高中三角函數(shù)教案

銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用（1）教學(xué)案。

一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，大家在認(rèn)真準(zhǔn)備自己的教案課件了吧。只有規(guī)劃好新的教案課件工作，新的工作才會(huì)更順利！你們知道哪些教案課件的范文呢？下面是小編精心為您整理的“銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用（1）教學(xué)案”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

南沙初中初三數(shù)學(xué)教學(xué)案

教學(xué)內(nèi)容：7.6銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用（1）

課型：新授課學(xué)生姓名：________

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

通過具體的一些實(shí)例，能將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)鞏固：

1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，則BC：AC：AB=。

2、在△ABC中，∠C=90°。

（1）已知∠A=30°，BC=8cm，（2）已知∠A=60°，AC=cm，

求：AB與AC的長；求：AB與BC的長。

二、例題學(xué)習(xí)：

問題1：“五一”節(jié)，小明和同學(xué)一起到游樂場游玩，游樂場的大型摩天輪的半徑為20m，旋轉(zhuǎn)1周需要12min。小明乘坐最底部的車廂（離地面約0.5m）開始1周的觀光，2min后小明離地面的高度是多少（精確到0.1m）？

拓展延伸：1、摩天輪啟動(dòng)多長時(shí)間后，小明離地面的高度將首次到達(dá)10m？

2、小明將有多長時(shí)間連續(xù)保持在離地面20m以上的空中？

思考與探索1：如圖，東西兩炮臺(tái)A、B相距2000米，同時(shí)發(fā)現(xiàn)敵艦C，炮臺(tái)A測得敵艦C在它的南偏東60°的方向，炮臺(tái)B測得敵艦C在它的正南方，試求敵艦與兩炮臺(tái)的距離。

概念：仰角、俯角的定義

如右圖，從下往上看，視線與水平線的夾角叫仰角，

從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角。

右圖中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。

問題2：為了測量停留在空中的氣球的高度，小明先站在地面上某點(diǎn)觀測氣球，測得仰角為30°，然后他向氣球方向前進(jìn)了50m，此時(shí)觀測氣球，測得仰角為45°。若小明的眼睛離地面1.6m，小明如何計(jì)算氣球的高度呢？

思考與探索（2）：

大海中某小島的周圍10km范圍內(nèi)有暗礁。一艘海輪在該島的南偏西55°方向的某處，由西向東行駛了20km后到達(dá)該島的南偏西25°方向的另一處。如果該海輪繼續(xù)向東行駛，會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？

三、板演練習(xí)

1、如圖，單擺的擺長AB為90cm，當(dāng)它擺動(dòng)到∠BAB＇的位置時(shí)，∠BAB＇=30°。問這時(shí)擺球B＇較最低點(diǎn)B升高了多少？

2、飛機(jī)在一定高度上飛行，先測得正前方某小島的俯角為30°，飛行10km后，測得該小島的俯角為60°，求飛機(jī)的高度。

四、小結(jié)

五、課堂作業(yè)（見作業(yè)紙57）

班級__________姓名___________學(xué)號_________得分_________

1、（09年益陽市）如圖3，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）

A.B.C.D.

第1題第3題第4題第5題

2．(09甘肅定西)某人想沿著梯子爬上高4米的房頂，梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60°，否則就有危險(xiǎn)，那么梯子的長至少為（）

A．8米B．米C．米D．米

3．(09濰坊)如圖，小明要測量河內(nèi)小島B到河邊公路l的距離，在A點(diǎn)測得，在C點(diǎn)測得，又測得米，則小島B到公路l的距離為（）米．

A．25B．C．D．

4．已知蹺蹺板長4m，當(dāng)蹺蹺板的一端碰到地面時(shí)，另一端離地面2m。時(shí)蹺蹺板與地面的夾角為_________。

5．（09仙桃）如圖所示，小華同學(xué)在距離某建筑物6米的點(diǎn)A處測得廣告牌B點(diǎn)．C點(diǎn)的仰角分別為52°和35°，則廣告牌的高度BC為_____________米(精確到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)

6．（09年濟(jì)南）九年級三班小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“測量物體高度”一節(jié)課后，他為了測得右圖所放風(fēng)箏的高度，進(jìn)行了如下操作：

（1）在放風(fēng)箏的點(diǎn)處安置測傾器，測得風(fēng)箏的仰角；

（2）根據(jù)手中剩余線的長度出風(fēng)箏線的長度為70米；

（3）量出測傾器的高度米．

根據(jù)測量數(shù)據(jù)，計(jì)算出風(fēng)箏的高度約為米．（精確到0.1米，）

7．如圖，秋千鏈子的長度為3m，當(dāng)秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，兩邊擺動(dòng)的角度均為30°.求它擺動(dòng)到最高位置與最低位置的高度之差。

8．（2009眉山）海船以5海里/小時(shí)的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向，2小時(shí)后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)燈塔B在海船的北偏西45°方向，求此時(shí)燈塔B到C處的距離．

9．（2009年哈爾濱）如圖，一艘輪船以每小時(shí)20海里的速度沿正北方向航行，在A處測得燈塔C在北偏西30°方向，輪船航行2小時(shí)后到達(dá)B處，在B處測得燈塔C在北偏西60°方向．當(dāng)輪船到達(dá)燈塔C的正東方向的D處時(shí)，求此時(shí)輪船與燈塔C的距離．（結(jié)果保留根號）

10.（09年濟(jì)寧市）坐落在山東省汶上縣寶相寺內(nèi)的太子靈蹤塔始建于北宋（公元1112年），為磚徹八角形十三層樓閣式建筑.數(shù)學(xué)活動(dòng)小組開展課外實(shí)踐活動(dòng)，在一個(gè)陽光明媚的上午，他們?nèi)y量太子靈蹤塔的高度，攜帶的測量工具有：測角儀．皮尺．小鏡子.

（1）小華利用測角儀和皮尺測量塔高.圖1為小華測量塔高的示意圖.她先在塔前的平地上選擇一點(diǎn)，用測角儀測出看塔頂?shù)难鼋?，在點(diǎn)和塔之間選擇一點(diǎn)，測出看塔頂?shù)难鼋牵缓笥闷こ吡砍觯畠牲c(diǎn)的距離為m,自身的高度為m.請你利用上述數(shù)據(jù)幫助小華計(jì)算出塔的高度（，結(jié)果保留整數(shù)）.

（2）如果你是活動(dòng)小組的一員，正準(zhǔn)備測量塔高，而此時(shí)塔影的長為m（如圖2）,你能否利用這一數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)一個(gè)測量方案？如果能，請回答下列問題：

①在你設(shè)計(jì)的測量方案中，選用的測量工具是:；

②要計(jì)算出塔的高，你還需要測量哪些數(shù)據(jù)？

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銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

老師會(huì)對課本中的主要教學(xué)內(nèi)容整理到教案課件中，大家在認(rèn)真寫教案課件了。只有制定教案課件工作計(jì)劃，可以更好完成工作任務(wù)！你們了解多少教案課件范文呢？下面是由小編為大家整理的“銳角三角函數(shù)的應(yīng)用”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

31.3銳角三角函數(shù)的應(yīng)用
教學(xué)目標(biāo)
1.能夠把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。
2.能夠錯(cuò)助于計(jì)算器進(jìn)行有三角函數(shù)的計(jì)算，并能對結(jié)果的意義進(jìn)行說明，發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和解決問題的能力。
過程與方法
經(jīng)歷探索實(shí)際問題的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決實(shí)際問題過程中的應(yīng)用。
情感態(tài)度與價(jià)值觀
積極參與探索活動(dòng)，并在探索過程中發(fā)表自己的見解，體會(huì)三角函數(shù)是解決實(shí)際問題的有效工具。
重點(diǎn)：能夠把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計(jì)算器進(jìn)行有三角函數(shù)的計(jì)算。
難點(diǎn)：能夠把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題，會(huì)正確選用適合的直角三角形的邊角關(guān)系。
教學(xué)過程
一、問題引入，了解仰角俯角的概念。
提出問題：某飛機(jī)在空中A處的高度AC＝1500米，此時(shí)從飛機(jī)看地面目標(biāo)B的俯角為18°，求A、B間的距離。
提問：1.俯角是什么樣的角？，如果這時(shí)從地面B點(diǎn)看飛機(jī)呢，稱∠ABC是什么角呢？這兩個(gè)角有什么關(guān)系？
2.這個(gè)△ABC是什么三角形？圖中的邊角在實(shí)際問題中的意義是什么，求的是什么，在這個(gè)幾何圖形中已知什么，又是求哪條線段的長，選用什么方法？
教師通過問題的分析與討論與學(xué)生共同學(xué)習(xí)也仰角與俯角的概念，也為運(yùn)用新知識解決實(shí)際問題提供了一定的模式。
二、測量物體的高度或?qū)挾葐栴}.
1.提出老問題，尋找新方法
我們學(xué)習(xí)中介紹過測量物高的一些方法，現(xiàn)在我們又學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，能不能利用新的知識來解決這些問題呢。
利用三角函數(shù)的前提條件是什么？那么如果要測旗桿的高度，你能設(shè)計(jì)一個(gè)方案來利用三角函數(shù)的知識來解決嗎？
學(xué)生分組討論體會(huì)用多種方法解決問題，解決問題需要適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。
2.運(yùn)用新方法，解決新問題.
⑴從1.5米高的測量儀上測得古塔頂端的仰角是30°，測量儀距古塔60米，則古塔高（）米。
⑵從山頂望地面正西方向有C、D兩個(gè)地點(diǎn)，俯角分別是45°、30°，已知C、D相距100米，那么山高（）米。
⑶要測量河流某段的寬度，測量員在灑一岸選了一點(diǎn)A，在另一岸選了兩個(gè)點(diǎn)B和C，且B、C相距200米，測得∠ACB＝45°，∠ABC＝60°，求河寬（精確到0.1米）。
在這一部分的練習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生正確來圖，構(gòu)造直角三角形解決實(shí)際問題，滲透建模的數(shù)學(xué)思想。
三、與方位角有關(guān)的決策型問題
1.提出問題
一艘漁船正以30海里/時(shí)的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在北偏東60°的方向上；40nin后，漁船行駛到B處，此時(shí)小島C在船北偏東30°的方向上。已知以小島C為中心，10海里為半徑的范圍內(nèi)是多暗礁的危險(xiǎn)區(qū)。這艘漁船如果繼續(xù)向東追趕魚群，有有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)的可能？
2.師生共同分析問題按以下步驟時(shí)行：
⑴根據(jù)題意畫出示意圖，
⑵分析圖中的線段與角的實(shí)際意義與要解決的問題，
⑶不存在直角三角形時(shí)需要做輔助線構(gòu)造直角三角形，如何構(gòu)造？
⑷選用適當(dāng)?shù)倪吔顷P(guān)系解決數(shù)學(xué)問題，
⑸按要求確定正確答案，說明結(jié)果的實(shí)際意義。
3.學(xué)生練習(xí)
某景區(qū)有兩景點(diǎn)A、B，為方便游客，風(fēng)景管理處決定在相距2千米的A、B兩景點(diǎn)之間修一條筆直的公路（即線段AB）。經(jīng)測量在A點(diǎn)北偏東60°的方向上在B點(diǎn)北偏西45°的方向上，有一半徑為0.7千米
的小水潭，問水潭會(huì)不會(huì)影響公路的修建？為什么？

學(xué)生可以分組討論來解決這一問題，提出不同的方法。
四、總結(jié)。
1.由學(xué)生談利用三角函數(shù)知識來解決實(shí)際問題的步驟，再次體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型解決問題的過程。
2.總結(jié)具體幾種類型的圖形構(gòu)造直角三角形的方法：

《銳角三角函數(shù)》學(xué)案1

教案課件是老師上課中很重要的一個(gè)課件，大家正在計(jì)劃自己的教案課件了。各行各業(yè)都在開始準(zhǔn)備新的教案課件工作計(jì)劃了，未來工作才會(huì)更有干勁！你們知道多少范文適合教案課件？以下是小編為大家精心整理的“《銳角三角函數(shù)》學(xué)案1”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

《銳角三角函數(shù)》學(xué)案1

教學(xué)目標(biāo)：
1.探索直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關(guān)系。
2.掌握三角函數(shù)定義式：sinA=，cosA=，tanA=。
重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：三角函數(shù)定義的理解。
難點(diǎn)：直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關(guān)系及求三角函數(shù)值。
【教學(xué)過程】
一、情境導(dǎo)入
如圖是兩個(gè)自動(dòng)扶梯，甲、乙兩人分別從1、2號自動(dòng)扶梯上樓，誰先到達(dá)樓頂?如果AB和A′B′相等而∠α和∠β大小不同，那么它們的高度AC和A′C′相等嗎？AB、AC、BC與∠α，A′B′、A′C′、B′C′與∠β之間有什么關(guān)系呢？------導(dǎo)出新課
二、新課教學(xué)
1、合作探究
見課本
2、三角函數(shù)的定義
在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.
∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即sinA＝
∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine)，記作cosA，即cosA=
∠A的對邊與∠A的鄰邊的比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即
銳角A的正弦、余弦和正切統(tǒng)稱∠A的三角函數(shù).
注意：sinA，cosA，tanA都是一個(gè)完整的符號，單獨(dú)的“sin”沒有意義，其中A前面的“∠”一般省略不寫。
師：根據(jù)上面的三角函數(shù)定義，你知道正弦與余弦三角函數(shù)值的取值范圍嗎？
師：（點(diǎn)撥）直角三角形中，斜邊大于直角邊．
生：獨(dú)立思考，嘗試回答，交流結(jié)果．
明確：0＜sina＜1，0＜cosa＜1.
鞏固練習(xí)：課內(nèi)練習(xí)T1、作業(yè)題T1、2
3、如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3,求∠A,∠B的正弦,余弦和正切.
分析：由勾股定理求出AC的長度，再根據(jù)直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關(guān)系求出各函數(shù)值。
師：觀察以上計(jì)算結(jié)果,你發(fā)現(xiàn)了什么?
明確：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
4、課堂練習(xí)：課本課內(nèi)練習(xí)T2、3，作業(yè)題T3、4、5、6
三、課堂小結(jié)：談?wù)劷裉斓氖斋@
1、內(nèi)容總結(jié)
（1）在RtΔABC中,設(shè)∠C=900，∠α為RtΔABC的一個(gè)銳角，則
∠α的正弦，∠α的余弦，
∠α的正切
（2）一般地，在Rt△ABC中,當(dāng)∠C=90°時(shí)，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
2、方法歸納
在涉及直角三角形邊角關(guān)系時(shí)，常借助三角函數(shù)定義來解
四、布置作業(yè)：
1.課后作業(yè)題
2.見作業(yè)本相關(guān)節(jié)次

銳角三角函數(shù)

第二十八章銳角三角函數(shù)
本章小結(jié)
小結(jié)1本章概述
銳角三角函數(shù)、解直角三角形，它們既是相似三角形及函數(shù)的繼續(xù)，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)三角形的基礎(chǔ)．本章知識首先從工作和生活中經(jīng)常遇到的問題人手，研究直角三角形的邊角關(guān)系、銳角三角函數(shù)等知識，進(jìn)而學(xué)習(xí)解直角三角形，進(jìn)一步解決一些簡單的實(shí)際問題．只有掌握銳角三角函數(shù)和直角三角形的解法，才能繼續(xù)學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)和解斜三角形等知識，同時(shí)解直角三角形的知識有利于培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)牢固掌握．
小結(jié)2本章學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
【本章重點(diǎn)】通過實(shí)例認(rèn)識直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)知識解決與直角三角形有關(guān)的簡單的實(shí)際問題．
【本章難點(diǎn)】綜合運(yùn)用直角三角形的邊邊關(guān)系、邊角關(guān)系來解決實(shí)際問題．
【學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題】
在本章的學(xué)習(xí)中，應(yīng)正確掌握四種三角函數(shù)的定義，熟記特殊角的三角函數(shù)值，要善于運(yùn)用方程思想求直角三角形的某些未知元素，會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想通過添加輔助線把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形來求解，會(huì)用數(shù)學(xué)建模思想和轉(zhuǎn)化思想把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，從而提高分析問題和解決問題的能力．
小結(jié)3中考透視
這一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函數(shù)值及幾個(gè)三角函數(shù)間的關(guān)系，主要題型是選擇題、填空題．另外解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用也是考查的一個(gè)重點(diǎn)，主要題型是填空題和解答題，約占3～7分．
知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

專題總結(jié)及應(yīng)用
一、知識性專題
專題1：銳角三角函數(shù)的定義
【專題解讀】銳角三角函數(shù)定義的考查多以選擇題、填空題為主．
例1如圖28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，則下列結(jié)論正確的是()
A．sinA＝B．tanA＝
C．cosB＝D．tanB＝
分析sinA＝＝，tanA＝＝，cosB＝＝．故選D.
例2在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,則tanA等于()
A．B．C．D．
分析在Rt△ABC中，設(shè)AC＝3k，AB＝5k，則BC＝4k，由定義可知tanA＝．故選D.
分析在Rt△ABC中，BC＝＝3，∴sinA＝．故填．
專題2特殊角的三角函數(shù)值
【專題解讀】要熟記特殊角的三角函數(shù)值．
例4計(jì)算|－3|＋2cos45°－(－1)0．
分析cos45°＝．
解：原式＝3＋2×－1＝＋2．
例5計(jì)算－＋＋(－1)2007－cos60°．
分析cos60°＝．
解：原式＝＋3＋(－1)－＝3－1＝2．
例6計(jì)算|－|＋(cos60°－tan30°)0＋．
分析cos60°＝，tan30°＝，∴cos60°－tan30°≠0，∴(cos60°－tan30°)0＝1，
解：原式＝＋1十＋2＝3＋1．
例7計(jì)算－(π－3.14)0－|1－tan60°|－.
分析tan60°＝.
解：原式＝8－1－＋1＋＋2＝10.
專題3銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識的綜合運(yùn)用
【專題解讀】銳角三角函數(shù)常與其他知識綜合起來運(yùn)用，考查綜合運(yùn)用知識解決問題的能力.
例8如圖28－124所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，E為AC邊的中點(diǎn)，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
(1)求線段DC的長；
(2)求tan∠EDC的值.
分析在Rt△ABD中，由sinB＝，可求得BD，從而求得CD．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得DE＝AC＝EC，則∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以轉(zhuǎn)化為求tanC.
解：(1)∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC
在Rt△ABD中，sinB＝．
∵AD＝12，sinB＝，∴AB＝15，
∴BD＝＝＝9．
∵BC＝14，∴CD＝5．
(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝AC＝EC，
∴∠EDC＝∠C
∵tanC＝＝,∴tan∠EDC＝tanC＝．
例9如圖28－125所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB＝cos∠DAC.
(1)求證AC＝BD；
(2)若sinC＝，BC＝12，求AD的長．
分析(1)利用銳角三角函數(shù)的定義可得AC＝BD．(2)利用銳角三角函數(shù)與勾股定理可求得AD的長．
證明：(1)∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB＝，cos∠DAC＝，tanB＝cos∠DAC，
∴＝，∴AC＝BD.
解：(2)在Rt△ADC中，sinC＝，設(shè)AD＝12k，AC＝13k，
∴CD＝＝5k．
∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，
∴BC＝13k＋5k＝18k．
由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝，
∴AD＝12k＝12×＝8．
例10如圖28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋30，求AB的長．
分析過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用AD是兩個(gè)直角三角形的公共邊，設(shè)AD＝x，把BD，DC用含x的式子表示出來，再由BD＋CD＝BC這一等量關(guān)系列方程，求得AD，則AB可在Rt△ABD中求得．
解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)AD＝x.
在Rt△ADB中，tanB＝，∴BD＝＝x，
在Rt△ADC中，tanC＝，∴CD＝＝＝x．
又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋30，
∴x＋x＝30＋30,∴x＝30．
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AB＝＝＝30.
專題4用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題
【專題解讀】加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力是當(dāng)今數(shù)學(xué)改革的方向，圍繞本章內(nèi)容，縱觀近幾年各地的中考試題，與解直角三角形有關(guān)的應(yīng)用問題逐步成為命題的熱點(diǎn)，其主要類型有輪船定位問題、堤壩工程問題、建筑測量問題、高度測量問題等，解決各類應(yīng)用問題時(shí)要注意把握各類圖形的特征及解法．
例11如圖28－127所示，小山上有一棵樹，現(xiàn)有一測角儀和皮尺兩種測量工具，請你設(shè)計(jì)一種測量方案，在山腳的水平地面上測出小樹頂端A到水平地面上的距離AB．
(1)畫出測量示意圖；
(2)寫出測量步驟(測量數(shù)據(jù)用字母表示)；
(3)根據(jù)(2)中的數(shù)據(jù)計(jì)算AB．
解：(1)測量示意圖如圖28—128所示．
(2)測量步驟．
第一步：在地面上選擇點(diǎn)C安裝測角儀，測得此時(shí)小樹頂端A的仰角∠AHE＝α.
第二步：沿CB方向前進(jìn)到點(diǎn)D，用皮尺量出C，D之間的距離
CD＝m．
第三步：在點(diǎn)D安裝測角儀，測得此時(shí)小樹頂端A的仰角
∠AFE＝β.
第四步：用皮尺測出測角儀的高h(yuǎn)．
(3)令A(yù)E＝x，則tanα＝，得HE＝.
又tanβ＝，得EF＝，
∵HE－FE＝HF＝CD＝m，
∴＝m，解得x＝．
∴AB＝＋h．
例12如圖28－129所示，一條小船從港口A出發(fā)，沿北偏東40°方向航行20海里后到達(dá)B處，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到達(dá)C處，則此時(shí)小船距港口A多少海里?(結(jié)果保留整數(shù)，提示：sin40°≈0.6428，cos40°≈0.7660，tan40°≈0．8391，≈1.732)
分析此題可作CD⊥AP構(gòu)造直角三角形求AC，而CD，AD的長可轉(zhuǎn)移到其他三角形中解決，可作BE⊥AD，CF⊥BE，CF，BF在Rt△BCF中可求，進(jìn)而求解．
解：如圖28－130所示，過點(diǎn)B作BE⊥AP，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)C分別作CD⊥AP，CF⊥BE，垂足分別為點(diǎn)D，F(xiàn)，則四邊形CDEF為矩形，
∴CD＝EF，DE＝CF．
∵∠QBC＝30°，∴∠CBF＝60°．
∵AB＝20，∠BAD＝40°，
∴AE＝ABcos40°≈20×0.7660≈15.3，
BE＝ABsin40°≈20×0.6428＝12.856≈12.9．
又∵BC＝10，∠CBF＝60°，
∴CF＝BCsin60°≈10×＝5≈8.7，
BF＝BCcos60°＝10×0.5＝5，
∴CD＝EF＝BE－BF≈12.9－5＝7.9．
∵DE＝CF≈8.7，∴AD＝DE＋AE≈8.7＋15.3＝24.0，
由勾股定理得AC＝≈＝≈25，
即此時(shí)小船距港口A約25海里．
【解題策略】正確理解方位角，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．
例13如圖28－131所示，我市某中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識去測量沱江流經(jīng)我市某段的河寬．小凡同學(xué)在點(diǎn)A處觀測到對岸C點(diǎn)，測得∠CAD＝45°，又在距A處60米遠(yuǎn)的B處測得∠CBA＝30°，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬是多少?(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)
分析本題可作CE⊥AB，垂足為E，求出CE的長即為河寬．
解：如圖28－131所示，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則CE即為河寬，
設(shè)CE＝x(米)，則BE＝x＋60(米)．
在Rt△BCE中，tan30°＝，即＝,
解得x＝30(＋1)≈81.96(米)．
答：河寬約為81．96米．
【解題策略】解本題的關(guān)鍵是設(shè)CE＝x，然后根據(jù)BE＝AB＋AE列方程求解．
例14如圖28－132所示，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場岸邊的A點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的B點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營救．1號救生員從A點(diǎn)直接跳入海中；2號救生員沿岸邊(岸邊可以看成是直線)向前跑到C點(diǎn)再跳入海中；3號救生員沿岸邊向前跑300米到離B點(diǎn)最近的D點(diǎn)，再跳入海中，救生員在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生員同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，請說明誰先到達(dá)營救地點(diǎn)B．(參考數(shù)據(jù)≈1.4，≈1.7)
分析在Rt△ABD中，已知∠A＝45°和AD，可求AB，BD，在Rt△BCD中，可利用求出的BD和∠BCD＝60°求出BC，然后根據(jù)計(jì)算出的數(shù)據(jù)判斷誰先到達(dá)．
解：在Rt△ABD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD＝300，
∴AB＝＝300.
＝tan45°，即BD＝ADtan45°＝300．
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠D＝90°，
∴BC＝＝200，CD＝＝＝100.
1號救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為＝150≈210(秒)，
2號救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為＝50＋≈192(秒)，
3號救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為＋＝200(秒)．
∵192＜200＜210.∴2號求生員先到達(dá)營救地點(diǎn)B.
【解題策略】本題為閱讀理解題，題目中的數(shù)據(jù)比較多，正確分析題意是解題的關(guān)鍵．
例15如圖28－133所示，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測得某島C在它的北偏東60°方向上，該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)再測得該島在它的北偏東30°方向上；已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若貨船繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險(xiǎn)?試說明理由．
分析本題可作CD⊥AM于點(diǎn)D，在Rt△BCD中求出CD即可．
解：過點(diǎn)C作CD⊥AM，垂足為點(diǎn)D，
由題意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,
∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24×＝12(海里)．
在Rt△BCD中，CD＝BC×sin60°＝6(海里)．
∵6＞9，∴貨船繼續(xù)向正東方向航行無觸礁危險(xiǎn)．
【解題策略】此題實(shí)際上是通過⊙C(半徑為9海里)與直線AM相離判斷出無觸礁危險(xiǎn).
例16如圖28－134所示，某幢大樓頂部有一塊廣告牌CD，甲、乙兩人分別在相距8米的A，B兩處測得D點(diǎn)和C點(diǎn)的仰角分別為45°和60°，且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若BE＝15米，求這塊廣告牌的高度．(≈1.73，結(jié)果保留整數(shù))
分析由于CD＝CE－DE，所以可分別在Rt△AED和Rt△BEC中求DE，CE的長，從而得出結(jié)論．
解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．
在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23．
在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BEtan60°＝15，
∴CD＝CE－DE＝15－23≈3，
即這塊廣告牌的高度約為3米．
例17如圖28－135所示，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬AD＝2.5m，壩高4m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求壩底寬BC.
分析坡度即坡角的正切值，所以分別過A，D兩點(diǎn)向壩底引垂線，把梯形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形．
解：過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，
由題意可知tanB＝1，tanC＝，
在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝＝1，∴BE＝AE＝4，
在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝，
∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．
又∵EF＝AD＝2.5，
∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．
答：壩底寬BC為12．5m．
【解題策略】背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.
例18如圖28－136所示，山頂建有一座鐵塔，塔高CD＝30m，某人在點(diǎn)A處測得塔底C的仰角為20°，塔頂D的仰角為23°，求此人距CD的水平距離AB．(參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424)
分析要求AB的值，由于兩個(gè)直角三角形中都只有角的已知條件，不能直接求解，所以設(shè)AB為未知量，即用AB表示BD和BC，根據(jù)BD－BC＝CD＝30，列出關(guān)于AB的方程．
解：在Rt△ABC中，∠CAB＝20°，
∴BC＝ABtan∠CAB＝ABtan20°．
在Rt△ABD中，∠DAB＝23°，
∴BD＝ABtan∠DAB＝ABtan23°．
∴CD＝BD－BC＝ABtan23°－ABtan20°＝AB(tan23°－tan20°)．
∴AB＝≈＝500(m)．
答：此人距CD的水平距離AB約為500m．
二、規(guī)律方法專題
專題5公式法
【專題解讀】本章的公式很多，熟練掌握公式是解決問題的關(guān)鍵．
例19當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，求的值．
分析由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α
解：∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．
∴.
∵0°＜a＜90°，∴cosα＞0．
∴原式＝＝1．
【解題策略】以上解法中，應(yīng)用了關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1(0°＜α＜90°)，這一關(guān)系式在解題中經(jīng)常用到，應(yīng)當(dāng)牢記，并靈活運(yùn)用．
三、思想方法專題
專題6類比思想
【專題解讀】求方程中未知數(shù)的過程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的過程叫做解直角三角形，因此對解直角三角形的概念的理解可類比解方程的概念．我們可以像解方程(組)一樣求直角三角形中的未知元素．
例20在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，b＝，解這個(gè)直角三角形．
分析已知兩直角邊長a，b，可由勾股定理c＝求出c，再利用sinA＝求出∠A，進(jìn)而求出∠B＝90°－∠A．
解：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2．
∴c＝.
又∵sinA＝，∴∠A＝30°．
∴∠B＝90°－∠A＝60°．
【解題策略】除直角外，求出Rt△ABC中的所有未知元素就是解直角三角形．
專題7數(shù)形結(jié)合思想
【專題解讀】由“數(shù)”思“形”，由“形”想“數(shù)”，兩者巧妙結(jié)合，起到互通、互譯的作用，是解決幾何問題常用的方法之一．
例21如圖28－137所示，已知∠α的終邊OP⊥AB，直線AB的方程為y＝－x＋，則cosα等于()
A．B．
C．D．
分析∵y＝－x＋，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，∴A(1，0)，B，∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝，∴cos∠OBA＝.∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝．故選A.
專題8分類討論思想
【專題解讀】當(dāng)結(jié)果不能確定，且有多種情況時(shí)，對每一種可能的情況都要進(jìn)行討論．
例22一條東西走向的高速公路上有兩個(gè)加油站A，B，在A的北偏東45°方向上還有一個(gè)加油站C，C到高速公路的最短距離是30km，B，C間的距離是60km．要經(jīng)過C修一條筆直的公路與高速公路相交，使兩路交叉口P到B，C的距離相等，求交叉口P與加油站A的距離．(結(jié)果可保留根號)
解：①如圖28－138(1)所示，
在Rt△BDC中，∵CD＝30，CB＝60，∴∠B＝30°．
又PC＝PB，∴∠CPD＝60°，∴DP＝10．
故AP＝AD＋DP＝(30＋10)km．
②同理，如圖28－138(2)所示，可求得AP＝(30－10)km，
故交叉口P與加油站A的距離為(30＋10)km或(30－10)km．
【解題策略】此題針對P點(diǎn)的位置分兩種情況進(jìn)行討論，即點(diǎn)P在線段AB上或點(diǎn)P在線段BA的延長線上．
專題9轉(zhuǎn)化思想
【專題解讀】本章中的轉(zhuǎn)化思想主要應(yīng)用在把直角三角形的線段比轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值、把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、把斜三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題等．
例23如圖28－139所示，某校教學(xué)樓的后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡上面是一塊平地，BC∥AD，斜坡AB的長為22m，坡角∠BAD＝68°，為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對該土坡進(jìn)行改造，經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過50°時(shí)，可確保山體不滑坡．
(1)求改造前坡頂與地面的距離；
(2)為確保安全，學(xué)校計(jì)劃改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，坡頂B沿BC改到F點(diǎn)處，則BF至少是多少米?(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.4751，sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918)
分析將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題關(guān)鍵．
解：(1)過B作BE⊥AD于E，
則在Rt△ABE中，sin∠BAE＝，
∴BE＝ABsin68°＝22sin68°≈20.4(m)．
(2)過F作FG⊥AD于G，連接FA，則FG＝BE．
∵AG＝≈17.12，AE＝ABcos68°＝22cos68°≈8．24，
∴BF＝GE＝AG－AE≈8.88≈8.9(m)．
例24如圖28－140所示，A，B兩城市相距100km．現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市中間修筑一條高速公路(即線段AB)，經(jīng)測量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)．請問計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．為什么?(參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414)
解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足，
則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PCtan30°，BC＝PCtan45°，
∵AC＋BC＝AB，
∴PCtan30°＋PCtan45°＝100，
∴(＋1)PC＝100，
∴PC＝50(3－)≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．
答：森林保護(hù)區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護(hù)區(qū)的半徑，所以計(jì)劃修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．
例25小鵑學(xué)完解直角三角形知識后，給同桌小艷出了一道題：“如圖28－141所示，把一張長方形卡片ABCD放在每格寬度為12mm的橫格紙中，恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線上．已知α＝36°，求長方形卡片的周長．”請你幫小艷解答這道題．(結(jié)果保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0．6，cos36°≈0．8，tan36°≈0.7)
解：作BE⊥l于點(diǎn)E，DF⊥l于點(diǎn)F．
∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，
∠ADF＋∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝α＝36°．
根據(jù)題意，得BE＝24mm，DF＝48mm．
在Rt△ABE中，sinα＝，
∴AB＝≈＝40(mm)．
在Rt△ADF中，cos∠ADF＝，
∴AD＝≈＝60(mm)．
∴矩形ABCD的周長＝2(40＋60)＝200(mm)．
例26如圖28－142所示，某居民樓I高20米，窗戶朝南．該樓內(nèi)一樓住戶的窗臺(tái)離地面距離CM為2米，窗戶CD高1．8米．現(xiàn)計(jì)劃在I樓的正南方距1樓30米處新建一居民樓Ⅱ．當(dāng)正午時(shí)刻太陽光線與地面成30°角時(shí)，要使Ⅱ樓的影子不影響I樓所有住戶的采光，新建Ⅱ樓最高只能蓋多少米?
解：設(shè)正午時(shí)光線正好照在I樓的一樓窗臺(tái)處，此時(shí)新建居民樓
Ⅱ高x米．
過C作CF⊥l于F，
在Rt△ECF中，EF＝(x－2)米，F(xiàn)C＝30米，∠ECF＝30°，
∴tan30°＝,∴＝10＋2．
答：新建居民樓Ⅱ最高只能建(10＋2)米．
2011中考真題精選
一、選擇題
1.（2011江蘇連云港，14，3分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA=_______.
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理。
專題：網(wǎng)格型。
分析：設(shè)小方格的長度為1，過C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的長，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出sinA．
解答：解：過C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)小方格的長度為1，
在Rt△ACD中，AC==2.∴sinA==，
故答案為．
點(diǎn)評：本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的知識點(diǎn)，此題比較簡單，構(gòu)造一個(gè)直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
2.（2011江蘇蘇州，9，3分）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC等于（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理；三角形中位線定理．
專題：幾何圖形問題．
分析：根據(jù)三角形的中位線定理即可求得BD的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得△BCD是直角三角形，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．
解答：解：連接BD．
∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC=
故選B．
點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的中位線定義，勾股定理的逆定理，和三角函數(shù)的定義，正確證明△BCD是直角三角形是解題關(guān)鍵．
3.（2011江蘇鎮(zhèn)江常州，6，2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC=，BC=2，則sin∠ACD的值為（）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
專題：應(yīng)用題．
分析：在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD轉(zhuǎn)化為求sinB．
解答：在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AB===3．
∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD．
∴sin∠ACD=sin∠B==，
故選A．
點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系，難度適中．
4.（2011山東日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作cotA=．則下列關(guān)系式中不成立的是（）
A．tanAcotA=1B．sinA=tanAcosAC．cosA=cotAsinAD．tan2A+cot2A=1
考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的關(guān)系。
專題：計(jì)算題。
分析：可根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系：平方關(guān)系；正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）；正切之間的關(guān)系進(jìn)行解答．
解答：解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得
A、tanAcotA==1，關(guān)系式成立；
B、sinA=，tanAcosA=，關(guān)系式成立；
C、cosA=，cotAsinA=，關(guān)系式成立；
D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，關(guān)系式不成立．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系．（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的正弦與余弦的比，即tanA=或sinA=tanAcosA．
（3）正切之間的關(guān)系：tanAtanB=1．
5.（2011陜西，5，3分）在△ABC中，若三邊BC、CA、AB滿足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，則cosB=（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)三角形余弦表達(dá)式即可得出結(jié)果．
解答：解：根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)cosB==，
故選C．
點(diǎn)評：本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義及比例關(guān)系，比較簡單．
6.（2011天津，1，3分）sin45°的值等于（）
A.B.C.D.1
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
分析：根據(jù)特殊角度的三角函數(shù)值解答即可．
解答：解：sin45°=．
故選B．
點(diǎn)評：此題比較簡單，只要熟記特殊角度的三角函數(shù)值即可．
7.（2011貴港）如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC邊上的中線，BD=4，AD=2，則tan∠CAD的值是（）
A、2B、
C、D、
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理。
專題：常規(guī)題型。
分析：根據(jù)中線的定義可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的長，再根據(jù)正切等于對邊：鄰邊列式求解即可．
解答：解：∵AD是BC邊上的中線，BD=4，
∴CD=BD=4，
在Rt△ACD中，AC===2，
∴tan∠CAD===2．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查了正切的定義以及勾股定理的應(yīng)用，熟記直角三角形中，銳角的正切等于對邊：鄰邊是解題的關(guān)鍵．
8.（2011山東煙臺(tái)，9，4分）如果△ABC中，sinA=cosB=，則下列最確切的結(jié)論是（）
A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是銳角三角形
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值.
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，直接得出∠A，∠B的角度從而得出答案．
解答：解：∵sinA=cosB=，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故選C．
點(diǎn)評：此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確的記憶特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．
10.（2011四川達(dá)州，8，3分）如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)x的范圍是（）
A、B、
C、D、
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)與數(shù)軸。
專題：計(jì)算題。
分析：先根據(jù)數(shù)軸上A點(diǎn)的位置確定出其范圍，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．
解答：解：由數(shù)軸上A點(diǎn)的位置可知，＜A＜2．
A、由sin30°＜x＜sin60°可知，×＜x＜，即＜x＜，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、由cos30°＜x＜cos45°可知，＜x＜×，即＜x＜，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、由tan30°＜x＜tan45°可知，×＜x＜1，即＜x＜1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由cot45°＜x＜cot30°可知，×1＜x＜，即＜x＜，故本選項(xiàng)正確．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值及在數(shù)軸的特點(diǎn)，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．
9.（2011甘肅蘭州，4，4分）如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC’B’，則tanB’的值為（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
分析：過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB．
解答：解：過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=CD：BD=，
∴tanB′=tanB=．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法．
10（2011甘肅蘭州，8，4分）點(diǎn)M（－sin60°，cos60°）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．
分析：先根據(jù)特殊三角函數(shù)值求出M點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性解答．
解答：解：∵sin60°=，cos60°=，∴點(diǎn)M（－，）．
∵點(diǎn)P（m，n）關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)P′（m，-n），
∴M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（－，－）．故選B．
點(diǎn)評：考查平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的對稱性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值．
11.（2011廣東省茂名，8，3分）如圖，已知：45°＜A＜90°，則下列各式成立的是（）
A、sinA=cosAB、sinA＞cosA
C、sinA＞tanAD、sinA＜cosA
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的增減性。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小，直接得出答案即可．
解答：解：∵45°＜A＜90°，
∴根據(jù)sin45°=cos45°，sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小，
當(dāng)∠A＞45°時(shí)，sinA＞cosA，
故選：B．
點(diǎn)評：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，正確的利用銳角三角函數(shù)的增減性是解決問題的關(guān)鍵．
12.（2011宜昌，11，3分）如圖是教學(xué)用直角三角板，邊AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，則邊BC的長為（）
A、30cmB、20cmC、10cmD、5cm
考點(diǎn)：解直角三角形；特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：因?yàn)榻虒W(xué)用的直角三角板為直角三角形，所以利用三角函數(shù)定義，一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的對邊比鄰邊可知角BAC的對邊為BC，鄰邊為AC，根據(jù)角BAC的正切值，即可求出BC的長度．
解答：解：在直角三角形ABC中，根據(jù)三角函數(shù)定義可知：
tan∠BAC=，又AC=30cm，tan∠BAC=，
則BC=ACtan∠BAC=30×=10cm．
故選C．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握三角函數(shù)正弦、余弦及正切的定義，是一道基礎(chǔ)題．要求注意觀察生活中的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來自于生活且服務(wù)于生活．
13.（2011湖北隨州，9，3）cos30°＝（）
A、B、C、D、
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：直接根據(jù)cos30°＝進(jìn)行解答即可．
解答：解：因?yàn)閏os30°＝，
所以C正確．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．
14.（2011玉林，2，3分）若∠α的余角是30°，則cosα的值是（）
A、B、C、D、
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：先根據(jù)題意求得α的值，再求它的余弦值．
解答：解：∠α=90°﹣30°=60°，
cosα=cos60°=．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．
【相關(guān)鏈接】特殊角三角函數(shù)值：
sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；
sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；
sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．
互余角的性質(zhì)：兩角互余其和等于90度．
15.（2011廣西防城港2，3分）若∠α的余角是30°，則cosα的值是（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值
專題：解直角三角形
分析：先根據(jù)題意求得α的值，再求它的余弦值．∠α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝．
解答：A
點(diǎn)評：本題考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題．填空題為主．特殊角三角函數(shù)值：sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．
16.（2011年廣西桂林，6，3分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，
則sinA的值為（）．
A．B．
C．D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
分析：直角三角形中，正弦值是角的對邊與斜邊的比值；先求出斜邊AB的值，然后，即可解答．
答案：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5；
∴sinA==．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查了銳角三角函數(shù)值的求法及勾股定理的應(yīng)用，熟記公式才能正確運(yùn)用．
17.（2011廣西來賓，6，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則∠A的余弦值是
A.B.C.D.
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理。
專題：計(jì)算題。
分析：先根據(jù)勾股定理，求出AC的值，然后再由余弦=鄰邊÷斜邊計(jì)算即可．
解答：解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cosA==．
故選C．
18.（2011湖州，4，3分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，則tanA的值為（）
A．2B．C．D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義.
分析：根據(jù)tanA是角A的對邊比鄰邊，直接得出答案tanA的值．
解答：解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA=．故選B．
點(diǎn)評：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練記憶銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．
19.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是（）A、B、C、D、
【答案】A
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
【專題】待定系數(shù)法．
【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解，sinA為∠A的對邊比上斜邊，求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA=．故選A．
【點(diǎn)評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．
20．（2011福建莆田，8，4分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，沿CE折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，若AB=4，BC=5，則tan∠AFE的值為（）
A．B．C．D．

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．
分析：由四邊形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折疊的性質(zhì)可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．
解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由題意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，
∴DF=3，
∴tan∠AFE=tan∠DCF==．
故選C．
點(diǎn)評：此題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
21.（2011四川遂寧，8，4分）計(jì)算2sin30°﹣sin245°+cot60°的結(jié)果是（）
A、+3B、+C、+D、1－+
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：分別把sin30°的值，sin45°的值，cot60°的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：2sin30°﹣sin245°+cot60°=2×－（）2+（）2+=1﹣+=+．故選B．
點(diǎn)評：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30°，45°，60°角的特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
22.（2011四川雅安，11,3分）已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC=4，則sinB=（）
A.B.C.D.
考點(diǎn)：圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義。
專題：推理填空題。
分析：作輔助線（連接AO并延長交圓于E，連CE）構(gòu)造直角三角形ACE，在直角三角形中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求得角E的正弦值；然后由同弧所對的的圓周角相等知∠B=∠E；最后由等量代換求得∠B的正弦值，并作出選擇．
解答：解：連接AO并延長交圓于E，連CE．
∴∠ACE=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E=；
又∵∠B=∠E（同弧所對的的圓周角相等），
∴sinB=．
故選D．
點(diǎn)評：本題主要考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義．在求銳角三角函數(shù)值時(shí)，一般是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中解三角函數(shù)的三角函數(shù)值即可．
23.(2011四川雅安11，3分)已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC=4，則（）
ABCD
考點(diǎn)：圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義。
專題：推理填空題。
分析：作輔助線（連接AO并延長交圓于E，連CE）構(gòu)造直角三角形ACE，在直角三角形中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求得角E的正弦值；然后由同弧所對的的圓周角相等知∠B=∠E；最后由等量代換求得∠B的正弦值，并作出選擇．
解答：連接AO并延長交圓于E，連CE．
∴∠ACE=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E==；
又∵∠B=∠E（同弧所對的的圓周角相等），
∴sinB=．
故選D．
點(diǎn)評：本題主要考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義．在求銳角三角函數(shù)值時(shí)，一般是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中解三角函數(shù)的三角函數(shù)值即可．

二、填空題
1.（2011江蘇南京，11，2分）如圖，以0為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點(diǎn)A，再以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B，畫射線OB，則cos∠AOB的值等于．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；等邊三角形的判定與性質(zhì)。
分析：根據(jù)作圖可以證明△ABC是等邊三角形，則∠AOB=60°，據(jù)此即可求解．
解答：解：∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°=．
故答案是：．
點(diǎn)評：本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確理解△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
2.（2011江蘇鎮(zhèn)江常州，11，3分）若∠α的補(bǔ)角為120°，則∠α=60°，sinα=．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；余角和補(bǔ)角．
專題：計(jì)算題．
分析：根據(jù)補(bǔ)角的定義，即可求出∠α的度數(shù)，從而求出sinα的值．
解答：解：根據(jù)補(bǔ)角定義，∠α=180°﹣120°=60°，
于是sinα=sin60°=．
故答案為60°，．
點(diǎn)評：此題考查了特殊角的三角函數(shù)值和余角和補(bǔ)角的定義，要熟記特殊角的三角函數(shù)值．
3.（2010福建泉州，16，4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則AB=5，sinA=．
考點(diǎn)銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理
分析先利用勾股定理計(jì)算出AB，然后根據(jù)正弦的定義即可得到∠A的正弦．
解答解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，∴sinA==．故答案為：5，．
點(diǎn)評本題考查了正弦的定義：在直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦等于這個(gè)角的對邊與斜邊的比值．也考查了勾股定理．
4.（2011福建廈門，14，4分）在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，則sinB=．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義。
專題：數(shù)形結(jié)合。
分析：利用銳角三角函數(shù)的定義知：銳角的正弦值=．
解答：解：∵∠C=90°，AC=1，AB=5（如圖），
sinB==．
故答案是：．
點(diǎn)評：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義．①正弦（sin）等于對邊比斜邊；②余弦（cos）等于鄰邊比斜邊；③正切（tan）等于對邊比鄰邊；④余切（cot）等于鄰邊比對邊；⑤正割（sec）等于斜邊比鄰邊；⑥余割（csc）等于斜邊比對邊．
5.（2011天水，16，4）計(jì)算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°=．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算．tanAtan（90°﹣A）=1．
解答：解：原式=+1+=2．
故答案為2．
點(diǎn)評：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，牢記三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
6.（2011山東日照，13，4分）計(jì)算sin30°﹣|﹣2|=．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；絕對值。
專題：計(jì)算題。
分析：本題涉及絕對值、特殊角的三角函數(shù)值，針對每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
解答：解：原式=﹣2=．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．
7.（2011重慶江津區(qū)，15，4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，sinA＝．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義。
專題：計(jì)算題。
分析：在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)定義sinA＝即可求出．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，
∴根據(jù)三角函數(shù)的定義得：sinA＝＝，
故答案為．
點(diǎn)評：此題比較簡單，考查的是銳角三角函數(shù)的定義，解答此類題目的關(guān)鍵是畫出圖形便可直觀解答．
8.（2011內(nèi)蒙古呼和浩特，24，8）如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點(diǎn)D，．
（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求cos∠BCA的值．
考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．
專題：綜合題．
分析：（1）連接OB、OP，由，且∠D=∠D，根據(jù)三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易證得△BOP≌△AOP，則∠PBO=∠PAO=90°；
（2）設(shè)PB=a，則BD=2a，根據(jù)切線長定理得到PA=PB=a，根據(jù)勾股定理得到AD=2a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA=×2a=a，則OA=a，利用勾股定理求出OP，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．
解答：（1）證明：連接OB、OP，如圖，
∵，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直線PB是⊙O的切線；
（2）由（1）知∠BCO=∠POA，
設(shè)PB=a，則BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD=a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA=×2a=a，
∴OA=a，
∴OP=，
∴cos∠BCA=cos∠POA=．
點(diǎn)評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)和判定：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了三角形相似和全等的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．
9.（2011安順）如圖，點(diǎn)E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一條弦．則tan∠OBE=．
考點(diǎn)：圓周角定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義。
分析：根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可證∠ECO=∠OBE．由銳角三角函數(shù)可求tan∠ECO=，即tan∠OBE=．
解答：解：連接EC．
根據(jù)圓周角定理∠ECO=∠OBE．
在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，
則tan∠ECO=．故tan∠OBE=．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了同弧所對的圓周角相等及解直角三角形的知識．
注意銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對比斜；余弦等于鄰比斜；正切等于對比鄰．
10.（2011黑龍江大慶，11，3分）計(jì)算sin230°+cos230°﹣tan245°=﹣．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
分析：把三角函數(shù)的數(shù)值代入計(jì)算即可．
解答：解：原式=（）2+（）2﹣1=+﹣1，=﹣．故答案是：﹣．
點(diǎn)評：本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
11.（2011西寧）計(jì)算：sin45°=1．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．
解答：解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得：sin45°=，
∴sin45°=×=1．
故答案為1．
點(diǎn)評：本題主要考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主，比較簡單．
12.（2011山東濱州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°則tanA=________.
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；等腰直角三角形．
【分析】根據(jù)△ABC是等腰三角形，∠C=90°，求出∠A=∠B=45°，從而求出角A的正切值．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴tanA=tan45°=1，
故答案為1．
【點(diǎn)評】本題涉及到的知識點(diǎn)有：等腰直角三角形、特殊角的三角函數(shù)值，解題時(shí)牢記特殊角的三角函數(shù)值．
13.（2011萊蕪）若a=3﹣tan60°，則=。
考點(diǎn)：分式的化簡求值；分式的基本性質(zhì)；約分；通分；最簡分式；最簡公分母；分式的乘除法；分式的加減法；特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：求出a的值，把分式進(jìn)行計(jì)算，先算括號里面的減法，把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再進(jìn)行約分即可．
解答：解：a=3﹣tan60°=3﹣，
∴原式=
=
=
故答案為：．
點(diǎn)評：本題主要考查對分式的基本性質(zhì)，約分、通分，最簡分式，最簡公分母，分式的加減、乘除運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
14.（2011山東淄博16，4分）如圖，正方體的棱長為3，點(diǎn)M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC與NM的延長線交于點(diǎn)P，則tan∠NPH的值為．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義。
分析：根據(jù)已知首先求出MC=1，HN=2，再利用平行線分線段成比例定理得出，進(jìn)而得出PH=6，即可得出tan∠NPH的值．
解答：解：∵正方體的棱長為3，點(diǎn)M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，
∴MC=1，HN=2，
∵DC∥EH，
∴，
∵HC=3，
∴PC=3，
∴PH=6，
∴tan∠NPH=，
故答案為：．
點(diǎn)評：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及平行線分線段成比例定理等知識，根據(jù)已知得出PH的長再利用銳角三角函數(shù)的定義求出是解決問題的關(guān)鍵．
15.（2011黑龍江省哈爾濱,19，3分）已知：正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn)，若DP=1，則tan∠BPC的值是．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理；正方形的性質(zhì)。
分析：本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理以及正方形的性質(zhì)求解．
解答：解：此題有兩種可能：
（1）∵BC=2，DP=1，∠C=90°，
∴tan∠BPC==2；
（2）∵DP=1，DC=2，
∴PC=3，
又∵BC=2，∠C=90°，
∴tan∠BPC=．
故答案為：2或．
點(diǎn)評：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用圖形考慮此題有兩種可能，要依次求解．
16.（2011湖北武漢，13，3分）sin30°的值為．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．
解答：解：sin30°=，故答案為．
點(diǎn)評：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．

三、解答題
1.（2011新疆建設(shè)兵團(tuán)，20，8分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°．
（1）用尺規(guī)作圖的方法，作出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的圖形△AB1C1（保留作圖痕跡）；
（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．
考點(diǎn)：作圖－旋轉(zhuǎn)變換；銳角三角函數(shù)的定義．
分析：（1）作出∠CAB的平分線，在平分線上截取AB1＝AB，再作出AB1的垂線，即可得出答案．
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB1＝3，AC1＝4，再利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出．
解答：解：（1）作∠CAB的平分線，在平分線上截取AB1＝AB，
作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，
如圖所示即是所求．
（2）∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4，
∴AB1＝3，AC1＝4，
tan∠AB1C1＝AC1AB1＝43．
點(diǎn)評：此題主要考查了做旋轉(zhuǎn)圖形和銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)已知熟練記憶銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．
2.（2011浙江金華，17，6分）(本題6分)
計(jì)算：|－1|－－（5－π）0+4cos45°.
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；二次根式的混合運(yùn)算。
專題：計(jì)算題。
分析：本題涉及絕對值、二次根式化簡、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值四個(gè)考點(diǎn)．針對每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
【解】原式=1－×2－1+4×=
點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點(diǎn)的運(yùn)算．
3.（2011浙江麗水，17，6分）計(jì)算：．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；二次根式的混合運(yùn)算。
專題：計(jì)算題。
分析：本題涉及絕對值、二次根式化簡、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值四個(gè)考點(diǎn)．針對每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
解答：解：，
=，
=．
點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點(diǎn)的運(yùn)算．
4.（2011浙江衢州，17，6分）（1）計(jì)算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2cos45°；
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；分式的加減法；零指數(shù)冪。
專題：計(jì)算題。
分析：（1）根據(jù)絕對值、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值的性質(zhì)化簡，然后根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果，
解答：解：（1）原式=，
=；
點(diǎn)評：本題主要考查了絕對值、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值的性質(zhì)、實(shí)數(shù)運(yùn)算法則及同分母分式加減法法則，難度適中．
5.（1）（2011浙江義烏，17（1），3分）計(jì)算：20110＋－2sin45°；
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；解分式方程。
專題：計(jì)算題。
分析：（1）根據(jù)零指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值即可解答本題，
（2）觀察方程可得最簡公分母是：2（x－2），兩邊同時(shí)乘最簡公分母可把分式方程化為整式方程來解答．
解答：解：（1）原式＝1＋2－，
＝1＋；
（2）2（x＋3）＝3（x－2），
解得：x＝12，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝12時(shí)，x－2＝12－2＝10≠0，
∴原方程的根是x＝12．
點(diǎn)評：本題考查了零指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值，以及解分式方程需轉(zhuǎn)化為整式方程，還要注意一定要驗(yàn)根．
6.（2011黑龍江省哈爾濱,21，6分）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中x=2cos45°﹣3．
考點(diǎn)：分式的化簡求值；特殊角的三角函數(shù)值。
專題：探究型。
分析：先把原式進(jìn)行化簡，再把x=2cos45°﹣3代入進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：原式=
=
當(dāng)x=2cos45°﹣3時(shí)，
原式=
=．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題考查的是分式的化簡求值及特殊角的三角函數(shù)值，熟知分式混合運(yùn)算的法則把原式化為的形式是解答此題的關(guān)鍵．
7.（2011甘肅蘭州，21，7分）已知α是銳角，且sin(α+15°)=.
計(jì)算的值.
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡，根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則即可計(jì)算出結(jié)果．
解答：解：∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次根式、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)及實(shí)數(shù)運(yùn)算法則，難度適中．
8.（2011甘肅蘭州，26，9分）通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化。類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）.如圖①在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時(shí)sadA.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：
（1）sad60°=.
（2）對于0°A180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是.
（3）如圖②，已知sinA，其中∠A為銳角，試求sadA的值.
考點(diǎn)：解直角三角形
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對的定義解答；
（2）求出0度和180度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，構(gòu)造等腰三角形ACD，根據(jù)正對的定義解答．
解答：解：（1）根據(jù)正對定義，
當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，則sad60°==1．故答案為1．
（2）當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadα接近0，
當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為0＜sadA＜2．
（3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=．
在AB上取點(diǎn)D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，則AD=AC==4k，
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．∴DH=ADsin∠A=k，
AH==k．
則在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD==k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．
由正對的定義可得：sadA==，即sadα=．
點(diǎn)評：此題是一道新定義的題目，考查了正對這一新內(nèi)容，要熟悉三角函數(shù)的定義，可進(jìn)行類比解答．
綜合驗(yàn)收評估測試題
(時(shí)間：120分鐘滿分：120分)
一、選擇題
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanB的值為()
A．B．C．D．
2．已知α為銳角，tanα＝，則cosα等于()
A．B．C．D．
3．如圖28－143所示，為了確定一條小河的寬度BC，可在C左側(cè)的岸邊選擇一點(diǎn)A，使得AC⊥BC，若測得AC＝a，∠CAB＝θ，則BC等于()
A．a(chǎn)sinθB．a(chǎn)cosθC．a(chǎn)tanθD.
4．某同學(xué)想用所學(xué)的知識測量旗桿的高度，在地面距旗桿底部5m遠(yuǎn)的地方，他用測傾器測得旗桿頂部的仰角為α，且tanα＝3，則旗桿高等于(不計(jì)測傾器的高度)()
A．10mB．12mC．15mD．20m
5．如圖28－144所示，測量人員在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿著傾角為30°的山坡前進(jìn)1000米到達(dá)D處，在D處測得山頂B的仰角為60°，則山的高度BC大約是(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)()
A．1366．03米B．1482．12米
C．1295．93米D．1508.21米
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝6，sinB＝，那么AB的長是()
A．4B．9C．3D．2
7．如圖28－145所示，在高樓前的D點(diǎn)測得樓頂?shù)难鼋菫?0°，向高樓前進(jìn)60米到達(dá)C點(diǎn)，又測得樓頂?shù)难鼋菫?5°，則該高樓的高度大約為()
A．82米B．163米C．52米D．70米
8．某人沿傾斜角為B的斜坡前進(jìn)100米，則他上升的最大高度是()
A.米B.100sinβ米C．米D．100cosβ米
9．鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，其腰的坡度為2：3，上底寬6米，路基高4米，則路基的下底寬為()
A．18米B．15米C．12米D．10米
10．觀察下列各式：①sin59°＞sin28°；②0＜cosα＜1(α是銳角)；③tan30°＋tan60°＝tan90°；④tan44°＜1．其中成立的有()
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題
11．計(jì)算2sin30°－tan60°＋tan45°＝．
12．如圖28－146所示，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，BC＝，
則AB的長為．
13．當(dāng)x＝sin60°時(shí)，代數(shù)式＋的值是．
14．已知cos59°24′≈0.509，則sin30°36′≈．
15．若∠A，∠B互余，且tanA－tanB＝2，則tan2A＋tan2B＝．
16．如圖28－147所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，cosB＝，則這個(gè)菱形的面積是.
17．已知正方形ABCD的邊長為1，若將線段BD繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在DC延長線上的點(diǎn)D′處，則∠BAD′的正弦值為.
18．如圖28－148所示，若將四根木條釘成的矩形木框變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個(gè)平行四邊形的一個(gè)最小內(nèi)角等于．
19．在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝2，AB＝2，則BC＝．
20．設(shè)θ為銳角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的兩根之差為．則θ＝．
三、解答題
21．如圖28－149所示，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，BD＝4，AD＝BC，
cos∠ADC＝．
(1)求DC的長；
(2)求sinB的值．
22．如圖28－150所示，已知燈塔A的周圍7海里的范圍內(nèi)有暗礁，一艘漁船在B處測得燈塔A在它的北偏東60°方向上，向正東方向航行8海里后到達(dá)C處，又測得該燈塔在它的北偏東30°方向上，若漁船不改變航向，繼續(xù)向正東方向航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)?通過計(jì)算說明理由．
23．如圖28－151所示，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處、樓底D處測得塔頂A的仰角分別為45°和60°，試求塔高與樓高．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732)
24．如圖28—152所示，斜坡AC的坡度(坡比)為1：，AC＝10米．坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶AB相連，AB＝14米．試求旗桿BC的高度．
25．閱讀下面的材料并回答問題．
如圖28－153所示，在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，過A作AD⊥BC于D，則sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即＝，同理，＝，＝，所以＝＝，即在—個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等．
(1)在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素a，b，∠A，運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素c，∠B，∠C，請你按照下面的步驟填空，完成求解過程；
第一步：由條件a，b，∠A求出∠B；
第二步：由條件∠A，∠B求出∠C；
第三步：由條件求出c；
(2)一貨輪在C處測得燈塔A在它的北偏西30°方向上，隨后貨輪以28．4海里／時(shí)的速度沿北偏東45°方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔A在貨輪的北偏西70°方向上(如圖28－154所示)，求此時(shí)貨輪與燈塔A的距離AB．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0．643，sin65°≈0．906，sin70°≈0.940，sin75°≈0．966)
參考答案
1．A[提示：設(shè)∠A的對邊為3k，斜邊為5k，則b＝4k，∴tanB＝．]
2．A[提示：∵tanα＝，∴α＝60°，∴cosα＝.]
3．C
4．C[提示：tanα＝＝3，∴旗桿高為15m．]
5．A[提示：過點(diǎn)D作DF⊥AC，易求DF＝EC＝500，AF＝500，由已知條件可知AC＝BC，DE＝FC，∴DE＝BE＋EC－AF＝BE＋500－500.由tan∠BDE＝列方程求解．]6．B[提示：∵sinB＝，∴AB＝＝9．]
7．A[提示：設(shè)AB＝x，則BC＝x，BD＝60＋x，在Rt△ABD中，tan30°＝∴x＝(60＋x)，∴x≈82．]
8．B
9．A[提示：由題意畫圖可得答案．]
10．C[提示：sin59°＞sin28°成立，0＜cosα＜1(α是銳角)成立，tan30°＋tan60°＝＋≠tan90°，tan44°＜tan45°，即tan44°＜1．]
11．2－[提示：2sin30°－tan60°＋tan45°＝2×－＋1＝2－.]
12．3＋[提示：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△BDC中，tanB＝．∴，∴BD＝3CD，∵BC＝，∴CD2＋(3CD)2＝()2，∴CD＝1，BD＝3．在Rt△ADC中，tanA＝，∴AD＝，∴AB＝AD＋BD＝3＋.]
13．[提示：∵＋＝2x，∴原式＝2sin60°＝．]
14．0.509[提示：sin30°36′＝cos59°24′．]
15．6[提示：∵∠A，∠B互余，∴tanAtanB＝1，tan2A＋tan2B＝(tanA－tanB)2＋2tanAtanB＝22＋2＝6．]
16．[提示：∵cosB＝，設(shè)BE＝5x，則AB＝13x，∴AE＝＝12x．∵AB＝BC＝BE＋CE，∴13x＝5x＋1，∴x＝，則AE＝12x＝12×＝，BC＝5x＋1＝5×＋1＝，∴S＝×＝．]
17．[提示:如圖28－155所示，根據(jù)題意得DD′＝2DC，設(shè)正方形的邊長為x，則AD＝x，DD′＝2x．∵∠ADD′＝90°，根據(jù)勾股定理得AD′＝＝x．∵AD＝x，∴sin∠AD′D＝＝.∵AB∥DD′，∴∠BAD′＝∠AD′D，∴sin∠BAD′＝．]
18．30°[提示：如圖28＝156所示，∵SABCD＝S矩形BEFC，且BC＝BC(底相同)，∴GC＝FC．∵CF＝DC，∴GC＝DC，．∵∠DGC＝90°，sin30°＝，∴∠CDG＝30°，即這個(gè)平行四邊形的一個(gè)最小內(nèi)角為30°．]
19．＋
20．30°[提示：x1x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，則(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，∴sinθ＝，∴θ＝30°．]
21．解：(1)∵cos∠ADC＝，∴設(shè)CD＝3x，則AD＝5x，AC＝4x，∴BC＝AD＝5x．∵BD＝BC－CD，∴5x－3x＝4，∴x＝2，∴CD＝3x＝6．(2)∵AC＝4x＝8，BC＝5x＝10，∴AB＝，∴sinB＝．
22．解：在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝120°，過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于D，設(shè)AD＝x，∵∠ACD＝60°，∠ABD＝30°，∴BD＝＝x，CD＝＝x.∵BD－CD＝8，∴x－x＝8，∴x＝4，即AD＝4＝＜7，∴若漁船不改變航向，繼續(xù)向正東方向航行；有觸礁的危險(xiǎn)．
23．解：在Rt△ABD中，BD＝80，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴AB＝BDtan∠ADB＝80≈138．56(米)．在Rt△AEC中，∵∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝80，∴CD＝BE＝AB－AE＝80－80＝80（－1)≈58.56(米)．答：塔高AB約為138．56米，樓高CD約為58．56米．
24．解：延長BC交AD于E點(diǎn)，則CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比為1：可知∠CAE＝30°．∴CE＝ACsin30°＝10×＝5，AE＝ACcos30°＝10×＝5，在Rt△ABE中，BE＝＝11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11－5＝6(米)．
25．(1)∠A＋∠B＋∠C＝180°a，∠A，∠C(2)解：依題意可知∠ABC＝180°－45°－70°＝65°，∴∠A＝180°－(30°＋45°＋65°)＝40°，BC＝28．4×＝14．2．∵，∴AB＝≈≈21．3（海里）.即此時(shí)貨輪與燈塔A的距離AB約為21.3海里．