小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教案

中考數(shù)學(xué)專題：圖形位置關(guān)系。

教案課件是老師不可缺少的課件，大家應(yīng)該在準(zhǔn)備教案課件了。只有規(guī)劃好教案課件工作計(jì)劃，才能使接下來的工作更加有序！你們會(huì)寫多少教案課件范文呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“中考數(shù)學(xué)專題：圖形位置關(guān)系”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

中考數(shù)學(xué)專題2圖形位置關(guān)系

第一部分真題精講
【例1】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直徑．

【思路分析】本題和大興的那道圓題如出一轍，只不過這兩個(gè)題的三角形一個(gè)是躺著一個(gè)是立著，讓人懷疑他們是不是串通好了…近年來此類問題特別愛將中點(diǎn)問題放進(jìn)去一并考察，考生一定要對(duì)中點(diǎn)以及中位線所引發(fā)的平行等關(guān)系非常敏感，尤其不要忘記圓心也是直徑的中點(diǎn)這一性質(zhì)。對(duì)于此題來說，自然連接OD，在△ABC中OD就是中位線，平行于BC。所以利用垂直傳遞關(guān)系可證OD⊥DE。至于第二問則重點(diǎn)考察直徑所對(duì)圓周角是90°這一知識(shí)點(diǎn)。利用垂直平分關(guān)系得出△ABC是等腰三角形，從而將求AB轉(zhuǎn)化為求BD，從而將圓問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題就可以輕松得解。

【解析】
（1）證明：聯(lián)結(jié)OD．∵D為AC中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，
∴OD為△ABC的中位線．∴OD∥BC．
∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°.
∴∠ODE=∠DEC=90°.∴OD⊥DE于點(diǎn)D.
∴DE為⊙O的切線．
（2）解：聯(lián)結(jié)DB．∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.
∵D為AC中點(diǎn)，∴AB=AC．
在Rt△DEC中，∵DE=2，tanC=，∴EC=.（三角函數(shù)的意義要記牢）
由勾股定理得：DC=.
在Rt△DCB中，BD=．由勾股定理得：BC=5.
∴AB=BC=5.
∴⊙O的直徑為5.
【例2】已知：如圖，為的外接圓，為的直徑，作射線，使得平分，過點(diǎn)作于點(diǎn).
（1）求證：為的切線；
（2）若，，求的半徑.
【思路分析】本題是一道典型的用角來證切線的題目。題目中除垂直關(guān)系給定以外，就只給了一條BA平分∠CBF。看到這種條件，就需要大家意識(shí)到應(yīng)該通過角度來證平行。用角度來證平行無外乎也就內(nèi)錯(cuò)角同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)這么幾種。本題中，連OA之后發(fā)現(xiàn)∠ABD=∠ABC，而OAB構(gòu)成一個(gè)等腰三角形從而∠ABO=∠BAO，自然想到傳遞這幾個(gè)角之間的關(guān)系，從而得證。第二問依然是要用角的傳遞，將已知角∠BAD通過等量關(guān)系放在△ABC中，從而達(dá)到計(jì)算直徑或半徑的目的。

【解析】證明：連接.
∴.∴.
∴∥.（得分點(diǎn)，一定不能忘記用內(nèi)錯(cuò)角相等來證平行）
∵,
∴.∴.
∵是⊙O半徑，
∴為⊙O的切線.
（2）∵,，，
∴.
由勾股定理，得.
∴.（通過三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換來擴(kuò)大已知條件）
∵是⊙O直徑，
∴.∴.
又∵,,
∴.（這一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD）
在Rt△中，==5.
∴的半徑為.

【例3】已知：如圖，點(diǎn)是⊙的直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)
在⊙上，且
（1）求證：是⊙的切線；
（2）若點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)，與相交
于點(diǎn)，且，，
求⊙的半徑長(zhǎng).

【思路分析】此題條件中有OA=AB=OD，聰明的同學(xué)瞬間就能看出來BA其實(shí)就是三角形OBD中斜邊OD上的中線。那么根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半這一定理的逆定理，馬上可以反推出∠OBD=90°，于是切線問題迎刃而解。事實(shí)上如果看不出來，那么連接OB以后像例2那樣用角度傳遞也是可以做的。本題第二問則稍有難度，額外考察了有關(guān)圓周角的若干性質(zhì)。利用圓周角相等去證明三角形相似，從而將未知條件用比例關(guān)系與已知條件聯(lián)系起來。近年來中考范圍壓縮，圓冪定理等綱外內(nèi)容已經(jīng)基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例來計(jì)算，希望大家認(rèn)真掌握。

【解析】
（1）證明：連接.
∵，
∴.
∴是等邊三角形.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.（不用斜邊中線逆定理的話就這樣解，麻煩一點(diǎn)而已）
又∵點(diǎn)在⊙上，
∴是⊙的切線.
（2）解：∵是⊙的直徑，
∴.
在中，,
∴設(shè)則，
∴.
∴.（設(shè)元的思想很重要）
∴.………………………………………5分

【例4】如圖，等腰三角形中，，．以為直徑作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：直線是的切線；
（2）求的值．
【思路分析】本題和前面略有不同的地方就是通過線段的具體長(zhǎng)度來計(jì)算和證明。欲證EF是切線，則需證OD垂直于EF，但是本題中并未給OD和其他線角之間的關(guān)系，所以就需要多做一條輔助線連接CD，利用直徑的圓周角是90°，并且△ABC是以AC,CB為腰的等腰三角形，從而得出D是中點(diǎn)。成功轉(zhuǎn)化為前面的中點(diǎn)問題，繼而求解。第二問利用第一問的結(jié)果，轉(zhuǎn)移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形當(dāng)中構(gòu)造代數(shù)關(guān)系，通過解方程的形式求解，也考察了考生對(duì)于解三角形的功夫。

【解析】
（1）證明：如圖，連結(jié)，則．
∴．
∵，∴．
∴是的中點(diǎn)．
∵是的中點(diǎn)，
∴．
∵于F．
∴．
∴是的切線．
(2)連結(jié)，∵是直徑,∴．（直徑的圓周角都是90°）
∴．
∴．
設(shè)，則．
在中，．
在中，．（這一步至關(guān)重要，利用兩相鄰RT△的臨邊構(gòu)建等式，事實(shí)上也可以直接用直角三角形斜邊高分比例的方法）
∴．解得．即．
在中．

【例5】如圖，平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑的圓交AD于F，交BC于G，延長(zhǎng)BA交圓于E.
（1）若ED與⊙A相切，試判斷GD與⊙A的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）在（1）的條件不變的情況下，若GC＝CD＝5，求AD的長(zhǎng).
【思路分析】本題雖然是圓和平行四邊形的位置關(guān)系問題，但是依然考察的是如何將所有條件放在最基本的三角形中求解的能力。判斷出DG與圓相切不難，難點(diǎn)在于如何證明。事實(shí)上，除本題以外，門頭溝，石景山和宣武都考察了圓外一點(diǎn)引兩條切線的證明。這類題目最重要是利用圓半徑相等以及兩個(gè)圓心角相等來證明三角形相似。第二問則不難，重點(diǎn)在于如何利用角度的倍分關(guān)系來判斷直角三角形中的特殊角度，從而求解。

【解析】
（1）結(jié)論：與相切
證明：連接
∵點(diǎn)、在圓上，
∴
∵四邊形是平行四邊形，
∴
∴（做多了就會(huì)發(fā)現(xiàn)，基本此類問題都是要找這一對(duì)角，所以考生要善于把握已知條件往這個(gè)上面引）
在和
∴
∵與相切
∴
∴
∴與相切
（2）∵，四邊形是平行四邊形
∴
∴（很多同學(xué)覺得題中沒有給出特殊角度，于是無從下手，其實(shí)用倍分關(guān)系放在RT三角形中就產(chǎn)生了30°和60°的特殊角）
∴
∴.

【總結(jié)】經(jīng)過以上五道一模真題，我們可以得出這類題型的一般解題思路。要證相切，做輔助線連接圓心與切點(diǎn)自不必說，接下來就要考慮如何將半徑證明為是圓心到切線的距離，即“連半徑，證垂直”。近年來中考基本只要求了這一種證明切線的思路，但是事實(shí)上證明切線有三種方式。為以防遇到，還是希望考生能有所了解。
第一種就是課本上所講的先連半徑，再證垂直。這樣的前提是題目中所給條件已經(jīng)暗含了半徑在其中。例如圓外接三角形，或者圓與線段交點(diǎn)這樣的。把握好各種圓的性質(zhì)關(guān)系就可以了。
第二種是在題目沒有給出交點(diǎn)狀況的情況下，不能貿(mào)然連接，于是可以先做垂線，然后通過證明垂線等于半徑即可，就是所謂的“先證垂直后證半徑”。例如大家看這樣一道題，如圖△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，與AB切于點(diǎn)D，求證：與AC也相切。
該題中圓0與AC是否有公共點(diǎn)是未知的，所以只能通過O做AC的垂線，然后證明這個(gè)距離剛好就是圓半徑。如果考生想當(dāng)然認(rèn)為有一個(gè)交點(diǎn)，然后直接連AC與圓交點(diǎn)這樣證明，就誤入歧途了。

第三種是比較棘手的一種，一方面題目中并未給出半徑，也未給出垂直關(guān)系，所以屬于半徑和垂直都要證明的題型。例如看下面一道題：
如圖，中，AB=AC，=，O、D將BC三等分，以O(shè)B為圓心畫，求證：與AC相切。
本題中并未說明一定過A點(diǎn)，所以需要證明A是切點(diǎn)，同時(shí)還要證明O到AC垂線的垂足和A是重合的，這樣一來就非常麻煩。但是換個(gè)角度想，如果連接AO之后再證明AO=OB，AO⊥AC，那么就非常嚴(yán)密了。
（提示：做垂線，那么垂足同時(shí)也是中點(diǎn)，通過數(shù)量關(guān)系將AO，BO都用AB表示出來即可證明相等，而△AOC中利用直角三角形斜邊中線長(zhǎng)是斜邊一半的逆定理可以證出直角。）

至于本類題型中第二問的計(jì)算就比較簡(jiǎn)單了，把握好圓周角，圓心角，以及可能出現(xiàn)的弦切角所構(gòu)成的線段，角關(guān)系，同時(shí)將條件放在同一個(gè)RT△當(dāng)中就可以非常方便的求解?？傊祟愵}目難度不會(huì)太大，所以需要大家做題速度快，準(zhǔn)確率高，為后面的代幾綜合體留出空間。

第二部分發(fā)散思考

【思考1】如圖，已知AB為⊙O的弦，C為⊙O上一點(diǎn)，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，AB=4，求AD的長(zhǎng).

【思路分析】此題為去年海淀一模題，雖然較為簡(jiǎn)單,但是統(tǒng)計(jì)下來得分率卻很低.因?yàn)轭}目中沒有給出有關(guān)圓心的任何線段，所以就需要考生自己去構(gòu)造。同一段弧的圓周角相等這一性質(zhì)是非常重要的，延長(zhǎng)DB就會(huì)得到一個(gè)和C一樣的圓周角，利用角度關(guān)系，就很容易證明了。第二問考解三角形的計(jì)算問題，利用相等的角建立相等的比例關(guān)系，從而求解。
（解法見后）
【思考2】已知：如圖，AB為⊙O的弦，過點(diǎn)O作AB的平行線，交
⊙O于點(diǎn)C，直線OC上一點(diǎn)D滿足∠D=∠ACB.
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若⊙O的半徑等于4，，求CD的長(zhǎng).

【思路分析】本題也是非常典型的通過角度變換來證明90°的題目。重點(diǎn)在于如何利用∠D=∠ACB這個(gè)條件，去將他們放在RT三角形中找出相等，互余等關(guān)系。尤其是將∠OBD拆分成兩個(gè)角去證明和為90°。
（解法見后）

【思考3】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過B,M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,FB恰為⊙O的直徑.
（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）當(dāng)BC=4,cosC=時(shí)，求⊙O的半徑.
【思路分析】這是一道去年北京中考的原題，有些同學(xué)可能已經(jīng)做過了。主要考點(diǎn)還是切線判定，等腰三角形性質(zhì)以及解直角三角形，也不會(huì)很難。放這里的原因是讓大家感受一下中考題也無非就是如此出法，和我們前面看到的那些題是一個(gè)意思。

【思考4】如圖，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O為△ABC的外接圓，
D為上一點(diǎn)，CE⊥AD于E.
求證：AE=BD+DE．

【思路分析】前面的題目大多是有關(guān)切線問題，但是未必所有的圓問題都和切線有關(guān)，去年西城區(qū)這道模擬題就是無切線問題的代表。此題的關(guān)鍵在于如何在圖形中找到和BD相等的量來達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。如果圖形中所有線段現(xiàn)成的沒有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的線段關(guān)系。

【思考5】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，AE⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的長(zhǎng)．

【思路分析】又是一道非常典型的用角證平行的題目。題目中雖未給出AC評(píng)分角EAD這樣的條件，但是通過給定CE=CF，加上有一個(gè)公共邊，那么很容易發(fā)現(xiàn)△EAC和△CAF是全等的。于是問題迎刃而解。第二問中依然要注意找到已知線段的等量線段，并且利用和，差等關(guān)系去轉(zhuǎn)化。

第三部分思考題解析
【思考1解析】

1）證明:如圖,連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,連接BE,則∠ABE=90°.
∴∠EAB+∠E=90°.
∵∠E=∠C,∠C=∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD=90°.
∴AD是⊙O的切線.
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.
∵AE=2AO=6,AB=4,
∴.∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,
∴

【思考2解析】

解：（1）直線BD與⊙O相切．
證明：如圖3，連結(jié)OB．-
∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，
∴∠2=∠CBD．
∵AB∥OC，
∴∠2=∠A．
∴∠A=∠CBD．
∵OB=OC，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴∠OBD=90°．
∴直線BD與⊙O相切．
（2）解：∵∠D=∠ACB，，
∴．
在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB=4，，
∴，．
∴．

【思考3解析】

1）證明：連結(jié)，則．
∴．
∵平分．
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，，是角平分線，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴與相切．
（2）解：在中，，是角平分線，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
設(shè)的半徑為，則．
∵，
∴．
∴．
∴．
解得．
∴的半徑為．

【思考4解析】
證明：如圖3，在AE上截取AF=BD，連結(jié)CF、CD．
在△ACF和△BCD中，
∴△ACF≌△BCD．
∴CF=CD.
∵CE⊥AD于E，
∴EF=DE.
∴.

【思考5解析】
證明：（1）連接OC,

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（1）“17”在射線上；

（2）請(qǐng)任意寫出三條射線上數(shù)字的排列

規(guī)律；；。

（3）2012在射線上。

例2．l1與l2是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有1個(gè)交點(diǎn)；如果在這個(gè)平面內(nèi)，再畫第三條直線l3，那么這三條直線最多有_____個(gè)交點(diǎn)；如果在這個(gè)平面內(nèi)再畫第4條直線l4，那么這4條直線最多可有_____個(gè)交點(diǎn).由此可以猜想：

（1）在同一平面內(nèi)，6條直線最多可有______個(gè)交點(diǎn)；n條直線最多可有__________個(gè)交點(diǎn).（用含n的代數(shù)式表示）

（2）在同一平面內(nèi)有m條直線，其中有n（nm）條直線平行，則最多有___________個(gè)交點(diǎn).（用含m、n的代數(shù)式表示）

例3．平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.

（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD

的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．

備注

鞏固與練習(xí)

1、如圖，給出了過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（）

A.同位角相等，兩直線平行B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行D.兩直線平行，同位角相等

2、如中圖，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么圖中和∠1相等的角的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.4C.5D.6

3、如右圖，將矩形ABCD沿AE折疊，若∠BAD′＝30°，則∠AED′等于（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

4、如圖，直線a／／b，點(diǎn)B在直線b上，且AB⊥BC,∠1=55，則∠2的度數(shù)為（）

A.35B.45C.55D.125

5、如圖，有一塊含有45°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上.如果∠1＝20°，那么∠2的度數(shù)是（）

A．30°B.25°C.20°D.15°

6、如圖已知AB∥CD，∠A=55°，∠C=20°?！螾=.

7、如圖，不添加輔助線，請(qǐng)寫出一個(gè)能判定EB//AC的條件：________________.

8、如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，則∠C=________.

9、將一張矩形紙片折疊成如圖所示的形狀，則∠ABC=__________度．

10、如右圖，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分線，DE∥BC.

（1）求∠EDB的度數(shù)；

（2）求DE的長(zhǎng).

中考英語語法專題關(guān)系代詞

中考英語語法專題關(guān)系代詞

關(guān)系代詞有who，whom，whose，that，which，as等，可用作引導(dǎo)從句的關(guān)聯(lián)詞。它們?cè)诙ㄕZ從句中可作主語、表語、賓語、定語等；另一方面它們又代表主句中為定語從句所修飾的那個(gè)名詞或代詞（通稱為先行詞）。

如：Heisthemanwhomyouhavebeenlookingfor.　他就是你要找的那個(gè)人。八、連接代詞：

連接代詞主要有who,whom,whose,what,which,whoever,whomever,whosever,

whatever,whichever等。

連接代詞一般指疑問,但what,whatever除了指疑問之外,也可指陳述。

DoyouknowwhohaswontheRedAlertgame?你知道誰贏了這一局紅警游戲嗎？

Idontknowwhomyoushoulddependon?我不知道你該依靠誰。

ThisbookwillshowyouwhatthebestCEOshouldknow.這本書會(huì)告訴你最好CEO的應(yīng)該了解什么。

Haveyoudeterminedwhicheveryoushouldbuy,aNokiawalkie-talkieoraMotorolacellphone?你決定好買諾基亞無線話機(jī)呢還是買摩托羅拉手機(jī)？

中考數(shù)學(xué)專題：幾何圖形的歸納,猜想,證明問題

老師會(huì)對(duì)課本中的主要教學(xué)內(nèi)容整理到教案課件中，大家在認(rèn)真寫教案課件了。只有制定教案課件工作計(jì)劃，可以更好完成工作任務(wù)！你們了解多少教案課件范文呢？下面是由小編為大家整理的“中考數(shù)學(xué)專題：幾何圖形的歸納,猜想,證明問題”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

中考數(shù)學(xué)專題10幾何圖形的歸納,猜想,證明問題

【前言】實(shí)行新課標(biāo)以來，中考加大了對(duì)考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識(shí)要到高中才會(huì)正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。根據(jù)學(xué)生反映，這種問題一般較難，得分率很低，經(jīng)常有同學(xué)選擇+填空就只錯(cuò)了這一道。對(duì)于這類歸納總結(jié)問題來說，思考的方法是最重要的，所以一下我們通過今年的一二模真題來看看如何應(yīng)對(duì)這種新題型。

第一部分真題精講

【例1】
如圖，+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)的面積為，的面積為，…，的面積為，則=；=____（用含的式子表示）．
【思路分析】拿到這種題型，第一步就是認(rèn)清所求的圖形到底是什么樣的。本題還好，將陰影部分標(biāo)出，不至于看錯(cuò)。但是如果不標(biāo)就會(huì)有同學(xué)誤以為所求的面積是,這種的,第二步就是看這些圖形之間有什么共性和聯(lián)系.首先所代表的三角形的底邊是三角形的底邊,而這個(gè)三角形和△是相似的.所以邊長(zhǎng)的比例就是與的比值.于是.接下來通過總結(jié),我們發(fā)現(xiàn)所求的三角形有一個(gè)最大的共性就是高相等,為（連接上面所有的B點(diǎn)，將陰影部分放在反過來的等邊三角形中看）。那么既然是求面積，高相等，剩下的自然就是底邊的問題了。我們發(fā)現(xiàn)所有的B,C點(diǎn)連線的邊都是平行的，于是自然可以得出自然是所在邊上的n+1等分點(diǎn).例如就是的一個(gè)三等分點(diǎn).于是(n+1-1是什么意思?為什么要減1?)

【例2】
在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱邊長(zhǎng)為1且頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的正方形為單位格點(diǎn)正方形，如圖，菱形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，則菱形能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個(gè)數(shù)是_______個(gè)；若菱形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，（為正整數(shù)），則菱形能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個(gè)數(shù)為_________（用含有的式子表示）．
【思路分析】此題方法比較多，例如第一空直接數(shù)格子都可以數(shù)出是48（笑）。這里筆者提供一種方法，其他方法大家可以自己去想想看。因?yàn)榍蟮氖橇庑伟恼叫蝹€(gè)數(shù)，所以只需求出被X,Y軸所分的四個(gè)三角形包涵的個(gè)數(shù)，再乘以4即可。比如我們來看第二象限那個(gè)三角形。第二象限菱形那條邊過（-2n,0）(0,n),自然可以寫出直線解析式為,斜率意味著什么?看上圖,注意箭頭標(biāo)注的那些空白三角形,這些RT三角形一共有2n/2=n個(gè),他們的縱直角邊與橫直角邊的比是不是就是?而且這些直角三角形都是全等的,面積均為兩個(gè)單位格點(diǎn)正方形的一半.那么整個(gè)的△AOB的面積自然就是,所有n個(gè)空白小三角形的面積之和為,相減之后自然就是所有格點(diǎn)正方形的面積,也就是數(shù)量了.所以整個(gè)菱形的正方形格點(diǎn)就是.

【例3】
如圖，，過上到點(diǎn)的距離分別為的點(diǎn)作的垂線與相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為．則第一個(gè)黑色梯形的面積；觀察圖中的規(guī)律，第(為正整數(shù))個(gè)黑色梯形的面積．
【思路分析】本題方法也比較多樣。所有陰影部分都是一個(gè)直角梯形，而因?yàn)椋蕴菪蔚纳舷碌组L(zhǎng)度分別都對(duì)應(yīng)了垂足到0點(diǎn)的距離,而高則是固定的2。第一個(gè)梯形上底是1，下底是3，所以.第二個(gè)梯形面積,第三個(gè)是,至此,我們發(fā)現(xiàn)本題中梯形面積數(shù)值上其實(shí)就是上下底的和.而且各個(gè)梯形的上底都是前一個(gè)梯形上底加上4。于是第n個(gè)梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一個(gè)梯形的上底1加上(n-1)個(gè)4.)下底自然就是4n-1,于是就是8n-4.

【例4】
在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．請(qǐng)你觀察圖中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3……每個(gè)正方形四條邊上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．按此規(guī)律推算出正方形A10B10C10D10四條邊上的整點(diǎn)共有個(gè)．
【思路分析】此題看似麻煩，但是只要把握住“正方形”這個(gè)關(guān)鍵就可以了。對(duì)于來說,每條邊的長(zhǎng)度是2n,那么自然整點(diǎn)個(gè)數(shù)就是2n+1，所以四條邊上整點(diǎn)一共有(2n+1)x4-4=8n(個(gè))(要減去四個(gè)被重復(fù)算的頂點(diǎn)),于是就是80個(gè).

【例5】
如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜邊的中點(diǎn)，向斜邊做垂線，畫出一個(gè)新的等腰直角三角形，如此繼續(xù)下去，直到所畫直角三角形的斜邊與△ABC的BC邊重疊為止，此時(shí)這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)為_____．

【思路分析】本題依然要找出每個(gè)三角形和上一個(gè)三角形之間的規(guī)律聯(lián)系。關(guān)鍵詞“中點(diǎn)”“垂線”“等腰直角”。這就意味著每個(gè)三角形的銳角都是45度，并且直角邊都是上一個(gè)三角形直角邊的一半。繞一圈是360度，包涵了8個(gè)45°。于是繞到第八次就可以和BC重疊了，此時(shí)邊長(zhǎng)為△ABC的，故而得解。

【例6】
如圖，以等腰三角形的斜邊為直角邊向外作第個(gè)等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜邊為直角邊向外作第個(gè)等腰直角三角形，……，如此作下去，若，則第個(gè)等腰直角三角形的面積________（n為正整數(shù)）.
【思路分析】和上題很類似的幾何圖形外延拓展問題。還是一樣慢慢找小三角形面積的規(guī)律。由題可得，分子就是1,2,4,8,16這樣的數(shù)列。于是

【總結(jié)】幾何圖形的歸納總結(jié)問題其實(shí)就包括了代數(shù)方面的數(shù)列問題，只不過需要考生自己找出圖形與圖形之間的聯(lián)系而已。對(duì)于這類問題，首先就是要仔細(xì)讀題，看清楚題目所求的未知量是什么，然后找出各個(gè)未知量之間的聯(lián)系，這其中就包括了尋找未知量的拓展過程中，哪些變了，哪些沒有變。最后根據(jù)這些聯(lián)系列出通項(xiàng)去求解。在遇到具體關(guān)系很難找的問題時(shí)，不妨先寫出第一項(xiàng)，第二項(xiàng)，第三項(xiàng)然后去找數(shù)式上的規(guī)律，如上面例6就是一例，如果糾結(jié)于幾何圖形當(dāng)中等腰三角形直角邊的平方，反而會(huì)使問題復(fù)雜化，直接列出前幾項(xiàng)的面積就可以大膽的猜測(cè)出來結(jié)果了。這類題目計(jì)算量往往不大，重在思考和分析的方法，還請(qǐng)考生細(xì)心掌握。
第二部分發(fā)散思考

【思考1】
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，，
，…，以為對(duì)角線作第一個(gè)正方形，以
為對(duì)角線作第二個(gè)正方形，以為對(duì)角線作第
三個(gè)正方形，…，如果所作正方形的對(duì)角線都在
y軸上，且的長(zhǎng)度依次增加1個(gè)單位，頂點(diǎn)都在第一象
限內(nèi)（n≥1，且n為整數(shù)）．那么的縱坐標(biāo)為；用n
的代數(shù)式表示的縱坐標(biāo)：．

【思考2】
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一顆棋子從點(diǎn)處開始跳動(dòng)，第一
次跳到點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)處，接著跳到點(diǎn)關(guān)于y軸
的對(duì)稱點(diǎn)處，第三次再跳到點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)處，…，
如此循環(huán)下去．當(dāng)跳動(dòng)第2009次時(shí)，棋子落點(diǎn)處的坐標(biāo)是
．

【思考3】
對(duì)于大于或等于2的自然數(shù)n的平方進(jìn)行如下“分裂”，分裂成n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，則自然數(shù)72的分裂數(shù)中最大的數(shù)是，自然數(shù)n的分裂數(shù)中最大的數(shù)是.

【思考4】
一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在第一象限及軸、軸上運(yùn)動(dòng)，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，然后接著按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng),即，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位，那么第35秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)是_______

【思考5】
如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形紙片從左到右順次擺放，其對(duì)應(yīng)的正方形的中心依次為A1,A2,A3,….①若擺放前6
個(gè)正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）
之和為；②若擺放前n（n為大于1的正
整數(shù)）個(gè)正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為.

第三部分思考題解析

【思考1答案】2；
【思考2答案】（3，－2）
【思考3答案】13；2n-1
【思考4答案】（5，0）
【思考5答案】10，