小學集體備課教案

高二數(shù)學《圓錐曲線最值問題的求解》集體備課。

高二數(shù)學《圓錐曲線最值問題的求解》集體備課

一、定義法（最短路徑）
對于求距離和的問題，要結(jié)合圓錐曲線自身的特點，巧妙地利用定義，解決距離的最值.
例1：已知拋物線，定點A(3,1)，F(xiàn)是拋物線的焦點，在拋物線上求一點P,使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值。:
分析：利用拋物線的定義把到點p到拋物線準線的距離轉(zhuǎn)化成點P到焦點的距離，在利用三角形的知識求最小值.由點A引準線的垂線，垂足Q，則|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即為最小值。
O
F(1,0)x
A(3,1)
y
QP
解：如圖，,焦點F(1,0)。由點A引準線x=-1的垂線，垂足Q，則|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即為最小值..
由,得為所求點.
若另取一點，顯然。
[點悟]：解此類最值問題時，首先注意圓錐曲線定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用，其次是平面幾何知識的應(yīng)用，例如兩點之間的線段最短，三角形中的三邊之間的不等關(guān)系，點與直線上的點的連線的中垂線段最短等.
二、參數(shù)法
利用橢圓、雙曲線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，或利用直線、拋物線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解。
例2、已知橢圓，直線l：,橢圓上有一動點p,求p到直到直線的最小距離.
分析：寫出橢圓參數(shù)方程，設(shè)切點為，然后代入點到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的最值判斷距離的最值.
解：由題意可設(shè)動點的坐標為，
則點P到直線l的距離為
[點悟]利用圓錐曲線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題，再利用三角函數(shù)的有界性得出結(jié)果。
三、二次函數(shù)法
將所求問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，再利用配方法或均值不等式或判別式等方法求解.
分析：求出橢圓的焦點，代入所求的表達式中，整理得出函數(shù)的表達式，再利用函數(shù)方法求解。
解：易知，所以設(shè)
因為，所以x=0,即點P為短軸的端點時，有最小值-2.
當
[點悟]把所求的最值表示為函數(shù)，再尋求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，但要注意函數(shù)的定義域。
四、數(shù)形結(jié)合
在求圓錐曲線最值問題中，如果用代數(shù)方法求解比較復雜，可考慮用幾何知識求解，，利用平面幾何知識求解，蘊涵了數(shù)形結(jié)合的思想。
例4：若實數(shù).
分析：看似是函數(shù)求最值，如果做起來實在是不容易，如果考慮到x,y的幾何意義，那么問題就簡單的多了
解
則，
即表示中心在
頂點坐標
的最大值
即是求表示橢圓上的點到C（-1，0）的距離的平方的最大值減1
所以
[點悟]：在解決求值問題時，應(yīng)先從幾何直觀圖形出發(fā)，根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)洞察最值出現(xiàn)的位置，再從代數(shù)運算入手，最終求的最值.
五、不等式法
列出最值關(guān)系式，利用均值不等式“等號成立”的條件求解。
例5拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積
分析直線與圓錐曲線相交，一個重要的問題就是有關(guān)弦長的問題本例主要涉及弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想涉及弦長問題，應(yīng)熟練地利用韋達定理設(shè)而不求計算弦長，涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達定理，設(shè)而不求簡化運算.
解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中－5＜m＜0
由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①
∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，
∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=4
點A到直線l的距離為d=
∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128
∴S△≤8,當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號
故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8

相關(guān)知識

高考數(shù)學圓錐曲線最經(jīng)典題型研究教案

圓錐曲線最經(jīng)典題型研究
第一定義、第二定義、雙曲線漸近線等考查

1、（2010遼寧理數(shù)）設(shè)雙曲線的—個焦點為F；虛軸的—個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸
近線垂直，那么此雙曲線的離心率為
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
2、（2010遼寧理數(shù)）設(shè)拋物線y2=8x的焦點為F，準線為l,P為拋物線上一點,PA⊥l,A為垂足．如果直線AF的斜率為,那么|PF|=
(A)(B)8(C)(D)16
【答案】B
3、（2010上海文數(shù)）8.動點到點的距離與它到直線的距離相等，則的軌跡方程為y28x。
4、（2010全國卷2理數(shù)）（15）已知拋物線的準線為，過且斜率為的直線與相交于點，與的一個交點為．若，則．
若雙曲線-=1(b0)的漸近線方程式為y=，則ｂ等于。
【答案】1
5、已知橢圓的兩焦點為,點滿足,則||+|的取值范圍為_______，直線與橢圓C的公共點個數(shù)_____。
6、已知點P是雙曲線右支上一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，I為的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（▲）
A．4B．C．2D．

8、（2010重慶理數(shù)）（10）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是
A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線
解析：排除法軌跡是軸對稱圖形，排除A、C，軌跡與已知直線不能有交點，排除B
9、（2010四川理數(shù)）橢圓的右焦點，其右準線與軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是
（A）（B）（C）（D）
解析：由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點，
即F點到P點與A點的距離相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
又e∈(0,1)
故e∈
答案：D
10、（2010福建理數(shù)）若點O和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為()
A．B．C．D．
【答案】B
11、（北京市海淀區(qū)2010年4月高三第一次模擬考試理科試題）已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點，焦點在軸上，左右焦點分別為，且它們在第一象限的交點為P，是以為底邊的等腰三角形.若，雙曲線的離心率的取值范圍為.則該橢圓的離心率的取值范圍是.
12、（2010年4月北京市西城區(qū)高三抽樣測試理科）已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，為雙曲線右支上一點，則的最小值為___________.
13、（北京市東城區(qū)2010屆高三第二學期綜合練習理科）直線過雙曲線的右焦點且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，若原點在以為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是．

14、（2010全國卷1文數(shù)）已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點P在C上，∠=，則
(A)2(B)4(C)6(D)8
15、（2010全國卷1理數(shù)）(9)已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為
(A)(B)(C)(D)

16、（2010重慶理數(shù)）(14)已知以F為焦點的拋物線上的兩點A、B滿足,則弦AB的中點到準線的距離為___________.
解析：設(shè)BF=m,由拋物線的定義知
中，AC=2m,AB=4m,
直線AB方程為
與拋物線方程聯(lián)立消y得
所以AB中點到準線距離為
17、（2010上海文數(shù)）已知橢圓的方程為，、和為的三個頂點.
（1）若點滿足，求點的坐標；
（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；
（3）設(shè)點在橢圓內(nèi)且不在軸上，如何構(gòu)作過中點的直線，使得與橢圓的兩個交點、滿足？令，，點的坐標是（-8，-1），若橢圓上的點、滿足，求點、的坐標.
解析：(1)；
(2)由方程組，消y得方程，
因為直線交橢圓于、兩點，
所以0，即，
設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點坐標為(x0,y0)，
則，
由方程組，消y得方程(k2k1)xp，
又因為，所以，
故E為CD的中點；
(3)因為點P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，所以點F在橢圓Γ內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k2，由知F為P1P2的中點，根據(jù)(2)可得直線l的斜率，從而得直線l的方程．
，直線OF的斜率，直線l的斜率，
解方程組，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．

18、（2010全國卷2理數(shù)）（21）（本小題滿分12分）
己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)C的右頂點為A，右焦點為F，，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切．

19、（2010安徽文數(shù)）橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標軸，
焦點在軸上，離心率。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程。
20、（2010全國卷1理數(shù)）（21）(本小題滿分12分)
已知拋物線的焦點為F，過點的直線與相交于、兩點，點A關(guān)于軸的對稱點為D.
（Ⅰ）證明：點F在直線BD上；
（Ⅱ）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程.

21、（2010江蘇卷）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設(shè)過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m0,。
（1）設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡；
（2）設(shè)，求點T的坐標；
（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關(guān)）。

22、在直角坐標系中，點M到點的距離之和是4，點M的軌跡是C與x軸的負半軸交于點A，不過點A的直線與軌跡C交于不同的兩點P和Q.
（I）求軌跡C的方程；
（II）當時，求k與b的關(guān)系，并證明直線過定點.
解：（1）的距離之和是4，
的軌跡C是長軸為4，焦點在x軸上焦中為的橢圓，
其方程為…………3分
（2）將，代入曲線C的方程，
整理得
…………5分
因為直線與曲線C交于不同的兩點P和Q，
所以①
設(shè)，則
②…………7分
且③
顯然，曲線C與x軸的負半軸交于點A（-2，0），
所以
由
將②、③代入上式，整理得…………10分
所以
即經(jīng)檢驗，都符合條件①
當b=2k時，直線的方程為
顯然，此時直線經(jīng)過定點（-2，0）點.
即直線經(jīng)過點A，與題意不符.
當時，直線的方程為
顯然，此時直線經(jīng)過定點點，且不過點A.
綜上，k與b的關(guān)系是：
且直線經(jīng)過定點點…………13分

23、（北京市朝陽區(qū)2010年4月高三年級第二學期統(tǒng)一考試理科）（本小題滿分13分）
已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點，過點P（2，1）的直線與橢圓C在第一象限相切于點M.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線的方程以及點M的坐標；
（3））是否存過點P的直線與橢圓C相交于不同的兩點A、B，滿足？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由.
解（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，由題意得
解得，故橢圓C的方程為.……………………4分
（Ⅱ）因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調(diào)直線l的議程為
由得.①
因為直線與橢圓相切，所以
整理，得解得[
所以直線l方程為
將代入①式，可以解得M點橫坐標為1，故切點M坐標為…………9分
（Ⅲ）若存在直線l1滿足條件，的方程為，代入橢圓C的方程得
因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設(shè)A，B兩點的坐標分別為
所以
所以.
又，
因為即，
所以.
即
所以，解得
因為A，B為不同的兩點，所以.
于是存在直線1滿足條件，其方程為………………………………13分
24、直線的右支交于不同的兩點A、B.
（I）求實數(shù)k的取值范圍；
（II）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.
答案：.解：（Ⅰ）將直線
……①
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點的坐標分別為、，則由①式得
……②
假設(shè)存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F（c,0）.
則由FA⊥FB得：
整理得
……③
把②式及代入③式化簡得
解得
可知使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點.

高考數(shù)學圓錐曲線的綜合問題復習教案

§9.8圓錐曲線的綜合問題
★知識梳理★
1.直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系：
將直線的方程代入曲線C的方程，消去y或者消去x，得到一個關(guān)于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)交點個數(shù)：
①當a＝0或a≠0，⊿＝0時,曲線和直線只有一個交點；②當a≠0,⊿0時,曲線和直線有兩個交點；③當⊿0時,曲線和直線沒有交點。
(2)弦長公式：
2.對稱問題：
曲線上存在兩點關(guān)于已知直線對稱的條件：①曲線上兩點所在的直線與已知直線垂直（得出斜率）②曲線上兩點所在的直線與曲線有兩個公共點（⊿0）③曲線上兩點的中點在對稱直線上。
3.求動點軌跡方程：
①軌跡類型已確定的,一般用待定系數(shù)法；②動點滿足的條件在題目中有明確的表述且軌跡類型未知的,一般用直接法；③一動點隨另一動點的變化而變化，一般用代入轉(zhuǎn)移法。
★重難點突破★
重點：掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷方法及弦長公式；掌握弦中點軌跡的求法；理解和掌握求曲線方程的方法與步驟，能利用方程求圓錐曲線的有關(guān)范圍與最值
難點：軌跡方程的求法及圓錐曲線的有關(guān)范圍與最值問題
重難點：綜合運用方程、函數(shù)、不等式、軌跡等方面的知識解決相關(guān)問題
1.體會“設(shè)而不求”在解題中的簡化運算功能
①求弦長時用韋達定理設(shè)而不求;②弦中點問題用“點差法”設(shè)而不求.
2.體會數(shù)學思想方法（以方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想為主）在解題中運用
問題1：已知點為橢圓的左焦點，點，動點在橢圓上，則的最小值為.
點撥：設(shè)為橢圓的右焦點，利用定義將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形，，當共線時最小，最小值為
★熱點考點題型探析★
考點1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
題型1：交點個數(shù)問題
[例1]設(shè)拋物線y2＝8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是（）
A．[－，]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]
【解題思路】解決直線與圓錐曲線的交點個數(shù)問題的通法為判別式法
[解析]易知拋物線的準線與x軸的交點為Q(－2,0)，
于是，可設(shè)過點Q(－2,0)的直線的方程為，
聯(lián)立
其判別式為，可解得，應(yīng)選C.
【名師指引】（1）解決直線與圓錐曲線的交點問題的方法：一是判別式法；二是幾何法
（2）直線與圓錐曲線有唯一交點，不等價于直線與圓錐曲線相切，還有一種情況是平行于對稱軸（拋物線）或平行于漸近線（雙曲線）
（3）聯(lián)立方程組、消元后得到一元二次方程，不但要對進行討論，還要對二次項系數(shù)是否為0進行討論
【新題導練】
1.（09摸底）已知將圓上的每一點的縱坐標壓縮到原來的,對應(yīng)的橫坐標不變,得到曲線C；設(shè)，平行于OM的直線在y軸上的截距為m(m≠0),直線與曲線C交于A、B兩個不同點.
(1)求曲線的方程；(2)求m的取值范圍.
[解析]（1）設(shè)圓上的動點為壓縮后對應(yīng)的點為，則，
代入圓的方程得曲線C的方程：
（2）∵直線平行于OM，且在y軸上的截距為m,又,
∴直線的方程為.由,得
∵直線與橢圓交于A、B兩個不同點，∴
解得.∴m的取值范圍是.
題型2：與弦中點有關(guān)的問題
[例2]（08韶關(guān)調(diào)研）已知點A、B的坐標分別是，.直線相交于點M，且它們的斜率之積為－2.(Ⅰ)求動點M的軌跡方程;
(Ⅱ)若過點的直線交動點M的軌跡于C、D兩點,且N為線段CD的中點，求直線的方程.
【解題思路】弦中點問題用“點差法”或聯(lián)立方程組，利用韋達定理求解
[解析](Ⅰ)設(shè)，
因為,所以化簡得:
(Ⅱ)設(shè)
當直線⊥x軸時,的方程為,則,它的中點不是N,不合題意
設(shè)直線的方程為將代入得
…………(1)…………(2)
(1)－(2)整理得:
直線的方程為即所求直線的方程為
解法二:當直線⊥x軸時,直線的方程為,則,
其中點不是N,不合題意.故設(shè)直線的方程為,
將其代入化簡得
由韋達定理得,
又由已知N為線段CD的中點,得,解得,
將代入(1)式中可知滿足條件.
此時直線的方程為,即所求直線的方程為
【名師指引】通過將C、D的坐標代入曲線方程，再將兩式相減的過程，稱為代點相減．這里，代點相減后，適當變形，出現(xiàn)弦PQ的斜率和中點坐標，是實現(xiàn)設(shè)而不求（即點差法）的關(guān)鍵．兩種解法都要用到“設(shè)而不求”，它對簡化運算的作用明顯，用“點差法”解決弦中點問題更簡潔
【新題導練】
2.橢圓的弦被點所平分，求此弦所在直線的方程。
[解析]設(shè)弦所在直線與橢圓交于兩點，則
，，兩式相減得：，
化簡得，
把代入得
故所求的直線方程為，即
3.已知直線y＝－x＋1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x－2y＝0上，求此橢圓的離心率
[解析]設(shè)，AB的中點為,
代入橢圓方程得，,兩式相減,得.
AB的中點為在直線上，，
，而
題型3：與弦長有關(guān)的問題
[例3](山東泰州市聯(lián)考)已知直線被拋物線截得的弦長為20，為坐標原點．（1）求實數(shù)的值；
（2）問點位于拋物線弧上何處時，△面積最大？

【解題思路】用“韋達定理”求弦長；考慮△面積的最大值取得的條件
[解析]（1）將代入得，
由△可知，弦長AB，解得；
（2）當時，直線為，要使得內(nèi)接△ABC面積最大，
則只須使得，即，即位于（4，4）點處．
【名師指引】用“韋達定理”不要忘記用判別式確定范圍
【新題導練】
4.(山東省濟南市高三統(tǒng)一考試)
已知橢圓與直線相交于兩點．
（1）當橢圓的半焦距，且成等差數(shù)列時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，求弦的長度；
[解析]（1）由已知得：，∴
所以橢圓方程為：
（2），由，得
∴∴
（文）已知點和，動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2，點C的軌跡與直線交于D、E兩點，求線段DE的長．
（文）解：根據(jù)雙曲線的定義，可知C的軌跡方程為．設(shè)，，
聯(lián)立得．則．
所以．
故線段DE的長為．
考點2：對稱問題
題型：對稱的幾何性質(zhì)及對稱問題的求法（以點的對稱為主線，軌跡法為基本方法）
【新題導練】
[例4]若直線l過圓x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心M交橢圓＝1于A、B兩點，若A、B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程．
[解析]，設(shè)，則
又，，兩式相減得：，
化簡得，
把代入得
故所求的直線方程為，即
所以直線l的方程為：8x－9y＋25＝0.
5.已知拋物線y2＝2px上有一內(nèi)接正△AOB，O為坐標原點.
求證：點A、B關(guān)于x軸對稱；
[解析]設(shè)，，，
，即，
，，，故點A、B關(guān)于x軸對稱
6.在拋物線y2＝4x上恒有兩點關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍.
[解析]（1）當時，曲線上不存在關(guān)于直線對稱的兩點．
（2）當k≠0時，設(shè)拋物線y2＝4x上關(guān)于直線對稱的兩點，AB的中點為，則直線直線的斜率為直線，可設(shè)
代入y2＝4x得
，
在直線y＝kx＋3上，，
代入得即,又恒成立，所以－1＜k＜0．
綜合（1）（2），k的取值范圍是（－1，0）
考點3圓錐曲線中的范圍、最值問題
題型：求某些變量的范圍或最值
[例5]已知橢圓與直線相交于兩點．當橢圓的離心率滿足，且（為坐標原點）時，求橢圓長軸長的取值范圍．
【解題思路】通過“韋達定理”溝通a與e的關(guān)系
[解析]由，得
由，得此時
由，得，∴
即，故由，得
∴由得，∴
所以橢圓長軸長的取值范圍為
【名師指引】求范圍和最值的方法：
幾何方法：充分利用圖形的幾何特征及意義，考慮幾何性質(zhì)解決問題
代數(shù)方法：建立目標函數(shù)，再求目標函數(shù)的最值．
【新題導練】
7.已知P是橢圓C：的動點，點關(guān)于原點O的對稱點是B，若|PB|的最小值為，求點P的橫坐標的取值范圍。

[解析]由，設(shè)
，
，，解得或
又或
8.定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線上移動，記線段AB的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時點M的坐標．
[解析]設(shè)，，
因AB與x軸不平行，故可設(shè)AB的方程為，
將它代入得
由得即
，
將代入得
當且僅當即時取等號，此時，
所以，點M為或時，到y(tǒng)軸的最短距離最小，最小值為．
9.直線m：y＝kx＋1和雙曲線x2－y2＝1的左支交于A，B兩點，直線過點P（－2，0）和線段AB的中點M，求在y軸上的截距b的取值范圍．
[解析]由消去y得：
解得
設(shè)M（x0，y0）則
三點共線
令上為減函數(shù).
10.已知橢圓，A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的兩點，P是橢圓上任一點，求：（1）求的最小值；
（2）求|PA|＋|PB|的最小值和最大值．
[解析]（1）最小值為
（2）最大值為10＋|BC|＝；最小值為10－|BC|＝．
考點4定點，定值的問題
題型：論證曲線過定點及圖形（點）在變化過程中存在不變量
[例6]已知P、Q是橢圓C：上的兩個動點，是橢圓上一定點，是其左焦點，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列。
求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個定點A；
【解題思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列”找出兩動點間的坐標關(guān)系
證明：設(shè)知
同理
①當，
從而有設(shè)PQ的中點為，
得線段PQ的中垂線方程為
②當
線段PQ的中垂線是x軸，也過點
【名師指引】定點與定值問題的處理一般有兩種方法：
（1）從特殊入手，求出定點和定值，再證明這個點（值）與變量無關(guān);
（2）直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點（定值）．
【新題導練】
11.已知拋物線C的方程為y＝x2－2m2x－(2m2＋1)(m∈R)，則拋物線C恒過定點
[解析](－1,0)[令x＝－1得y＝0]
12.試證明雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）上任意一點到它的兩條漸近線的距離之積為常數(shù).
[解析]雙曲線上任意一點為，
它到兩漸近線的距離之積
考點6曲線與方程
題型：用幾種基本方法求軌跡方程
[例7]已知拋物線C：y2＝4x，若橢圓左焦點及相應(yīng)的準線與拋物線C的焦點F及準線l分別重合，試求橢圓短軸端點B與焦點F連線中點P的軌跡方程；
【解題思路】探求動點滿足的幾何關(guān)系，在轉(zhuǎn)化為方程
［解析］由拋物線y2＝4x,得焦點F(1,0),準線x＝－1
(1)設(shè)P(x,y)，則B(2x－1,2y),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|＝e,
又設(shè)點B到l的距離為d,則|BF|∶d＝e,∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d,
即(2x－2)2＋(2y)2＝2x(2x－2),化簡得P點軌跡方程為y2＝x－1(x＞1)
[名師指引]求曲線方程的方法主要有：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法，本題用到直接法，但題目條件需要轉(zhuǎn)化
【新題導練】
13.點P為雙曲線上一動點，O為坐標原點，M為線段OP中點，則點M的軌跡方程是.
[解析][相關(guān)點法]
14.過雙曲線C:的右焦點F作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點，,求點M的軌跡方程．
[解析]右焦點（2，0），設(shè)
得，，直線l的斜率
又,,兩式相減得,
把，，代入上式得
15.已知動點與雙曲線的兩個焦點、的距離之和為定值，且的最小值為．求動點的軌跡方程；
[解析]（1）由條件知，動點的軌跡為橢圓，其中半焦距為，
點P在y軸上時最大，由余弦定理得，動點的軌跡方程．
16.(廣東實驗中學)已知圓C:.
(1)直線過點P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點，若，求直線的方程；
(2)過圓C上一動點M作平行于y軸的直線m，設(shè)m與x軸的交點為N，若向量，求動點的軌跡方程.
(3)若點R(1,0)，在（2）的條件下，求的最小值.
解析（1）①當直線垂直于軸時，則此時直線方程為，與圓的兩個交點坐標為和，其距離為，滿足題意……1分
②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即…2分
設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得
∴，，………4分故所求直線方程為3x－4y＋5＝0
綜上所述，所求直線為3x－4y＋5＝0或x＝1……………5分
(2)設(shè)點M的坐標為(x0,y0)，Q點坐標為(x,y)則N點坐標是(x0,0)
∵，∴即，………7分
又∵，∴…………9分
直線m//y軸，所以，,∴點的軌跡方程是()……10分
（3）設(shè)Q坐標為(x,y)，，，……11分
又()可得：
.………13分
…………14分
★課后訓練★
基礎(chǔ)鞏固訓練
1.已知是三角形的一個內(nèi)角，且，則方程表示
（A）焦點在x軸上的橢圓（B）焦點在y軸上的橢圓
（C）焦點在x軸上的雙曲線（D）焦點在y軸上的雙曲線
1.[解析]B.由知，
2.已知點M（3，4）在一橢圓上，則以點M為頂點的橢圓的內(nèi)接矩形的面積是（）
（A）12（B）24（C）48（D）與橢圓有關(guān)
2.[解析]C[由橢圓的對稱性可知];
3.已知點F（，直線，點B是l上的動點.若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是（）
A．雙曲線B．橢圓C．圓D．拋物線
3.[解析]D.[MB＝MF]
4.過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，且，則這樣的直線有___________條.
4.[解析]3；垂直于實軸的弦長為4,實軸長為2.
5.是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上運動，則的最大值是．
5.[解析]≤;
6.若雙曲線與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍為.
6.[解析][]
綜合提高訓練
7.已知拋物線的弦AB經(jīng)過點P（4，2）且OA⊥OB（O為坐標原點），弦AB所在直線的方程為
7.[解析]12x—23y—2＝0記住結(jié)論：
8.已知橢圓，直線l到原點的距離為求證：直線l與橢圓必有兩上交點.
8.[解析]證明：當直線l垂直x軸時，由題意知：
不妨取代入曲線E的方程得：
即G（，），H（，－）有兩個不同的交點，
當直線l不垂直x軸時，設(shè)直線l的方程為：
由題意知：
由
∴直線l與橢圓E交于兩點,綜上，直線l必與橢圓E交于兩點
9.求過橢圓內(nèi)一點A（1，1）的弦PQ的中點M的軌跡方程．
9.［解析］解：設(shè)動弦PQ的方程為，設(shè)P（），Q（），M（），則：①②
①－②得：
當時，
由題意知，即③
③式與聯(lián)立消去k，得④
當時，k不存在，此時，，也滿足④．
故弦PQ的中點M的軌跡方程為：
10.已知拋物線．過動點M（，0）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點A、B．若,求a的取值范圍．
10.[解析]直線的方程為，將，
得:．
設(shè)直線與拋物線的兩個不同交點的坐標為、，
則又，
∴．
∵，∴．
解得．
11.過拋物線的焦點作一條斜率為k(k≠0)的弦，此弦滿足：①弦長不超過8；②弦所在的直線與橢圓3x2＋2y2＝2相交，求k的取值范圍．
11.解析：拋物線的焦點為(1，0)，設(shè)弦所在直線方程為
由得2分
∴故
由，解得k≥1
由得8分
由，解得k23因此1≤k23
∴k的取值范圍是[，－1]∪[1，]
12.在直角坐標平面內(nèi)，已知兩點A（－2，0）及B（2，0），動點Q到點A的距離為6，線段BQ的垂直平分線交AQ于點P。
（Ⅰ）證明|PA|＋|PB|為常數(shù)，并寫出點P的軌跡T的方程；

12.解：）連結(jié)PB∵線段BQ的垂直平分線與AQ交于點P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6（常數(shù)）。
又|PA|＋|PB||AB|，從而P點的軌跡T是中心在原點，以A、B為兩個焦點，長軸在x軸上的橢圓，其中，2a＝6，2c＝4，∴橢圓方程為

圓錐曲線

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教師要準備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學生更容易聽懂所講的內(nèi)容，讓高中教師能夠快速的解決各種教學問題。優(yōu)秀有創(chuàng)意的高中教案要怎樣寫呢？下面是小編為大家整理的“圓錐曲線”，希望能對您有所幫助，請收藏。

高考數(shù)學圓錐曲線復習教案

一名優(yōu)秀負責的教師就要對每一位學生盡職盡責，作為高中教師就要早早地準備好適合的教案課件。教案可以讓學生更好的消化課堂內(nèi)容，使高中教師有一個簡單易懂的教學思路。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的高中教案呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“高考數(shù)學圓錐曲線復習教案”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

90題突破高中數(shù)學圓錐曲線
1.如圖，已知直線L：的右焦點F，且交橢圓C于A、B兩點，點A、B在直線上的射影依次為點D、E。
（1）若拋物線的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程；
（2）（理）連接AE、BD，試探索當m變化時，直線AE、BD是否相交于一定點N？若交于定點N，請求出N點的坐標，并給予證明；否則說明理由。
（文）若為x軸上一點,求證:

2.如圖所示，已知圓定點A（1，0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足，點N的軌跡為曲線E。
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足的取值范圍。
3.設(shè)橢圓C：的左焦點為F，上頂點為A，過點A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點P，交x軸正半軸于點Q，且
⑴求橢圓C的離心率；
⑵若過A、Q、F三點的圓恰好與直線
l：相切，求橢圓C的方程.
4.設(shè)橢圓的離心率為e=
（1）橢圓的左、右焦點分別為F1、F2、A是橢圓上的一點，且點A到此兩焦點的距離之和為4,求橢圓的方程.
（2）求b為何值時，過圓x2+y2=t2上一點M（2，）處的切線交橢圓于Q1、Q2兩點，而且OQ1⊥OQ2．
5.已知曲線上任意一點P到兩個定點F1(-，0)和F2(，0)的距離之和為4．
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)過(0，-2)的直線與曲線交于C、D兩點，且為坐標原點），求直線的方程．
6.已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標為（m，n）．
（Ⅰ）當m＋n0時，求橢圓離心率的范圍；
（Ⅱ）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論．
7.有如下結(jié)論：“圓上一點處的切線方程為”，類比也有結(jié)論：“橢圓處的切線方程為”，過橢圓C：的右準線l上任意一點M引橢圓C的兩條切線，切點為A、B.
（1）求證：直線AB恒過一定點；（2）當點M在的縱坐標為1時，求△ABM的面積
8.已知點P（4，4），圓C：與橢圓E：有一個公共點A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切．
（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．
9.橢圓的對稱中心在坐標原點，一個頂點為，右焦點與點的距離為。
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在斜率的直線：，使直線與橢圓相交于不同的兩點滿足，若存在，求直線的傾斜角；若不存在，說明理由。
10.橢圓方程為的一個頂點為，離心率。
（1）求橢圓的方程；
（2）直線：與橢圓相交于不同的兩點滿足，求。
11.已知橢圓的左焦點為F，左右頂點分別為A,C上頂點為B，過F,B,C三點作，其中圓心P的坐標為．
(1)若橢圓的離心率，求的方程；
（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．
12.已知直線與曲線交于不同的兩點，為坐標原點．
（Ⅰ）若，求證：曲線是一個圓；
（Ⅱ）若，當且時，求曲線的離心率的取值范圍．
13.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，A是橢圓C上的一點，且，坐標原點O到直線的距離為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點，過Q的直線l交x軸于點，較y軸于點M，若，求直線l的方程．
14.已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負半軸上，過其上一點的切線方程為為常數(shù)）.
（I）求拋物線方程；
（II）斜率為的直線PA與拋物線的另一交點為A，斜率為的直線PB與拋物線的另一交點為B（A、B兩點不同），且滿足，求證線段PM的中點在y軸上；
（III）在（II）的條件下，當時，若P的坐標為（1，－1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍.
15.已知動點A、B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2，點P在線段AB上，且
設(shè)點P的軌跡方程為c。
（1）求點P的軌跡方程C；
（2）若t=2，點M、N是C上關(guān)于原點對稱的兩個動點（M、N不在坐標軸上），點Q
坐標為求△QMN的面積S的最大值。
16.設(shè)上的兩點，
已知，，若且橢圓的離心率短軸長為2，為坐標原點.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由
17.如圖，F(xiàn)是橢圓(ab0)的一個焦點，A,B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M恰好與直線l1：相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）過點A的直線l2與圓M交于PQ兩點，且，求直線l2的方程．
18.如圖，橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由.
19.如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且經(jīng)過點.直線交橢圓于兩不同的點.
20.設(shè)，點在軸上，點在軸上，且
（1）當點在軸上運動時，求點的軌跡的方程；
（2）設(shè)是曲線上的點，且成等差數(shù)列，當?shù)拇怪逼椒志€與軸交于點時，求點坐標.
21.已知點是平面上一動點，且滿足
（1）求點的軌跡對應(yīng)的方程；
（2）已知點在曲線上，過點作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過定點？試證明你的結(jié)論.
22.已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過、、三點．
（1）求橢圓的方程：
（2）若點D為橢圓上不同于、的任意一點，，當內(nèi)切圓的面積最大時。求內(nèi)切圓圓心的坐標；
（3）若直線與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上．
23.過直角坐標平面中的拋物線的焦點作一條傾斜角為的直線與拋物線相交于A，B兩點。
（1）用表示A，B之間的距離；
（2）證明：的大小是與無關(guān)的定值，
并求出這個值。
24.設(shè)分別是橢圓C：的左右焦點
(1)設(shè)橢圓C上的點到兩點距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標
(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點B的軌跡方程
(3)設(shè)點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為試探究的值是否與點P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。
25.已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（III）設(shè)與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足求的取值范圍.
26.如圖所示，已知橢圓：，、為
其左、右焦點，為右頂點，為左準線，過的直線：與橢圓相交于、
兩點，且有：（為橢圓的半焦距）
（1）求橢圓的離心率的最小值；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若,，
求證：、兩點的縱坐標之積為定值；
27.已知橢圓的左焦點為，左右頂點分別為，上頂點為，過三點作圓，其中圓心的坐標為
（1）當＞時，橢圓的離心率的取值范圍
（2）直線能否和圓相切？證明你的結(jié)論
28.已知點A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖.
（I）證明:為定值;
（II）若△POM的面積為，求向量與的夾角；
(Ⅲ)證明直線PQ恒過一個定點.
29.已知橢圓C：上動點到定點,其中的距離的最小值為1.
（1）請確定M點的坐標
（2）試問是否存在經(jīng)過M點的直線,使與橢圓C的兩個交點A、B滿足條件（O為原點）,若存在,求出的方程,若不存在請說是理由。
30.已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點.
（Ⅰ）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；
（Ⅱ）在軸上是否存在點，使的值與無關(guān)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
31.直線AB過拋物線的焦點F，并與其相交于A、B兩點。Q是線段AB的中點，M是拋物線的準線與y軸的交點．O是坐標原點．
(I)求的取值范圍；
(Ⅱ)過A、B兩點分剮作此撒物線的切線，兩切線相交于N點．求證：∥;
(Ⅲ)若P是不為1的正整數(shù)，當，△ABN的面積的取值范圍為時，求該拋物線的方程．
32.如圖，設(shè)拋物線（）的準線與軸交于，焦點為；以、為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為.
（Ⅰ）當時，求橢圓的方程及其右準線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)；若不存在，請說明理由．
33.已知點和動點滿足：,且存在正常數(shù)，使得。
（1）求動點P的軌跡C的方程。
（2）設(shè)直線與曲線C相交于兩點E，F(xiàn)，且與y軸的交點為D。若求的值。
34.已知橢圓的右準線與軸相交于點，右焦點到上頂點的距離為，點是線段上的一個動點.
（I）求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點,使得,并說明理由.
35.已知橢圓C：(.
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點的直線與橢圓C交于不同的兩點，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率k的取值范圍;
（3）如圖，過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓()相交于四點，設(shè)原點到四邊形一邊的距離為，試求時滿足的條件.
36.已知若過定點、以()為法向量的直線與過點以為法向量的直線相交于動點．
(1)求直線和的方程;
(2)求直線和的斜率之積的值，并證明必存在兩個定點使得恒為定值；
(3)在（2）的條件下，若是上的兩個動點，且，試問當取最小值時，向量與是否平行，并說明理由。
37.已知點,點(其中)，直線、都是圓的切線．
（Ⅰ）若面積等于6，求過點的拋物線的方程；
（Ⅱ）若點在軸右邊，求面積的最小值．
38.我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請同學們進行研究并完成下面問題。
（1）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點，點F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，試求d1d2的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系。
（2）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點，點F1、F2到直線
（m、n不同時為0）的距離分別為d1、d2，且直線L與橢圓M相切，試求d1d2的值。
（3）試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明。
（4）將（3）中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請同學們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論（不必證明）。
39.已知點為拋物線的焦點，點是準線上的動點，直線交拋物線于兩點，若點的縱坐標為，點為準線與軸的交點．
（Ⅰ）求直線的方程；（Ⅱ）求的面積范圍；
（Ⅲ）設(shè)，，求證為定值．
40.已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（III）設(shè)與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足求的取值范圍.
41.已知以向量為方向向量的直線過點，拋物線：的頂點關(guān)于直線的對稱點在該拋物線的準線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)、是拋物線上的兩個動點，過作平行于軸的直線，直線與直線交于點，若（為坐標原點，、異于點），試求點的軌跡方程。
42.如圖，設(shè)拋物線（）的準線與軸交于，焦點為；以、為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為.
（Ⅰ）當時，求橢圓的方程及其右準線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點，
與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，
試判斷點與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)；若不存在，請說明理由．
43.設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，且離心率且過橢圓右焦點的直線與橢圓C交于兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)是否存在直線，使得.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
(Ⅲ)若AB是橢圓C經(jīng)過原點O的弦，MNAB，求證：為定值．
44.設(shè)是拋物線的焦點，過點M(－1，0)且以為方向向量的直線順次交拋物線于兩點。
（Ⅰ）當時，若與的夾角為，求拋物線的方程；
（Ⅱ）若點滿足，證明為定值，并求此時△的面積
45.已知點，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且滿足.
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)、為軌跡上兩點，且1,0,，求實數(shù)，
使，且.
46.已知橢圓的右焦點為F，上頂點為A，P為C上任一點，MN是圓的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為的直線恰好與圓相切。
（1）已知橢圓的離心率；
（2）若的最大值為49，求橢圓C的方程.