高中安全第一課教案

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯小結(jié)。

⒈理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合；掌握帶絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法．

⒉理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義；理解四種命題及其相互關(guān)系；進(jìn)一步了解反證法，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的問題；掌握充要條件的意義．

教學(xué)重點(diǎn)：

1.有關(guān)集合的基本概念;

2.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件

【高考評(píng)析】

集合知識(shí)作為整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，在高考中重點(diǎn)考察的是集合的化簡(jiǎn)，以及利用集合與簡(jiǎn)易邏輯的知識(shí)來指導(dǎo)我們思維，尋求解決其他問題的方法．

【學(xué)法指導(dǎo)】本章的基本概念較多，要力求在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶．

【數(shù)學(xué)思想】

1、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；2、求補(bǔ)集的思想；

3、分類思想；4、數(shù)形結(jié)合思想．

【解題規(guī)律】1、如何解決與集合的運(yùn)算有關(guān)的問題:

1)對(duì)所給的集合進(jìn)行盡可能的化簡(jiǎn)；

2）有意識(shí)應(yīng)用維恩圖來尋找各集合之間的關(guān)系；

3）有意識(shí)運(yùn)用數(shù)軸或其它方法來直觀顯示各集合的元素．

2．如何解決與簡(jiǎn)易邏輯有關(guān)的問題：

1）力求尋找構(gòu)成此復(fù)合命題的簡(jiǎn)單命題；

2）利用子集與推出關(guān)系的聯(lián)系將問題轉(zhuǎn)化為集合問題

二、基本知識(shí)點(diǎn)：

集合：

1、集合中的元素屬性：

（1）（2）（3）

2、常用數(shù)集符號(hào)：NZQR

3、子集：數(shù)學(xué)表達(dá)式

4、補(bǔ)集：數(shù)學(xué)表達(dá)式

5、交集：數(shù)學(xué)表達(dá)式

6、并集：數(shù)學(xué)表達(dá)式

7、空集：它的性質(zhì)（1）（2）

8、如果一個(gè)集合A有n個(gè)元素（CradA=n）,那么它有個(gè)個(gè)子集，

個(gè)非空真子集

注意：（1）元素與集合間的關(guān)系用符號(hào)表示；

（2）集合與集合間的關(guān)系用符號(hào)表示

解不等式：

1、絕對(duì)值不等式的解法：

（1）公式法：|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)

(2)幾何法

(3)定義法（利用定義打開絕對(duì)值）

(4)兩邊平方

2、一元二次不等式或的求解原理：利用二次函數(shù)的圖象通過二次函數(shù)與二次不等式的聯(lián)系從而推證出任何一元二次不等式的解集

對(duì)應(yīng)的圖形

不等式

△0

△=0

△0

3、分式、高次不等式的解法：

4、一元二次方程實(shí)根分布：

簡(jiǎn)易邏輯：

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：p或q(記作“p∨q”)；p且q(記作“p∧q”)；非p(記作“┑q”)

3、“或”、“且”、“非”的真值判斷

（1）“非p”形式復(fù)合命題的真假與P的真假相反；

（2）“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假；

（3）“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真．

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則p；

否命題：若┑P則┑q；逆否命題：若┑q則┑p

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題．

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題逆否命題)

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真

②、原命題為真，它的否命題不一定為真

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真

6、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出(與已知、公理、定理…)矛盾，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法

7、如果已知pq那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件

判斷兩條件間的關(guān)系技巧：

（1）（2）

注意：（1）復(fù)合命題的三種形式與假言命題中的四種命題的區(qū)別

（2）復(fù)合命題中的“p或q”與假言命題中的“若p則q”它們的“P”的區(qū)別

三、鞏固訓(xùn)練

（一）、選擇題：

1、下列關(guān)系式中不正確的是（）

A0B0C0D0

2、下列語句為命題是（）

A等腰三角形B對(duì)頂角相等C≥0D0是自然數(shù)嗎？

3、命題“方程|x|=1的解是x=±1”中，使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的情況是（）

A使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”B使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”

C使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”D沒有使用邏輯聯(lián)結(jié)詞

4、不等式的解集為（）

ABCD

5、不全為0的充要條件是（）

A都不是0B最多有一個(gè)是0

C只有一個(gè)是0D中至少有一個(gè)不是0

6、≥（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件

C充分必要條件D即不充分也不必要條件

7、如果命題則

A即不充分也不必要條件B必要而不充分條件

C充分而不必要條件D充要條件

8、至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是（）

ABCD

（二）、填空題：

9、不等式的解集是則＝＝

10、分式不等式的解集為：_______________.

11、命題“”的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題有____個(gè).

12、設(shè)A=，B=，若AB，則的取值范圍是________.

（三）、解答題：

13、解下列不等式

①

②

③||

④()

14、利用反證法證明：

15、已知一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍

16、已知集合A=，求實(shí)數(shù)的取值范圍（表示正實(shí)數(shù)集合）

延伸閱讀

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯1

第一教時(shí)

教材：集合的概念

目的：要求學(xué)生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集及其記法；初步了解集合的分類及性質(zhì)。

過程：

一、引言：（實(shí)例）用到過的“正數(shù)的集合”、“負(fù)數(shù)的集合”

如：2x-13x2所有大于2的實(shí)數(shù)組成的集合稱為這個(gè)不等式的解集。

如：幾何中，圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。

如：自然數(shù)的集合0，1，2，3，……

如：高一（5）全體同學(xué)組成的集合。

結(jié)論：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。

指出：“集合”如點(diǎn)、直線、平面一樣是不定義概念。

二、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員}，B={1，2，3，4，5}

常用數(shù)集及其記法：

1．非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

2．正整數(shù)集N*或N+

3．整數(shù)集Z

4．有理數(shù)集Q

5．實(shí)數(shù)集R

集合的三要素：1。元素的確定性；2。元素的互異性；3。元素的無序性

（例子略）

三、關(guān)于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集A記作aA，相反，a不屬于集A記作aA（或aA）

例：見P4—5中例

四、練習(xí)P5略

五、集合的表示方法：列舉法與描述法

1．列舉法：把集合中的元素一一列舉出來。

例：由方程x2-1=0的所有解組成的集合可表示為{-1，1}

例；所有大于0且小于10的奇數(shù)組成的集合可表示為{1，3，5，7，9}

2．描述法：用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。

①語言描述法：例{不是直角三角形的三角形}再見P6例

②數(shù)學(xué)式子描述法：例不等式x-32的解集是{xR|x-32}或{x|x-32}或{x:x-32}再見P6例

六、集合的分類

1．有限集含有有限個(gè)元素的集合

2．無限集含有無限個(gè)元素的集合例題略

3．空集不含任何元素的集合F

七、用圖形表示集合P6略

八、練習(xí)P6

小結(jié)：概念、符號(hào)、分類、表示法

九、作業(yè)P7習(xí)題1.1

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯章末總結(jié)

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯章末總結(jié)

一、本章數(shù)學(xué)思想方法

1、分類討論思想

（1）分類討論問題已成為高考考查學(xué)生的知識(shí)與能力的熱點(diǎn)問題，這是因?yàn)椋浩湟?，分類討論問題一般都覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多，有利于知識(shí)面的考查；其二，解分類討論問題需要有一定的分析能力，一定的分類思想與分類技巧，有利于對(duì)學(xué)生能力的考查；其三，分類思想與生產(chǎn)實(shí)踐和高等數(shù)學(xué)都緊密相關(guān)。

（2）解分類討論問題的實(shí)質(zhì)：整體問題化為若干個(gè)部分來解決，化成部分后從而增加了題設(shè)的條件，從而將問題解答進(jìn)行到底，這正是我們要分類討論的根本原因。

（3）分類討論要注意的幾點(diǎn)：

(1)根據(jù)問題實(shí)際，做到分類不重不漏；

(2)熟練地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，做到融匯貫通，是解好分類討論問題的前提條件；

(3)不斷地的總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，克服分類討論中的主觀性和盲目性；

(4)要注意簡(jiǎn)化或避免分類討論，優(yōu)化解題過程。

【例1】已知三元素集，且A=B，求x與y的值。

【解】∵0∈B，A=B，∴0∈A。又集合為3元素集，

∴x≠xy,∴x≠0．又0∈B，y∈B,∴y≠0，從而x－y=0，即x=y

這時(shí)，，∴|x|=x2．則x=0(舍去)x=±1

當(dāng)x=1時(shí)，A={1，1，0}舍去；當(dāng)x=－1時(shí)，A={－1，1，0}，B={0，1，－1}滿足A=B，∴x=y=－1．

【點(diǎn)評(píng)】此題若開始就討論x=0，xy=0，x－y=0則較繁瑣，故先分析，后討論．

【例2】解不等式

分析將定義區(qū)域，劃分為三段，x－9，－9≤x≤，x分別討論．

解(1)當(dāng)x－9時(shí)，－(x＋9)＋(3x－4)＋2＞0，2x－11＞0．x＞，與x＜－9矛盾，原不等式無解；

(2)當(dāng)－9≤x≤時(shí)，(x＋9)＋(3x－4)＋2＞0，得x＞，∴＜x≤

(3)當(dāng)x＞時(shí)，(x＋9)－(3x－4)＋2＞0得x＜，∴＜x＜

綜上可得原不等式解集為{x│＜x＜}

【點(diǎn)評(píng)】例2中絕對(duì)值的存在是解題的一大障礙，因此必須去掉絕對(duì)值；如何去掉絕對(duì)值呢?須對(duì)問題的定義域劃分區(qū)間，分類討論，才能去掉絕對(duì)值符號(hào)，這正是解這個(gè)問題分類討論的原因．分點(diǎn)的確定、劃分區(qū)間至關(guān)重要，它是分類討論解題關(guān)鍵一環(huán)．

2、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法．縱觀歷年高考試題。以數(shù)形結(jié)合的思想方法巧妙運(yùn)用解決的問題比比皆是．

認(rèn)清集合的特征，準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系，借助圖形使問題直觀、具體、準(zhǔn)確地得到解決，因此處理集合問題要重視數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用(如數(shù)軸、幾何圖形、文氏圖等)．

【例3】設(shè)全集為U，在下列條件中，是BA的充要條件的有()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

（1）（2）（3）（4）

解析本題可以利用文氏圖，化抽象為直觀，從而化難為易，選D．

U

A

B

，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：方程組有解

圓與直線有公共點(diǎn)

≤≤≤

故的取值范圍是

【點(diǎn)評(píng)】將集合之間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為圖形之間的運(yùn)算，將集合語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，然后用代數(shù)的方法解決．

3、集合思想：

集合問題與函數(shù)、方程、不等式以及與整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)，要正確運(yùn)用集合的思想將問題相互轉(zhuǎn)化，特別是數(shù)與形、代數(shù)與幾何之間的轉(zhuǎn)化．

【例5】已知，，求的充要條件．

【解】考慮的充要條件是方程組

至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即至少有一個(gè)非負(fù)根，

由△≥0得a≤5，又因?yàn)樯鲜龇匠逃袃蓚€(gè)負(fù)根的充要條件是且，即

且，解得a－3，于是這個(gè)方程至少有一個(gè)非負(fù)根的a的取值范圍是－3≤a≤5，此即為所求的充要條件．

【點(diǎn)評(píng)】本題從正面求的充要條件比較困難，故首先將集合問題轉(zhuǎn)化為方程的問題，然后用補(bǔ)集思想來加以解決．

二、課堂小結(jié)：

本章包括兩個(gè)互相關(guān)聯(lián)又相對(duì)獨(dú)立的內(nèi)容：集合、簡(jiǎn)易邏輯，這兩個(gè)內(nèi)容都是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．高考命題熱點(diǎn)之一是集合，主要考查以下兩方面：一是對(duì)集合基本概念的認(rèn)識(shí)和理解的水平，如集合的表示法，元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，集合的運(yùn)算；第二是考查對(duì)集合知識(shí)的應(yīng)用水平，如求不等式和不等式組的解集，列不等式或不等式組，解決相關(guān)問題．在考查集合知識(shí)的同時(shí)突出考查準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言的能力和用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的能力．

高考命題熱點(diǎn)之二是簡(jiǎn)易邏輯，主要考查兩方面：一是命題的四種形式及原命題與逆否命題的等價(jià)性，二是充要條件的判定．在考查命題知識(shí)的同時(shí)主要考查命題轉(zhuǎn)換、邏輯推理和分析問題的能力．

三、作業(yè)：《威州中學(xué)課時(shí)作業(yè)》

四、課后記：

第一章“集合與簡(jiǎn)易邏輯”教材分析

第一章“集合與簡(jiǎn)易邏輯”教材分析

本章安排的是“集合與簡(jiǎn)易邏輯”，這一章主要講述集合的初步知識(shí)與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)兩部分內(nèi)容．集合的初步知識(shí)是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教科書中原來就有的內(nèi)容，這部分主要包括集合的有關(guān)概念、集合的表示及集合同集合之間的關(guān)系．簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)則是新增加的內(nèi)容，這部分主要介紹邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”、四種命題及其相互關(guān)系、充要條件等有關(guān)知識(shí)

集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基礎(chǔ)．一方面，許多重要的學(xué)科，如數(shù)學(xué)中的數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計(jì)、拓?fù)涞?，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上．另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學(xué)思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用．

邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門基礎(chǔ)學(xué)科．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，需要全面地理解概念，正確地進(jìn)行表述、推理和判斷，這就離不開對(duì)邏輯知識(shí)的掌握和運(yùn)用．更廣泛地說，在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中，基本的邏輯知識(shí)也是認(rèn)識(shí)問題、研究問題不可缺少的工具，是人們文化素質(zhì)的組成部分．

在高中數(shù)學(xué)中，集合的初步知識(shí)與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)，與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系，它是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)，這就是把它們安排在高中數(shù)學(xué)起始章的出發(fā)點(diǎn)．

本章共編排了8小節(jié)，教學(xué)時(shí)間約需22課時(shí)：

11集合

約2課時(shí)

12子集、全集、補(bǔ)集

約2課時(shí)

13交集、并集

約2課時(shí)

14絕對(duì)值不等式的解法

約2課時(shí)

15一元二次不等式的解法

約4課時(shí)

16邏輯聯(lián)結(jié)詞

約2課時(shí)

17四種命題

約2課時(shí)

18充分條件與必要條件

約2課時(shí)

小結(jié)與復(fù)習(xí)

約4課時(shí)

說明：本章是高中數(shù)學(xué)的起始章，課時(shí)安排得相對(duì)寬松一些，像小結(jié)與復(fù)習(xí)部分安排4課時(shí)，其中考慮到了對(duì)初中內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)復(fù)習(xí)、鞏固的因素．

一內(nèi)容與要求

大體上按照集合與邏輯這兩個(gè)基本內(nèi)容，第一章編排成兩大節(jié)．

第一大節(jié)是“集合”．學(xué)生在小學(xué)和初中數(shù)學(xué)中，已經(jīng)接觸過集合，對(duì)于諸如數(shù)集（整數(shù)的集合、有理數(shù)的集合）、點(diǎn)集（圓）等，都有了一定的感性認(rèn)識(shí)．在此基礎(chǔ)上，這一大節(jié)首先結(jié)合實(shí)例引出集合與集合的元素的概念，并介紹了集合的表示方法．然后，從討論集合與集合之間的包含與相等的關(guān)系入手，給出子集的概念，此外，還給出了與子集相聯(lián)系的全集與補(bǔ)集的概念．接著，又講述了屬于集合運(yùn)算的交集、并集的初步知識(shí)．鑒于不等式的內(nèi)容目前初中數(shù)學(xué)只講述一元一次不等式與一元一次不等式組，考慮到集合知識(shí)的運(yùn)用與鞏固，又考慮到下一章討論函數(shù)的定義域與值域的需要，第一大節(jié)最后安排的是絕對(duì)值不等式與一元二次不等式的解法．此外，在這一大節(jié)之后，還附了一篇關(guān)于有限集合元素個(gè)數(shù)的閱讀材料．

這一大節(jié)的重點(diǎn)是有關(guān)集合的基本概念．學(xué)習(xí)集合的初步知識(shí)，可以使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的集合語言，可以使學(xué)生更好地使用集合語言表述數(shù)學(xué)問題，并且可以使學(xué)生運(yùn)用集合的觀點(diǎn)研究、處理數(shù)學(xué)問題，這里，起重要作用的就是有關(guān)集合的基本概念．

這一大節(jié)的難點(diǎn)是有關(guān)集合的各個(gè)概念的含義以及這些概念相互之間的區(qū)別與聯(lián)系．學(xué)生是從本章才正式開始學(xué)習(xí)集合知識(shí)的，這部分包含了比較多的新概念，還有相應(yīng)的新符號(hào)，有些概念、符號(hào)還容易混淆，這些因素都可能造成學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙．

第二大節(jié)是“簡(jiǎn)易邏輯”．學(xué)生在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)過簡(jiǎn)單的命題(包括原命題與逆命題)知識(shí)，掌握了簡(jiǎn)單的推理方法(包括對(duì)反證法的了解)．由此，這一大節(jié)首先給出含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的意義，介紹了判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假的方法．接下來，講述四種命題及其相互關(guān)系，并且在初中的基礎(chǔ)上，結(jié)合四種命題的知識(shí)，進(jìn)一步講解反證法．然后，通過若干實(shí)例，講述了充分條件、必要條件和充要條件的有關(guān)知識(shí)．

這一大節(jié)的重點(diǎn)是邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件．學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)，主要是為了培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，在這方面，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件的有關(guān)內(nèi)容是十分必要的．

這一大節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)一些代數(shù)命題真假的判斷．初中階段，學(xué)生只是對(duì)簡(jiǎn)單的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相關(guān)的技能和能力，主要還是通過幾何課的學(xué)習(xí)獲得的，初中代數(shù)側(cè)重的是運(yùn)算的技能和能力，因此，像對(duì)代數(shù)命題的證明，學(xué)生還需要有一個(gè)逐步熟悉的過程．

根據(jù)《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗(yàn)修訂版）》的規(guī)定，本章的教學(xué)要求是：

⒈理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合；掌握帶絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法．

⒉理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義；理解四種命題及其相互關(guān)系；進(jìn)一步了解反證法，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的問題；掌握充要條件的意義．

二本章的特點(diǎn)

⒈注意初中與高中的銜接

近年來，在與本章有關(guān)的內(nèi)容上，按照教學(xué)大綱，初中的教學(xué)要求有哪些變化呢？

先看有關(guān)集合的部分．初中適當(dāng)滲透一些集合思想，這一點(diǎn)基本沒有變化．此外，初中去掉了一元二次不等式與絕對(duì)值不等式的內(nèi)容．

再看有關(guān)邏輯的部分．1996年以前的初中畢業(yè)生，應(yīng)該達(dá)到以下要求：⑴了解命題的概念；⑵初步掌握逆命題和逆定理的概念，能正確敘述題設(shè)與結(jié)論都是簡(jiǎn)單命題的命題的逆命題，了解正確命題的逆命題的逆命題不一定正確；⑶了解四種命題及其相互關(guān)系；⑷理解用反證法證明命題的思路，能用反證法證明一些比較簡(jiǎn)單的幾何題．從1996年起，對(duì)于高一新生，初中的要求又有進(jìn)一步調(diào)整．上述⑵改為：了解逆命題和逆定理的概念，原命題成立它的逆命題不一定成立，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題．⑶刪去．⑷改為：了解反證法．

基于以上情況，考慮到學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的需要，新教材一方面補(bǔ)充了一些必要的知識(shí)點(diǎn)，例如關(guān)于一元二次不等式與絕對(duì)值不等式的解法；另一方面對(duì)一些初中相對(duì)薄弱的內(nèi)容，適當(dāng)予以加強(qiáng)，例如關(guān)于反證法等．

例如，關(guān)于交集、并集的概念，教科書先從圖形表示入手，讓學(xué)生有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，然后給出定義，再用實(shí)例加以說明，并且，引出概念的圖形也只是采用了一種簡(jiǎn)明的形式，而沒有畫出全部可能出現(xiàn)的情況．

又如，本章是對(duì)比初中學(xué)過的一元一次不等式，并且借助二次函數(shù)的圖象，講述一元二次不等式解法的．

⒉重視集合與邏輯在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

本章是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)本章，主要目的是為了理解后續(xù)章節(jié)出現(xiàn)的集合與邏輯語言，會(huì)用集合與邏輯語言描述學(xué)習(xí)中遇到的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而解決這些問題．像對(duì)一些性質(zhì)、定理的理解，對(duì)函數(shù)的定義域、值域的描述，對(duì)推理方法的掌握，等等．

本章在集合與邏輯內(nèi)容的編排上，既考慮到知識(shí)的系統(tǒng)性，又照顧到學(xué)生的可接受性，并且始終圍繞著集合與邏輯在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用這一基本出發(fā)點(diǎn)．

在集合這部分，有關(guān)集合運(yùn)算的內(nèi)容，就注意在解方程和不等式方面的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)概念的分類方面的應(yīng)用．

在邏輯這部分，有關(guān)命題的內(nèi)容，突出的是對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的理解和對(duì)復(fù)合命題真值的認(rèn)識(shí)，而不過多地涉及對(duì)一個(gè)語句是不是命題的判斷．此外，像關(guān)于復(fù)合命題的否定，對(duì)近期學(xué)習(xí)影響不大，學(xué)生學(xué)習(xí)又比較困難，本章基本未涉及．

為了幫助學(xué)生理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”，教科書中介紹了“或門電路”、“與門電路”，這是兩個(gè)應(yīng)用的實(shí)例．實(shí)際上，計(jì)算機(jī)的“智能”裝置就是以數(shù)學(xué)邏輯為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的

三教學(xué)中應(yīng)注意的問題

⒈教學(xué)要求的把握要適時(shí)、適度

本章是高中數(shù)學(xué)的起始章，適當(dāng)?shù)匕盐毡菊碌慕虒W(xué)要求是教學(xué)中應(yīng)該重視的問題．

集合與邏輯的初步知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，主要是為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他知識(shí)作基本語言、基本方法的準(zhǔn)備，相應(yīng)地，對(duì)知識(shí)系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性的要求一定要適度．

學(xué)習(xí)有關(guān)集合的初步知識(shí)，其目的主要在于應(yīng)用．具體說，就是在學(xué)習(xí)其他知識(shí)時(shí)，能讀懂其中的簡(jiǎn)單的集合概念和符號(hào)；在處理簡(jiǎn)單的實(shí)際問題時(shí)，能根據(jù)需要，運(yùn)用集合語言進(jìn)行表述．在安排訓(xùn)練時(shí)，要把握一定的分寸，不要搞偏題、怪題．集合有關(guān)性質(zhì)的證明，一般不要求學(xué)生掌握．有些可能混淆但在實(shí)際問題中并不多見的關(guān)系，就不必故意編排在一起，讓學(xué)生去一一進(jìn)行辨析．

本章安排的是集合與邏輯的初步知識(shí)，這些知識(shí)的講述，是以初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容為基礎(chǔ)的．從引出有關(guān)知識(shí)的實(shí)例，到具體應(yīng)用的問題，基本都屬于初中數(shù)學(xué)的范圍，這種局限自然會(huì)對(duì)有關(guān)知識(shí)的理解和掌握造成一定影響．隨著后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)，對(duì)集合與邏輯知識(shí)的應(yīng)用將越來越廣泛和深入，相應(yīng)地，對(duì)集合與邏輯知識(shí)理解和掌握的水平也就越來越高了．因此，本章的教學(xué)要求，應(yīng)該避免一步到位．

關(guān)于含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真值表，在開始時(shí)，教學(xué)重點(diǎn)還是借助三個(gè)真值表，加深對(duì)含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的了解，而不必急于讓學(xué)生掌握對(duì)一般復(fù)合命題的真假的判斷．

關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件，本章對(duì)教學(xué)要求的尺度，還是控制在對(duì)初中代數(shù)、幾何的有關(guān)問題的理解上為宜．

⒉提高集合與邏輯的教學(xué)效益

目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)突出問題是教學(xué)效益不高．具體表現(xiàn)在：一方面，學(xué)生用在數(shù)學(xué)上的時(shí)間比較多，像與美國(guó)比，是美國(guó)學(xué)生的好幾倍；另一方面，學(xué)生在考試中表現(xiàn)良好，但創(chuàng)造性能力和應(yīng)用能力有一定欠缺，個(gè)性發(fā)展也存在著不足之處．

為了后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)，在本章必須給學(xué)生打下適當(dāng)?shù)募吓c邏輯基礎(chǔ)，限于學(xué)生的預(yù)備知識(shí)與接受能力，在本章又不能過多地追求理論的完整，只有處理好這個(gè)關(guān)系，才能提高教學(xué)效益．因此，在實(shí)際教學(xué)時(shí)，一定要抓住重點(diǎn)．怎樣把握本章的教學(xué)重點(diǎn)呢？一是要有助于對(duì)初中數(shù)學(xué)的理解，二是要能為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)掃除障礙．換句話說，學(xué)習(xí)集合與邏輯，要著眼于用集合與邏輯的知識(shí)解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題，而不要在概念的嚴(yán)謹(jǐn)性、知識(shí)的系統(tǒng)性上花過多的時(shí)間與精力．像邏輯中有不少問題，在學(xué)術(shù)界內(nèi)部都有爭(zhēng)論，在高一數(shù)學(xué)課上，就完全沒有必要去涉及了．

⒊使用數(shù)學(xué)符號(hào)要規(guī)范

本章教材有不少集合與邏輯的數(shù)學(xué)符號(hào)，這些符號(hào)的采用，依據(jù)的是新的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，其中有些符號(hào)與原教科書不同，在教學(xué)時(shí)應(yīng)該注意．

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯(高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯

一、基礎(chǔ)知識(shí)
定義1一般地，一組確定的、互異的、無序的對(duì)象的全體構(gòu)成集合，簡(jiǎn)稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個(gè)對(duì)象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合A中，稱屬于A，記為，否則稱不屬于A，記作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。
集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號(hào)內(nèi)并用逗號(hào)隔開表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。例如{有理數(shù)}，分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。
定義2子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。
定義3交集，
定義4并集，
定義5補(bǔ)集，若稱為A在I中的補(bǔ)集。
定義6差集，。
定義7集合記作開區(qū)間，集合
記作閉區(qū)間，R記作
定理1集合的性質(zhì)：對(duì)任意集合A，B，C，有：
（1）（2）；
（3）（4）
【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。
（1）若，則，且或，所以或，即；反之，，則或，即且或，即且，即
（3）若，則或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有
定理2加法原理：做一件事有類辦法，第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法，…，第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。
定理3乘法原理：做一件事分個(gè)步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，…，第步有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。
二、方法與例題
1．利用集合中元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。
例1設(shè)，求證：
（1）；
（2）；
（3）若，則
[證明]（1）因?yàn)?，且，所?br> （2）假設(shè)，則存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能等于，假設(shè)不成立，所以
（3）設(shè)，則
（因?yàn)椋?br> 2．利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則A=B。
例2設(shè)A，B是兩個(gè)集合，又設(shè)集合M滿足
，求集合M（用A，B表示）。
【解】先證，若，因?yàn)?，所以，所以?br> 再證，若，則1）若，則；2）若，則。所以
綜上，
3．分類討論思想的應(yīng)用。
例3，若，求
【解】依題設(shè)，，再由解得或，
因?yàn)?，所以，所以，所以?，所以或3。
因?yàn)?，所以，若，則，即，若，則或，解得
綜上所述，或；或。
4．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。
例4集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，求有序集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)；（2）求I的非空真子集的個(gè)數(shù)。
【解】（1）集合I可劃分為三個(gè)不相交的子集；AB，BA，中的每個(gè)元素恰屬于其中一個(gè)子集，10個(gè)元素共有310種可能，每一種可能確定一個(gè)滿足條件的集合對(duì)，所以集合對(duì)有310個(gè)。
（2）I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個(gè)子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，…，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有個(gè)，非空真子集有1022個(gè)。
5．配對(duì)方法。
例5給定集合的個(gè)子集：，滿足任何兩個(gè)子集的交集非空，并且再添加I的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求的值。
【解】將I的子集作如下配對(duì)：每個(gè)子集和它的補(bǔ)集為一對(duì)，共得對(duì)，每一對(duì)不能同在這個(gè)子集中，因此，；其次，每一對(duì)中必有一個(gè)在這個(gè)子集中出現(xiàn)，否則，若有一對(duì)子集未出現(xiàn)，設(shè)為C1A與A，并設(shè)，則，從而可以在個(gè)子集中再添加，與已知矛盾，所以。綜上，。
6．競(jìng)賽常用方法與例問題。
定理4容斥原理；用表示集合A的元素個(gè)數(shù)，則
，需要xy此結(jié)論可以推廣到個(gè)集合的情況，即
定義8集合的劃分：若，且，則這些子集的全集叫I的一個(gè)-劃分。
定理5最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。
定理6抽屜原理：將個(gè)元素放入個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜放有不少于個(gè)元素，也必有一個(gè)抽屜放有不多于個(gè)元素；將無窮多個(gè)元素放入個(gè)抽屜必有一個(gè)抽屜放有無窮多個(gè)元素。
例6求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。
【解】記，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的數(shù)有個(gè)。
例7S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于4或7，問S中最多含有多少個(gè)元素？
【解】將任意連續(xù)的11個(gè)整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個(gè)數(shù)至多有一個(gè)屬于S，將這11個(gè)數(shù)按連續(xù)兩個(gè)為一組，分成6組，其中一組只有一個(gè)數(shù)，若S含有這11個(gè)數(shù)中至少6個(gè)，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以S至多含有其中5個(gè)數(shù)。又因?yàn)?004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912個(gè)元素，另一方面，當(dāng)時(shí)，恰有，且S滿足題目條件，所以最少含有912個(gè)元素。
例8求所有自然數(shù)，使得存在實(shí)數(shù)滿足：
【解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。下證當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件。
令，則
所以必存在某兩個(gè)下標(biāo)，使得，所以或，即，所以或，。
（?。┤?，考慮，有或，即，設(shè)，則，導(dǎo)致矛盾，故只有
考慮，有或，即，設(shè)，則，推出矛盾，設(shè)，則，又推出矛盾，所以故當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。
（ⅱ）若，考慮，有或，即，這時(shí)，推出矛盾，故?？紤]，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，這又矛盾，所以只有，所以。故當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。
例9設(shè)A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三個(gè)數(shù)，B中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合，求的最小值。
【解】
設(shè)B中每個(gè)數(shù)在所有中最多重復(fù)出現(xiàn)次，則必有。若不然，數(shù)出現(xiàn)次（），則在出現(xiàn)的所有中，至少有一個(gè)A中的數(shù)出現(xiàn)3次，不妨設(shè)它是1，就有集合{1，}，其中，為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個(gè)數(shù)，這不可能，所以
20個(gè)中，B中的數(shù)有40個(gè)，因此至少是10個(gè)不同的，所以。當(dāng)時(shí)，如下20個(gè)集合滿足要求：
{1，2，3，7，8}，{1，2，4，12，14}，{1，2，5，15，16}，{1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}，{1，3，5，13，14}，{1，3，6，12，15}，{1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}，{1，5，6，8，11}，{2，3，4，13，15}，{2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}，{2，4，5，8，10}，{2，4，6，7，11}，{2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}，{3，4，6，8，9}，{3，5，6，7，10}，{4，5，6，14，15}。
例10集合{1，2，…，3n}可以劃分成個(gè)互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正整數(shù)
【解】設(shè)其中第個(gè)三元集為則1+2+…+
所以。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}滿足條件，所以的最小值為5。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．給定三元集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________。
2．若集合中只有一個(gè)元素，則=___________。
3．集合的非空真子集有___________個(gè)。
4．已知集合，若，則由滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合P=___________。
5．已知，且，則常數(shù)的取值范圍是___________。
6．若非空集合S滿足，且若，則，那么符合要求的集合S有___________個(gè)。
7．集合之間的關(guān)系是___________。
8．若集合，其中，且，若，則A中元素之和是___________。
9．集合，且，則滿足條件的值構(gòu)成的集合為___________。
10．集合，則
___________。
11．已知S是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足1））若，則。如果，S中至少含有多少個(gè)元素？說明理由。
12．已知，又C為單元素集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知集合，且A=B，則___________，___________。

2．
，則___________。
3．已知集合，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是___________。
4．若實(shí)數(shù)為常數(shù)，且___________。
5．集合，若，則___________。
6．集合，則中的最小元素是___________。
7．集合，且A=B，則___________。
8．已知集合，且，則的取值范圍是___________。
9．設(shè)集合，問：是否存在，使得，并證明你的結(jié)論。
10．集合A和B各含有12個(gè)元素，含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下列條件的集合C的個(gè)數(shù)：1）且C中含有3個(gè)元素；2）。
11．判斷以下命題是否正確：設(shè)A，B是平面上兩個(gè)點(diǎn)集，，若對(duì)任何，都有，則必有，證明你的結(jié)論。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．已知集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________。
2．集合的子集B滿足：對(duì)任意的，則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值是___________。
3．已知集合，其中，且，若P=Q，則實(shí)數(shù)___________。
4．已知集合，若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則___________。
5．集合，集合，則集合M與N的關(guān)系是___________。
6．設(shè)集合，集合A滿足：，且當(dāng)時(shí)，，則A中元素最多有___________個(gè)。
7．非空集合，≤則使成立的所有的集合是___________。
8．已知集合A，B，aC（不必相異）的并集,則滿足條件的有序三元組（A，B，C）個(gè)數(shù)是___________。
9．已知集合，問：當(dāng)取何值時(shí)，為恰有2個(gè)元素的集合？說明理由，若改為3個(gè)元素集合，結(jié)論如何？
10．求集合B和C，使得，并且C的元素乘積等于B的元素和。
11．S是Q的子集且滿足：若，則恰有一個(gè)成立，并且若，則，試確定集合S。
12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干個(gè)五元子集滿足：S中的任何兩個(gè)元素至多出現(xiàn)在兩個(gè)不同的五元子集中，問：至多有多少個(gè)五元子集？
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．是三個(gè)非空整數(shù)集，已知對(duì)于1，2，3的任意一個(gè)排列，如果，，則。求證：中必有兩個(gè)相等。
2．求證：集合{1，2，…，1989}可以劃分為117個(gè)互不相交的子集，使得（1）每個(gè)恰有17個(gè)元素；（2）每個(gè)中各元素之和相同。
3．某人寫了封信，同時(shí)寫了個(gè)信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯(cuò)的情況有多少種？
4．設(shè)是20個(gè)兩兩不同的整數(shù)，且整合中有201個(gè)不同的元素，求集合中不同元素個(gè)數(shù)的最小可能值。
5．設(shè)S是由個(gè)人組成的集合。求證：其中必定有兩個(gè)人，他們的公共朋友的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。
6．對(duì)于整數(shù)，求出最小的整數(shù)，使得對(duì)于任何正整數(shù)，集合的任一個(gè)元子集中，均有至少3個(gè)兩兩互質(zhì)的元素。
7．設(shè)集合S={1，2，…，50}，求最小自然數(shù)，使S的任意一個(gè)元子集中都存在兩個(gè)不同的數(shù)a和b，滿足。
8．集合，試作出X的三元子集族，滿足：
（1）X的任意一個(gè)二元子集至少被族中的一個(gè)三元子集包含；
（2）。
9．設(shè)集合，求最小的正整數(shù)，使得對(duì)A的任意一個(gè)14-分劃，一定存在某個(gè)集合，在中有兩個(gè)元素a和b滿足。