高中不等式教案

函數(shù)、方程及不等式的關(guān)系復(fù)習(xí)提綱。

俗話說，居安思危，思則有備，有備無患。高中教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識點，使高中教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。我們要如何寫好一份值得稱贊的高中教案呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《函數(shù)、方程及不等式的關(guān)系復(fù)習(xí)提綱》，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

函數(shù)、方程及不等式的關(guān)系復(fù)習(xí)提綱

高考要求
三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關(guān)本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法
重難點歸納
1二次函數(shù)的基本性質(zhì)
(1)二次函數(shù)的三種表示法
y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n
(2)當(dāng)a0,f(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值M，最小值m,令x0=(p+q)
若－Ip,則f(p)=m,f(q)=M;
若p≤－Ix0,則f(－)=m,f(q)=M;
若x0≤－Iq,則f(p)=M,f(－)=m;
若－≥q,則f(p)=M,f(q)=m
2二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件
(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)0;
(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根
(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)0,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)內(nèi)成立
(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(pIq)
3二次不等式轉(zhuǎn)化策略
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是
(－∞,α)∪［β,+∞a0且f(α)=f(β)=0;
(2)當(dāng)a0時，f(α)If(β)|α+||β+|,
當(dāng)a0時，f(α)If(β)|α+||β+|;
(3)當(dāng)a0時，二次不等式f(x)0在［p,q］恒成立
或
(4)f(x)0恒成立
典型題例示范講解
例1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=－bx，其中a、b、c滿足abc,a+b+c=0,(a,b,c∈R)
(1)求證兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、B；
(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍
命題意圖本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運用能力
知識依托解答本題的閃光點是熟練應(yīng)用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合
錯解分析由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)”
技巧與方法利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化
(1)證明由消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］
∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0
∴c20,∴Δ0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點
(2)解設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=－,x1x2=
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
∵abc,a+b+c=0,a0,c0
∴a－a－cc,解得∈(－2,－)
∵的對稱軸方程是
∈(－2,－)時，為減函數(shù)
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()
例2已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍
(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍
命題意圖本題重點考查方程的根的分布問題
知識依托解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義
錯解分析用二次函數(shù)的性質(zhì)對方程的根進(jìn)行限制時，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點
技巧與方法設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制
解(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得
∴
(2)據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組
(這里0－m1是因為對稱軸x=－m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)
例3已知對于x的所有實數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非負(fù)的，求關(guān)于x的方程=|a－1|+2的根的取值范圍
解由條件知Δ≤0,即(－4a）2－4(2a+12)≤0,∴－≤a≤2
(1)當(dāng)－≤a＜1時，原方程化為
x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a－)2+
∴a=－時，xmin=,a=時，xmax=
∴≤x≤
(2)當(dāng)1≤a≤2時，x=a2+3a+2=(a+)2－
∴當(dāng)a=1時，xmin=6,當(dāng)a=2時，xmax=12,∴6≤x≤12
綜上所述,≤x≤12
學(xué)生鞏固練習(xí)
1若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－40對一切x∈R恒成立，則a的取值范圍是()
A(－∞,2B－2,2C(－2,2D(－∞,－2)
2設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2－x+a(a0),若f(m)0,則f(m－1)的值為()
A正數(shù)B負(fù)數(shù)C非負(fù)數(shù)D正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能
3已知二次函數(shù)f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在區(qū)間［－1，1］內(nèi)至少存在一個實數(shù)c,使f(c)0,則實數(shù)p的取值范圍是_________
4二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為正，且對任意實數(shù)x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)If(1+2x－x2),則x的取值范圍是_________
5已知實數(shù)t滿足關(guān)系式(a0且a≠1)
(1)令t=ax,求y=f(x)的表達(dá)式；
(2)若x∈(0,2時，y有最小值8，求a和x的值
6如果二次函數(shù)y=mx2+(m－3)x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求m的取值范圍
7二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實數(shù)p、q、r滿足=0,其中m0,求證
(1)pf()0;
(2)方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解
8一個小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價P(元/件)之間的關(guān)系為P=160－2x,生產(chǎn)x件的成本R=500+30x元
(1)該廠的月產(chǎn)量多大時，月獲得的利潤不少于1300元？
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？
參考答案
1解析當(dāng)a－2=0即a=2時,不等式為－4＜0,恒成立∴a=2,當(dāng)a－2≠0時，則a滿足,解得－2＜a＜2,所以a的范圍是－2＜a≤2
答案C
2解析∵f(x)=x2－x+a的對稱軸為x=,且f(1)0,則f(0)0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),∴m－1＜0,∴f(m－1)0
答案A
3解析只需f(1)=－2p2－3p+90或f(－1)=－2p2+p+10即－3＜p＜或－＜p＜1∴p∈(－3,)
答案(－3，）
4解析由f(2+x)=f(2－x)知x=2為對稱軸，由于距對稱軸較近的點的縱坐標(biāo)較小，
∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|,∴－2＜x＜0
答案－2＜x＜0
5解(1）由loga得logat－3=logty－3logta
由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=,?
∴l(xiāng)ogay=x2－3x+3，即y=a(x≠0)
(2)令u=x2－3x+3=(x－)2+(x≠0),則y=au
①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8，
則u=(x－)2+在(0，2上應(yīng)有最大值，但u在(0，2上不存在最大值
②若a1,要使y=au有最小值8，則u=(x－)2+,x∈(0,2應(yīng)有最小值
∴當(dāng)x=時，umin=,ymin=
由=8得a=16∴所求a=16,x=
6解∵f(0)=10
(1)當(dāng)m＜0時，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側(cè)，符合題意
(2）當(dāng)m0時，則解得0＜m≤1
綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤1且m≠0}
7證明(1)
,由于f(x)是二次函數(shù)，故p≠0,又m0,所以，pf()＜0
(2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r
①當(dāng)p＜0時，由(1）知f()＜0
若r0,則f(0)0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)內(nèi)有解;
若r≤0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=0,
又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解
②當(dāng)p＜0時同理可證
8解(1）設(shè)該廠的月獲利為y,依題意得?
y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500
由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300
∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45
∴當(dāng)月產(chǎn)量在20~45件之間時，月獲利不少于1300元
(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－)2+16125
∵x為正整數(shù)，∴x=32或33時，y取得最大值為1612元，
∴當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時，可獲得最大利潤1612元函數(shù)、方程及不等式的關(guān)系---劉瓊

延伸閱讀

不等式與不等關(guān)系

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計劃，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“不等式與不等關(guān)系”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

§3.1不等式與不等關(guān)系（第2課時）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．知識與技能：掌握不等式的基本性質(zhì)，會用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式；
2．過程與方法：通過解決具體問題，學(xué)會依據(jù)具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法；
3．情態(tài)與價值：通過講練結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理能力.
【學(xué)習(xí)重點】掌握不等式的性質(zhì)和利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式；
【學(xué)習(xí)難點】利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式。
一．知識歸納
1.性質(zhì)：
2.請試著對上式的（6），（7）,(8)進(jìn)行證明。

二．典例分析.
例1、已知求證：

例2、已知求的取值范圍

例3、比較下列兩個代數(shù)式值或者實數(shù)的大小。
（1）與（2）與
三．課堂檢測
1.若a,b是任意實數(shù)，且ab,則（）
A．B．C．D．
2.設(shè),則下列不等式中恒成立的是()
A．B．C．D．
3.若則的值為（）
A．大于0B．等于0C．小于0D．符號不能確定
4.設(shè)，則a與b的大小關(guān)系是（）
AabBabCa=bD與x的值有關(guān)
5.若2a3,-4b-3,則的取值范圍是，的取值范圍是.
6.當(dāng)時，給出以下三個結(jié)論：①②③其中正確命題的序號是。
7.若則中最小的是。
8.已知2a3,-2b-1,求2a+b，3a-2b，ab，的取值范圍

不等關(guān)系與不等式教案

教學(xué)設(shè)計
3．1.1不等關(guān)系與不等式
整體設(shè)計
教學(xué)分析
本節(jié)課的研究是對初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，將讓學(xué)生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大?。?br> 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用．對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程．即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡單的、學(xué)生易于處理的問題，其用意在于讓學(xué)生注意對數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望．根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小．
在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書中實例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系．要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對不等式的認(rèn)識．
三維目標(biāo)
1．在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下，利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論，理解實數(shù)的大小關(guān)系，理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系．
2．會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍．
3．通過溫故知新，提高學(xué)生對不等式的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美．
重點難點
教學(xué)重點：比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍．
教學(xué)難點：準(zhǔn)確比較兩個代數(shù)式的大?。?br> 課時安排
1課時
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強烈愿望，自然地引入新課．
思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時間、數(shù)學(xué)成績的多少等現(xiàn)實生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系．這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來呢？讓學(xué)生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著．這樣學(xué)生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學(xué)過的不等式，讓學(xué)生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系？
2在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎？
3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系？
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系？用邏輯用語怎樣表達(dá)這個關(guān)系？
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同．不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系，可用符號“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等關(guān)系是可以通過不等式來體現(xiàn)的．
教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系．在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容．
實例1：某天的天氣預(yù)報報道，最高氣溫32℃，最低氣溫26℃.
實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA＜xB.教師協(xié)助畫出數(shù)軸草圖如下圖．
實例3：若一個數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零．
實例4：兩點之間線段最短．
實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
實例6：限速40km/h的路標(biāo)指示司機在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h.
實例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進(jìn)一步點撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢？學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系．那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．
教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個實例用不等式表示出來．實例1，若用t表示某天的氣溫，則26℃≤t≤32℃.實例3，若用x表示一個非負(fù)數(shù)，則x≥0.實例5，|AC|＋|BC|＞|AB|，如下圖．
|AB|＋|BC|＞|AC|、|AC|＋|BC|＞|AB|、|AB|＋|AC|＞|BC|.
|AB|－|BC|＜|AC|、|AC|－|BC|＜|AB|、|AB|－|AC|＜|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以．
實例6，若用v表示速度，則v≤40km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應(yīng)點撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的．但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論．
討論結(jié)果：
(1)(2)略；(3)數(shù)軸上任意兩點中，右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大．
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三種關(guān)系中有且僅有一種關(guān)系成立．用邏輯用語表達(dá)為：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例1和例2)
活動：通過兩例讓學(xué)生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法．
點評：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握.
變式訓(xùn)練
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()
A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)
C．f(x)＜g(x)D．隨x值變化而變化
答案：A
解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．
2．已知x≠0，比較(x2＋1)2與x4＋x2＋1的大小．
解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.
∵x≠0，得x2＞0.從而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.

例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b)．
(1)a＋b2與21a＋1b(a＞0，b＞0)；
(2)a4－b4與4a3(a－b)．
活動：比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定．本例可由學(xué)生獨立完成，但要點撥學(xué)生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點．
解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.
∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.
(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)
＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]
＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．
∵2a2＋(a＋b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時取等號)，
又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.
∴a4－b4＜4a3(a－b)．
點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號．變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.
變式訓(xùn)練
已知x＞y，且y≠0，比較xy與1的大小．
活動：要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系．
解：xy－1＝x－yy.
∵x＞y，∴x－y＞0.
當(dāng)y＜0時，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；
當(dāng)y＞0時，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.
點評：當(dāng)字母y取不同范圍的值時，差xy－1的正負(fù)情況不同，所以需對y分類討論.

例3建筑設(shè)計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積．但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好．試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由．
活動：解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法．
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a＜b，且ab≥10%，
由于a＋mb＋m－ab＝mb－abb＋m＞0，于是a＋mb＋m＞ab.又ab≥10%，
因此a＋mb＋m＞ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了．
點評：一般地，設(shè)a、b為正實數(shù)，且a＜b，m＞0，則a＋mb＋m＞ab.
變式訓(xùn)練
已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則()
A．a(chǎn)1＋a8＞a4＋a5B．a(chǎn)1＋a8＜a4＋a5
C．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5D．a(chǎn)1＋a8與a4＋a5大小不確定
答案：A
解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4
＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．
∵{an}各項都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.
又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.

知能訓(xùn)練
1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為()
A．3B．2C．1D．0
2．比較2x2＋5x＋9與x2＋5x＋6的大?。?br> 答案：
1．C解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.
∴只有①恒成立．
2．解：因為2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，
所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.
課堂小結(jié)
1．教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個實數(shù)大小的比較方法；從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識體系中．
2．教師畫龍點睛，點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方．鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生對節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究．
作業(yè)
習(xí)題3—1A組3；習(xí)題3—1B組2.
設(shè)計感想
1．本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化．經(jīng)驗告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過程，不宜長期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動地照搬一種實驗?zāi)Ｊ剑鞣N教學(xué)方法中，沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動．也就是說，世上沒有萬能的教學(xué)方法．針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥．
2．本節(jié)設(shè)計注重了難度控制．不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來是高考的重點與熱點．作為本章開始，可以適當(dāng)開闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個自由探究聯(lián)想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響．
3．本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練．訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線．采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化．變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升．
備課資料
備用習(xí)題
1．比較(x－3)2與(x－2)(x－4)的大?。?br> 2．試判斷下列各對整式的大?。?1)m2－2m＋5和－2m＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.
3．已知x＞0，求證：1＋x2＞1＋x.
4．若x＜y＜0，試比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大?。?br> 5．設(shè)a＞0，b＞0，且a≠b，試比較aabb與abba的大?。?br> 參考答案：
1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)
＝1＞0，
∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．
2．解：(1)(m2－2m＋5)－(－2m＋5)
＝m2－2m＋5＋2m－5
＝m2.
∵m2≥0，∴(m2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0.
∴m2－2m＋5≥－2m＋5.
(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)
＝a2－4a＋3＋4a－1
＝a2＋2.
∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.
∴a2－4a＋3＞－4a＋1.
3．證明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2
＝1＋x＋x24－(x＋1)
＝x24，
又∵x＞0，∴x24＞0.
∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.
由x＞0，得1＋x2＞1＋x.
4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.
∴－2xy(x－y)＞0.
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，
當(dāng)a＞b＞0時，ab＞1，a－b＞0，
則(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.
當(dāng)b＞a＞0時，0＜ab＜1，a－b＜0.
則(ab)a－b＞1.
于是aabb＞abba.
綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb＞abba.

《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)反思

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計劃，教師要準(zhǔn)備好教案為之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。教案可以保證學(xué)生們在上課時能夠更好的聽課，使教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)反思，僅供參考，歡迎大家閱讀。

《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)反思

十月十一日早上，第三節(jié)課我上了公開課《不等關(guān)系與不等式》第一節(jié)。由于課間操的延遲，導(dǎo)致本節(jié)課準(zhǔn)備的三個內(nèi)容，只完成了其中的兩個。

本節(jié)課內(nèi)容雖說簡單，就是不等關(guān)系的表示，兩個數(shù)大小的比較，以及不等式的性質(zhì)。其中后兩個是重點，同時也是難點。但我教的對象，是高二年級基礎(chǔ)最差的學(xué)生，所以對他們來時。剛脫離《數(shù)列》學(xué)習(xí)的苦海，又再次進(jìn)入《不等式》的火海之中，對于他們來說一樣是煎熬。

不等關(guān)系的表示掌握還算湊合，課本上的內(nèi)容感覺也是一知半解，由于時間（課間操耽誤了十分鐘）緊的緣故，原本計劃中的第六題我刪除了，兩位數(shù)的表示怕學(xué)生一時半會還難以理解。原本的兩個實數(shù)比較大小，只是簡單說了下依據(jù)，具體兩個代數(shù)式比較大小例題也沒來得及講，學(xué)生的練習(xí)更談不上。另一個重點不等式的性質(zhì)，學(xué)生的理解也是一知半解，懵懵懂懂。遇到具體的應(yīng)用，學(xué)生把剛才的性質(zhì)又拋到九霄云外，憑空想象人云亦云，似乎根本與性質(zhì)又聯(lián)系不起來。不等式剛才強調(diào)了同向不等式可以相加不能相減，但如ab,cb-d，遇到負(fù)號不知道轉(zhuǎn)化為減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，幾乎全班學(xué)生都在糾結(jié)之中，不知如何去做;諸如ab0,cbd同樣也在糾結(jié)之中，同正同向不等式剛才強調(diào)只能相乘不能相除，但遇到不同向，不同正就又不會轉(zhuǎn)化。學(xué)生的現(xiàn)狀真是讓人崩潰，

課后同仁熱評，感覺存在以下幾個問題

1、《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)后的總結(jié)反思的教學(xué)，強調(diào)不夠，只是輕描淡寫一語而過，沒有具體說明二者的區(qū)別。

2、不等關(guān)系的表示何時用“大括號”何時用“或”沒有說清楚，有的同學(xué)在做第四小題時，用逗號模棱兩可。

3、同一習(xí)題演板人過多，顯得凌亂。

4、學(xué)生的做題格式板書強調(diào)不夠，學(xué)生做的不整齊，也沒指出。

通過同仁的熱議和自己的反思，感覺自己在備課上還下的不夠，沒有吃透學(xué)生，對學(xué)生基礎(chǔ)薄弱視而不見，淡化了本該強調(diào)的內(nèi)容；同時對學(xué)生存在的問題熟視無睹，沒有指出存在的問題使他們及時糾正養(yǎng)成書寫的規(guī)范。教學(xué)不僅僅是傳授知識，對于他們好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成也不可忽視。

不等式的性質(zhì)

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時能夠胸有成竹，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助高中教師營造一個良好的教學(xué)氛圍。所以你在寫高中教案時要注意些什么呢？下面是由小編為大家整理的“不等式的性質(zhì)”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！