高中等差數(shù)列的教案

等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)性質(zhì)。

課時22等比數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)（2）
教學(xué)目標(biāo)：1．進(jìn)一步理解和熟悉等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)的性質(zhì)。
2．理解等比數(shù)列的單調(diào)性。
知識梳理：
1、定義
2、通項(xiàng)
3、性質(zhì)

教學(xué)過程：
例1．已知等比數(shù)列是一個公比為的遞增數(shù)列，則該數(shù)列的首項(xiàng)0（填）時，有，
等比數(shù)列的單調(diào)性：或時，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；
或時，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；
時，等比數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，但反之并不成立；
時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列。
例2．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，求。

例3．①已知，求證數(shù)列成等比數(shù)列。②求證：不是等比數(shù)列。③設(shè)是公比不相等的兩個等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列。
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例4．①已知數(shù)列滿足，求。
②已知數(shù)列滿足,求。
③已知數(shù)列滿足求。

例5．在數(shù)列中，前項(xiàng)和為，，（1）求；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求。

作業(yè)：
1．已知等比數(shù)列中，，則=。

2．是公差不為0的等差數(shù)列，且是等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，若，
則=。

3．在等比數(shù)列中，是方程是方程的兩根，則的值為。

4．設(shè)是等比數(shù)列，，公比，，則=。

5．在等比數(shù)列中，，則=。

6．已知等比數(shù)列的公比為，且數(shù)列也是等比數(shù)列，則=。

7．在等比數(shù)列{an}中，a1=，q=2，則a4和a8的等比中項(xiàng)是__________

8．若{an}是各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，且公比q≠1，則a1+a4，a2+a3的大小關(guān)系為

9．等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為168，a2－a5=42，則a5和a7的等比中項(xiàng)是_____

10．已知a，b是兩個不相等的正數(shù)，在a，b之間插入n個正數(shù)x1，x2，…，xn，使a，x1，x2，…，xn，b成等比數(shù)列，則nx1x2…xn=。

11．三個互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個數(shù)，又可成為等比數(shù)列，又這三個數(shù)之和為6，求這三個數(shù)。
12．?dāng)?shù)列{an}和{bn}滿足下列條件：a1=0，a2=1，an+2=an+an+12，bn=an+1－an，證明：{bn}是等比數(shù)列。

13．三個互不相等的數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個數(shù)也可以成等比數(shù)列，已知這三個數(shù)的和等于6，求這三個數(shù)。

14．有四個數(shù)，前三個數(shù)依次成等比數(shù)列，它們的積是-8，后三個數(shù)依次成等差數(shù)列，它們的積是-80，求這四個數(shù)。
15．已知，求。

16．?dāng)?shù)列共七項(xiàng)，其中成等差數(shù)列，其和為，成等比數(shù)列，
若，求。

問題統(tǒng)計(jì)與分析

精選閱讀

等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)

課時20等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)
教學(xué)目標(biāo)：1．掌握等比數(shù)列的概念。
2．能根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)行簡單的應(yīng)用。
教學(xué)過程：
1．觀察以下數(shù)列：
1，2，4，8，16，……
3，3，3，3，……
2．相比與等差數(shù)列，以上數(shù)列有什么特點(diǎn)？
等比數(shù)列的定義：

。
定義的符號表示，注意點(diǎn)：①，②。
3．判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是，請指出公比的值。
（1）
（2）
（3）
（4）
4．求出下列等比數(shù)列的未知項(xiàng)。
（1）；（2）。
5．已知是公比為的等比數(shù)列，新數(shù)列也是等比數(shù)列嗎？如果是，公比是多少？

6．已知無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為。
（1）依次取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個新數(shù)列，這個數(shù)列還是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公比是多少？
（2）數(shù)列（其中常數(shù)）是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公比是多少？

二、通項(xiàng)公式
1．推導(dǎo)通項(xiàng)公式
例1．在等比數(shù)列中，
（1）已知，求；（2）已知，求。

例2．在243和3中間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列，求這三個數(shù)。

例3．已知等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（1）求首項(xiàng)和公比；
（2）問表示這個數(shù)列的點(diǎn)在什么函數(shù)的圖像上？

例4．類比等差數(shù)列填空：
等差數(shù)列等比數(shù)列

通項(xiàng)

定義從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是同一個常數(shù)。
首項(xiàng)，公差（比）
取值有無限制沒有任何限制
相應(yīng)圖像的特點(diǎn)直線上孤立的點(diǎn)
課后作業(yè)：
1．成等比數(shù)列，則=。
2．在等比數(shù)列中，
（1）已知，則=，=。
（2）已知，則=。
（3）已知，則=。
3．設(shè)是等比數(shù)列，判斷下列命題是否正確？
（1）是等比數(shù)列（）；（2）是等比數(shù)列（）
（3）是等比數(shù)列（）；（4）是等比數(shù)列（）
（5）是等比數(shù)列（）；（6）是等比數(shù)列（）
4．設(shè)成等比數(shù)列，公比=2，則=。
5．在G.P中，（1）已知，求；（2）已知，求。

6．在兩個同號的非零實(shí)數(shù)和之間插入2個數(shù)，使它們成等比數(shù)列，試用表示這個等比數(shù)列的公比。

7．已知公差不為0的等差數(shù)列的第2，3，6項(xiàng)，依次構(gòu)成一個等比數(shù)列，求該等比數(shù)列的通項(xiàng)。

8．已知五個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，求的值。

9．在等比數(shù)列中，，求。

10．三個正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為15，如果它們分別加上1，3，9就成等比數(shù)列，求這三個數(shù)。

11．已知等比數(shù)列，若，求公比。

12．已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，（），設(shè)，求證：是等比數(shù)列。

問題統(tǒng)計(jì)與分析題源：

等比數(shù)列性質(zhì)

1.1.2等比數(shù)列性質(zhì)

課型

新課

課程

分析

等比數(shù)列是又一特殊數(shù)列，它與前面我們剛剛所探討過的等差數(shù)列僅有一字之差，所以我們可用比較法來學(xué)習(xí)等比數(shù)列的相關(guān)知識。在深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系的基礎(chǔ)上，牢固掌握等比數(shù)列的性質(zhì)。

學(xué)情

分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，對于等比數(shù)列學(xué)生對比等差數(shù)列學(xué)習(xí)較容易接受。

設(shè)計(jì)

理念

采用比較式數(shù)學(xué)法，從而使學(xué)生抓住等差數(shù)列與等比數(shù)列各自的特點(diǎn)，以便理解、掌握與應(yīng)用.

學(xué)習(xí)目標(biāo)

知識目標(biāo)

掌握等比數(shù)列的性質(zhì)

能力目標(biāo)

會求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)。

德育目標(biāo)

1.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識、提高學(xué)生創(chuàng)新意識、提高學(xué)生的邏輯推理能力、增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

板書設(shè)計(jì)

3.1.2課題探究一練習(xí)性質(zhì)1探究二性質(zhì)2應(yīng)用舉例探究三性質(zhì)3

課后反饋

解：設(shè)這個等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1,公比是q,

①②

組織教學(xué)導(dǎo)入新課講授新課歸納小結(jié)布置作業(yè)

備注

（一）回顧等比數(shù)列的有關(guān)概念

（1）定義式：

（2）通項(xiàng)公式：

導(dǎo)入本課題意：與等差數(shù)列類似，等比數(shù)列也是特殊的數(shù)列，它還有一些規(guī)律性質(zhì)，本節(jié)課，就讓我們一起來探尋一下它到底有一些怎樣的性質(zhì)。

二．推進(jìn)新課

題：就任一等差數(shù)列｛an｝，計(jì)算a7+a10和a8+a9，a10+a40和a20+a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律，能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作一般化的推廣嗎？類比猜想一下，在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？

引導(dǎo)探：…性質(zhì)1（板書）：在等比數(shù)列中，若m+n＝p+q，有aman＝apaq

探究二.(引導(dǎo)學(xué)生通過類比聯(lián)想發(fā)現(xiàn)進(jìn)而推證出性質(zhì)2)

已知｛an｝是等比數(shù)列.

（1）是否成立？成立嗎？為什么？

（2）是否成立？你據(jù)此能得到什么結(jié)論？是否成立？你又能得到什么結(jié)論？)

合作探：…性質(zhì)2（板書）：在等比數(shù)列中（本質(zhì)上就是等比中項(xiàng)）

探究三：一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則也是等差數(shù)列。在等比數(shù)列中是否也有這樣的結(jié)論？為什么？

性質(zhì)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，為的前項(xiàng)之和，則新構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為。

組織教學(xué)導(dǎo)入新課講授新課歸納小結(jié)布置作業(yè)

備注

②當(dāng)時，則（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；

由①②得，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為。三．應(yīng)用舉例：（理解、鞏固）

例1．1）在等比數(shù)列｛an｝中，已知

2)在等比數(shù)列｛bn｝中，b4＝3，求該數(shù)列的前7項(xiàng)之積。例2在等比數(shù)例中，求

例3等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，求

的值

例4、在等比數(shù)列中，,求的值.解：因是等比數(shù)列，所以是等比數(shù)列，所以

組織教學(xué)導(dǎo)入新課講授新課歸納小結(jié)布置作業(yè)

備注

1、下列命題中:(1)常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;

(2)若{an}是等差數(shù)列，則{3－2an}也是等差數(shù)列;

(3)若{an}是等比數(shù)列，則{an+an+1}也是等比數(shù)列;

(4)若{an}是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列.

其中正確的命題是_____________(填命題序號)

2、在等比數(shù)列中，，則的值為_______

3、在等比數(shù)列中，，，求的值.解：因?yàn)橛缮鲜龅缺葦?shù)列性質(zhì)知，構(gòu)造新數(shù)列其是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，是新數(shù)列的第5項(xiàng)，所以。4、已知等比數(shù)列前項(xiàng)的和為2，其后項(xiàng)的和為12，求再后面項(xiàng)的和.解：由，，因成等比數(shù)列，其公比為，所以問題轉(zhuǎn)化為：求的值.因?yàn)榈?，所以或，于?

組織教學(xué)導(dǎo)入新課講授新課歸納小結(jié)布置作業(yè)

備注

（1）等比數(shù)列的性質(zhì)1、性質(zhì)2性質(zhì)3內(nèi)容及推導(dǎo)方法歸納。

（2）等比數(shù)列三性質(zhì)的探尋，我們是通過類比等差聯(lián)想到等比，猜想在等比數(shù)列中可能存在的性質(zhì)規(guī)律。然后先從簡單的等比數(shù)列加以驗(yàn)證，再推出一般式，并加以嚴(yán)格的邏輯證明。這個過程所用的類比、聯(lián)想、猜想、從特殊到一般，最后給予證明得出結(jié)論的想法和方法，我們稱為數(shù)學(xué)思想方法。是解決問題、科學(xué)發(fā)現(xiàn)、探究自然的一種重要的思維方法和手段。它無處不體現(xiàn)在我們解決問題的思維過程中，希望大家今后留心思考，對提高你們的學(xué)習(xí)能力及分析解決問題的能力將有極大的幫助。

等比數(shù)列中項(xiàng)

每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認(rèn)真寫教案課件了。對教案課件的工作進(jìn)行一個詳細(xì)的計(jì)劃，才能對工作更加有幫助！有多少經(jīng)典范文是適合教案課件呢？以下是小編為大家精心整理的“等比數(shù)列中項(xiàng)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

1.3.2等比數(shù)列中項(xiàng)
教學(xué)目標(biāo):
1．明確等比中項(xiàng)概念．
2．進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式.
3．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識.
教學(xué)重點(diǎn):1.等比中項(xiàng)的理解與應(yīng)用
2.等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式的應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn):靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式解決一些相關(guān)問題.
教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)法
教學(xué)過程:
(I)復(fù)習(xí)回顧:我們共同來回憶上節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容.
生：等比數(shù)列定義：等比數(shù)列通項(xiàng)公式：
（Ⅱ）講授新課:與等差數(shù)列對照，看等比數(shù)列是否也具有類似性質(zhì)？
生：（1）成等差數(shù)列
如果在中間插入一個數(shù)G,使成等比數(shù)列，即
若，則，即成等比數(shù)列∴成等比數(shù)列
師：綜上所述，如果在中間插入一個數(shù)G，使成等比數(shù)列，那么G叫做的等經(jīng)中項(xiàng).
生：（2）若m+n=p+q，則
師：若在等比數(shù)列中，m+n=p+q，有什么關(guān)系呢？
生：由定義得：
（2）若m+n=p+q，則
師：下面來看應(yīng)用這些性質(zhì)可以解決哪些問題？
例1：一個等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng).
解：設(shè)這個等比數(shù)列的第1項(xiàng)是，公比是q，那么：，①，②
由②÷①可得第③把③代入①可得
答：這個數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)是和8.
例2：已知是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證是等比數(shù)列.
證明：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)是，公比為q1;的首項(xiàng)為b1，公比為q2，那么數(shù)列的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為：
它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以是一個以q1q2為公比的等比數(shù)列.
（Ⅲ）課堂練習(xí):課本P23練習(xí)1.(老師結(jié)合學(xué)生所做，講評練習(xí).)
書面練習(xí):課本P25練習(xí)1、2、3
（Ⅳ）課時小結(jié):
（1）若a，G，b成等比數(shù)列，則叫做與的等經(jīng)中項(xiàng).
（2）若m+n=p+q，
2．預(yù)習(xí)提綱：①等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式；
②如何推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式？
小結(jié)：
課題
一、定義
等比中項(xiàng)
成等比數(shù)列若m+n=p+q
則
二、例題
例1
例2復(fù)習(xí)回顧
,A,b成等差數(shù)列
則

作業(yè)：P30習(xí)題A組7題

等比數(shù)列前n項(xiàng)和

課題：等比數(shù)列前n項(xiàng)和（兩課時）
使用方法
1．上課前注意自主預(yù)習(xí)完成學(xué)案導(dǎo)學(xué)和探究部分
2．上課時小組討論交流解決自己不會的問題
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式證明思路
2．會用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡單問題
重點(diǎn)難點(diǎn)
１．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
當(dāng)時，①或②
當(dāng)q=1時，
當(dāng)已知,q,n時用公式①；當(dāng)已知,q,時，用公式②.
推導(dǎo)方法－錯位相減法
一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是
由
得
∴當(dāng)時，①或②
當(dāng)q=1時，
推導(dǎo)方法－等比定理
有等比數(shù)列的定義，
根據(jù)等比的性質(zhì)，有
即（結(jié)論同上）
２．等比數(shù)列前ｎ項(xiàng)的和是，，那么，，成等比數(shù)列
３．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)

探究交流
1．求等比數(shù)列1，2，4，…從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和
2．一個等比數(shù)列前項(xiàng)的和為前項(xiàng)之和，求

3．已知是數(shù)列前項(xiàng)和，（，），判斷是否是等比數(shù)列

4．在等比數(shù)列中，，，前項(xiàng)和，求和公比

5．設(shè)數(shù)列為求此數(shù)列前項(xiàng)的和
課堂反饋
【選擇題】
1．若等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（）
A．B．
C．D．
2．已知數(shù)列｛｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則這個數(shù)列的前n項(xiàng)和為（）
Ａ．0?B．n?
Ｃ．na?Ｄ．a(chǎn)
3．已知等比數(shù)列｛｝中，=2×3，則由此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前n項(xiàng)和的值為（）
Ａ．3－1?B．3(3－1)?
Ｃ．?Ｄ．
4．實(shí)數(shù)等比數(shù)列｛｝，＝，則數(shù)列｛｝中（）
Ａ．任意一項(xiàng)都不為零?B．必有一項(xiàng)為零
Ｃ．至多有有限項(xiàng)為零Ｄ．可以有無數(shù)項(xiàng)為零
5．在等比數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（）
A．B．
C．D．
6．在等比數(shù)列中，，，使的最小的值是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
【填空題】
7．已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和=n,則＝.
8．一個數(shù)列的前n項(xiàng)和為=1－2+3－4+…+(－1)n,則S＋Ｓ＋Ｓ＝．?
9．已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛｝共有2m項(xiàng)，且=9(＋)，＋＋＋…＋=4(＋＋＋…＋),則=,公比q=.
10．在等比數(shù)列中，已知，，則．
11．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則的公比為．
【解答題】
12．在等比數(shù)列中，已知：，求
13．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求數(shù)列的公比

14．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若前前項(xiàng)和為，且，，求
15．已知等比數(shù)列共有項(xiàng)，前項(xiàng)和為，其后項(xiàng)和為，求最后項(xiàng)和

16．三個互不相等的數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列此三數(shù)，也可成等比數(shù)列，已知這三個數(shù)的和等于6，求這三個數(shù)．

17.已知數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，成等差數(shù)列．
（１）求公比的值；
（２）求的值．

18.已知數(shù)列中，是它的前項(xiàng)和，且，，設(shè)（）．
（１）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（２）求證：．