小學(xué)體教案

柱體、錐體、臺(tái)體的體積。

第二課時(shí)柱體、錐體、臺(tái)體的體積

（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）了解幾何體體積的含義，以及柱體、錐體與臺(tái)體的體積公式.（不要求記憶公式）
（2）熟悉臺(tái)體與柱體和錐體之間體積的轉(zhuǎn)換關(guān)系.
（3）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.
2．過程與方法
（1）讓學(xué)生通過對(duì)照比較，理順柱體、錐體、臺(tái)體之間的體積關(guān)系.
（2）通過相關(guān)幾何體的聯(lián)系，尋找已知條件的相互轉(zhuǎn)化，解決一些特殊幾何體體積的計(jì)算.
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀
通過柱體、錐體、臺(tái)體體積公式之間的關(guān)系培養(yǎng)學(xué)生探索意識(shí).
（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算.
難點(diǎn)：簡單組合體的體積計(jì)算.
（三）教學(xué)方法
講練結(jié)合
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
新課導(dǎo)入1．復(fù)習(xí)柱體、錐體、臺(tái)體表面積求法及相互關(guān)系.教師設(shè)問，學(xué)生回憶
師：今天我們共同學(xué)習(xí)柱體、錐體、臺(tái)體的另一個(gè)重要的量：體積.復(fù)習(xí)鞏固
點(diǎn)出主題

探索新知柱體、錐體、臺(tái)體的體積
1．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：
V柱體=Sh(S是底面積，h為柱體高)
V錐體=(S是底面積，h為錐體高)
V臺(tái)體=(S′，S分別為上、下底面面積，h為臺(tái)體的高)

2．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體，長方體以及圓柱的體積公式，它們的體積公式是什么？
生：V=Sh(S為底面面積，h為高)
師：這個(gè)公式推廣到一般柱體也成立，即一般柱體體積.公式：V=Sh(S為底面面積，h為高)
師：錐體包括圓錐和棱錐，錐體的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的距離(投影或作出).錐體的體積公式都是V=(S為底面面積，h為高)
師：現(xiàn)在請(qǐng)對(duì)照柱體、錐體體積公式你發(fā)現(xiàn)有什么結(jié)論.
生：錐體體積同底等高的柱體體積的.
師：臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征是什么？
生：臺(tái)體是用平行于錐體底面的平面去截錐體，截得兩平行平面間的部分.
師：臺(tái)體的體積大家可以怎樣求？
生：臺(tái)體的體積應(yīng)該等于兩個(gè)錐體體積的差.
師：利用這個(gè)原理我們可以得到臺(tái)體的體積公式
V=
其中S′、S分別為上、下底面面積，Q為臺(tái)體的高(即兩底面之間的距離)
師：現(xiàn)在大家計(jì)論思考一下臺(tái)體體積公式與柱體、錐體的體積公式有什么關(guān)系？
生：令S′=0，得到錐體體積公式.
令S′=S，得到柱體體積公式.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式只要求了解，故采用講授式效率會(huì)更高.
因臺(tái)體的體積公式的推導(dǎo)需要用到后面知識(shí)，故此處不予證明，只要學(xué)生了解公式及公式的推導(dǎo)思路.

培養(yǎng)探索意識(shí)，加深對(duì)空間幾何體的了解和掌握.
典例分析例1有一堆規(guī)格相同的鐵制(鐵的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如圖)共重5.8kg，已知底面是正六邊形，邊長為12cm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個(gè)(取3.14，可用計(jì)算器)？
解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即
≈2956(mm3)=2.956(cm3)
所以螺帽的個(gè)數(shù)為
5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(個(gè))
答：這堆螺帽大約有252個(gè).師：六角螺帽表示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是什么？你準(zhǔn)備怎樣計(jì)算它的體積？
生：六角螺帽表示的幾何體是一個(gè)組合體，在一個(gè)六棱柱中間挖去一個(gè)圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.
學(xué)生分析，教師板書過程.
師：求組合體的表面積和體積時(shí)，要注意組合體的結(jié)構(gòu)特征，避免重疊和交叉等.空間組合體的體積計(jì)算關(guān)鍵在于弄清它的結(jié)構(gòu)特征.
典例分析例2已知等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）的全面積為S，求其內(nèi)接正四棱柱的體積.
【解析】如圖，設(shè)等邊圓柱的底面半徑為r，則高h(yuǎn)=2r，
∵S=S側(cè)+2S底=2+，∴.
∴內(nèi)接正四棱柱的底面邊長a=2rsin45°=.
∴V=S底h=
=4，
即圓柱的內(nèi)接正四棱柱的體積為.教師投影例2并讀題
師：要解決此題首先要畫出合適的軸截面圖來幫助我們思考，要求內(nèi)接正四棱柱的體積，只需求出等邊圓柱的底面圓半徑r，根據(jù)已知條件可以用S表示它.大家想想，這個(gè)軸截面最好選擇什么位置.
生：取內(nèi)接正四棱柱的對(duì)角面.
師：有什么好處？
生：這個(gè)截面即包括圓柱的有關(guān)量，也包括正四棱柱的有關(guān)量.
學(xué)生分析，教師板書過程.
師：本題是正四棱柱與圓柱的相接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是找到相接幾何體之間的聯(lián)系，如本例中正四棱柱的底面對(duì)角線的長與圓柱的底面直徑相等，正四棱柱的高與圓柱的母線長相等，通過這些關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)已知條件的相互轉(zhuǎn)化.旋轉(zhuǎn)體類組合體體積計(jì)算關(guān)鍵在于找好截面，找到這個(gè)截面，就能迅速搭好已知和未知的橋梁.
隨堂練習(xí)1．下圖是一個(gè)幾何體的三視圖(單位：cm)，畫出它的直觀圖，并求出它的表面積和體積.
答案：2325cm2.
2．正方體中，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問鋸掉的這塊體積是原正方體體積的幾分之幾？
答案：.學(xué)生獨(dú)立完成培養(yǎng)學(xué)生理解能力，空間想象能力.
歸納總結(jié)1．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式及關(guān)系.
2．簡單組合體體積的計(jì)算.
3．等積變換學(xué)生歸納，教師補(bǔ)充完善.鞏固所學(xué)，提高自我整合知識(shí)能力.
課后作業(yè)1.3第二課時(shí)習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成固化知識(shí)
提升能力
備用例題
例1：三棱柱ABC–A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1:V2=7:5.
【分析】不妨設(shè)V1對(duì)應(yīng)的幾何體AEF–A1B1C1是一個(gè)棱臺(tái)，一個(gè)底面的面積與棱柱的底面積相等，另一個(gè)底面的面積等于棱柱底面的；V2對(duì)應(yīng)的是一個(gè)不規(guī)則的幾何體，顯然這一部分的體積無法直接表示，可以考慮間接的辦法，用三棱柱的體積減去V1來表示.
【解析】設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V=V1+V2=Sh.
∵E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)
∴.
∴V1:V2=7:5.
【評(píng)析】本題求不規(guī)則的幾何體C1B1—EBCF的體積時(shí)，是通過計(jì)算棱柱ABC—A1B1C1和棱臺(tái)AEF—A1B1C1的體積的差來求得的.
例2：一個(gè)底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6cm，高為20cm的一個(gè)圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從中取出后，杯里的水將下降幾厘米？(=3.14)
【解析】因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為
(cm3)
設(shè)水面下降的高底為x，則小圓柱的體積為(20÷2)2x=100x(cm3)
所以有60=100x，解此方程得x=0.6(cm).
答：鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6cm.

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柱體、錐體、臺(tái)體的體積教案

二課時(shí)柱體、錐體、臺(tái)體的體積

（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）了解幾何體體積的含義，以及柱體、錐體與臺(tái)體的體積公式.（不要求記憶公式）
（2）熟悉臺(tái)體與柱體和錐體之間體積的轉(zhuǎn)換關(guān)系.
（3）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.
2．過程與方法
（1）讓學(xué)生通過對(duì)照比較，理順柱體、錐體、臺(tái)體之間的體積關(guān)系.
（2）通過相關(guān)幾何體的聯(lián)系，尋找已知條件的相互轉(zhuǎn)化，解決一些特殊幾何體體積的計(jì)算.
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀
通過柱體、錐體、臺(tái)體體積公式之間的關(guān)系培養(yǎng)學(xué)生探索意識(shí).
（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算.
難點(diǎn)：簡單組合體的體積計(jì)算.
（三）教學(xué)方法
講練結(jié)合
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
新課導(dǎo)入1．復(fù)習(xí)柱體、錐體、臺(tái)體表面積求法及相互關(guān)系.教師設(shè)問，學(xué)生回憶
師：今天我們共同學(xué)習(xí)柱體、錐體、臺(tái)體的另一個(gè)重要的量：體積.復(fù)習(xí)鞏固
點(diǎn)出主題

探索新知柱體、錐體、臺(tái)體的體積
1．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：
V柱體=Sh(S是底面積，h為柱體高)
V錐體=(S是底面積，h為錐體高)
V臺(tái)體=(S′，S分別為上、下底面面積，h為臺(tái)體的高)

2．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體，長方體以及圓柱的體積公式，它們的體積公式是什么？
生：V=Sh(S為底面面積，h為高)
師：這個(gè)公式推廣到一般柱體也成立，即一般柱體體積.公式：V=Sh(S為底面面積，h為高)
師：錐體包括圓錐和棱錐，錐體的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的距離(投影或作出).錐體的體積公式都是V=(S為底面面積，h為高)
師：現(xiàn)在請(qǐng)對(duì)照柱體、錐體體積公式你發(fā)現(xiàn)有什么結(jié)論.
生：錐體體積同底等高的柱體體積的.
師：臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征是什么？
生：臺(tái)體是用平行于錐體底面的平面去截錐體，截得兩平行平面間的部分.
師：臺(tái)體的體積大家可以怎樣求？
生：臺(tái)體的體積應(yīng)該等于兩個(gè)錐體體積的差.
師：利用這個(gè)原理我們可以得到臺(tái)體的體積公式
V=
其中S′、S分別為上、下底面面積，Q為臺(tái)體的高(即兩底面之間的距離)
師：現(xiàn)在大家計(jì)論思考一下臺(tái)體體積公式與柱體、錐體的體積公式有什么關(guān)系？
生：令S′=0，得到錐體體積公式.
令S′=S，得到柱體體積公式.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式只要求了解，故采用講授式效率會(huì)更高.

因臺(tái)體的體積公式的推導(dǎo)需要用到后面知識(shí)，故此處不予證明，只要學(xué)生了解公式及公式的推導(dǎo)思路.

培養(yǎng)探索意識(shí)，加深對(duì)空間幾何體的了解和掌握.
典例分析例1有一堆規(guī)格相同的鐵制(鐵的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如圖)共重5.8kg，已知底面是正六邊形，邊長為12cm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個(gè)(取3.14，可用計(jì)算器)？
解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即
≈2956(mm3)=2.956(cm3)
所以螺帽的個(gè)數(shù)為
5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(個(gè))
答：這堆螺帽大約有252個(gè).師：六角螺帽表示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是什么？你準(zhǔn)備怎樣計(jì)算它的體積？
生：六角螺帽表示的幾何體是一個(gè)組合體，在一個(gè)六棱柱中間挖去一個(gè)圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.
學(xué)生分析，教師板書過程.
師：求組合體的表面積和體積時(shí)，要注意組合體的結(jié)構(gòu)特征，避免重疊和交叉等.空間組合體的體積計(jì)算關(guān)鍵在于弄清它的結(jié)構(gòu)特征.
典例分析例2已知等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）的全面積為S，求其內(nèi)接正四棱柱的體積.
【解析】如圖，設(shè)等邊圓柱的底面半徑為r，則高h(yuǎn)=2r，
∵S=S側(cè)+2S底=2+，∴.
∴內(nèi)接正四棱柱的底面邊長a=2rsin45°=.
∴V=S底h=
=4，
即圓柱的內(nèi)接正四棱柱的體積為.教師投影例2并讀題
師：要解決此題首先要畫出合適的軸截面圖來幫助我們思考，要求內(nèi)接正四棱柱的體積，只需求出等邊圓柱的底面圓半徑r，根據(jù)已知條件可以用S表示它.大家想想，這個(gè)軸截面最好選擇什么位置.
生：取內(nèi)接正四棱柱的對(duì)角面.
師：有什么好處？
生：這個(gè)截面即包括圓柱的有關(guān)量，也包括正四棱柱的有關(guān)量.
學(xué)生分析，教師板書過程.
師：本題是正四棱柱與圓柱的相接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是找到相接幾何體之間的聯(lián)系，如本例中正四棱柱的底面對(duì)角線的長與圓柱的底面直徑相等，正四棱柱的高與圓柱的母線長相等，通過這些關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)已知條件的相互轉(zhuǎn)化.旋轉(zhuǎn)體類組合體體積計(jì)算關(guān)鍵在于找好截面，找到這個(gè)截面，就能迅速搭好已知和未知的橋梁.
隨堂練習(xí)1．下圖是一個(gè)幾何體的三視圖(單位：cm)，畫出它的直觀圖，并求出它的表面積和體積.
答案：2325cm2.
2．正方體中，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問鋸掉的這塊體積是原正方體體積的幾分之幾？
答案：.學(xué)生獨(dú)立完成培養(yǎng)學(xué)生理解能力，空間想象能力.
歸納總結(jié)1．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式及關(guān)系.
2．簡單組合體體積的計(jì)算.
3．等積變換學(xué)生歸納，教師補(bǔ)充完善.鞏固所學(xué)，提高自我整合知識(shí)能力.
課后作業(yè)1.3第二課時(shí)習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成固化知識(shí)
提升能力
備用例題
例1：三棱柱ABC–A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1:V2=7:5.
【分析】不妨設(shè)V1對(duì)應(yīng)的幾何體AEF–A1B1C1是一個(gè)棱臺(tái)，一個(gè)底面的面積與棱柱的底面積相等，另一個(gè)底面的面積等于棱柱底面的；V2對(duì)應(yīng)的是一個(gè)不規(guī)則的幾何體，顯然這一部分的體積無法直接表示，可以考慮間接的辦法，用三棱柱的體積減去V1來表示.
【解析】設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V=V1+V2=Sh.
∵E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)
∴.
∴V1:V2=7:5.
【評(píng)析】本題求不規(guī)則的幾何體C1B1—EBCF的體積時(shí)，是通過計(jì)算棱柱ABC—A1B1C1和棱臺(tái)AEF—A1B1C1的體積的差來求得的.
例2：一個(gè)底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6cm，高為20cm的一個(gè)圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從中取出后，杯里的水將下降幾厘米？(=3.14)
【解析】因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為
(cm3)
設(shè)水面下降的高底為x，則小圓柱的體積為(20÷2)2x=100x(cm3)
所以有60=100x，解此方程得x=0.6(cm).
答：鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6cm.

柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是每個(gè)高中教師都不可缺少的。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。優(yōu)秀有創(chuàng)意的高中教案要怎樣寫呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡單方便，下面是小編整理的“柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

1.3.1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（2）

學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解柱、錐、臺(tái)的體積計(jì)算公式；
2.能運(yùn)用柱、錐、臺(tái)的體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.

學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材P25~P26，找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：多面體的表面積就是___________________
加上___________.

復(fù)習(xí)2：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是_____、______、_______；若圓柱、圓錐底面和圓臺(tái)上底面的半徑都是，圓臺(tái)下底面的半徑是，母線長都為,則_______________________,
___________，__________________.

引入：初中我們學(xué)習(xí)了正方體、長方體、圓柱的體積公式（為底面面積，為高），是否柱體的體積都是這樣求呢？錐體、臺(tái)體的體積呢？

二、新課導(dǎo)學(xué)
※探索新知
新知：經(jīng)過證明(有興趣的同學(xué)可以查閱祖暅原理)

柱體體積公式為：，（為底面積，為高）
錐體體積公式為：，（為底面積，為高）
臺(tái)體體積公式為：
（，分別為上、下底面面積，為高）

補(bǔ)充：柱體的高是指兩底面之間的距離；錐體的高是指頂點(diǎn)到底面的距離；臺(tái)體的高是指上、下底面之間的距離.

反思：思考下列問題
⑴比較柱體和錐體的體積公式，你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？
⑵比較柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式，你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？

※典型例題
例1如圖(1)所示，三棱錐的頂點(diǎn)為，是它的三條側(cè)棱,且分別是面的垂線，又，，求三棱錐的體積.

變式：如圖(2)，在邊長為4的立方體中，求三棱錐的體積.

小結(jié)：求解錐體體積時(shí),要注意觀察其結(jié)構(gòu)特征，尤其是三棱錐(四面體)，它的每一個(gè)面都可以當(dāng)作底面來處理.這一方法又叫做等體積法，通常運(yùn)用此法可以求點(diǎn)到平面的距離(后面將會(huì)學(xué)習(xí))，它會(huì)給我們的計(jì)算帶來方便.

例2高12的圓臺(tái)，它的中截面(過高的中點(diǎn)且平行于底面的平面與圓臺(tái)的截面)面積為225,體積為，求截得它的圓錐的體積.

變式：已知正六棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2和4，高為2，求截得它的的正六棱錐的體積.

小結(jié)：對(duì)于臺(tái)體和其對(duì)應(yīng)錐體之間的關(guān)系，可通過軸截面中對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，用相似三角形的知識(shí)來解.
※動(dòng)手試試
練1.在△中,°,若將△繞直線旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

練2.直三棱柱高為6,底面三角形的邊長分別為3，將棱柱削成圓柱，求削去部分體積的最小值.

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1.柱體、錐體、臺(tái)體體積公式及應(yīng)用，公式不要死記，要在理解的基礎(chǔ)上掌握；
2.求體積要注意頂點(diǎn)、底面、高的合理選擇.

※知識(shí)拓展
祖暅及祖暅原理
祖暅，祖沖之（求圓周率的人）之子，河北人，南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家.柱體、錐體,包括球的體積都可以用祖暅原理推導(dǎo)出來.

祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1.圓柱的高增大為原來的3倍，底面直徑增大為原來的2倍，則圓柱的體積增大為原來的（）.
A.6倍B.9倍C.12倍D.16倍
2.已知直四棱柱相鄰的三個(gè)面的面積分別為,,，則它的體積為（）.
A.B.C.D.4
3.各棱長均為的三棱錐中，任意一個(gè)頂點(diǎn)到其對(duì)應(yīng)面的距離為（）.
A.B.C.D.
4.一個(gè)斜棱柱的的體積是30，和它等底等高的棱錐的體積為________.
5.已知圓臺(tái)兩底面的半徑分別為,則圓臺(tái)和截得它的圓錐的體積比為___________.

課后作業(yè)
1.有一堆規(guī)格相同的鐵制(鐵的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六邊形，邊長為12，內(nèi)孔直徑為10，高為10，問這堆螺帽大約有多少個(gè)(取3.14).

2.一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼成一個(gè)三棱柱，這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等.設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為，則﹕﹕=

1、3、1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

1、3、1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

小故事:被譽(yù)為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時(shí)代，埃及人是怎樣采集、搬運(yùn)數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔，真是一個(gè)十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個(gè)正四棱錐外形的建筑，塔底邊長230米，塔高146.5米，你能計(jì)算建此金字塔用了多少石塊嗎？

要求：新課標(biāo)對(duì)本節(jié)內(nèi)容要求是了解棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式），也就是說對(duì)體積和面積公式的推導(dǎo)、證明和記憶不作要求，按通常的理解是會(huì)求體積和面積，以及很簡單的應(yīng)用即可.

一、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式（不要求記憶），

提高學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意

識(shí)，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；

2、掌握簡單幾何體的體積與表面積的求法，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，

培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、化歸以及類比的能力.

【教學(xué)效果】：教學(xué)目標(biāo)的出示，有利于學(xué)生們把握整體的課堂學(xué)習(xí).

二、【自學(xué)內(nèi)容和要求及自學(xué)過程】

1、閱讀教材23—25頁內(nèi)容，回答問題（柱、錐、臺(tái)表面積）

1在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長方體

的表面積，以及它們的展開圖，你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？

2棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？

3如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？

4聯(lián)系圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖，你能想象圓臺(tái)側(cè)面展開圖的形狀，并且畫出它嗎？如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r′,r，母線長為，你計(jì)算出它的表面積嗎？

結(jié)論：1正方體、長方體是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的表面積就是各個(gè)面的面積的和.因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.2棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，其表面積等于圍成棱柱的各個(gè)面的面積的和；棱錐的側(cè)面展開圖是由多個(gè)三角形拼接成的，其表面積等于圍成棱錐的各個(gè)面的面積的和；棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由多個(gè)梯形拼接成的，其表面積等于圍成棱臺(tái)的各個(gè)面的面積的和.3它們的表面積等于側(cè)面積與底面積的和，利用它們的側(cè)面展開圖來求得它們的側(cè)面積，由于底面是圓面，其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即得.其中，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形.如果圓柱的底面半徑為r,母線長為l，那么圓柱的底面面積為πr2,側(cè)面面積為2πrl.因此，圓柱的表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形.如果圓錐的底面半徑為r,母線長為l，那么它的表面積S=πr2+πrl=πr(r+l).4圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)，它的表面積等于上、下兩個(gè)底面的面積和加上側(cè)面的面積，即.

思考：圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積之間有什么關(guān)系？

練習(xí)一：完成教材例1、例2，體會(huì)例1、2所蘊(yùn)含的解題技巧；完成教材第27頁練習(xí)1；把一個(gè)棱長為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則所有小正方體的表面積是.

【教學(xué)效果】：學(xué)生們的學(xué)習(xí)效果不錯(cuò)，對(duì)于圓臺(tái)的表面積公式的推導(dǎo)，我做了這樣的處理：只是提示推導(dǎo)過程，而沒有在課堂上一步一步的推導(dǎo).

2、閱讀教材第25—27頁內(nèi)容，回答問題（柱、錐、臺(tái)體積）

5回顧長方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎，并依次類比出柱體的體積公式嗎？椎體呢？

6比較柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：

V柱體=Sh(S為底面積，h為柱體的高)；

V錐體=(S為底面積，h為錐體的高)；

V臺(tái)體=h(S′,S分別為上、下底面積，h為臺(tái)體的高).你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺(tái)體？其體積公式是否可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式？

結(jié)論：5棱長為a的正方體的體積V=a3=a2a=Sh；長方體的長、寬和高分別為a,b,c，其體積為V=abc=(ab)c=Sh；底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V=πr2h=Sh，可以類比，一般的柱體的體積也是V=Sh，其中S是底面面積，h為柱體的高.圓錐的體積公式是V=(S為底面面積，h為高)，它是同底等高的圓柱的體積的.棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的,即棱錐的體積V=(S為底面面積，h為高).由此可見，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的.由于圓臺(tái)（棱臺(tái)）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差，得到圓臺(tái)（棱臺(tái)）的體積公式V=(S′++S)h,其中S′，S分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)（棱臺(tái)）高.注意：不要求推導(dǎo)公式，也不要求記憶.6柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體.因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺(tái)體.當(dāng)S′=0時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式;當(dāng)S′=S時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式.

柱體和錐體可以看作由臺(tái)體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系,如圖：

練習(xí)二：完成教材26頁例3，體會(huì)例3中蘊(yùn)含的解題技巧；完成教材27頁練習(xí)2；把長和寬分別為6和3的矩形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，求這個(gè)圓柱的體積；已知三棱錐O-ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=1，OA=x，OB=y，且x+y=4，則三棱錐體積的最大值是；④已知正三棱臺(tái)（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上下底面邊長分別是2cm和4cm，側(cè)棱長是cm，試求該三棱臺(tái)的表面積與體積；④：一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個(gè)幾何體的體積為（根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.結(jié)果：1/6)

【教學(xué)效果】：對(duì)于體積公式，推導(dǎo)過程比較繁瑣，教材采取了直接給出的模式，教師不要過多的滲入推導(dǎo)，加重學(xué)生負(fù)擔(dān).

三、【作業(yè)】

1、必做題：教材第29頁習(xí)題1.3A組第1、2、3題；

2、選做題：養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于存儲(chǔ)食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為12m，高4m.養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽，現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m（高不變）；二是高度增加4m（底面直徑不變）.分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的體積；分別計(jì)算按這兩種方案所建倉庫的表面積；哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？（比較表面積和體積，體積大、表面積好更實(shí)惠經(jīng)濟(jì)）.

四、【小結(jié)】

這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積，學(xué)習(xí)完這節(jié)課之后要求學(xué)生們能達(dá)到熟練的應(yīng)用公式解題的目的.

五、【教學(xué)反思】

這節(jié)課本來是一課時(shí)的內(nèi)容，但是上課時(shí)發(fā)現(xiàn)一課時(shí)太緊湊，就分為了兩課時(shí)來講，第一課時(shí)講表面積，第二課時(shí)講體積.有時(shí)候課堂上是要求我們能二次備課、臨時(shí)調(diào)整的，不能為了完成課時(shí)任務(wù)而增加教學(xué)量.

對(duì)于這節(jié)課，學(xué)生們的學(xué)習(xí)效果還是不錯(cuò)的，但是這節(jié)課也出現(xiàn)了一些小小的問題.

事情是這樣的，課堂上一個(gè)好動(dòng)的學(xué)生在我講課的時(shí)候偷偷的說話，由于我在講課，沒有及時(shí)的制止，只是目光示意.等我講到求三角形面積的時(shí)候，我說三角形的面積有三種求法，一種是根據(jù)兩邊和夾角的正弦來求面積，另一種是底乘高，那么另外一種是什么？這個(gè)同學(xué)說高乘底，我沒有言語，當(dāng)時(shí)心里面有點(diǎn)兒生氣，但是后來他又說了一遍，班里面的同學(xué)有點(diǎn)兒笑，由于是課堂，這種現(xiàn)象是不應(yīng)該出現(xiàn)的，但是我不想傷害學(xué)生的自尊心，就說底乘高和高乘底是一樣的，這不能算作兩種方法，就這樣解了圍.等我講完課，還有將近十分鐘的時(shí)間，我讓學(xué)生做作業(yè)，或者往后面預(yù)習(xí)也可以，當(dāng)我轉(zhuǎn)到后面的時(shí)候這個(gè)同學(xué)問我：老師我做什么啊？我說：做作業(yè)啊！這個(gè)同學(xué)說我沒有作業(yè)本了.我一聽，有點(diǎn)兒蒙，說：昨天不是剛發(fā)的作業(yè)本嗎？這個(gè)同學(xué)說：我作業(yè)本剛剛交上了.由于昨天晚上學(xué)生們活動(dòng)，所以有一部分同學(xué)的作業(yè)沒有交，所以在講完課的時(shí)候我把作業(yè)本收起來了.這時(shí)我說，你可以先往后面預(yù)習(xí)一下，這個(gè)同學(xué)拿出課本，說：預(yù)習(xí)什么？我有點(diǎn)兒發(fā)火，但是沒有流露出來，道：往后面預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)體積.這個(gè)同學(xué)坐下了，這時(shí)有同學(xué)問題，正在給同學(xué)輔導(dǎo)，這個(gè)同學(xué)突然大聲道：老師，我想去廁所！當(dāng)時(shí)我一下子火了，把粉筆往地上一摔......

其實(shí)自己心里面覺得很難受，不想發(fā)火，但是還是發(fā)火了.不找別人的原因，先找找自己的原因，我覺得恰當(dāng)?shù)奶幚響?yīng)該是下課時(shí)找他談一談，但是我沒有做到.或許這個(gè)同學(xué)這樣做是為了引起老師的注意，并沒有太大的惡意，而我卻傷害了這個(gè)學(xué)生的自尊心；或許這個(gè)學(xué)生真的是想上廁所，沒有什么惡意，但是我傷害了學(xué)生的自尊心.以前總以為自己是克制的最好的，但是還是沒有克制住，這一點(diǎn)，我要汲取教訓(xùn)，不能再犯.

以后，我要汲取這個(gè)教訓(xùn)，一定不能傷害學(xué)生的自尊心.

可以說，這一節(jié)課因?yàn)檫@一個(gè)發(fā)火，一節(jié)本來成功的課，變成了失敗的課.

很愧疚.

柱體、錐體、臺(tái)體的表面積

第一課時(shí)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積
（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）了解柱體、錐體與臺(tái)體的表面積（不要求記憶公式）.
（2）能運(yùn)用公式求解柱體、錐體和臺(tái)體的全面積.
（3）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.
2．過程與方法
讓學(xué)生經(jīng)歷幾何體的側(cè)面展開過程，感知幾何體的形狀，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化化歸能力.
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀
通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到幾面體表面積的求解過程，激發(fā)學(xué)生探索創(chuàng)新的意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.
（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式的推導(dǎo)與計(jì)算.
難點(diǎn)：展開圖與空間幾何體的轉(zhuǎn)化.
（三）教學(xué)方法
學(xué)導(dǎo)式：學(xué)生分析交流與教師引導(dǎo)、講授相結(jié)合.
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
新課導(dǎo)入問題：現(xiàn)有一棱長為1的正方體盒子AC′，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)側(cè)面到達(dá)A′點(diǎn)，問這只螞蟻?zhàn)哌叺淖疃搪烦淌嵌嗌伲?br>

學(xué)生先思考討論，然后回答.
學(xué)生：將正方體沿AA′展開得到一個(gè)由四個(gè)小正方形組成的大矩形如圖
則即所求.
師：(肯定后)這個(gè)題考查的是正方體展開圖的應(yīng)用，這節(jié)課，我們圍繞幾何體的展開圖討論幾何體的表面積.情境生動(dòng)，激發(fā)熱情教師順勢帶出主題.
探索新知1．空間多面體的展開圖與表面積的計(jì)算.
（1）探索三棱柱、三棱錐、三棱臺(tái)的展開圖.
（2）已知棱長為a，各面均為等邊三角形S–ABC(圖1.3—2)，求它的表面積.
解：先求△SBC的面積，過點(diǎn)S作SD⊥BC，交B于D，因?yàn)锽C=a，
∴.
∴四面體S–ABC的表面積
.
師：在初中，我們已知學(xué)習(xí)了正方體和長方體的表面積以及它們的展開圖，你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？
生：相等.
師：對(duì)于一個(gè)一般的多面，你會(huì)怎樣求它的表面積.
生：多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和，我們可以把它展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法求解.
師：（肯定）棱柱、棱錐、棱臺(tái)邊是由多個(gè)平面圖形圍成的多面體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的體積？
……
生：它的表面積都等于表面積與側(cè)面積之和.
師以三棱柱、三棱錐、三棱臺(tái)為例，利用多媒體設(shè)備投放它們的展開圖，并肯定學(xué)生說法.
師：下面讓我們體會(huì)簡單多面體的表面積的計(jì)算.
師打出投影片、學(xué)生閱讀、分析題目、整理思想.
生：由于四面體S–ABC的四個(gè)面都全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)面積的4倍.
學(xué)生分析，教師板書解答過程.
讓學(xué)生經(jīng)歷幾何體展開過程感知幾何體的形狀.
推而廣之，培養(yǎng)探索意識(shí)會(huì)
探索新知2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積
（1）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式的推導(dǎo)
S圓柱=2r(r+1)
S圓錐=r(r+1)
S圓臺(tái)=(r12+r2+r1l+rl)
（2）討論圓臺(tái)的表面積公式與圓柱及圓錐表面積公式之間的變化關(guān)系
（3）例題分析
例2如圖所示，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5cm，盆壁長15cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100個(gè)這樣的花盆需要多少油漆(取3.14，結(jié)果精確到1毫升，可用計(jì)算器)？
分析：只要求出每一個(gè)花盆外壁的表面積，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側(cè)面面積加上下底面面積，再減去底面圓孔的面積.
解：如圖所示，由圓臺(tái)的表積公式得一個(gè)花盆外壁的表面積
≈1000(cm2)=0.1(m2).
涂100個(gè)花盆需油漆：0.1×100×100=1000(毫升).
答：涂100個(gè)這樣的花盆約需要1000毫升油漆.師：圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖是什么？
生：圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形.
師：如果它們的底面半徑均是r，母線長均為l，則它們的表面積是多少？
師：打出投影片（教材圖1.3.3和圖1.3—4）
生1：圓柱的底面積為，側(cè)面面積為，因此，圓柱的表面積：
生2：圓錐的底面積為，側(cè)面積為，因此，圓錐的表面積：
師：(肯定)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)，如果它的上、下底面半徑分別為r、r′，母線長為l，則它的側(cè)面面積類似于梯形的面積計(jì)算S側(cè)=
所以它的表面積為
現(xiàn)在請(qǐng)大家研究這三個(gè)表面積公式的關(guān)系.
學(xué)生討論，教師給予適當(dāng)引導(dǎo)最后學(xué)生歸納結(jié)論.
師：下面我們共同解決一個(gè)實(shí)際問題.
（師放投影片，并讀題）
師：本題只要求出花盆外壁的表面積，就可求出油漆的用量，你會(huì)怎樣用它的表面積.
生：花盆的表積等于花盆的側(cè)面面積加上底面面積，再減去底面圓孔的面積.(學(xué)生分析、教師板書)讓學(xué)生自己推導(dǎo)公式，加深學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí).
用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待三者之間的關(guān)系，更加方便于學(xué)生對(duì)空間幾何體的了解和掌握，靈活運(yùn)用公式解決問題.
隨堂練習(xí)1．練習(xí)圓錐的表面積為acm2，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求這個(gè)圓錐的底面直徑.
2．如圖是一種機(jī)器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)面是全等的矩形）形，上面是圓柱（尺寸如圖，單位：mm）形.電鍍這種零件需要用鋅，已知每平方米用鋅0.11kg，問電鍍10000個(gè)零件需鋅多少千克（結(jié)果精確到0.01kg）
答案：1．m；
2．1.74千克.學(xué)生獨(dú)立完成
歸納總結(jié)1．柱體、錐體、臺(tái)體展開圖及表面積公式1.
2．柱體、錐體、臺(tái)體表面積公式的關(guān)系.學(xué)生總結(jié)，老師補(bǔ)充、完善
作業(yè)1.3第一課時(shí)習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成固化知識(shí)
提升能力
備用例題
例1直平行六面體的底面是菱形，兩個(gè)對(duì)角面面積分別為Q1，Q2，求直平行六面體的側(cè)面積.
【分析】解決本題要首先正確把握直平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，直平行六面體是側(cè)棱與底面垂直的平行六面體，它的兩個(gè)對(duì)角面是矩形.
【解析】如圖所示，設(shè)底面邊長為a，側(cè)棱長為l，兩條底面對(duì)角線的長分別為c，d，即BD=c，AC=d，則
由（1）得，由（2）得，代入（3）得，
∴，∴.
∴S側(cè)=.
例2一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，求這個(gè)三棱柱的表面積.
【解析】由三視圖知正三棱柱的高為2mm.
由左視圖知正三棱柱的底面三角形的高為mm.
設(shè)底面邊長為a，則，∴a=4.
∴正三棱柱的表面積為
S=S側(cè)+2S底=3×4×2+2×
(mm2).
例3有一根長為10cm，底面半徑是0.5cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞8圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少厘米？（精確到0.01cm）
【解析】如圖，把圓柱表面及纏繞其上的鐵絲展開在平面上，得到矩形ABCD.
由題意知，BC=10cm，AB=2cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C就是鐵絲的起止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度.
∴AC=(cm).
所以，鐵絲的最短長度約為27.05cm.
【評(píng)析】此題關(guān)鍵是把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.探究幾何體表面上最短距離，常將幾何體的表面或側(cè)面展開，化折（曲）為直，使空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題.空間問題平面化，是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.
例4．粉碎機(jī)的下料是正四棱臺(tái)形如圖，它的兩底面邊長分別是80mm和440mm，高是200mm.計(jì)算制造這一下料斗所需鐵板是多少？
【分析】問題的實(shí)質(zhì)是求四棱臺(tái)的側(cè)面積，欲求側(cè)面積，需求出斜高，可在有關(guān)的直角梯形中求出斜高.
【解析】如圖所示，O、O1是兩底面積的中心，則OO1是高，設(shè)EE1是斜高，在直角梯形OO1E1E中，
EE1=
=
∵邊數(shù)n=4，兩底邊長a=440，a′=80，斜高h(yuǎn)′=269.
∴S正棱臺(tái)側(cè)==（mm2）
答：制造這一下料斗約需鐵板2.8×105mm2.