高中函數(shù)的應(yīng)用教案

函數(shù)模型及其應(yīng)用（2）教案蘇教版必修1。

3.4.2函數(shù)模型及其應(yīng)用（2）
教學(xué)目標(biāo)：
1.能根據(jù)圖形、表格等實(shí)際問(wèn)題的情境建立數(shù)學(xué)模型，并求解；進(jìn)一步了解函數(shù)模型在解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用；
2.在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地分析問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)重點(diǎn)：
在解決以圖、表等形式作為問(wèn)題背景的實(shí)際問(wèn)題中，讀懂圖表并求解.
教學(xué)難點(diǎn)：
對(duì)圖、表的理解.

教學(xué)方法：
講授法，嘗試法.

教學(xué)過(guò)程：
一、情境創(chuàng)設(shè)
已知矩形的長(zhǎng)為4，寬為3，如果長(zhǎng)增加x，寬減少0.5x，所得新矩形的面積為S．
（1）將S表示成x的函數(shù)；
（2）求面積S的最大值，并求此時(shí)x的值．
二、學(xué)生活動(dòng)
思考并完成上述問(wèn)題．
三、例題解析
例1有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上，寫(xiě)出這個(gè)梯形周長(zhǎng)y和腰長(zhǎng)x間的函數(shù)關(guān)系式，并求出它的定義域．
例2一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)每間客房每天的價(jià)格與住房率有如下關(guān)系：
每間客房定價(jià)20202014
住房率65%75%85%95%
要使每天收入最高，每間客房定價(jià)為多少元？
例3今年5月，荔枝上市．由歷年的市場(chǎng)行情得知，從5月10日起的60天內(nèi)，荔枝的市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系大致可用如圖所示的折線ABCD表示(市場(chǎng)售價(jià)的單位為元／500g)．
請(qǐng)寫(xiě)出市場(chǎng)售價(jià)S(t)(元)與上市時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系式，并求出6月20日當(dāng)天的荔枝市場(chǎng)售價(jià)．
練習(xí)：1．直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直線l：x＝t截此梯形所得位于l左方圖形的面積為S，則函數(shù)S＝f(t)的大致圖象為()

2．一個(gè)圓柱形容器的底部直徑是dcm，高是hcm，現(xiàn)在以vcm3/s的速度向容器內(nèi)注入某種溶液，求容器內(nèi)溶液的高度x(cm)與注入溶液的時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域．
3．向高為H的水瓶中注水，注滿為止．如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，那么水瓶的形狀可能是()

4．某公司將進(jìn)貨單價(jià)為10元一個(gè)的商品按13元一個(gè)銷(xiāo)售，每天可賣(mài)200個(gè)．若這種商品每漲價(jià)1元，銷(xiāo)售量則減少26個(gè)．
（1）售價(jià)為15元時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少？
（2）若銷(xiāo)售價(jià)必須為整數(shù)，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)如何定價(jià)？
5．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某商品在最近40天內(nèi)的價(jià)格f(t)與時(shí)間t滿足：
f(t)＝，銷(xiāo)售量g(t)與時(shí)間t滿足：g(t)＝
(0≤t≤40，tN)，求這種商品日銷(xiāo)售金額的最大值．
四、小結(jié)
利用圖、表建模；分段建模．
五、作業(yè)
課本P110－10．

擴(kuò)展閱讀

3.4.2　函數(shù)模型及其應(yīng)用（1）

俗話說(shuō)，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生更容易聽(tīng)懂所講的內(nèi)容，使教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。教案的內(nèi)容具體要怎樣寫(xiě)呢？小編為此仔細(xì)地整理了以下內(nèi)容《3.4.2　函數(shù)模型及其應(yīng)用（1）》，相信能對(duì)大家有所幫助。

3.4.2函數(shù)模型及其應(yīng)用（1）
教學(xué)目標(biāo)：
1．能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的情境建立數(shù)學(xué)模型，利用計(jì)算工具，結(jié)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，給出問(wèn)題的解答；
2．通過(guò)實(shí)例，理解一次函數(shù)、二次函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)在解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用；
3．在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地分析問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)重點(diǎn)：
一次函數(shù)、二次函數(shù)以及指、對(duì)數(shù)函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)的應(yīng)用．
教學(xué)難點(diǎn)：
從生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)模型.

教學(xué)過(guò)程：
一、問(wèn)題情境
某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn)，如果人口的年自然增長(zhǎng)率為1.2﹪，問(wèn):
（1）寫(xiě)出該城市人口數(shù)y(萬(wàn)人)與經(jīng)歷的年數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式;
（2）計(jì)算10年后該城市的人口數(shù)；
（3）計(jì)算大約多少年后，該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)?
（4）如果20年后該城市人口數(shù)不超過(guò)120萬(wàn)，年人口自然增長(zhǎng)率應(yīng)該控制在多少？
二、學(xué)生活動(dòng)
回答上述問(wèn)題，并完成下列各題：
1．等腰三角形頂角y(單位：度)與底角x的函數(shù)關(guān)系為．
2．某種茶杯，每個(gè)0.5元，把買(mǎi)茶杯的錢(qián)數(shù)y(元)表示為茶杯個(gè)數(shù)x(個(gè))的函數(shù)，其定義域?yàn)椋?br> 三、數(shù)學(xué)應(yīng)用
例1某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)計(jì)算機(jī)的固定成本為200萬(wàn)元，生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為3000元，每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為5000元，分別寫(xiě)出總成本C(萬(wàn)元)、單位成本P(萬(wàn)元)、銷(xiāo)售收入R(元)以及利潤(rùn)L(萬(wàn)元)關(guān)于總產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)關(guān)系式．
例2大氣溫度y(℃)隨著離開(kāi)地面的高度x(km)增大而降低，到上空11km為止，大約每上升1km，氣溫降低6℃，而在更高的上空氣溫卻幾乎沒(méi)變(設(shè)地面溫度為22℃)．
求：（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）x＝3.5km以及x＝12km處的氣溫．
變式：在例2的條件下，某人在爬一座山的過(guò)程中，分別測(cè)得山腳和山頂?shù)臏囟葹?6℃和14.6℃，試求山的高度．
四、建構(gòu)數(shù)學(xué)
利用數(shù)學(xué)某型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般按照以下步驟進(jìn)行：

1．審題：理解問(wèn)題的實(shí)際背景，概括出數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，嘗試將抽象問(wèn)題函數(shù)化；
2．引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)所學(xué)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義域；
3．用數(shù)學(xué)的方法對(duì)得到的數(shù)學(xué)模型予以解答，求出結(jié)果；
4．將數(shù)學(xué)問(wèn)題的解代入實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去不合題意的解，并作答.
五、鞏固練習(xí)
1．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品時(shí)的全部支出稱(chēng)為生產(chǎn)成本，可表示為商品數(shù)量的函數(shù)，現(xiàn)知道一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為x件時(shí)的成本函數(shù)是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件這種商品的收入是200元，那么生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種商品的數(shù)量是200件時(shí)，該企業(yè)所得的利潤(rùn)可達(dá)到元．
2．有m部同樣的機(jī)器一起工作，需要m小時(shí)完成一項(xiàng)任務(wù)．設(shè)由x部機(jī)
器（x為不大于m的正整數(shù)）完成同一任務(wù)，求所需時(shí)間y(小時(shí))與機(jī)器的
部數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式．
3．A，B兩地相距150千米，某人以60千米/時(shí)的速度開(kāi)車(chē)從A到B，在B地停留1小時(shí)后再以50千米/時(shí)的速度返回A，則汽車(chē)離開(kāi)A地的距離x與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為．
4．某車(chē)站有快、慢兩種車(chē)，始發(fā)站距終點(diǎn)站7.2km，慢車(chē)到達(dá)終點(diǎn)需16min，快車(chē)比慢車(chē)晚發(fā)車(chē)3min，且行駛10min到達(dá)終點(diǎn)站.試分別寫(xiě)出兩車(chē)所行路程關(guān)于慢車(chē)行駛時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式．兩車(chē)在何時(shí)相遇？相遇時(shí)距始發(fā)站多遠(yuǎn)？
5．某產(chǎn)品總成本C(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))滿足關(guān)系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240．若每臺(tái)產(chǎn)品售價(jià)25萬(wàn)元，要使廠家不虧本，則最少應(yīng)生產(chǎn)多少臺(tái)？
六、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié)
1．利于函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法和步驟；
2．一次函數(shù)、二次函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)的應(yīng)用．
七、作業(yè)
課本P100－練習(xí)1，2，3．

函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

§3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例（2）

學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過(guò)一些實(shí)例，來(lái)感受一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的廣泛應(yīng)用，體會(huì)解決實(shí)際問(wèn)題中建立函數(shù)模型的過(guò)程，從而進(jìn)一步加深對(duì)這些函數(shù)的理解與應(yīng)用；
2.初步了解對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表的分析與處理.

學(xué)習(xí)過(guò)程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材P104~P106，找出疑惑之處）
閱讀：2003年5月8日，西安交通大學(xué)醫(yī)學(xué)院緊急啟動(dòng)“建立非典流行趨勢(shì)預(yù)測(cè)與控制策略數(shù)學(xué)模型”研究項(xiàng)目，馬知恩教授率領(lǐng)一批專(zhuān)家晝夜攻關(guān)，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供決策部門(mén)參考的應(yīng)用軟件.
這一數(shù)學(xué)模型利用實(shí)際數(shù)據(jù)擬合參數(shù)，并對(duì)全國(guó)和北京、山西等地的疫情進(jìn)行了計(jì)算仿真，結(jié)果指出，將患者及時(shí)隔離對(duì)于抗擊非典至關(guān)重要、分析報(bào)告說(shuō)，就全國(guó)而論，菲非典病人延遲隔離1天，就醫(yī)人數(shù)將增加1000人左右，推遲兩天約增加工能力100人左右；若外界輸入1000人中包含一個(gè)病人和一個(gè)潛伏病人，將增加患病人數(shù)100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔離措施，則高峰期病人人數(shù)將達(dá)60萬(wàn)人.
這項(xiàng)研究在充分考慮傳染病控制中心每日工資發(fā)布的數(shù)據(jù)，建立了非典流行趨勢(shì)預(yù)測(cè)動(dòng)力學(xué)模型和優(yōu)化控制模型，并對(duì)非典未來(lái)的流行趨勢(shì)做了分析預(yù)測(cè).

二、新課導(dǎo)學(xué)
※典型例題
例1某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進(jìn)價(jià)是5元.銷(xiāo)售單價(jià)與日均銷(xiāo)售量的關(guān)系如下表所示：
銷(xiāo)售單價(jià)/元6789101112
日均銷(xiāo)售量/桶480440400360320280240
請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析,這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)?

變式：某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿.公司欲提高檔次，并提高租金，如果每間客房日增加2元，客房出租數(shù)就會(huì)減少10間.若不考慮其他因素，旅社將房間租金提高到多少時(shí)，每天客房的租金總收入最高？

小結(jié)：找出實(shí)際問(wèn)題中涉及的函數(shù)變量→根據(jù)變量間的關(guān)系建立函數(shù)模型→利用模型解決實(shí)際問(wèn)題→小結(jié)：二次函數(shù)模型。

例2某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表（身高：cm；體重：kg）
身高60708090100110
體重6.137.909.9912.1515.0217.50
身高120130140150160170
體重20.9226.8631.1138.8547.2555.05
（1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高ykg與身高xcm的函數(shù)模型的解析式.
（2）若體重超過(guò)相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重78kg的在校男生的體重是否正常？

小結(jié)：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，通過(guò)建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程：收集數(shù)據(jù)→畫(huà)散點(diǎn)圖→選擇函數(shù)模型→求函數(shù)模型→檢驗(yàn)→符合實(shí)際，用函數(shù)模型解釋實(shí)際問(wèn)題；不符合實(shí)際，則重新選擇函數(shù)模型，直到符合實(shí)際為止.
※動(dòng)手試試
練1.某同學(xué)完成一項(xiàng)任務(wù)共花去9個(gè)小時(shí)，他記錄的完成工作量的百分?jǐn)?shù)如下：
時(shí)間/小時(shí)123456789
完成
百分?jǐn)?shù)1530456060708090100
（1）如果用來(lái)表示h小時(shí)后完成的工作量的百分?jǐn)?shù)，請(qǐng)問(wèn)是多少？求出的解析式，并畫(huà)出圖象；
（2）如果該同學(xué)在早晨8：00時(shí)開(kāi)始工作，什么時(shí)候他未工作？

練2.有一批影碟（VCD）原銷(xiāo)售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家家電商場(chǎng)均有銷(xiāo)售.甲商場(chǎng)用如下方法促銷(xiāo)：買(mǎi)一臺(tái)單價(jià)為780元，買(mǎi)兩臺(tái)單價(jià)都為760元，依次類(lèi)推，每多買(mǎi)一臺(tái)則所買(mǎi)各臺(tái)單價(jià)均再減少20元，但每臺(tái)售價(jià)不能低于440元；乙商場(chǎng)一律都按原價(jià)的75%銷(xiāo)售.某單位需購(gòu)買(mǎi)一批此類(lèi)影碟機(jī)，問(wèn)去哪家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)較低？

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1.有關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表的數(shù)據(jù)分析處理；
2.實(shí)際問(wèn)題中建立函數(shù)模型的過(guò)程；

※知識(shí)拓展
根據(jù)散點(diǎn)圖設(shè)想比較接近的可能的函數(shù)模型：
①一次函數(shù)模型：
②二次函數(shù)模型：
③冪函數(shù)模型：
④指數(shù)函數(shù)模型：（＞0，）
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1.向高為H的圓錐形漏斗內(nèi)注入化學(xué)溶液（漏斗下口暫且關(guān)閉），注入溶液量V與溶液深度h的大概圖象是（）.
2.某種生物增長(zhǎng)的數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系如下表：
123．．．
138．．．
下面函數(shù)關(guān)系式中，能表達(dá)這種關(guān)系的是（）.
A．B．
C．D．
3.某企業(yè)近幾年的年產(chǎn)值如下圖：

則年增長(zhǎng)率（增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)值/原產(chǎn)值）最高的是（）.
A.97年B.98年C.99年D.00年
4.某雜志能以每本1.20的價(jià)格發(fā)行12萬(wàn)本，設(shè)定價(jià)每提高0.1元，發(fā)行量就減少4萬(wàn)本.則雜志的總銷(xiāo)售收入y萬(wàn)元與其定價(jià)x的函數(shù)關(guān)系是.
5.某新型電子產(chǎn)品2002年投產(chǎn)，計(jì)劃2004年使其成本降低36℅.則平均每年應(yīng)降低成本%.

課后作業(yè)
某地新建一個(gè)服裝廠，從今年7月份開(kāi)始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)件、1.2萬(wàn)件、1.3萬(wàn)件、1.37萬(wàn)件.由于產(chǎn)品質(zhì)量好，服裝款式新穎，因此前幾個(gè)月的產(chǎn)品銷(xiāo)售情況良好.為了在推銷(xiāo)產(chǎn)品時(shí)，接收定單不至于過(guò)多或過(guò)少，需要估測(cè)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量，你能解決這一問(wèn)題嗎？

高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)模型及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)（一）

高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)模型及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)（一）

教學(xué)目標(biāo)：

1．能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的情境建立數(shù)學(xué)模型，利用計(jì)算工具，結(jié)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，給出問(wèn)題的解答；

2．通過(guò)實(shí)例，理解一次函數(shù)、二次函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)在解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用；

3．在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地分析問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)重點(diǎn)：

一次函數(shù)、二次函數(shù)以及指、對(duì)數(shù)函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)的應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn)：

從生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)模型.

教學(xué)過(guò)程：

一、問(wèn)題情境

某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn)，如果人口的年自然增長(zhǎng)率為1.2﹪，問(wèn):

（1）寫(xiě)出該城市人口數(shù)y(萬(wàn)人)與經(jīng)歷的年數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）計(jì)算10年后該城市的人口數(shù)；

（3）計(jì)算大約多少年后，該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)?

（4）如果20年后該城市人口數(shù)不超過(guò)120萬(wàn)，年人口自然增長(zhǎng)率應(yīng)該控制在多少？

二、學(xué)生活動(dòng)

回答上述問(wèn)題，并完成下列各題：

1．等腰三角形頂角y(單位：度)與底角x的函數(shù)關(guān)系為?。?/p>

2．某種茶杯，每個(gè)0.5元，把買(mǎi)茶杯的錢(qián)數(shù)y(元)表示為茶杯個(gè)數(shù)x(個(gè))的函數(shù) 　 ，其定義域?yàn)?　 ．

三、數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1　某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)計(jì)算機(jī)的固定成本為200萬(wàn)元，生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為3000元，每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為5000元，分別寫(xiě)出總成本C(萬(wàn)元)、單位成本P(萬(wàn)元)、銷(xiāo)售收入R(元)以及利潤(rùn)L(萬(wàn)元)關(guān)于總產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)關(guān)系式．

例2　大氣溫度y(℃)隨著離開(kāi)地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km為止，大約每上升1 km，氣溫降低6℃，而在更高的上空氣溫卻幾乎沒(méi)變(設(shè)地面溫度為22℃)．

求：（1） y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）x＝3.5 km以及x＝12km處的氣溫．

變式：在例2的條件下，某人在爬一座山的過(guò)程中，分別測(cè)得山腳和山頂?shù)臏囟葹?6℃和14.6℃，試求山的高度．

四、建構(gòu)數(shù)學(xué)

利用數(shù)學(xué)某型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般按照以下步驟進(jìn)行：

1．審題：理解問(wèn)題的實(shí)際背景，概括出數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，嘗試將抽象問(wèn)題函數(shù)化；

2．引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)所學(xué)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義域；

3．用數(shù)學(xué)的方法對(duì)得到的數(shù)學(xué)模型予以解答，求出結(jié)果；

4．將數(shù)學(xué)問(wèn)題的解代入實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去不合題意的解，并作答.

五、鞏固練習(xí)

1．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品時(shí)的全部支出稱(chēng)為生產(chǎn)成本，可表示為商品數(shù)量的函數(shù)，現(xiàn)知道一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為x件時(shí)的成本函數(shù)是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件這種商品的收入是200元，那么生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種商品的數(shù)量是200件時(shí)，該企業(yè)所得的利潤(rùn)可達(dá)到元．

2．有m部同樣的機(jī)器一起工作，需要m小時(shí)完成一項(xiàng)任務(wù)．設(shè)由x部機(jī)

器（x為不大于m的正整數(shù)）完成同一任務(wù)，求所需時(shí)間y(小時(shí))與機(jī)器的

部數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式．

3．A，B兩地相距150千米，某人以60千米/時(shí)的速度開(kāi)車(chē)從A到B，在B地停留1小時(shí)后再以50千米/時(shí)的速度返回A，則汽車(chē)離開(kāi)A地的距離x與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為．

4．某車(chē)站有快、慢兩種車(chē)，始發(fā)站距終點(diǎn)站7.2km，慢車(chē)到達(dá)終點(diǎn)需16min，快車(chē)比慢車(chē)晚發(fā)車(chē)3min，且行駛10min到達(dá)終點(diǎn)站.試分別寫(xiě)出兩車(chē)所行路程關(guān)于慢車(chē)行駛時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式．兩車(chē)在何時(shí)相遇？相遇時(shí)距始發(fā)站多遠(yuǎn)？

5．某產(chǎn)品總成本C(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))滿足關(guān)系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240．若每臺(tái)產(chǎn)品售價(jià)25萬(wàn)元，要使廠家不虧本，則最少應(yīng)生產(chǎn)多少臺(tái)？

六、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié)

1．利于函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法和步驟；

2．一次函數(shù)、二次函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)的應(yīng)用．

七、作業(yè)

課本P100－練習(xí)1，2，3．

整合函數(shù)模型教案

第三章單元小結(jié)（二）

（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能.
整合函數(shù)模型及其應(yīng)用的基本知識(shí)與基本方法.進(jìn)一步提升研究函數(shù)和應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的技能.
2．過(guò)程與方法
通過(guò)學(xué)生自我回顧、反思、整理、歸納所學(xué)知識(shí)，從而構(gòu)建本節(jié)的知識(shí)體系.
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀
在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)會(huì)整合知識(shí)，提升自我學(xué)習(xí)的品質(zhì)，養(yǎng)成合作、交流、創(chuàng)新的良好學(xué)習(xí)品質(zhì).
（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：整合單元知識(shí)；難點(diǎn)：提升綜合運(yùn)用單元知識(shí)能力
（三）教學(xué)方法
動(dòng)手練習(xí)與合作交流相結(jié)合.在整合知識(shí)中構(gòu)建體系，在綜合練習(xí)中提升能力.
（四）教學(xué)過(guò)程
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
回顧反思構(gòu)建體系1．函數(shù)模型及其應(yīng)用章文知識(shí)網(wǎng)絡(luò).
2．知識(shí)梳理
（1）常見(jiàn)函數(shù)模型
①直線模型
即一次函數(shù)模型，現(xiàn)實(shí)生活中很多事例可以用直線模型表示，例如勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移的關(guān)系，彈簧的伸長(zhǎng)量與拉力的關(guān)系等，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升（x的系數(shù)k＞1），通過(guò)圖象可以直觀地認(rèn)識(shí)它.
②指數(shù)函數(shù)模型
能用指數(shù)函數(shù)表示的函數(shù)模型.指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快（底數(shù)a＞1），常形象地稱(chēng)為“指數(shù)爆炸”.
③對(duì)數(shù)函數(shù)模型
能用對(duì)數(shù)函數(shù)表達(dá)的函數(shù)模型叫對(duì)數(shù)函數(shù)模型.對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)是隨著自變量的增大（底數(shù)a＞1），函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢.對(duì)數(shù)增大在現(xiàn)實(shí)生活中也有廣泛的應(yīng)用.
④冪函數(shù)模型
能用冪函數(shù)表達(dá)的函數(shù)模型，叫做冪函數(shù)模型.冪函數(shù)模型中最常見(jiàn)的是二次函數(shù)y=x2的模型，它的應(yīng)用最為廣泛.
（2）函數(shù)模型的選擇和建立
①根據(jù)實(shí)際問(wèn)題提供的兩個(gè)變量的數(shù)量關(guān)系可構(gòu)建和選擇正確的函數(shù)模型.同時(shí)，要注意利用函數(shù)圖象的直觀性，作出散點(diǎn)圖，來(lái)確定適合題意的函數(shù)模型.
②建立數(shù)學(xué)模型的三關(guān)
a．事理關(guān)：通過(guò)閱讀、理解，明白問(wèn)題講什么，熟悉實(shí)際背景，為解題打開(kāi)突破口；
b．文理關(guān)：將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系；
c．?dāng)?shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型中，對(duì)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢索，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題.

1．題生合作，繪制網(wǎng)絡(luò)圖.
2．學(xué)生回顧口述知識(shí)要點(diǎn)，老師總結(jié)，歸納進(jìn)行知識(shí)疏理.整理知識(shí)培養(yǎng)歸納能力.
師生共同回顧，再現(xiàn)知識(shí)與方法.

經(jīng)典例題
例1某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品所需要的費(fèi)用為P元，而賣(mài)出x噸的價(jià)格為每噸Q元，已知P=1000+5x+，Q=a+，若生產(chǎn)出的產(chǎn)品能夠全部賣(mài)掉，且在產(chǎn)量為150噸時(shí)利潤(rùn)最大，此時(shí)每噸價(jià)格為40元，求實(shí)數(shù)a，b的值.

例2某地投資建印染廠，為了保護(hù)環(huán)境，需制定治污方案.甲方案為永久性治污方案，需一次投入100萬(wàn)元；乙方案為分期治污方案，需每月投資5萬(wàn)元，若投資額以月利潤(rùn)1%的復(fù)利計(jì)算，試比較投產(chǎn)幾個(gè)月后甲方案與乙方案的優(yōu)勢(shì).(必須時(shí)可用以下數(shù)據(jù)：lg1.010=0.0043，lg1.253=0.0980，lg1.250=0.0969，lg1.235=0.0917)
注：1+q+q2+…+qn=.

例3為了估計(jì)上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀察站，測(cè)量最大積雪深度x與當(dāng)年灌溉面積y，現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料，如下表所示.
年序最大積雪深度
x(cm)
灌溉面積
y(公頃)

115.228.6
210.421.1
321.240.5
418.636.6
526.449.8
623.445.0
713.529.2
816.734.1
924.045.8
1019.136.9
（1）描點(diǎn)畫(huà)出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象；
（2）建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型，并畫(huà)出圖象；
（3）根據(jù)所建立的函數(shù)模型，若今年最大積雪深度為25cm，可以灌溉土地多少公頃？例1解析：根據(jù)題意得利潤(rùn)函數(shù)解析式為：
.
依題意得，
解得.
【評(píng)析】已給出函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是考慮該題考查的是何種函數(shù)，并要注意定義域，最后結(jié)合其實(shí)際意義作出解答.
例2解析：設(shè)經(jīng)過(guò)x個(gè)月后，甲、乙兩方案總的本息分別為y，z，則y=100(1+1%)x
z=5[1+(1+1%)+(1+1%)2+…+(1+1%)x–1]
=.
設(shè)100(1+1%)x＜500(1.01x–1)，則1.01x＞,
兩邊取常用對(duì)數(shù)得，
x＞
故工廠投產(chǎn)23個(gè)月后，甲方案優(yōu)于乙方案，投產(chǎn)1至22個(gè)月乙方案優(yōu)于甲方案.
【評(píng)析】不同的函數(shù)模型能夠刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界不同的變化規(guī)律，函數(shù)模型可以處理生產(chǎn)生活中很多實(shí)際問(wèn)題.
常見(jiàn)的函數(shù)模型有：
（1）一次函數(shù)型模型：y=kx+b(k≠0)；
（2）二次函數(shù)型模型：y=ax2+bx+c(a≠0)；
（3）指數(shù)函數(shù)型模型：y=abx+c；
（4）對(duì)數(shù)函數(shù)型模型：y=mlogax+n；
（5）冪函數(shù)型模型：y=axn+b.
例3：【解析】（1）利用計(jì)算機(jī)幾何畫(huà)板軟件，描點(diǎn)如圖甲.
（2）從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近，由此，我們假設(shè)灌溉面積y和最大積雪深度x滿足線性函數(shù)模型y=a+bx.
取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y=a+bx，得，用計(jì)算器可得a≈2.4，b≈1.8.
這樣，我們得到一個(gè)函數(shù)模型；y=2.4+1.8x.作出函數(shù)圖象如圖乙，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說(shuō)明它能較好地反映積雪深度與灌溉面積的關(guān)系.
（3）由y=2.4+1.8×25，求得y=47.4，即當(dāng)積雪深度為25cm時(shí)，可以灌溉土地47.4公頃.
【評(píng)析】擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題要根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)作函數(shù)點(diǎn)圖，然后選擇函數(shù)模型，這反映了一個(gè)較為完整的建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的過(guò)程.
備選例題
例3我國(guó)農(nóng)業(yè)科學(xué)家研究玉米的生長(zhǎng)階段與植株高度的函數(shù)關(guān)系的例子，這里我們?cè)龠M(jìn)一步研究此例，引導(dǎo)大家學(xué)習(xí)建立數(shù)學(xué)模型的方法.
下表給出了某地區(qū)玉米在不同生長(zhǎng)階段的高度數(shù)據(jù)：
生長(zhǎng)階段12345678910111213141516
植株高度(cm)0.670.851.281.752.272.753.694.716.367.739.9112.7516.5520.127.3532.55
生長(zhǎng)階段171819202122232425262728293031
植株高度(cm)37.5544.7553.3871.6183.8997.46112.73135.12153.6160.32167.05174.9177.87180.19180.79
（1）作出函數(shù)圖象，近似地寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式表達(dá)兩個(gè)變量之間的關(guān)系；
（2）利用得出的關(guān)系式列表；
（3）與表中實(shí)際數(shù)據(jù)比較，說(shuō)出關(guān)系式給出的一些信息.
【解】（1）作出函數(shù)圖形，如圖所示.函數(shù)的圖形近似于“S”形.
以我們現(xiàn)有的知識(shí)很難找出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式來(lái)近似地表達(dá)這個(gè)圖象，但我們仔細(xì)觀察第1個(gè)生長(zhǎng)階段至第25個(gè)生長(zhǎng)階段圖象后會(huì)發(fā)現(xiàn)，它與我們比較熟悉的指數(shù)函數(shù)的圖象相象.
下面我們來(lái)考慮給出第1至第25個(gè)生長(zhǎng)階段的一個(gè)指數(shù)函數(shù)關(guān)系式.
假設(shè)指數(shù)函數(shù)為y=aebx，
并且通過(guò)點(diǎn)（2，0.85）和（23，112.73）.把這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式，解方程組得
a=0.534，b=0.233.
因此，用指數(shù)函數(shù)近似得到的關(guān)系式為
y=f(x)=0.534e0.233x.
（2）由得到的關(guān)系式計(jì)算出各個(gè)生長(zhǎng)階段的近似值如下：
生長(zhǎng)階段
x12345678910111213
植株高度
f(x)0.670.851.071.361.712.162.733.444.345.486.928.7411.03
生長(zhǎng)階段
x141516171819202122232425
植株高度
f(x)13.9317.5822.228.0235.3744.6656.3771.1689.84113.41143.17180.73
（3）從表中我們可以清楚地看出.第1到第6個(gè)生長(zhǎng)階段與實(shí)際得到的數(shù)據(jù)相差很小，后面除第23生長(zhǎng)階段外的其它生長(zhǎng)階段數(shù)據(jù)相差較大.
這個(gè)指數(shù)函數(shù)在玉米生長(zhǎng)后幾個(gè)階段增長(zhǎng)較快，與實(shí)際數(shù)據(jù)中穩(wěn)定于某一數(shù)值附近不符.
要得到效果更好的關(guān)系式，我們需要更多的數(shù)學(xué)知識(shí).
人們?cè)趯?shí)際生活中發(fā)現(xiàn)生物種群的增長(zhǎng)也有類(lèi)似玉米株高生長(zhǎng)的“S”形曲線.如SARS（非典型肺炎）病的傳播，時(shí)間與病例數(shù)的關(guān)系，科學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)這類(lèi)曲線近似于以下函數(shù)：y=.
這類(lèi)函數(shù)稱(chēng)為L(zhǎng)ogistic模型.
對(duì)于玉米生長(zhǎng)的這組數(shù)據(jù)，也可以建立Logistic模型，玉米的整個(gè)生長(zhǎng)過(guò)程近似于函數(shù)
y=.
Logistic模型在現(xiàn)實(shí)生活中有很多應(yīng)用.例如，它可以預(yù)測(cè)生物生長(zhǎng)狀況，這對(duì)我們了解生物生長(zhǎng)發(fā)育情況，控制和預(yù)防疾病都有很大的幫助.