一元二次方程高中教案

九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第22章一元二次方程教學(xué)案（五份）。

初三數(shù)學(xué)第23章一元二次方程復(fù)習(xí)講義

一、一元二次方程的定義

方程中只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式的方程叫做一元二次方程，通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑篴x2+bx+c=0（a≠0）其中二次項(xiàng)系數(shù)是a，一次項(xiàng)系數(shù)是b，常數(shù)項(xiàng)是c．

例1．求方程x2+3=2x-4的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的積．

例2．若關(guān)于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，試求m的值，并計(jì)算這個(gè)方程的各項(xiàng)系數(shù)之和．

例3．若關(guān)于x的方程（k2-4）x2+x+5=0是一元二次方程，求k的取值范圍．（泡泡演講稿 Www.wj62.com）

例4．若α是方程x2-5x+1=0的一個(gè)根，求α2+的值．

1．關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為1，則實(shí)數(shù)的值是（）

A．B．或C．D．

2．一個(gè)三角形的兩邊長為3和6，第三邊的邊長是方程的根，則這個(gè)三角形的周長是（）

Ａ．11Ｂ．11或13Ｃ．13Ｄ．11和13

3．如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為，求道路的寬．（部分參考數(shù)據(jù)：，，）

二、一元二次方程的一般解法

基本方法有：

（1）配方法；（2）公式法；（3）因式分解法。

聯(lián)系：

①降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次．

②公式法是由配方法推導(dǎo)而得到．

③配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程．

區(qū)別：

①配方法要先配方，再開方求根．

②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0．

例1、用三種方法解下列一元二次方程

1、x2+8x+12=02、3x2-x-6=0

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?/p>

1、x2-2x-2=02、2x2+1=2x

3、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2+6x+9

5、（x-1）2-2（x2-1）=0

注意：選擇解方程的方法時(shí)，應(yīng)先考慮直接開平方法和因式分解法；再考慮用配方法，最后考慮用公式法

三、判定一元二次方程的根的情況？

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式是△=b2-4ac，

1．△=b2-4ac0一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

2．△=b2-4ac=0一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)；

3．△=b2-4ac0一元二次方程沒有實(shí)根．

例1、不解方程判斷下列方程根的情況

1、x2-（1+2）x++4=02、x2-2kx+（2k-1）=0

例2、關(guān)于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一個(gè)實(shí)數(shù)根是x＝0．則a的值為

例3、已知a、b、c是△ABC的三邊長，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的兩根相等，則△ABC為

例5、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根求

的值

例6、（2006．廣東）將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形．

(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少?

(2)兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎?若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由．

四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根分別為x1x2

x1+x2=-x1x2=

例1.方程的x2-2x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2,則（x1-1）（x2-1）=

例2．設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，

（1）試推導(dǎo)x1+x2=-，x1x2=；

（2）求代數(shù)式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．

五、一元二次方程與實(shí)際問題的應(yīng)用

步驟:①審②設(shè)③列④解⑤答

應(yīng)用題常見的幾種類型：

1.增長率問題[增長率公式：]

例1：某工廠一月份產(chǎn)值為50萬元，采用先進(jìn)技術(shù)后，第一季度共獲產(chǎn)值182萬元，二、三月份平均每月增長的百分率是多少?

例2：某種產(chǎn)品的成本在兩年內(nèi)從16元降至9元，求平均每年降低的百分率。

1、某工廠今年利潤為a萬元，比去年增長10%，去年的利潤為萬元。

2、某商品連續(xù)兩次降價(jià)10%后的價(jià)格為a元，該商品的原價(jià)應(yīng)為

3、某林場第一年造林100畝，以后造林面積逐年增長，第二年、第三年共造林375畝，后兩年平均每年的增長率是多少?

2.面積問題[提示：面積問題一定要畫圖分析]

例：一張長方形鐵皮，四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長為4cm的小正方形，再折起來做成一個(gè)無蓋的小盒子。已知鐵皮的長是寬的2倍，做成的小盒子的容積是1536cm3，求長方形鐵皮的長與寬。

1、要給一幅長30cm，寬25cm的照片配一個(gè)鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面積的四分之一，設(shè)鏡框邊的寬度為xcm，則依據(jù)題意列出的方程是_________．

2、要建成一面積為130㎡的倉庫，倉庫的一邊靠墻（墻寬16m），并在與墻平行的一邊開一個(gè)寬1m的門，現(xiàn)有能圍成32m的木板。求倉庫的長與寬各是多少？

3.定價(jià)問題［提示：單位利潤×銷量＝總利潤］

例1：某電視機(jī)專賣店出售一種新面市的電視機(jī)，平均每天售出50臺(tái)，每臺(tái)盈利400元。為了擴(kuò)大銷售,增加利潤，專賣店決定采取適當(dāng)降價(jià)的措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每臺(tái)電視機(jī)每降價(jià)10元，平均每天可多售出5臺(tái)。專賣店降價(jià)第一天，獲利30000元。問：每臺(tái)電視機(jī)降價(jià)多少元?

1、合肥百貨大摟服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了迎接“十一”國慶節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)4元，那平均每天就可多售出8件.要想平均每天銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝因應(yīng)降價(jià)多少元？

2、益群精品店以每件21元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)a元，則可賣出（350－10a）件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計(jì)劃要盈利400元，需要進(jìn)貨多少件？每件商品應(yīng)定價(jià)？

4.球賽問題（注：單循環(huán)必須除2）

例：某校初二年級(jí)組織象棋比賽，每兩個(gè)參賽選手之間都必須賽一場，全年級(jí)共進(jìn)行了28場比賽，問這次參賽的選手有幾位？

1、新年到了，初三(2)班同學(xué)每人都互發(fā)賀卡祝福對(duì)方，共發(fā)了132張賀卡，問全班多少人？

2、要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式(每兩隊(duì)之間都賽一場)，計(jì)劃安排15場比賽，應(yīng)邀請多少個(gè)球隊(duì)參加比賽？

5.倍增問題

例1.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾人？

例2.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分干總數(shù)是91，每個(gè)支干長出多少小分支？

6.數(shù)位問題[123=1×100+2×10+3×1;十位數(shù)字是a，個(gè)數(shù)字是b，則這個(gè)兩位數(shù)可表示為：10a+b]

例：有一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的和是6，如果把它的個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字調(diào)換位置，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)所得的積就等于1008，求調(diào)換位置后得到的兩位數(shù)。

1、一個(gè)兩位數(shù)，它的數(shù)字和為9，如果十位數(shù)字是a，那么這個(gè)兩位數(shù)可表示為，若這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)組成一個(gè)新數(shù)，這個(gè)新數(shù)可表示為。

2、一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小2，如果把這個(gè)數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，那么得到的新兩位數(shù)與原來兩位數(shù)的積為1855，若設(shè)十位為數(shù)字為X，則可列方程為：

3、一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個(gè)位數(shù)字的平方剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位是。

7.中考題選講

1、如圖A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB＝16cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)。問幾秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm？

2、張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個(gè)容積為15米的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底面長比寬多2米，現(xiàn)已知購買這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？

3、云南省2006年至2007年茶葉種植面積與產(chǎn)茶面積情況如表所示，表格中的、分別為2006年和2007年全省茶葉種植面積：

年份種植面積（萬畝）產(chǎn)茶面積（萬畝）

2006年

2007年

合計(jì)

（1）請求出表格中、的值；

（2）在2006年全省種植的產(chǎn)茶面積中，若平均每畝產(chǎn)茶52千克，為使我省2008年全省茶葉種植產(chǎn)茶總產(chǎn)量達(dá)到22萬噸，求2006年至2008年全省年產(chǎn)茶總產(chǎn)量的平均增長率（精確到0.01）．（說明：茶葉種植面積產(chǎn)茶面積未產(chǎn)茶面積）

4、2008年5月1日，目前世界上最長的跨海大橋——杭州灣跨海大橋通車了．通車后，蘇南A地到寧波港的路程比原來縮短了120千米．已知運(yùn)輸車速度不變時(shí)，行駛時(shí)間將從原來的3時(shí)20分縮短到2時(shí)．

（1）求A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的路程．

（2）若貨物運(yùn)輸費(fèi)用包括運(yùn)輸成本和時(shí)間成本，已知某車貨物從A地到寧波港的運(yùn)輸成本是每千米1.8元，時(shí)間成本是每時(shí)28元，那么該車貨物從A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的運(yùn)輸費(fèi)用是多少元？

（3）A地準(zhǔn)備開辟寧波方向的外運(yùn)路線，即貨物從A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港，再從寧波港運(yùn)到B地．若有一批貨物（不超過10車）從A地按外運(yùn)路線運(yùn)到B地的運(yùn)費(fèi)需8320元，其中從A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的每車運(yùn)輸費(fèi)用與（2）中相同，從寧波港到B地的海上運(yùn)費(fèi)對(duì)一批不超過10車的貨物計(jì)費(fèi)方式是：一車800元，當(dāng)貨物每增加1車時(shí)，每車的海上運(yùn)費(fèi)就減少20元，問這批貨物有幾車？

第22章一元二次方程復(fù)習(xí)題

一、選擇題

1．下面關(guān)于x的方程中①ax2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3=；

④（a2+a+1）x2-a=0；④=x-1．一元二次方程的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

2．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）

A．a(chǎn)≠0B．a(chǎn)≠3

C．a(chǎn)≠1且b≠-1D．a(chǎn)≠3且b≠-1且c≠0

3．若（x+y）（1-x-y）+6=0，則x+y的值是（）

A．2B．3C．-2或3D．2或-3

4．若關(guān)于x的一元二次方程3x2+k=0有實(shí)數(shù)根，則（）

A．k0B．k0C．k≥0D．k≤0

5．下面對(duì)于二次三項(xiàng)式-x2+4x-5的值的判斷正確的是（）

A．恒大于0B．恒小于0C．不小于0D．可能為0

6．下面是某同學(xué)在九年級(jí)期中測試中解答的幾道填空題：（1）若x2=a2，則x=a；

（2）方程2x（x-1）=x-1的根是x=0；（3）若直角三角形的兩邊長為3和4，則第三邊的長為5．其中答案完全正確的題目個(gè)數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．3

7．某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按原定價(jià)的七五折出售，將賠25元，而按原定價(jià)的九折出售，將賺20元，則這種商品的原價(jià)是（）

A．500元B．400元C．300元D．200元

8．利華機(jī)械廠四月份生產(chǎn)零件50萬個(gè)，若五、六月份平均每月的增長率是20%，則第二季度共生產(chǎn)零件（）

A．100萬個(gè)B．160萬個(gè)C．180萬個(gè)D．182萬個(gè)

二、填空題

9．若ax2+bx+c=0是關(guān)于x的一元二次方程，則不等式3a+60的解集是________．

10．已知關(guān)于x的方程x2+3x+k2=0的一個(gè)根是-1，則k=_______．

11．若x=2-，則x2-4x+8=________．

12．若（m+1）+2mx-1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是________．

13．若a+b+c=0，且a≠0，則一元二次方程ax2+bx+c=0必有一個(gè)定根，它是_______．

14．若矩形的長是6cm，寬為3cm，一個(gè)正方形的面積等于該矩形的面積，則正方形的邊長是_______．

15．若兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的積是224，則這兩個(gè)數(shù)的和是__________．

三、計(jì)算題（每題9分，共18分）

16．按要求解方程：

（1）4x2-3x-1=0（用配方法）；（2）5x2-x-6=0（精確到0．1）

17．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?/p>

（1）（2x-1）2-7=3（x+1）；（2）（2x+1）（x-4）=5；

（3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=0．

18．若方程x2-2x+（2-）=0的兩根是a和b（ab），方程x-4=0的正根是c，試判斷以a、b、c為邊的三角形是否存在．若存在，求出它的面積；若不存在，說明理由．

19．已知關(guān)于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的兩根之和為-1，兩根之差為1，其中a，b，c是△ABC的三邊長．

（1）求方程的根；（2）試判斷△ABC的形狀．

20．某服裝廠生產(chǎn)一批西服，原來每件的成本價(jià)是500元，銷售價(jià)為625元，經(jīng)市場預(yù)測，該產(chǎn)品銷售價(jià)第一個(gè)月將降低20%，第二個(gè)月比第一個(gè)月提高6%，為了使兩個(gè)月后的銷售利潤達(dá)到原來水平，該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低百分之幾？

21．李先生乘出租車去某公司辦事，下午時(shí)，打出的電子收費(fèi)單為“里程11公里，應(yīng)收29.10元”．出租車司機(jī)說：“請付29.10元．”該城市的出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)按下表計(jì)算，請求出起步價(jià)N（N12）是多少元．

里程（公里）0x≤33x≤6x6

價(jià)格（元）N

【中考真題】

22.（2008廣州）方程的根是（）

ABCD

23.（2008襄樊）某種商品零售價(jià)經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為降價(jià)前的，則平均每次降價(jià)（）

A．B．C．D．

24.（2008威海）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（）

A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法確定

25．（2008四川省資陽）已知a、b、c分別是三角形的三邊，則方程(a+b)x2+2cx+(a+b)＝0的根的情況是（）

A．沒有實(shí)數(shù)根B．可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

26．（200年湖北省仙桃市潛江市江漢油田）關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為1，則方程的另一根為.

27.（2008江蘇省淮安市）小華在解一元二次方程x2-4x=0時(shí)．只得出一個(gè)根是x=4,則被他漏掉的一個(gè)根是x=_____．

28．(2008東莞市)在長為10cm，寬為8cm的矩形的四個(gè)角上截去四個(gè)全等的小正方形，使得留下的圖形（圖中陰影部分）面積是原矩形面積的80％，求所截去小正方形的邊長。

29．(2008年湘潭)閱讀材料：

如果，是一元二次方程的兩根，那么有.

這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，我們利用它可以用來解題:

設(shè)是方程的兩根，求的值.

解法可以這樣：則

.請你根據(jù)以上解法解答下題：

已知是方程的兩根，求：

（1）的值；（2）的值.

頂尖教育一元二次方程單元測試卷

（考試時(shí)間：120分，滿分：150分）

姓名成績評(píng)定

一、選一選（每小題3分，共36分）

1．方程x2+4x=2的正根為（）

A．2-B．2+C．-2-D．-2+

2．已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根是1和-2，則這個(gè)方程是（）

A.B.C.D.

3.某商品兩次價(jià)格上調(diào)后，單價(jià)價(jià)格從4.05元變?yōu)?元,則平均每次調(diào)價(jià)的百分率約為（）

A．9%B．10%C．11%D．12%

4.若使分式的值為零，則x的取值為（）

A．1或-1B.-3或1C.-3D.-3或1

5．將方程3（2x2－1）=（x+）（x－）+3x+5化成一般形式后，其二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別為。（）

A．5，3，5B．5，－3，－5C．7，，2D．8，6，1

6．某商店賣出A、B兩種價(jià)格不同的商品，商品A連續(xù)兩次提價(jià)20%，同時(shí)商品B連續(xù)兩次降價(jià)20%，結(jié)果都以a元出售，則兩種商品的原價(jià)分別是（）

A.（1+20%）2；a（1－20%）2B．；

;a（1－20%）2

7．已知一個(gè)三角形的兩邊長是方程的根，則第三邊長y的取值范圍是（）

A．y8B.2y8C.3y8D.無法確定

8．一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是7，如果把這個(gè)兩位數(shù)加上45，那么恰好成為把個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字對(duì)調(diào)后組成的數(shù)，那么這兩位數(shù)是（）

A．16B．25C．52D．61

9．若n是的根（，則m+n等于（）

A．B.-1C.D.1

10．直角三角形的面積為6，兩直角邊的和為7，則斜邊長為（）

A．D．7

11．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的最大整數(shù)值

()

(A)1.(B)2.(C)0.(D)－1

12．已知一直角三角形的三邊長為a、b、c，∠B=90°，那么關(guān)于x的方程a（x2－1）－2x+b（x2+1）=0的根的情況為（）

A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法確定

二、填一填（每小題3分，共30分）

13．方程（x-2）（x-3）=6的解為____________．

14．若x=2-，則x2-4x+4=________．

15.若關(guān)于x的方程有一根是2，則另一根為___________

16．已知一元二次方程有一個(gè)根為，那么這個(gè)方程可以是____________（只需寫一個(gè)）

17．某種型號(hào)的微機(jī)，原售價(jià)為7200元/臺(tái)，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)售價(jià)為3528元/臺(tái)，則平均每次的百分率為____________________.

18.要給一副長30cm,寬25cm的照片配一個(gè)鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，且鏡框所占的面積為照片面積的四分之一，設(shè)鏡框邊的寬度為xcm,則根據(jù)題意，列出方程是

___________________________

19.代數(shù)式的最小值是____________

20．已知?jiǎng)t的值是____________；

21．已知關(guān)于x的二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍______________

22．若，則=_____________

三、解答題（仔細(xì)是我們要培養(yǎng)的良好習(xí)慣）

23．（5分）（用配方法）24.（5分）

29．（10分）已知關(guān)于x的方程（m+1）x+（m－2）x－1=0，問：（1）m取何值時(shí)，它是一元二次方程？并求方程的解；

30.（10分）如圖，在長為32m，寬為20m的矩形地面上修建同樣寬度的道路（圖中陰影部分），余下的部分種植草坪，要使草坪的面積為540m2,求道路的寬？

31．（10分）某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用作購物，剩下的1000元及應(yīng)得的利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后得本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率。

32．（12分）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加利潤，盡量減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件；（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？

一、

1．B點(diǎn)撥：方程①與a的取值有關(guān)；方程②經(jīng)過整理后，二次項(xiàng)系數(shù)為2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次項(xiàng)系數(shù)經(jīng)過配方后可化為（a+）2+．不論a取何值，都不為0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程．也可排除，故一元二次方程僅有2個(gè)．

2．B點(diǎn)撥：由a-3≠0，得a≠3．

3．C點(diǎn)撥：用換元法求值，可設(shè)x+y=a，原式可化為a（1-a）+6=0，解得a1=3，a2=-2．

4．D點(diǎn)撥：把原方程移項(xiàng)，變形為：x2=-．由于實(shí)數(shù)的平方均為非負(fù)數(shù)，故-≥0，則k≤0．

5．B點(diǎn)撥：-x2+4x-5=-（x2-4x+5）=-（x2-4x+4+1）=-（x-2）2=-1．

由于不論x取何值，-（x-2）2≤0，所以-x2+4x-50．

6．A點(diǎn)撥：第（1）題的正確答案應(yīng)是x=±a；第（2）題的正確答案應(yīng)是x1=1，x2=．第（3）題的正確答案是5或．

7．C點(diǎn)撥：設(shè)商品的原價(jià)是x元．則0.75x+25=0.9x-20．解之得x=300．

8．D點(diǎn)撥：五月份生產(chǎn)零件：50（1+20%）=60（萬個(gè)）

六月份生產(chǎn)零件50（1+20%）2=72（萬個(gè)）

所以第二季度共生產(chǎn)零件50+60+72=182（萬個(gè)），故選D．

二、

9．a(chǎn)-2且a≠0點(diǎn)撥：不可忘記a≠0．

10．±點(diǎn)撥：把-1代入方程：（-1）2+3×（-1）+k2=0，則k2=2，所以k=±．

11．14點(diǎn)撥：由x=2-，得x-2=-．兩邊同時(shí)平方，得（x-2）2=10，即x2-4x+4=10，所以x2-4x+8=14．注意整體代入思想的運(yùn)用．

12．-3或1點(diǎn)撥：由解得m=-3或m=1．

13．1點(diǎn)撥：由a+b+c=0，得b=-（a+c），原方程可化為ax-（a+c）x+c=0，

解得x1=1，x2=．

14．3cm點(diǎn)撥：設(shè)正方形的邊長為xcm，則x2=6×3，解之得x=±3，由于邊長不能為負(fù)，故x=-3舍去，故正方形的邊長為3cm．

15．30或-30點(diǎn)撥：設(shè)其中的一個(gè)偶數(shù)為x，則x（x+2）=224．解得x1=14，x2=-16，則另一個(gè)偶數(shù)為16，-14．這兩數(shù)的和是30或-30．

三、

16．解：（1）4x2-3x-1=0，稱，得4x2-3x=1，

二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2-x=，

配方，得x2-x+（）2=+（）2，

（x-）2=，x-=±，x=±，

所以x1=+=1，x2=-=．

（2）5x2-x-6=0

原方程可化為（x+2）（x-3）=0，

+2=0或-3=0，

所以x1=≈=0.9，x2=≈1.3．

點(diǎn)撥：不要急于下手，一定要審清題，按要求解題．

17．解：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）

整理，得4x2-7x-9=0，因?yàn)閍=4，b=-7，c=-9．

所以x=．

即x1=，x2=．

（2）（2x+1）（x-4）=5，整理，得2x2-7x-9=0，

（x+1）（2x-9）=0，即x+1=0或2x-9=0，

所以x1=-1，x2=．

（3）設(shè)x2-3=y，則原方程可化為y2+3y+2=0．

解這個(gè)方程，得y1=-1，y2=-2．

當(dāng)y1=-1時(shí)，x2-3=-1．x2=2，x1=，x2=-．

當(dāng)y2=-2時(shí)，x2-3=-2，x2=1，x3=1，x4=-1．

點(diǎn)撥：在解方程時(shí)，一定要認(rèn)真分析，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，若遇到比較復(fù)雜的方程，審題就顯得更重要了．方程（3）采用了換元法，使解題變得簡單．

18．解：解方程x2-2x+（2-）=0，得x1=，x2=2-．

方程x2-4=0的兩根是x1=2，x2=-2．

所以a、b、c的值分別是，2-，2．

因?yàn)?2-=2，所以以a、b、c為邊的三角形不存在．

點(diǎn)撥：先解這兩個(gè)方程，求出方程的根，再用兩邊的和與第三邊相比較等來判斷．

19．解：（1）設(shè)方程的兩根為x1，x2（x1x2），則x1+x1=-1，x1-x2=1，解得x1=0，x2=-1．

（2）當(dāng)x=0時(shí)，（a+c）×02+2b×0-（c-a）=0．

所以c=a．當(dāng)x=-1時(shí)，（a+c）×（-1）2+2b×（-1）-（c-a）=0．a(chǎn)+c-2b-c+a=0，

所以a=b．即a=b=c，△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)撥：先根據(jù)題意，列出關(guān)于x，x的二元一次方程組，可以求出方程的兩個(gè)根0和-1．進(jìn)而把這兩個(gè)根代入原方程，判斷a、b、c的關(guān)系，確定三角形的形狀．

20．解：設(shè)該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低x．

625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500

整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．

1-x=±0.9，x=1±0.9，

x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．

答：該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低10%．

點(diǎn)撥：題目中該產(chǎn)品的成本價(jià)在不斷變化，銷售價(jià)也在不斷變化，要求變化后的銷售利潤不變，即利潤仍要達(dá)到125元，關(guān)鍵在于計(jì)算和表達(dá)變動(dòng)后的銷售價(jià)和成本價(jià)．

21．解：依題意，N+（6-3）×+（11-6）×=29.10，

整理，得N2-29.1N+191=0，解得N1=19.1，N2=10，

由于N12，所以N1=19.1舍去，所以N=10．

答：起步價(jià)是10元．

點(diǎn)撥：讀懂表格是正確列出方程的基礎(chǔ)，表格中的含義是：當(dāng)行車?yán)锍滩怀^3公里時(shí)，價(jià)格是10元，當(dāng)行車?yán)锍坛^了3公里而不超過6公里時(shí)，除付10元外，超過的部分每公里再付元；若行車?yán)锍坛^6公里，除了需付以上兩項(xiàng)費(fèi)用外，超過6公里的部分，每公里再付元．

22．C23。A24。B25。A26。-227。0

28．.解：設(shè)小正方形的邊長為.

由題意得，.

解得，.

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，不符合題意舍去.

∴.

答：截去的小正方形的邊長為.

29．解：

（1）

（2）

1、答案：解：（1）設(shè)地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的路程為千米，

由題意得，解得．

地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的路程為180千米．

（2）（元），

該車貨物從地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的運(yùn)輸費(fèi)用為380元．

（3）設(shè)這批貨物有車，

由題意得，整理得，

解得，（不合題意，舍去），這批貨物有8車．

∴做一個(gè)這樣的箱子要花元錢．………………………………10分

2、答案：解：（1）據(jù)表格，可得解方程組，得（2）設(shè)2006年至2008年全省茶葉種植產(chǎn)茶年總產(chǎn)量的平均增長率為，

∵2006年全省茶葉種植產(chǎn)茶面積為萬畝，從而2006年全省茶葉種植產(chǎn)茶的總產(chǎn)量為（萬噸）．據(jù)題意，得，解方程，得，∴或（舍去），從而增長率為．

3、答案：設(shè)這種箱子底部寬為米，則長為米，

依題意，得．解得（舍），．

∴這種箱子底部長為米、寬為米．

由長方體展開圖知，要購買矩形鐵皮面積為（米）．……9分

延伸閱讀

一元二次方程

每個(gè)老師不可缺少的課件是教案課件，大家在仔細(xì)設(shè)想教案課件了。教案課件工作計(jì)劃寫好了之后，這樣我們接下來的工作才會(huì)更加好！你們會(huì)寫一段適合教案課件的范文嗎？下面是小編幫大家編輯的《一元二次方程》，僅供參考，大家一起來看看吧。

第二十二章一元二次方程
教材內(nèi)容
本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：
1.一元二次方程及其有關(guān)概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題.
2.本單元在教材中的地位和作用：
教學(xué)目標(biāo)
1.一分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系并求解其中未知數(shù)為背景，認(rèn)識(shí)一元二次方程及其有關(guān)概念。
2.根據(jù)化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.經(jīng)歷分析和解決問題的過程，體會(huì)一元二次方程的教學(xué)模型作用，進(jìn)一步提高在實(shí)際問題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：
1．一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題。
難點(diǎn)：
1.一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及靈活運(yùn)用
課時(shí)安排
本章教學(xué)時(shí)約需課時(shí)，具體分配如下（供參考）
22．1一元二次方程1課時(shí)
22．2降次7課時(shí)
22．3實(shí)際問題與一元二次方程3課時(shí)
教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié)
22.1一元二次方程
教學(xué)目的
1．使學(xué)生理解并能夠掌握整式方程的定義．
2．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的定義．
3．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達(dá)式以及各種特殊形式．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：一元二次方程的定義．
難點(diǎn)：一元二次方程的一般形式及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識(shí)別．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已學(xué)過的方程？分別叫做什么方程？
(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；
3．結(jié)合上述有關(guān)方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新課
1．方程的分類：（通過上面的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生答出）
學(xué)過的幾類方程是
沒學(xué)過的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
這類“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程．”像這樣，我們把“只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
據(jù)此得出復(fù)習(xí)中學(xué)生未學(xué)過的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過的方程分為兩大類：
2．一元二次方程的一般形式
注意引導(dǎo)學(xué)生考慮方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化為：x2+5x-150=0．
從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)．
【注意】二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)(a=0時(shí)，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實(shí)數(shù)．
例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．
課堂練習(xí)P271、2題
歸納總結(jié)
1．方程分為兩大類：
判別整式方程與分式方程的關(guān)鍵是看分母中是否含有未知數(shù)；判別一元一次方程，一元二次方程的關(guān)鍵是看方程化為一般形式后，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次．
2．一元二次方程的定義：一個(gè)整式方程，經(jīng)化簡形成只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可為任意實(shí)數(shù)，而a不能等于零．
布置作業(yè)：習(xí)題22.11、2題．
達(dá)標(biāo)測試
1.在下列方程中,一元二次方程的個(gè)數(shù)是()
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
2.關(guān)于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),下列說法完全正確的是()
A.3,-5,-2B.3,-5x,2
C.3,5x,-2D.3,-5,2
3.方程(m+2)+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則()
A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是
5.方程4x2=3x-+1的二次項(xiàng)是,一次項(xiàng)是,常數(shù)項(xiàng)是
課后反思：

22.2解一元二次方程
第一課時(shí)
直接開平方法
教學(xué)目的
1．使學(xué)生掌握用直接開平方法解一元二次方程．
2．引導(dǎo)學(xué)生通過特殊情況下的解方程，小結(jié)、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：準(zhǔn)確地求出方程的根．
難點(diǎn)：正確地表示方程的兩個(gè)根．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)過程
回憶數(shù)的開方一章中的知識(shí)，請學(xué)生回答下列問題，并說明解決問題的依據(jù)．
求下列各式中的x：
1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解題的依據(jù)是：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)．
即一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數(shù)有兩個(gè)，它們是互為相反數(shù)．
引入新課
我們已經(jīng)學(xué)過了一些方程知識(shí)，那么上述方程屬于什么方程呢？
新課
例1解方程x2-4=0．
解：先移項(xiàng)，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．
例2解方程(x+3)2=2．
練習(xí)：P281、2
歸納總結(jié)
1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)了簡單的一元二次方程的解法——直接開平方法．
2．直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作業(yè)：習(xí)題22.14、6題
達(dá)標(biāo)測試
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解為
A.x1=2x2=-2B.
C.x1=4x2=-4D.此方程無實(shí)根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A.B.
C.D.
4.對(duì)于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是
A.不論c為何值,方程均有實(shí)數(shù)根B.方程的根是
C.當(dāng)c≥0時(shí),方程可化為:
D.當(dāng)c=0時(shí),
5.解下列方程:
①.5x2-40=0②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0④.9(x-3)2-49=0
課后反思

九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊2.1一元二次方程（湘教版）

一元二次方程學(xué)案