小學(xué)三角形教案

14.3等腰三角形。

14.3等腰三角形
教學(xué)目標(biāo)：
知識技能
了解等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)定理及推論，會用定理及推論解決簡單問題．
數(shù)學(xué)思考
培養(yǎng)學(xué)生探究思維、邏輯思維能力，探索引輔助線的規(guī)律．
情感態(tài)度與價值觀：
滲透實踐--理論--實踐的辯證唯物主義思想，培養(yǎng)探究分析數(shù)學(xué)知識方法的興趣，養(yǎng)成踏實細致、嚴謹科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

教學(xué)重點與難點
重點：理解等腰三角形的性質(zhì)定理、推論，并能用它們解決簡單的問題．
難點：引輔助線證明定理和推論1的應(yīng)用．jab88.com

教學(xué)過程與流程設(shè)計
引導(dǎo)性材料：
1．學(xué)生把等腰三角形的兩腰疊在一起，發(fā)現(xiàn)它的兩個底角重合，這說明等腰三角形具有什么性質(zhì)？（等腰三角形的兩個底角相等）（演示疊合過程）
2．教師用等腰三角形紙片演示兩腰疊合，再把紙片展開．
提問：你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形還有什么特性嗎?
（引入課題，明確目標(biāo)）（顯示教學(xué)目標(biāo)）
教學(xué)設(shè)計：
問題1：怎樣來證明“等腰三角形的兩個底角相等”呢？
已知：如圖，△ABC中，AB=AC.
求證：∠B=∠C.

（方法1）證明：作頂角的平分線AD.
在△BAD和△CAD中.
AB=AC（已知）
∠1=∠2（輔助線作法）
AD=AD（公共邊）
∴△BAD≌△CAD（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）
問題2：上述命題還有哪些證法？
方法2：作底邊BC上的高AD.（證明過程由學(xué)生口述）
方法3：作底邊BC上的中線AD.（證明過程由學(xué)生口述）

（演示）：等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等
（簡寫成“等邊對等角”）
觀察上述三種方法，思考如下問題：
（1）在等腰△ABC中，如果AD是頂角的平分線，那么AD是否平分底邊？是否垂直于底邊？
（2）在等腰△ABC中，如果AD是底邊上的高，那么AD是否平分頂角？是否平分底邊？
（3）在等腰△ABC中，如果AD是底邊上的中線，那么AD是否平分頂角？是否垂直于底邊？
推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊．
（等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線、底邊上的高互相重合．）
練習(xí)：填空，在△ABC中，
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠＝∠，=．
（2）∵AB=AC，AD是中線，
∴⊥，∠＝∠．
（3）∵AB=AC，AD是角平分線，
∴⊥，=．
問題2：等邊三角形是特殊的等腰三角形，除具有等腰三角形的性質(zhì)外，還有特殊的性質(zhì)嗎？
推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°.（學(xué)生完成證明）
已知：如圖，△ABC中，AB=AC=BC.
求證：∠A=∠B=∠C=60°
證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等邊對等角），
∵AC=BC，
∴∠A=∠B（等邊對等角），
∴∠A=∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形內(nèi)角和定理），
∴∠A=∠B=∠C=60°
例題解析：
例1：填空，1.在△ABC中，AB=AC．
（1）若∠A=50°，則∠B=°，∠C=°；
（2）若∠B=45°，則∠A=°，∠C=°；
（3）若∠B=∠A，則∠A=°，∠C=°；
（4）若∠B=2∠A，則∠A=°，∠C=°．
2．等腰三角形的一個角是40°，則它的底角是．
3．等腰三角形的一個角是120°，則它的底角是．
例2：已知，如圖(6)，房頂?shù)捻斀恰螧AC=100°，過屋頂A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求頂架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度數(shù)．
解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等底對等角），
∴∠B=∠C=（180°－∠BAC）=40°,

（三角形內(nèi)角和定理），
又∵AD⊥BC（已知），
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合），
∵∠BAC=100°，
(7)∴
課堂練習(xí)：
已知：如圖(7)中的三角形測平架中，AB=AC，在BC的中點掛一個重錘，自然下垂，調(diào)整架身，使點恰好在重錘線上．
求證：（1）AD⊥BC；
（2）這時BC處于水平位置，為什么？
課堂小結(jié)：
1．等腰三角形的性質(zhì)定理：“等邊對等角”，揭示了同一個三角形中邊與角之間的關(guān)系；
2．等腰三角形性質(zhì)定理的推論1、推論2；
3．由推論1知，等腰三角形“底邊上的三條主要線段互相重合”，這條線段具有三種不同的“身份”，因此，它是推證兩條線段相等、角相等以及兩條直線互相垂直必須關(guān)注的“熱線”．
4．掌握證明幾何命題的完整過程，以及不同輔助線的添法，從中體驗數(shù)學(xué)知識的美妙．
作業(yè)：習(xí)題14.3第6、7題（作業(yè)本），其他課本

相關(guān)閱讀

等腰三角形

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等腰三角形的判定

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第十二講等腰三角形的判定
由于等腰三角形有豐富的性質(zhì)，這些性質(zhì)為我們解幾何題提供了新的理論依據(jù)，所以尋找發(fā)現(xiàn)等腰三角形是解一些幾何題的關(guān)鍵，判定一個三角形為等腰三角形的基本方法是：從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個三角形的兩個角相等，實際解題中的一個常用技巧是，構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，常用的構(gòu)造方法有：
1．“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形；
2．“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形；
3．用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形．

例題求解
【例1】如圖，一個六邊形的6個內(nèi)角都是120°，其連續(xù)四邊的長依次是1、9、9、5，那么這個六邊形的周長是cm．
(“祖沖之杯”邀請賽試題)
思路點撥設(shè)法將六邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形的問題加以解決，六邊形的外角都為60°，利用60°構(gòu)造等邊三角形是解本例的關(guān)鍵．
注證明線段相等是最基本的幾何問題，目前常用證法有：
(1)若兩線段屬于兩個三角形，則考慮證對應(yīng)的三角形全等；
(2)若兩線段是同一個三角形兩邊，則考慮用等角對等邊證明；
(3)尋找中間線段，通過等量代換證明．
類似的，我們可以對證明角相等、等邊三角形的判定作歸納總結(jié)．
不同形狀的幾何圖形之間可互相轉(zhuǎn)化，向外補形與對內(nèi)分割是基本的兩種轉(zhuǎn)化方式．
【例2】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有()
A．2個B．4個C．6個D．8個
(江蘇省競賽題)
思路點撥AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作為等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正確地得出符合條件的P點的個數(shù)．
【例3】如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB十BD＝CD．
(天津市競賽題)
思路點撥如何利用條件∠B=2∠C?又怎樣得到AB+BD?不同的思考方向，會找到解題的不同方法．
【例4】如圖甲，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點E，直線BM、CN交于點F．
(1)求證：AN=BM；
(2)求證：△CEF是等邊三角形；
(3)將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，在圖乙中補出符合要求的圖形，并判斷第(1)、(2)兩小屬結(jié)論是否仍然成立(不要求證明)．
(荊門市中考題)

思路點撥圖甲中有多對全等三角形，這是解(1)、(2)問的基礎(chǔ)．
注若僅將題中的條件∠A＝30°改為∠A=45°，則符合條件的點有幾個?若將題中的條件∠A=30°，改為∠A≠30°，∠A≠45°，則符合條件的P點有幾個?請讀者思考．
分折法(執(zhí)果溯因)，綜合法(由因?qū)Ч?是兩種最基本的分析方法．
處理題設(shè)條件中的“兩倍角”的基本途徑是：
(1)向外構(gòu)造等腰三角形；(2)對內(nèi)作角平分線．
【例5】如圖，在五邊形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M為CD中點，求證：AM⊥CD．(武漢市選拔賽試題)
思路點撥證明∠AMC=90°或應(yīng)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，通過作輔助線將五邊形問題恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為三角形問題是解本例的關(guān)鍵．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于O點．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，則△GMO周長+△ENO的周長－△FHO的周長．
2．如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上兩點，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，則圖中等腰三角形共有個．

3．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，則∠D：∠C的值=．
（“五羊杯”競賽題）
4．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于E點，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四個結(jié)論：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④△ABE是等邊三角形．請寫出正確結(jié)論的序號．(把你認為正確結(jié)論的序號都填上)(2002午天津市中考題)
5．如圖，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分別是AB、AC的中垂線，E、M在BC上，則∠EAM等于()
A．58°B．32°C．36°D．34°

6．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，則AC與2AB之間的關(guān)系是()
A．AC2ABB．AC＝2ABC．AC≤2ABD．AC2AB
(山東省競賽題)
7．等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于()
A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°
(“希望杯”邀請賽試題)
8．在銳角△ABC中，三個內(nèi)角的度數(shù)都是質(zhì)數(shù)，則這樣的三角形()
A．只有一個且為等腰三角形
B．至少有兩個且都為等腰三角形
C．只有一個但不是等腰三角形
D．至少有兩個，其中有非等腰三角形
9．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點．
(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關(guān)系．
(2)如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論．(廣東省中考題)

10．如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF＝EF．
11．如圖，已知等邊三角形ABC，在AB上取點D，在AC上取點E，使得AD=AE，作等邊三角形PCD，QAE和RAB，求證：P、Q、R是等邊三角形的三個頂點．
12．在△ABC中，AB=AC，高線AD=BC，AE為∠BAC的平分線，則∠CAD的度數(shù)為．(北京市競賽題)
13．如圖，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，則∠A=．
14．如圖，四邊形ABCD中，AE、AF分別是BC，CD的中垂線，∠EAF=80°，∠CBD=30°，則∠ABC=，∠ADC=．(天津市競賽題)
15．有一個等腰三角形紙片，若能從一個底角的頂點出發(fā)，將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角為度．(江蘇省競賽題)
16．在等邊△ABC所在的平面內(nèi)求一點P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點P有()
A．1個B．4個C．7個D．10個
17．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=DC=DE，則∠D＝（）
A．30°B．450°C．60°D．67．5°
18．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點，則()

A．PA+PB+PCAB+ACB．PA+PB+PCAB+AC
C．PA+PB+PC=AB+ACD．PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系不確定，與P點位置有關(guān)

19．如圖，在△ABC內(nèi)，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別為∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：BQ+AQ=AB+BP．
(2002年全國初中數(shù)學(xué)競賽矗)
20，如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一∠BDC，求證：AC=BD+DC．(天津市競賽題)
21．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAC=∠DCA=15°，求證：BD＝BA．
22．在平面內(nèi)確定四點，連接每兩點，使任意三點構(gòu)成等腰三角形(包括等邊三角形)，且每兩點之間函線段長只有兩個數(shù)值，則這四點的取法有多少種?畫圖說明．
(濰坊市中考題)
23．（1）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，證明：BC+DC=AC．
(2)如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點，且∠APD=120°，證明：PA+PD+PC≥BD．(江蘇省競賽題)

24．如圖，等邊三角形ABD和等邊三角形CBDD的長均為a，現(xiàn)把它們拼合起來，E是AD上異于A、D兩點的一動點，F(xiàn)是CD上一動點，滿足AE+CF＝a．
(1)E、F移動時，△BEF的形狀如何?
(2)求△BEF面積的最小值．

八年級數(shù)學(xué)上冊13.3.1等腰三角形1等腰三角形的性質(zhì)學(xué)案新版新人教版

課題：13.3.1（1）等腰三角形的性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、經(jīng)歷剪紙、折紙等活動，進一步認識等腰三角形；了解等腰三角形是軸對稱圖形；
能夠探索、歸納、驗證等腰三角形的性質(zhì)，并學(xué)會應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)。
2、培養(yǎng)分類討論、方程的思想和添加輔助線解決問題的能力。
【學(xué)習(xí)重難點】
重點：等腰三角形性質(zhì)的探索和應(yīng)用。
難點：等腰三角形的性質(zhì)的驗證。
一、知識鏈接
復(fù)習(xí)舊知：
1、等腰三角形的周長是35cm，腰長是底邊的2倍，則該三角形的底邊長是________cm，腰長是__________cm。
2、等腰三角形的兩邊長分別為8cm和6cm，那么它的周長為（）
A、20cmB、22cmC、20cm或22cmD、都不對
3、已知等腰三角形的一個外角等于70°，那么底角的度數(shù)是（）
A、110°B、55°C、35°D、以上都不對
4、已知等腰三角形的一個外角等于130°，那么底角的度數(shù)是（）
A、50°B、65°C、50°或65°D、以上都不對

自主學(xué)習(xí)（新知）：精讀課本第75-76頁，用紅色的筆對有關(guān)概念進行勾畫并找出自己的疑惑和要討論的問題，準備在課堂上討論質(zhì)疑。
如下圖，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的三角形有什么特點？
操作結(jié)論：剪刀剪過的兩條邊_______，即△ABC中的邊____=_____，所以得到的三角形是_______三角形。
等腰三角形的定義：有_________相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形中相等的兩邊叫做________，另一邊叫做_________，兩腰所夾的角叫做_________，底邊與腰的夾角叫__________。
一、合作與探究
（一）如上圖，把剪出的三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段與角，由這些重合的線段與角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？
重合的角重合的線段

1、通過操作可以得到等腰三角形的以下性質(zhì)：
性質(zhì)1等腰三角形的兩個_______相等（簡寫“等邊對等_____”）
性質(zhì)2等腰三角形的頂角_______線、底邊上的_____線、底邊上的_____相互重合（簡寫成“三線合一”）
2、如圖，等腰三角形性質(zhì)1用數(shù)學(xué)符號表示：
∵AB=AC
∴∠_____=∠_____

3.等腰三角形性質(zhì)2你理解了嗎？
思考：如圖，在△ABC中，AB=AC，如何用數(shù)學(xué)符號表示性質(zhì)2?
（1）等腰三角形底邊上的高AD，既是底邊上的，又是頂角；
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD⊥BC，∴____=____，∠_____=∠_____；
（2）等腰三角形的底邊上中線AD，既是底邊上的，又是頂角
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD是中線，∴____⊥____，∠_____=∠_____；
（3）等腰三角形的頂角的平分線AD，既是底邊上的，又是底邊上的，
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD是角平分線，∴_____=_____，____⊥____。
（二）你能利用三角形全等來證明性質(zhì)1（等邊對等角）嗎？（你有幾種方法？）
如右圖△ABC中，AB=AC，求證：∠B=∠C

4、受性質(zhì)1證明的啟發(fā)，你能證明性質(zhì)2（等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合）嗎?請證之。
（三）等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用
例1如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各角的度數(shù)。
三、鞏固練習(xí)
基礎(chǔ)練習(xí)：
1、等腰三角形一個底角為72°,它的頂角為______。
2、等腰三角形一個角為70°，它的另外兩個角為分別為________________。
3、等腰三角形一個角為110°，它的另外兩個角為___________。
4、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A＝30，DE垂直平分AC，
則∠BCD的度數(shù)為（）
A、80°B、75°C、65°D、45°

拓展提升：
1、已知一個等腰三角形兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為_______________。
2、如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E在BC上，且AD=AE。求證：BD=CE

3、已知在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE。求：∠EDC的度數(shù)。

四、要點歸納
1.等腰三角形的定義
2.等腰三角形的性質(zhì)：
性質(zhì)1：等腰三角形的兩個_______相等（簡寫“等邊對等_____”）
性質(zhì)2：等腰三角形的頂角_______線、底邊上的_____線、底邊上的_____相互重合（簡寫成“三線合一”）
課后反思：.