法有了全面的理解，為數(shù)列的后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．
討論結(jié)果：
(1)略
(2)a1＝2，an＝2an－1(n＝2,3,4，…)；
數(shù)列3，a1＝1，an＝cos(an－1)(n＝2,3,4，…)．
(3)遞推公式包括已知的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))才能寫出這個數(shù)列的后續(xù)各項(xiàng)．前者是遞推的基礎(chǔ)，后者是遞推的延續(xù)．因此僅知an＝2an－1＋1無法寫出這個數(shù)列的各項(xiàng)．
應(yīng)用示例
例1已知a1＝2，an＋1＝2an，寫出前5項(xiàng)，并猜想an.
活動：根據(jù)a1＝2及an＋1＝2an，學(xué)生很容易求出前5項(xiàng)，分別是2,4,8,16,32.由觀察可猜想an＝2n，這種解法在選擇題或填空題中是非常有效的，但若改為求an，這種解法則是不完整的．
由anan－1＝2，可得到以下解法：
anan－1×an－1an－2×an－2an－3×…×a2a1＝ana1＝2n－1，
∴an＝2n.
解：∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴a2＝2×a1＝4，
a3＝2×a2＝8，
a4＝2×a3＝16，
a5＝2×a4＝32.
∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，
∴猜想an＝2n.
變式訓(xùn)練
已知a1＝2，an＋1＝an－4，求an.
解：由an＋1－an＝－4依次向下寫，一直到第一項(xiàng)，然后將它們加起來，
an－an－1＝－4
an－1－an－2＝－4
an－2－an－3＝－4
……
＋a2－a1＝－4an－a1＝－4n－1
∴an＝2－4(n－1)．

例2(教材本節(jié)例1)
活動：本例由學(xué)生自己完成，并通過本例邊注中的提問，讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)列兩種表示方法的特色，用遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)后，引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納并猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式，雖有一定難度，但學(xué)生應(yīng)有這個能力．教師可引導(dǎo)學(xué)生分析，如果不代入a1的值，由依次計(jì)算的結(jié)果可能更容易看到an與n的函數(shù)關(guān)系：
a2＝a11－a1；a3＝a11－2a1，a4＝a11－3a1，a5＝a11－4a1，…，an＝a11－n－1a1＝23－2n.
變式訓(xùn)練
已知數(shù)列{an}的遞推公式是an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3.
求：(1)a5；
(2)127是這個數(shù)列中的第幾項(xiàng)？
解：(1)∵a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，
∴a3＝3a2－2a1＝7，
a4＝3a3－2a2＝15，
a5＝3a4－2a3＝31.
(2)由遞推公式，可得a6＝3a5－2a4＝63，a7＝3a6－2a5＝127，
∴127是此數(shù)列的第7項(xiàng)．

例3(教材本節(jié)例2)
活動：本例為數(shù)列這一大節(jié)的最后一個教材例題，具有一定的綜合性，難度較大．要求學(xué)生有較堅(jiān)實(shí)的數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)和解題能力．這種解題的綜合能力，要努力去訓(xùn)練，學(xué)生才能掌握．具體講解時，可把P1，P2，P3的坐標(biāo)都寫出來讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)an與an＋1間的關(guān)系．
變式訓(xùn)練
在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，則an等于()
A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnnD．1＋n＋lnn
答案：A
解析：方法一，由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；由a3＝a2＋ln(1＋12)＝2＋ln3，排除B.故選A.
方法二，由已知，an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，
∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，
…
a2－a1＝ln21，
將以上n－1個式子累加得
an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21
＝ln(nn－1n－1n－2…21)＝lnn，
∴an＝2＋lnn.

例4如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽，會徽的主體圖案是由如圖乙所示的一連串直角三角形演化而成，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，記OA1，OA2，OA3，…，OA7，OA8的長度所在的數(shù)列為{ln}(n∈N*,1≤n≤8)．
甲
乙

(1)寫出數(shù)列的前4項(xiàng)；
(2)寫出數(shù)列{ln}的一個遞推關(guān)系式；
(3)求{ln}的通項(xiàng)公式；
(4)如果把圖中的三角形繼續(xù)作下去，那么OA9，OA2007的長度分別是多少？
活動：本例雖然題干看起來很繁雜，但難度并不大，可讓學(xué)生獨(dú)立探究解決，學(xué)生充分理解題意后會很快完成第(1)問，關(guān)于遞推公式，教師可點(diǎn)撥學(xué)生遞推公式的關(guān)鍵是遞推關(guān)系，也就是前項(xiàng)和后項(xiàng)的關(guān)系，這是遞推公式的核心所在．教師可借此進(jìn)一步向?qū)W生點(diǎn)撥：①數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項(xiàng)的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無初始值，那么這個數(shù)列是不能確定的．
②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，由遞推公式可能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可能求不出通項(xiàng)公式．
解：(1)l1＝OA1＝1，l2＝OA2＝2，l3＝OA3＝3，l4＝OA4＝2.
(2)通過觀察圖形，可知：OAn＋1，OAn,1組成直角三角形，而OAn＋1＝ln＋1，OAn＝ln.
∴由勾股定理可得l2n＋1＝l2n＋1(n∈N*,1≤n≤8)．
(3)ln＝n.
(4)OA9＝l9＝3，OA2007＝2007＝3223.
點(diǎn)評：遞推關(guān)系在教材上的要求并不高，僅是明了遞推公式是數(shù)列的一種表示方法，并能根據(jù)給出的數(shù)列遞推公式寫出其中的幾項(xiàng)，對繁難復(fù)雜的遞推公式，如3項(xiàng)或2項(xiàng)以上的遞推公式不作要求．
知能訓(xùn)練
1．若數(shù)列{an}前n項(xiàng)的值各異，且an＋8＝an對任意的n∈N*都成立，則下列數(shù)列中可取遍{an}的前8項(xiàng)值的數(shù)列為()
A．{a2n＋1}B．{a3n＋1}C．{a4n＋1}D．{a6n＋1}
2．已知an＝an－2＋an－1(n≥3)，a1＝1，a2＝2，bn＝anan＋1，則數(shù)列{bn}的前4項(xiàng)依次是__________．
答案：
1．B解析：取k＝0,1,2，…，8驗(yàn)證，周期為8.
2．前4項(xiàng)依次是12，23，35，58.
課堂小結(jié)
1．先由學(xué)生自己總結(jié)歸納本節(jié)課所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，即數(shù)列的簡單表示法：通項(xiàng)公式、列表法、圖象法、簡單的遞推公式法．探求和發(fā)展了數(shù)列的各項(xiàng)之間的關(guān)系及其規(guī)律，并用合適的表示法來表示這種規(guī)律．
2．教師強(qiáng)調(diào)，通過例題進(jìn)一步明確了數(shù)列的圖象是一些離散的點(diǎn)，并通過實(shí)際例子探究出數(shù)列的遞推公式．由于教材內(nèi)容對此要求不高，因此我們在例題或習(xí)題的難度上作了嚴(yán)格的控制，但要熟悉常用的基本方法．
作業(yè)
課本本節(jié)習(xí)題2—1A組7、8；習(xí)題2—1B組4，第5題選做．
設(shè)計(jì)感想
本教案設(shè)計(jì)遵循生活是源，數(shù)學(xué)是流的規(guī)律，對數(shù)學(xué)概念的探究都是在日常生活實(shí)例的背景下進(jìn)行的．如遞推數(shù)列是通過工廠堆放的鋼管數(shù)呈現(xiàn)的．目的是讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)離不開生活，生活離不開數(shù)學(xué)．
本教案設(shè)計(jì)思路體現(xiàn)了新課程理念，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動，體驗(yàn)數(shù)學(xué)過程，以活潑、清新、富于理性思維的內(nèi)容參與教學(xué)，拓展空間，激活思維．同時使學(xué)生借助遞推思想，有效提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣，促進(jìn)個性品質(zhì)的良好發(fā)展．
本教案設(shè)計(jì)力圖展示：教為主導(dǎo)，學(xué)為主體，思維訓(xùn)練為主線的教學(xué)理念．?dāng)?shù)學(xué)課堂的最后呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)不是學(xué)生成為解題能手，成為聽話的乖綿羊，而是讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，一種文化價(jià)值．當(dāng)你醉心于數(shù)學(xué)課堂時，數(shù)學(xué)課堂便呈現(xiàn)給你一種美景：那就是活生生的數(shù)學(xué)，那就是內(nèi)在神奇而奧妙，外在冷傲而絕美，由大自然抽象出來的自然科學(xué)的皇后——數(shù)學(xué)．
備課資料
一、探究求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法
求通項(xiàng)公式是學(xué)習(xí)數(shù)列的一個難點(diǎn)，由于求通項(xiàng)公式時需用到多種數(shù)學(xué)思想方法，因此求解過程中往往方法多，靈活性大，技巧性強(qiáng)，為了學(xué)生課余時間進(jìn)一步探究，現(xiàn)舉幾例，以供參考．
1．觀察法
已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時，一般對所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項(xiàng)．
【例1】已知數(shù)列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，寫出此數(shù)列的一個通項(xiàng)公式．
解：觀察數(shù)列前若干項(xiàng)可得通項(xiàng)公式為an＝(－1)n2n－32n.
2．公式法
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時，通常用公式an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即a1和an合為一個表達(dá)式．
【例2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足log2(Sn＋1)＝n＋1，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式．
解：由條件可得Sn＝2n＋1－1，
當(dāng)n＝1時，a1＝3，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.
所以an＝3，n＝1，2n，n≥2.
3．累差迭加法
若數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋f(n)的遞推式，其中f(n)又是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則可用累差迭加法求通項(xiàng)．
【例3】已知數(shù)列6,9,14,21,30，…，求此數(shù)列的通項(xiàng)．
解：∵a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，an－an－1＝2n－1，
各式相加得an－a1＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)，
∴an＝n2＋5(n∈N)．
4．連乘法
若數(shù)列{an}能寫成an＝an－1f(n)(n≥2)的形式，則可由an＝an－1f(n)，an－1＝an－2f(n－1)，an－2＝an－3f(n－2)，…，a2＝a1f(2)連乘求得通項(xiàng)公式．
【例4】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，Sn＝n＋1an2(n∈N)，求{an}的通項(xiàng)公式．
解：∵2Sn＝(n＋1)an(n∈N)，
2Sn－1＝nan－1(n≥2，n∈N)，
兩式相減得2an＝(n＋1)an－nan－1，
∴anan－1＝nn－1(n≥2，n∈N)．
于是有a2a1＝21，a3a2＝32，a4a3＝43，…，anan－1＝nn－1(n≥2，n∈N)，
以上各式相乘，得an＝na1＝n(n≥2，n∈N)．
又a1＝1，∴an＝n(n∈N)．
5．求解方程法
若數(shù)列{an}滿足方程f(an)＝0時，可通過解方程的思想方法求得通項(xiàng)公式．
【例5】已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x，數(shù)列{an}滿足f(log2an)＝－2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解：由條件f(log2an)＝2log2an－2－log2an＝－2n，即an－1an＝－2n.
∴a2n＋2nan－1＝0.
又an＞0，∴an＝n2＋1－n.
6．迭代法
若數(shù)列{an}滿足an＝f(an－1)，則可通過迭代的方法求得通項(xiàng)公式．
二、備用習(xí)題
1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋1an－2(n≥3)，則a5等于()
A.5512B.133C．4D．5
2．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且an＝－12an－1(n≥2，且n∈N*)，則a4等于…()
A．－1B.12C.1724D．－18
3．設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n∈N*)，則它的通項(xiàng)公式an＝__________.
4．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項(xiàng)an＝__________.
5．已知an＝n－98n－99(n∈N*)，則在數(shù)列{an}中的前30項(xiàng)中，最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是__________．
6．一只猴子爬一個8級的梯子，每次可爬一級或上躍二級，最多能上躍起三級，從地面上到最上一級，你知道這只猴子一共可以有多少種不同的爬躍方式嗎？
參考答案：
1．A解析：a3＝a2＋1a1＝4，a4＝a3＋1a2＝133，a5＝a4＋1a3＝5512.
2．D解析：a2＝－12a1＝－12，a3＝－12a2＝14，a4＝－12a3＝－18.
3.1n解析：由已知可求得a2＝12，a3＝13，a4＝14，由此可猜想an＝1n.
4.nn＋12＋1解析：由題意得，當(dāng)n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋n－12＋n2＝nn＋12＋1.當(dāng)n＝1時，也符合上式．因此，an＝nn＋12＋1.
5．a(chǎn)10，a9解析：an＝n－98n－99＝1＋99－98n－99，
當(dāng)1≤n≤9時，99－98n－99＜0，an為遞減函數(shù)；
當(dāng)n≥10時，99－98n－99＞0，an為遞減函數(shù)．
∴最大項(xiàng)為a10，最小項(xiàng)為a9.
6．解：這題是一道應(yīng)用題，本題難在爬梯子有多種形式，到底是爬一級還是上躍二級等情況要分類考慮周到．
爬一級梯子的方法只有一種．
爬一個二級梯子的方法有兩種，即一級一級爬是一種，還有一次爬二級，所以共有兩種．
若設(shè)爬一個n級梯子的不同爬法有an種，
則an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，
則得到a1＝1，a2＝2，a3＝4及an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，就可以求得a8＝81.

等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)

課時20等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)
教學(xué)目標(biāo)：1．掌握等比數(shù)列的概念。
2．能根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)行簡單的應(yīng)用。
教學(xué)過程：
1．觀察以下數(shù)列：
1，2，4，8，16，……
3，3，3，3，……
2．相比與等差數(shù)列，以上數(shù)列有什么特點(diǎn)？
等比數(shù)列的定義：

。
定義的符號表示，注意點(diǎn)：①，②。
3．判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是，請指出公比的值。
（1）
（2）
（3）
（4）
4．求出下列等比數(shù)列的未知項(xiàng)。
（1）；（2）。
5．已知是公比為的等比數(shù)列，新數(shù)列也是等比數(shù)列嗎？如果是，公比是多少？

6．已知無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為。
（1）依次取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個新數(shù)列，這個數(shù)列還是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公比是多少？
（2）數(shù)列（其中常數(shù)）是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公比是多少？

二、通項(xiàng)公式
1．推導(dǎo)通項(xiàng)公式
例1．在等比數(shù)列中，
（1）已知，求；（2）已知，求。

例2．在243和3中間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列，求這三個數(shù)。

例3．已知等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（1）求首項(xiàng)和公比；
（2）問表示這個數(shù)列的點(diǎn)在什么函數(shù)的圖像上？

例4．類比等差數(shù)列填空：
等差數(shù)列等比數(shù)列

通項(xiàng)

定義從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是同一個常數(shù)。
首項(xiàng)，公差（比）
取值有無限制沒有任何限制
相應(yīng)圖像的特點(diǎn)直線上孤立的點(diǎn)
課后作業(yè)：
1．成等比數(shù)列，則=。
2．在等比數(shù)列中，
（1）已知，則=，=。
（2）已知，則=。
（3）已知，則=。
3．設(shè)是等比數(shù)列，判斷下列命題是否正確？
（1）是等比數(shù)列（）；（2）是等比數(shù)列（）
（3）是等比數(shù)列（）；（4）是等比數(shù)列（）
（5）是等比數(shù)列（）；（6）是等比數(shù)列（）
4．設(shè)成等比數(shù)列，公比=2，則=。
5．在G.P中，（1）已知，求；（2）已知，求。

6．在兩個同號的非零實(shí)數(shù)和之間插入2個數(shù)，使它們成等比數(shù)列，試用表示這個等比數(shù)列的公比。

7．已知公差不為0的等差數(shù)列的第2，3，6項(xiàng)，依次構(gòu)成一個等比數(shù)列，求該等比數(shù)列的通項(xiàng)。

8．已知五個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，求的值。

9．在等比數(shù)列中，，求。

10．三個正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為15，如果它們分別加上1，3，9就成等比數(shù)列，求這三個數(shù)。

11．已知等比數(shù)列，若，求公比。

12．已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，（），設(shè)，求證：是等比數(shù)列。

問題統(tǒng)計(jì)與分析題源：

等比數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)

課時21等比數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)（1）
教學(xué)目標(biāo)：
1．繼續(xù)熟練等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)。
2．理解等比中項(xiàng)。
3．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)。
知識梳理：
1．定義：，

數(shù)學(xué)表示：。
2．通項(xiàng)：==；
=。
3．三個數(shù)成等比數(shù)列，則，稱為的等比中項(xiàng)。
思考：①成等比數(shù)列是否成立？
②等比數(shù)列中，（證明等比數(shù)列的兩種方法之一）。
4．性質(zhì)：
等差數(shù)列等比數(shù)列

成等差數(shù)列（等比數(shù)列）成等差數(shù)列
若數(shù)列成等差數(shù)列，
則數(shù)列也成等差數(shù)列。

例題：
例1．若成等比數(shù)列，則稱為和的等比中項(xiàng)，
（1）求45和80的等比中項(xiàng)；（2）已知兩個數(shù)和的等比中項(xiàng)是，求。

例2．（1）等比數(shù)列中，，則=。
（2）已知等比數(shù)列中，，公比，則=。
（3）在等比數(shù)列中，，則=

例3．在等比數(shù)列中，，公比，且，又與的等比中項(xiàng)為2，①求；②設(shè)，數(shù)列的前和為，當(dāng)最大時，求的值。

例4．三個數(shù)成等比數(shù)列，其和為14，積是64，求此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

作業(yè)：
1．等比數(shù)列中，，則=。
2．?dāng)?shù)列成等比數(shù)列，，，則=。
3．等比數(shù)列中，，則=
4．已知成等比數(shù)列，都成等差數(shù)列，，則的值為。
5．已知等差數(shù)列的公差，成等比數(shù)列，則=。
6．已知為各項(xiàng)都大于0的等比數(shù)列，公比，則的大小關(guān)系為。
7．在等比數(shù)列中，，求。

8．在等比數(shù)列中，（1）若，求；
（2）若，求。

9．已知等比數(shù)列中，，求公比。

10．為等比數(shù)列，，求；

11．有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項(xiàng)的和為21，中間兩項(xiàng)的和為18，求這四個數(shù)。

12．已知數(shù)列中，，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)。

13．在等差數(shù)列中，若，則有等式，成立，類比等比數(shù)列，若，則有怎樣的等式成立？
14．⑴已知數(shù)列中，，且，求。（提示：兩邊取對數(shù)）
（2）在數(shù)列中，，求。（兩邊取倒數(shù)）

問題統(tǒng)計(jì)與分析

等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)性質(zhì)

課時22等比數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)（2）
教學(xué)目標(biāo)：1．進(jìn)一步理解和熟悉等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)的性質(zhì)。
2．理解等比數(shù)列的單調(diào)性。
知識梳理：
1、定義
2、通項(xiàng)
3、性質(zhì)

教學(xué)過程：
例1．已知等比數(shù)列是一個公比為的遞增數(shù)列，則該數(shù)列的首項(xiàng)0（填）時，有，
等比數(shù)列的單調(diào)性：或時，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；
或時，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；
時，等比數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，但反之并不成立；
時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列。
例2．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，求。

例3．①已知，求證數(shù)列成等比數(shù)列。②求證：不是等比數(shù)列。③設(shè)是公比不相等的兩個等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列。

例4．①已知數(shù)列滿足，求。
②已知數(shù)列滿足,求。
③已知數(shù)列滿足求。

例5．在數(shù)列中，前項(xiàng)和為，，（1）求；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求。

作業(yè)：
1．已知等比數(shù)列中，，則=。

2．是公差不為0的等差數(shù)列，且是等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，若，
則=。

3．在等比數(shù)列中，是方程是方程的兩根，則的值為。

4．設(shè)是等比數(shù)列，，公比，，則=。

5．在等比數(shù)列中，，則=。

6．已知等比數(shù)列的公比為，且數(shù)列也是等比數(shù)列，則=。

7．在等比數(shù)列{an}中，a1=，q=2，則a4和a8的等比中項(xiàng)是__________

8．若{an}是各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，且公比q≠1，則a1+a4，a2+a3的大小關(guān)系為

9．等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為168，a2－a5=42，則a5和a7的等比中項(xiàng)是_____

10．已知a，b是兩個不相等的正數(shù)，在a，b之間插入n個正數(shù)x1，x2，…，xn，使a，x1，x2，…，xn，b成等比數(shù)列，則nx1x2…xn=。

11．三個互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個數(shù)，又可成為等比數(shù)列，又這三個數(shù)之和為6，求這三個數(shù)。
12．?dāng)?shù)列{an}和{bn}滿足下列條件：a1=0，a2=1，an+2=an+an+12，bn=an+1－an，證明：{bn}是等比數(shù)列。

13．三個互不相等的數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個數(shù)也可以成等比數(shù)列，已知這三個數(shù)的和等于6，求這三個數(shù)。

14．有四個數(shù)，前三個數(shù)依次成等比數(shù)列，它們的積是-8，后三個數(shù)依次成等差數(shù)列，它們的積是-80，求這四個數(shù)。
15．已知，求。

16．?dāng)?shù)列共七項(xiàng)，其中成等差數(shù)列，其和為，成等比數(shù)列，
若，求。

問題統(tǒng)計(jì)與分析