一元二次方程高中教案
發(fā)表時間：2021-05-06九年級上《解一元二次方程—公式法》說課稿。
老師會對課本中的主要教學內容整理到教案課件中，大家開始動筆寫自己的教案課件了。是時候對自己教案課件工作做個新的規(guī)劃了，這樣接下來工作才會更上一層樓！你們了解多少教案課件范文呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《九年級上《解一元二次方程—公式法》說課稿》，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！
九年級上《解一元二次方程—公式法》說課稿一、說教材
1、教材的地位與作用
《一元二次方程》是人教版《義務教育新課程標準實驗教科書，數學·九年級（上冊）》第22章第1節(jié)的內容，共兩課時。本節(jié)是第一課時，是一元二次方程的導入課，主要內容是介紹一元二次方程的概念和一般形式，它為進一步學習一元二次方程解法及應用起到了鋪墊作用。
一元二次方程是中學數學的主要內容之一，在初中數學中占有重要地位。通過一元二次方程的學習，可以對已學過的實數、一元一次方程、因式分解、二次根式等知識加以鞏固，同時又是今后學習二次函數等知識的基礎。此外，學習一元二次方程對其它學科也有十分重要的作用。
2、教學目標
根據本節(jié)課的地位、作用及其內容，結合學生實際和學生認知發(fā)展水平，確定如下教學目標：
[知識目標]理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，使學生熟練地應用求根公式解一元二次方程。
[能力目標]經歷列方程解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現實世界的有效數學模型，增強學生分折問題和解決問題的能力及應用數學的意識；通過概念教學，培養(yǎng)學生的觀察類比、歸納能力。
[情感目標]在探索活動中，培養(yǎng)學生合作交流的意識，體驗成功喜悅，增強自信心。
3、教學重點與難點
從以上分析可以看出：
重點：一元二次方程的概念及一般形式
難點：從實際問題中抽象出一元二次方程；正確識別一般式中的“項”及“系數”
二、說教法與學法
1、學情分析
在此之前，學生已經了解和學習過一元一次方程的概念及一般形式，掌握了一些根據實際問題列方程的能力，再者，九年級學生的數學思維已有一定程度的發(fā)展，具有一定分析推理能力，同時，在討論、探索、交流學習等方面有較為豐富的知識和經驗，因此，除利用與生活實際有關的問題導出新知識外，應更多地應用探討、合作交流等方法讓學生去求得新知識，加深和擴展學生對數學的理解。
根據教材的特點和學情分析，為了突出重點、突破難點的目的，我采用以下教法與學法：
2、教法
本節(jié)課主要采用引探式教學方法，在活動中教師著眼于“引”盡力激發(fā)學生求知的欲望，引導他們解決問題并掌握解決問題的規(guī)律和方法，學生著眼于“探”通過探索活動發(fā)現規(guī)律，解決問題，發(fā)展探索能力和創(chuàng)造能力。
3、學法
本課將引導學生親身經歷知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的認知過程，通過觀察、比較、思考、探索、交流應用等活動，靈活的應用舊知識去研究新問題，在潛移默化中領會學習方法。使學生從“學會”到“會學”最后到“樂學”。
4、教學手段
采用電腦多媒體課件輔助教學，讓學生進行集體交流，及時反饋相關信息。
三、說教學過程
在教學過程中，我設計了七個環(huán)節(jié)
1、創(chuàng)設情境、引入新課（5分鐘）
情境1：（由多媒體出示圖片、提出數學問題）
小區(qū)在每兩幢樓之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，則綠地的長和寬各為多少？
情境2（由多媒體課件展示圖片、講故事提出問題）
從前有一天，一個醉漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都拿不進去，橫著比門框寬4尺，豎著比門框高2尺，怎么辦？他的兒子告訴他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個醉漢一試，不多不少剛好進去了，你知道竹竿有多長？
通過這兩個情境問題的設計，情境1來源于實際生活，是學生熟悉的題型，對于大多數學生都容易列出方程，目的是為了讓每個學生主動加入到學習數學活動中，增強學習數學的興趣和自信心。情境2通過講故事的形式貼近學生，拉近老師和學生之間的距離，吸引學生的好奇心和新鮮感，為進一步探究營造了輕松愉悅的氛圍。
2、合作探究，獲得新知(12分鐘)
通過兩個情境設計，讓學生合作討論，我在討論的過程中精心組織引導并讓學生分別列出如下兩個方程：
情境1設長方形綠地寬為x米，列方程得：
x（x+10）=900即x+10x–900=0①
情境2設竹竿為x尺，則門框寬為（x–4）尺，門框高為（x–2）尺得方程：
x=（x-4）+（x-2）即x+12x-20=0②
觀察剛才所得的兩個方程：
x+10x-900=0①
x+12x-20=0②
問題1觀察與討論：（1）方程①中未知數的個數和最高數各是多少？方程②呢？
（2）討論這兩個方程有什么特點？
第一個問題讓一位學生回答，第二個問題學生自己討論去尋找方程的特點，我加以引導，目的是培養(yǎng)學生的觀察能力。
師生共同得出方程的特點：①方程兩邊都是整式②方程中只含有一個未知數③未知數的最高次數是2
問題2.對照一元一次方程，讓學生對此類新方程下定義.（板書課題）
通過對舊知識的比較，學生很容易得出這種方程是一元二次方程，此時（板書課題）目的是通過類比培養(yǎng)學生下定義的能力。
問題3.討論：一元二次方程和一元一次方程有什么聯系和區(qū)別
通過讓學生討論、總結兩者的聯系和區(qū)別，求同存異，目的是讓學生加深對一元二次方程概念的認識，培養(yǎng)學生的類比、歸納能力。
問題4.探討：你能寫出所有的一元一次方程嗎？如不能，則對照一元一次方程的一般形式，如何一般地表示一元二次方程呢？
通過這個問題讓學生舉例探索，我加以引導得出一元二次方程有無數個，寫不完，能否用類比一元一次方程的一般形式表示，得出用一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0來表示,目的是讓學生了解特殊到一般的數學思想,培養(yǎng)學生通過探索活動發(fā)現規(guī)律,解決問題的探索能力和歸納能力.
得出一般形式后師生互動，并引導學生完成下面的問題：
問題5如何識別方程中各項名稱及常數？
通過這個問題的設計，讓學生認識一元二次方程一般形式的二次項、一次項和常數項及系數。
問題6思考：二次項系數a的取值范圍并回答為什么？（強調a≠0）
通過此問題設計,讓學生意識到二次項系數a≠0這個條件，培養(yǎng)學生觀察意識。
3、講解例題、體驗新知（8分鐘）
例1：下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。
（1）x+2x–4=0（2）4x=9（3）+1=x(4)3y–5x=7(5)x–4=(x+2)
例2：把方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數，一次項系數及常數項（邊引導邊板書規(guī)范步驟）
例1主要通過我引導及討論方式，讓學生鞏固新知識，掌握一元二次方程的概念。例2是通過我的邊引導，邊師生互動、邊講解板書規(guī)范步驟的方式，讓學生體驗求方程二次項系數，一次項系數和常數項要先把方程化成一般形式、引導學生整理方程時養(yǎng)成按未知數的降冪排列習慣，才容易找出項和系數，目的是讓學生正確識別一般式中項和系數，培養(yǎng)學生一般到特殊的思想，這也是本節(jié)課難點突破所在。
四、反饋練習、應用拓展（10分鐘）
1、判斷下列方程是否是一元二次方程？并說明理由
(1)x+3x=0（2）3x+2=5x–3（3）x=4（4）—–1=x
（5）x–4=（x+2）（6）mx–3x+2=0（m是系數）
2、將下列方程化為一般形式，并寫出其中而二次項系數、一次項系數和常數項。
(1)3x–x=2（2）7x–3=2x（3）x（2x–1）–3x（x–2）=0
（4）2x（x–1）=3（x+5）–4
設計這兩個練習主要通過學生交流合作，教師巡視引導等方式，使學生在學習新知識的同時能加以應用，使學生體驗到學習數學過程中的成就感，從而提高學生學習數學的興趣。
五、知識回顧、反思提高（5分鐘）
分組討論：在什么條件下方程（2a-4）x-2bx+a=0為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？
通過分組討論活動，讓學生掌握一元二次方程ax+bx=c=0必須滿足的a≠0條件，一元一次方程滿足a=0、b≠0使學生更好地地理解一元二次方程，培養(yǎng)學生的發(fā)現能力和創(chuàng)造能力。
六、課堂小結（3分鐘）
1、通過這節(jié)課的學習你學到什么知識？學生暢所欲言，教師引導。
2、一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0（a≠0），強調“a≠0”這個條件的重要意義。
7、布置作業(yè)、分層落實（2分鐘）
必做題：教科書第34頁習題22、1第1、3、5題
選做題：教科書第34頁習題22、1第6、7題
四、教學反思
本節(jié)課從實際問題引出一元二次方程的概念，并認識一元二次方程的一般形式及各項名稱和系數，教學設計體現了新課標所倡導的教學模式“問題情境——建立數學模型——解釋、嘗試應用與拓展”。并配合使用多媒體演示設備輔助教學，突出重點、突破難點做到一氣呵成，符合新課程的教學理念，力求在數學活動中營造學生自主探究和合作交流的氛圍，讓學生去探索去發(fā)現規(guī)律、解決問題，培養(yǎng)學生的探索能力和創(chuàng)造能力，讓學生在愉快的活動中體驗成功的喜悅、增進學習數學的自信。
五、說板書
在教學中板書應用得好可以引導學生把握教學重點，全面系統(tǒng)地理解教學內容，為了達到這樣的目的，我的板書注意到了重點突出，詳略得當，層次清楚，條理分明，具體設計如下：
板書設計：
一元二次方程
1、一元二次方程的概念
（1）兩邊都是整式
（2）只含有一個未知數
（3）未知數最高次數是2次
2、一元二次方程的一般形式
ax+bx+c=0(a≠0)
ax是二次項（a是二次項系數）
bx是一次項（b是一次項系數）
c是常數
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解一元二次方程
每個老師在上課前需要規(guī)劃好教案課件，是時候寫教案課件了。只有規(guī)劃好新的教案課件工作，才能更好的在接下來的工作輕裝上陣！你們會寫適合教案課件的范文嗎？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“解一元二次方程”，僅供參考，大家一起來看看吧。
28.2解一元二次方程
教學目的知識技能認識形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）類型的方程，并會用直接開平方法解．
配方法解一元二次方程x2＋px＋q＝0.
數學思考用直接開平方法解一元二次方程的依據是用平方根的定義來進行降次的，直接開平方法解一元二次方程，必須化成形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）的形式來求解.
配方法是把方程x2＋px＋q＝0轉化為（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程再應用直接開平方法求解
解決問題通過兩邊同時開平方，將二次方程轉化為一次方程，向學生滲透數學新知識的學習往往由未知（新知識）向已知（舊知識）轉化，這是研究數學問題常用的方法，化未知為已知．
情感態(tài)度通過本節(jié)學習，使學生感覺到由未知向已知的轉化美.
教學難點用配方法解一元二次方程
知識重點選擇適當的方法解一元二次方程
教學過程設計意圖
教
學
過
程
問題一：填空
如果，那么.
教師活動：引導學生運用開平方的方法，解x2＝p（p≥0）形式的方程.
學生活動：在老師的引導下，初步了解一元二次方程的直接開平方法.
問題二：解方程
教師活動：與學生一起探究此種形式的方程的解法.
學生活動：仿照上題，解此問題，并總結出形如（mx+n）2＝p（p≥0）方程的解法.
練習：解下列方程：
（1）(2)
問題三：解方程：
師生一起探究解法，通過配方把該方程轉化為（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程，再用直接開平方法求解.
做一做
把下列方程化成的形式.
例題1：解方程
教師活動：給學生作出配方法解方程的示范.重點在配方的方法：在方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉化成兩個一元一次方程來解.
學生總結配方法解形如x2＋px＋q＝0的一元二次方程的方法.
從學生已知的知識入手，解決形如x2＝p（p≥0）類型的方程，引導進入直接開平法法.
解決并練習形如（mx+n）2＝p（p≥0）類型的方程，
在解決形如x2＝p（p≥0）和（mx+n）2＝p（p≥0）類型的方程的基礎上，給學生設置懸念，探究這個方程的解法.
引出配方法.
在轉化的同時，給學生講解配方的方法，為配方法解一元二次方程作準備.
提高學生的總結歸納能力.
課堂練習解下列方程：
課本24頁習題2
學生完成后，交流結果，交流配方法解一元二次方程的步驟、方法
使學生體會在解決問題的過程中與他人合作的重要性.
小結與作業(yè)
課堂
小結引導學生對直接開平方法和配方法進行總結.
本課
作業(yè)34頁習題1、3把學習延伸到課外，鞏固課上所學.
課后隨筆（課堂設計理念，實際教學效果及改進設想）
解一元二次方程——公式法導學案（新版新人教版）
教案課件是每個老師工作中上課需要準備的東西，是認真規(guī)劃好自己教案課件的時候了。此時就可以對教案課件的工作做個簡單的計劃，新的工作才會如魚得水！適合教案課件的范文有多少呢？小編特地為大家精心收集和整理了“解一元二次方程——公式法導學案（新版新人教版）”，供您參考，希望能夠幫助到大家。
第4課時解一元二次方程-公式法
一、學習目標了解掌握一元二次方程根的判別式，不解方程能判定一元二次方程根的情況；
理解一元二次方程求根公式的推導過程；
掌握公式結構，知道使用公式前先將方程化為一般形式，通過判別式判斷根的情況；
學會利用求根公式解簡單數字系數的一元二次方程．
二、知識回顧1．什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？
配方法：通過配方，先把方程的左邊配成一個含有未知數的完全平方式，右邊是一個非負數，然后運用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法．
配方法解一元二次方程的一般步驟：
（1）移常數項到方程右邊；
（2）化二次項系數為1；
（3）方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；
（4）化方程左邊為完全平方式；
（5）若方程右邊為非負數，則利用直接開平方法解得方程的根．
2．怎樣用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程？
解：移項，得
二次項系數化為1，得
配方，得
即：，
因為所以
當；
當
三、新知講解一元二次方程根的判別式
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母表示它，即．
一元二次方程根的情況與判別式的關系
（1）方程有兩個不相等的實數根；
（2）方程有兩個相等的實數根；
（3）方程沒有實數根．
公式法解一元二次方程
一般地，對于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當時，它的兩個根分別是
，，
這里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．
公式法解一元二次方程的一般步驟
把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)；
確定a，b，c的值；
求出的值，并判斷方程根的情況：
當時，方程有兩個不相等的實數根；
當時，方程有兩個相等的實數根；
當時，方程沒有實數根．
當時，將a，b，c和的值代入公式（注意符號）．
四、典例探究
1．根據根的判別式判斷一元二次方程根的情況
【例1】（2015重慶）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，則該方程根的情況是（）
A．有兩個不相等的實數根B．有兩個相等的實數根
兩個根都是自然數D．無實數根
總結：
求根的判別式時，應該先將方程化為一般形式，正確找出a，b，c的值.
根的判別式與一元二次方程根的情況的關系如下：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．
練1．（2015銅仁市）已知關于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列說法不正確的是（）
A．方程有兩個相等的實數根B．方程有兩個不相等的實數根
C．沒有實數根D．無法確定
練2．（2015泰州）已知：關于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判別方程根的情況；
（2）若方程有一個根為3，求m的值．
2．根據一元二次方程根的情況求參數的值或取值范圍
【例2】（2015溫州）若關于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有兩個相等實數根，則c的值是（）
A．﹣1B．1C．﹣4D．4
總結：已知方程根的情況求字母的值或取值范圍時：
先計算根的判別式；
再根據方程根的情況列出關于根的判別式的等式或不等式求解；
若二次項系數出現了字母，應注意“二次項系數不為0”．
練3．（2015涼山州）關于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實數根，則m的取值范圍是（）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2
3．用公式法解一元二次方程
【例3】用公式法解下列方程：
（1）x2+2x﹣2=0；
（2）y2﹣3y+1=0；
（3）x2+3=2x．
總結：
公式法的實質是配方法，只不過省去了配方的過程，而直接利用了配方的結論；
運用公式法求解一元二次方程要注意兩個前提：
（1）先將一元二次方程化為一般形式，即確定a，b，c的值；
（2）必須保證b2-4ac≥0．
練4．（2014錦江區(qū)模擬）解方程：x（x﹣2）=3x+1．
練5．當x是何值時，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？
五、課后小測一、選擇題
1．（2015云南）下列一元二次方程中，沒有實數根的是（）
A．4x2﹣5x+2=0B．x2﹣6x+9=0C．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2﹣4x+1=0
2．（2015貴港）若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有實數根，則整數a的最大值為（）
A．﹣1B．0C．1D．2
3．（2015煙臺）等腰直角三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是關于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的兩根，則n的值為（）
A．9B．10C．9或10D．8或10
4．（2015株洲）有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四個結論中，錯誤的是（）
A．如果方程M有兩個相等的實數根，那么方程N也有兩個相等的實數根
B．如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同
C．如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根
D．如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=1
5．（2013日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的較小根為x1，則下面對x1的估計正確的是（）
A．﹣2＜x1＜﹣1B．﹣3＜x1＜﹣2C．2＜x1＜3D．﹣1＜x1＜0
二、填空題
6．（2011秋冊亨縣校級月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．
三、解答題
7．（2014秋通山縣期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．
8．（2014秋金溪縣校級月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．
9．（2013春石景山區(qū)期末）用公式法解方程：x（x）=4．
10．（2015梅州）已知關于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若該方程有兩個不相等的實數根，求實數a的取值范圍；
（2）當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根．
11．（2015咸寧）已知關于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數根；
（2）m為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根．
12．（2015昆山市一模）已知關于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若x1、x2是原方程的兩根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．
13．（2015南充一模）已知關于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）
（1）小明考查后說，它總有兩個不相等的實數根．
（2）小華補充說，其中一個根與k無關．
請你說說其中的道理．
典例探究答案：
【例1】（2015重慶）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，則該方程根的情況是（）
A．有兩個不相等的實數根B．有兩個相等的實數根
C．兩個根都是自然數D．無實數根
分析：判斷方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2﹣4ac的值的符號就可以了．
解答：解：∵a=2，b=﹣5，c=3，
∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根．
故選：A．
點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，要熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0方程沒有實數根．
練1．（2015銅仁市）已知關于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列說法不正確的是（）
A．方程有兩個相等的實數根B．方程有兩個不相等的實數根
C．沒有實數根D．無法確定
分析：先求出△的值，再判斷出其符號即可．
解答：解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根．
故選B．
點評：本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△的關系是解答此題的關鍵．
練2．（2015泰州）已知：關于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判別方程根的情況；
（2）若方程有一個根為3，求m的值．
分析：（1）找出方程a，b及c的值，計算出根的判別式的值，根據其值的正負即可作出判斷；
（2）將x=3代入已知方程中，列出關于系數m的新方程，通過解新方程即可求得m的值．
解答：解：（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1，
∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有兩個不相等的實數根；
（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一個根是3，
∴32+2m×3+m2﹣1=0，
解得，m=﹣4或m=﹣2．
點評：此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．即用這個數代替未知數所得式子仍然成立．
【例2】（2015溫州）若關于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有兩個相等實數根，則c的值是（）
A．﹣1B．1C．﹣4D．4
分析：根據方程根的情況與判別式的關系知△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．
解答：解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有兩個相等實數根，
∴△=42﹣4×4c=0，
∴c=1，
故選B．
點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．
練3．（2015涼山州）關于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實數根，則m的取值范圍是（）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2
分析：根據一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac的意義得到m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式組即可得到m的取值范圍．
解答：解：∵關于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實數根，
∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范圍是m≤3且m≠2．
故選：D．
點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．
【例3】用公式法解下列方程：
（1）x2+2x﹣2=0；
（2）y2﹣3y+1=0；
（3）x2+3=2x．
分析：（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式x=求出即可；
（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式y(tǒng)=求出即可；
（3）求出b2﹣4ac的值是負數，即可得出原方程無解．
解答：解：（1）這里a=1，b=2，c=﹣2，
∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，
∴x==﹣1，
∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；
（2）這里a=1，b=﹣3，c=1．
∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，
∴?y=，
∴y1=，y2=；
（3）移項，得x2﹣2x+3=0，
這里a=1，b=﹣2，c=3．?
∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．
∴原方程沒有實數根．????
點評：本題主要考查學生運用公式法正確解方程的能力，前提是先判斷判別式的符號，再根據情況代入求根公式求解．
練4．（2014錦江區(qū)模擬）解方程：x（x﹣2）=3x+1．
分析：整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
解答：解：x（x﹣2）=3x+1，
整理得：x2﹣5x﹣1=0，
b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）=29，
x=，
x1=，x2=．
點評：本題考查了解一元二次方程的應用，能正確運用公式法解一元二次方程是解此題的關鍵，難度適中．
練5．當x是何值時，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？
分析：根據3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解．
解答：解：根據題意得：3x2+4x﹣8=2x2﹣1，
即x2+4x﹣7=0，
a=1，b=4，c=﹣7，
△=b2﹣4ac=16+28=44＞0，
則x==﹣2．
點評：本題考查了公式法解一元二次方程，注意公式運用的條件：判別式△≥0．
課后小測答案：
一、選擇題
1．（2015云南）下列一元二次方程中，沒有實數根的是（）
A．4x2﹣5x+2=0B．x2﹣6x+9=0C．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2﹣4x+1=0
解：A、∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程沒有實數根，故本選項正確；
B、∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有兩個相等的實數根，故本選項錯誤；
C、∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有兩個相等的實數根，故本選項錯誤；
D、∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有兩個相等的實數根，故本選項錯誤；
故選A．
2．（2015貴港）若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有實數根，則整數a的最大值為（）
A．﹣1B．0C．1D．2
解：∵關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有實數根，
∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，
∴a≤且a≠1，
∴整數a的最大值為0．
故選：B．
3．（2015煙臺）等腰直角三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是關于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的兩根，則n的值為
（）
A．9B．10C．9或10D．8或10
解：∵三角形是等腰直角三角形，
∴①a=2，或b=2，②a=b兩種情況，
①當a=2，或b=2時，
∵a，b是關于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的兩根，
∴x=2，
把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，
解得：n=9，
當n=9，方程的兩根是2和4，而2，4，2不能組成三角形，
故n=9不合題意，
②當a=b時，方程x2﹣6x+n﹣1=0有兩個相等的實數根，
∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0
解得：n=10，
故選B．
4．（2015株洲）有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四個結論中，錯誤的是（）
A．如果方程M有兩個相等的實數根，那么方程N也有兩個相等的實數根
B．如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同
C．如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根
D．如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=1
解：A、如果方程M有兩個相等的實數根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有兩個相等的實數根，結論正確，不符合題意；
B、如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a與c符號相同，＞0，所以方程N的兩根符號也相同，結論正確，不符合題意；
C、如果5是方程M的一個根，那么25a+5b+c=0，兩邊同時除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一個根，結論正確，不符合題意；
D、如果方程M和方程N有一個相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，結論錯誤，符合題意；
故選D．
5．（2013日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的較小根為x1，則下面對x1的估計正確的是（）
A．﹣2＜x1＜﹣1B．﹣3＜x1＜﹣2C．2＜x1＜3D．﹣1＜x1＜0
解：x2﹣x﹣3=0，
b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13，
x=，
方程的最小值是，
∵3＜＜4，
∴﹣3＞﹣＞﹣4，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣1＞＞﹣
故選：A．
二、填空題
6．（2011秋冊亨縣校級月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=41，x1=，x2=．
解：2x2﹣7x+1=0，
a=2，b=﹣7，c=1，
∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，
∴x==，
∴x1=，x2=，
故答案為：41，，．
三、解答題
7．（2014秋通山縣期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．
解：原方程可化為：2x2﹣4x﹣5=0，
∵a=2，b=﹣4，c=﹣5，
∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）=56＞0，
∴x=frac{4±sqrt{56}}{4}=1±．
∴x1=1+，x2=1﹣．
8．（2014秋金溪縣校級月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．
解：這里a=2，b=﹣2，c=﹣5，
∵△=8+40=48，
∴x==．
9．（2013春石景山區(qū)期末）用公式法解方程：x（x）=4．
解：整理得：x2+2x﹣4=0，
△=b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（﹣4）=28，
x=，
x1=﹣+，x2=﹣﹣．
10．（2015梅州）已知關于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若該方程有兩個不相等的實數根，求實數a的取值范圍；
（2）當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根．
解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范圍是a＜3；
（2）設方程的另一根為x1，由根與系數的關系得：
，
解得：，
則a的值是﹣1，該方程的另一根為﹣3．
11．（2015咸寧）已知關于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數根；
（2）m為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根．
解：（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，
∵不論m為何值時，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程總有實數根；
（2）解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有兩個不相等的正整數根，
∴m=1或2，m=2不合題意，
∴m=1．
12．（2015昆山市一模）已知關于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若x1、x2是原方程的兩根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．
解：（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=m2+2m+5=（m+1）2+4＞0，
∴無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；
（2）∵x1、x2是原方程的兩根，
∴x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=8，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，
∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）=8，
∴m1=1，m2=﹣3．
13．（2015南充一模）已知關于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）
（1）小明考查后說，它總有兩個不相等的實數根．
（2）小華補充說，其中一個根與k無關．
請你說說其中的道理．
解：（1）∵△=4（k﹣1）2﹣4k（k﹣2）=4＞0，
∴一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）總有兩個不相等的實數根；
（2）當x=1時，k﹣2（k﹣1）+k﹣2=0，
即一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）有一根為1，
x=1是一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）的根，與k無關．
配方法解一元二次方程
公開課教案
授課人:henao6202授課時間：2007-3-27
授課地點：ｘｘ中學八（1）班公開范圍：數學組
授課內容：20.2一元二次方程解法（3）---配方法
教學目標：理解配方法的意義，會用配方法解簡單的數字系數的一元二次方程。
教學重點：配方法解一元二次方程
教學過程：
一、復習舊知導入新課
1、因式分解的完全平方公式內容。[a2±2ab+b2=(a±b)2]
2、填空：
（1）x2-8x+()2=(x-)2(2)y2+5y+()2=(y+)2
(3)x2-x+()2=(x-)2(4)x2+px+()2=(x+)2
說明：配方的關鍵是兩邊同加上一次項系數一半的平方，前提是二次項系數是1。
二、講解新課
1、解方程(1)(x+3)2=2
解：x+3=±
x=-3±
即：x1=-3+x2=-3-
(2)x2+6x+7=0
這個方程顯然不能用直接開平方法解，能否把這個方程化成可用開平方法來解的形式？即(x+m)2=n的形式。
我們可以這樣變形：
把常數項移到右邊，得
x2+6x=-7
對等號左邊進行配方，得
x2+6x+32=-7+32
(x+3)2=2
這樣，就把原方程化為與上面方程一樣的形式了。像這種先對原一元二次方程配方，使它出現完全平方式后（即化為（x+m）2=n形式），再用開平方來解的方法叫配方法。
（板書）（一）、一元二次方程解法二：配方法
2、例1用配方法解下列方程：
（1）x2-4x-1=0(2)2x2-3x-1=0
說明：第（1）小題引導學生自己完成，第二小題引導學生將二次項系數化為1，再讓學生自己完成。
解：（1）移項，得
x2-4x=1
配方，得
x2-4x+22=1+22
(x-2)2=5
開方，得
x-2=±
∴x1=2+x2=2-
(2)化二次項系數為1，得
x2-x-=0
移項，得
x2-x=
下面的過程由學生補充完整：
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三、歸納小結
配方法的一般步驟（讓學生總結，在黑板上板書）
1、化二次項系數為1
2、移項
3、配方（兩邊同加上一次項系數一半平方）
4、開方
其中“化、移、配、開”及“一半平方”用彩色粉筆標出。
四、練習
P40練習1、2
五、課外作業(yè)
P451、2
六、板書設計
20.2一元二次方程解法
（一）一元二次方程解法二--配方法例1解方程
（二）配方法的一般步驟（1）x2-4x-1=0
1、化二次項系數為1(2)2x2-3x-1=0
2、移項解：------------------------
3、配方（兩邊同加一次項系數一半平方）------------------------
4、開方------------------------
