小學(xué)數(shù)學(xué)角教案
發(fā)表時(shí)間：2020-12-01初二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納：角平分線(xiàn)的定義。
初二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納：角平分線(xiàn)的定義
角平分線(xiàn)的性質(zhì)
一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)
角平分線(xiàn)的性質(zhì)有助于我們解決三角形全等相關(guān)題型。其實(shí)不僅僅是角平分線(xiàn)，還有三角形的中位線(xiàn)、高、中心都是解決三角形題目有效的途徑。
二、知識(shí)要點(diǎn)
1、角平分線(xiàn)的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線(xiàn)叫做角的平分線(xiàn)。
如下圖：OC平分∠AOB
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
2、角的平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等?！局攸c(diǎn)】
如第一個(gè)圖：
∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB
∴PD=PE,此時(shí)我們知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜邊是OP即公共邊，直角邊斜邊)
3、角的平分線(xiàn)的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上。
如第一個(gè)圖：
∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE
∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)
一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)
角平分線(xiàn)的性質(zhì)有助于我們解決三角形全等相關(guān)題型。其實(shí)不僅僅是角平分線(xiàn)，還有三角形的中位線(xiàn)、高、中心都是解決三角形題目有效的途徑。（WWw.ys575.coM 述職報(bào)告之家）
二、知識(shí)要點(diǎn)
1、角平分線(xiàn)的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線(xiàn)叫做角的平分線(xiàn)。
OC平分∠AOB
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
2、角的平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等?！局攸c(diǎn)】
∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB
∴PD=PE,此時(shí)我們知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜邊是OP即公共邊，直角邊斜邊)
3、角的平分線(xiàn)的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上。
∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE
∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)
4、線(xiàn)段的中點(diǎn)的定義：把一條線(xiàn)段分成兩條相等的線(xiàn)段的點(diǎn)叫做線(xiàn)段的中點(diǎn)。
∵C是AB的中點(diǎn)
∴AC=BC
5、垂直的定義：兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角，這兩條直線(xiàn)互相垂直。
如圖：【重點(diǎn)】
∵AB⊥CD
∴∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°
或∵∠AOC=90°
∴AB⊥CD
注意：要判斷兩條直線(xiàn)垂直，只要知道這兩條相交直線(xiàn)所形成的四個(gè)角中的
一個(gè)角是直角就可以了。反過(guò)來(lái)，兩條直線(xiàn)互相垂直，它們的四個(gè)交角都是直角。
6、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等;全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
∵△ABC≌△ABC
∴AB=AB,BC=BC,AC=AC;∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C
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角平分線(xiàn)的性質(zhì)是在全等三角形中重點(diǎn)的章節(jié)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)在幾何題型中出現(xiàn)的較多，以下是角平分線(xiàn)的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，供大家參考。
角平分線(xiàn)的性質(zhì)
一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)
角平分線(xiàn)的性質(zhì)有助于我們解決三角形全等相關(guān)題型。其實(shí)不僅僅是角平分線(xiàn)，還有三角形的中位線(xiàn)、高、中心都是解決三角形題目有效的途徑。
二、知識(shí)要點(diǎn)
1、角平分線(xiàn)的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線(xiàn)叫做角的平分線(xiàn)。
如下圖：OC平分∠AOB
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
2、角的平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等?！局攸c(diǎn)】
如第一個(gè)圖：
∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB
∴PD=PE,此時(shí)我們知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜邊是OP即公共邊，直角邊斜邊)
3、角的平分線(xiàn)的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上。
如第一個(gè)圖：
∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE
∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)
4、線(xiàn)段的中點(diǎn)的定義：把一條線(xiàn)段分成兩條相等的線(xiàn)段的點(diǎn)叫做線(xiàn)段的中點(diǎn)。
∵C是AB的中點(diǎn)
∴AC=BC
5、垂直的定義：兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角，這兩條直線(xiàn)互相垂直。
如圖：【重點(diǎn)】
∵AB⊥CD
∴∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°
或∵∠AOC=90°
∴AB⊥CD
注意：要判斷兩條直線(xiàn)垂直，只要知道這兩條相交直線(xiàn)所形成的四個(gè)角中的
一個(gè)角是直角就可以了。反過(guò)來(lái)，兩條直線(xiàn)互相垂直，它們的四個(gè)交角都是直角。
6、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等;全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
∵△ABC≌△ABC
∴AB=AB,BC=BC,AC=AC;∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C
角平分線(xiàn)
一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，大家靜下心來(lái)寫(xiě)教案課件了。必須要寫(xiě)好了教案課件計(jì)劃，未來(lái)的工作就會(huì)做得更好！你們會(huì)寫(xiě)一段優(yōu)秀的教案課件嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“角平分線(xiàn)”，相信能對(duì)大家有所幫助。
4.12角平分線(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)
重點(diǎn)與難點(diǎn)分析：
重點(diǎn)：角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，逆定理及它們的應(yīng)用。性質(zhì)定理和它的逆定理為證線(xiàn)段相等、角相等，開(kāi)辟了新的途徑，簡(jiǎn)化了證明過(guò)程。
難點(diǎn)：
a、角平分線(xiàn)定理和逆定理的應(yīng)用；
b、這兩個(gè)定理的區(qū)別；
c、寫(xiě)命題的逆命題。
學(xué)生對(duì)證明兩個(gè)三角形全等的問(wèn)題已經(jīng)很熟悉了，所以證題時(shí)，不習(xí)慣直接應(yīng)用定理，仍然去找全等三角形，結(jié)果相當(dāng)于重新證明了一次定理。對(duì)于原命題和逆命題，學(xué)生對(duì)條件和結(jié)論容易混淆，特別是沒(méi)有明顯的提示語(yǔ)言時(shí)，更易找不準(zhǔn)條件和結(jié)論，這就成了教學(xué)的難點(diǎn)。
教法建議：
整堂課圍繞“以復(fù)習(xí)為基礎(chǔ)，以過(guò)程為主線(xiàn)，以思維為中心，以訓(xùn)練為手段”開(kāi)展教學(xué)。注重學(xué)生的參與度，通過(guò)提問(wèn)、板演、討論等多種形式，讓學(xué)生直接參加課堂活動(dòng)，將教與學(xué)融為一體。具體說(shuō)明如下：
（1）做好鋪墊
新課引入前，作一個(gè)具體畫(huà)圖的練習(xí)：已知角畫(huà)出它的角平分線(xiàn)；然后在平分線(xiàn)上任取一點(diǎn)，作出這一點(diǎn)到角兩邊的距離。這樣做一是復(fù)習(xí)了角平分線(xiàn)的定義和點(diǎn)到直線(xiàn)距離的定義；二是為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了圖形基礎(chǔ)。
（2）主動(dòng)獲取
利用上面的圖形，觀察這兩個(gè)距離的關(guān)系，并證明自己的結(jié)論。對(duì)基礎(chǔ)條件比較好的同學(xué)會(huì)很容易得出結(jié)論并能用文字?jǐn)⑹龀鰜?lái)。對(duì)基礎(chǔ)稍差一些的同學(xué)生得出結(jié)論并不難但讓他們用文字?jǐn)⑹龀鰜?lái)可能不是很準(zhǔn)確，此時(shí)教師要做指導(dǎo)。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)注意讓學(xué)生通過(guò)觀察、分析、推理等活動(dòng)，主動(dòng)提出此定理。
（3）激蕩思維
在上面定理的基礎(chǔ)上，讓學(xué)找出此定理的條件與結(jié)論，并交換條件與結(jié)論得到一個(gè)新的命題，然后驗(yàn)證此命題的正確性如何?學(xué)生通過(guò)推理證明不難得到是一個(gè)真命題。此時(shí)順理成章地引出教材中的定理2。最后注意強(qiáng)調(diào)：兩個(gè)定理的區(qū)別與聯(lián)系；原命題與逆命題、原定理與逆定理的關(guān)系及寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題的方法步驟。這一環(huán)節(jié)完全是由學(xué)生給出定理的文字表述及證明過(guò)程。
（4）推向深入
進(jìn)行必要的例題講解，然后進(jìn)行有層次階梯性訓(xùn)練，以達(dá)到熟練地運(yùn)用定理證明有關(guān)問(wèn)題。教學(xué)時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的思考方法。同時(shí)讓學(xué)生總結(jié)積累證明線(xiàn)段相等、角相等的常見(jiàn)方法。
教學(xué)目標(biāo)：
1、知識(shí)目標(biāo)：
（1）掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和逆定理；
（2）能夠運(yùn)用性質(zhì)定理和逆定理證明兩個(gè)角相等或兩條線(xiàn)段相等；
（3）能夠判定兩個(gè)命題是否為互逆命題，并能寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題.
2、能力目標(biāo)：
（1）通過(guò)“判斷題”的練習(xí)，提高學(xué)生的辨析能力；
（2）通過(guò)公理的初步應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力及創(chuàng)新的能力.
3、情感目標(biāo)：
（1）通過(guò)自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的感受；
（2）通過(guò)知識(shí)的縱橫遷移感受數(shù)學(xué)的辯證特征。
教學(xué)重點(diǎn)：角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，逆定理及它們的應(yīng)用。
教學(xué)難點(diǎn)：a、角平分線(xiàn)定理和逆定理的應(yīng)用；b、這兩個(gè)定理的區(qū)別；c、寫(xiě)命題的逆命題。。
教學(xué)用具：直尺，微機(jī)
教學(xué)方法：談話(huà)法
教學(xué)過(guò)程：
1、新課引入
投影顯示
問(wèn)題：（1）畫(huà)一個(gè)角的平分線(xiàn)；
（2）在這條平分線(xiàn)上任取一點(diǎn)P，標(biāo)出P點(diǎn)到角兩邊的距離。
（3）說(shuō)出這兩段距離的關(guān)系并證明。
2、定理的獲得
讓學(xué)生用文字語(yǔ)言敘述出定理的內(nèi)容
角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：在角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊距離相等。
強(qiáng)調(diào)說(shuō)明：
（1）、定理的條件及結(jié)論的符號(hào)表示；
（2）、定理的作用：直接證明兩線(xiàn)段相等。使用的前提是有角的平分線(xiàn)，關(guān)鍵是圖中是否有“垂直”。
3、運(yùn)用逆向思維，導(dǎo)出定理的逆定理
問(wèn)題：將定理的條件與結(jié)論“換位”得到一個(gè)新命題，說(shuō)出這個(gè)新命題的內(nèi)容，并判斷命題是真命題還是假命題？學(xué)生分析、討論用文字?jǐn)⑹鰞?nèi)容，老師作必要的提示。
逆定理：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。
強(qiáng)調(diào)：a逆定理的作用：證明角相等
b、二定理的區(qū)別與聯(lián)系：性質(zhì)定理說(shuō)明了角平分線(xiàn)上點(diǎn)的純粹性，即：只要是角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，它到此角兩邊一定等距離，而無(wú)一例外；判定定理反映了角平分線(xiàn)的完備性，即只要是到角兩邊距離相等的點(diǎn)，都一定在角平分線(xiàn)上，而絕不會(huì)漏掉一個(gè)。實(shí)際應(yīng)用中，前者用來(lái)證明線(xiàn)段相等，后者用來(lái)證明角相等（角平分線(xiàn)）
4、原命題與逆命題
a、概念
b、寫(xiě)出互逆命題的關(guān)鍵。
c、原使命與逆使命的真假性并無(wú)一定的依存關(guān)系。
5、定理的應(yīng)用(投影四個(gè)例題)
例1、已知：△ABC的角平分線(xiàn)BM、CN相交于點(diǎn)P.
求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.
學(xué)生先分析，教師巡視并適當(dāng)點(diǎn)撥。
投影顯示學(xué)生的證明過(guò)程，師生共同糾正補(bǔ)充完善。
投影規(guī)范的書(shū)寫(xiě)格式:
此題設(shè)想：
（1）語(yǔ)言要規(guī)范。例“過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F”這一段話(huà)一定要在證明中寫(xiě)出。
（2）幾何證明中，常見(jiàn)“同理”二字，講清“同理”適用的條件以免以后亂用。
例2、已知：PB、PC分別是△ABC的外角平分線(xiàn)，相交于點(diǎn)P.
求證：P在∠A的平分線(xiàn)上
證明：（略）
設(shè)想：（1）證明“點(diǎn)在線(xiàn)上”這類(lèi)問(wèn)題的解決方法
（2）“一般解題方法”的運(yùn)用
（3）投影顯示學(xué)生的書(shū)寫(xiě)步驟，檢查學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言是否規(guī)范。
例3、寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷它們是真命題還是假命題
（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；
（2）對(duì)頂角相等；
（3）如果，那么；
（4）直角三角形的兩個(gè)銳角互余.
6、課堂小結(jié)：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)
（1）角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理；
（2）二定理的關(guān)系；
（3）一般解題方法
讓學(xué)生自由表述，其它學(xué)生補(bǔ)充，自己將知識(shí)系統(tǒng)化，以自己的方式進(jìn)行建構(gòu)。
5、布置作業(yè)：
課后習(xí)題部分
板書(shū)設(shè)計(jì)：
初二數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)：垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)
初二數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)：垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)
垂直平分線(xiàn)
經(jīng)過(guò)某一條線(xiàn)段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。
垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)
1.垂直平分線(xiàn)垂直且平分其所在線(xiàn)段。
2.垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等。
3.如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)。
4.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
逆定理：和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。
5.三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心(circumcenter)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。(此時(shí)以外心為圓心，外心到頂點(diǎn)的長(zhǎng)度為半徑，所作的圓為此三角形的外接圓。)
垂直平分線(xiàn)的逆定理
到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。
注意：要證明一條線(xiàn)為一個(gè)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，應(yīng)證明兩個(gè)點(diǎn)到這條線(xiàn)段的距離相等且這兩個(gè)點(diǎn)都在要求證的直線(xiàn)上才可以證明
通常來(lái)說(shuō)，垂直平分線(xiàn)會(huì)與全等三角形來(lái)使用。
垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
巧記方法：點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等。
可以通過(guò)全等三角形證明。
垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作法
方法之一：(用圓規(guī)作圖)
1、在線(xiàn)段的中心找到這條線(xiàn)段的中點(diǎn)通過(guò)這個(gè)點(diǎn)做這條線(xiàn)段的垂線(xiàn)段。
2、分別以線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以大于線(xiàn)段的二分之一長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧線(xiàn)。得到兩個(gè)交點(diǎn)(兩交點(diǎn)交與線(xiàn)段的同側(cè))。
3、連接這兩個(gè)交點(diǎn)。
原理：等腰三角形的高垂直平分底邊。
方法之二：
1、連接這兩個(gè)交點(diǎn)。原理：兩點(diǎn)成一線(xiàn)。
等腰三角形的性質(zhì)：
1、三線(xiàn)合一(等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)、頂角平分線(xiàn)相互重合。)
2、等角對(duì)等邊(如果一個(gè)三角形，有兩個(gè)內(nèi)角相等，那么它一定有兩條邊相等。)
3、等邊對(duì)等角(在同一三角形中，如果兩個(gè)角相等，即對(duì)應(yīng)的邊也相等。)
垂直平分線(xiàn)的判定
①利用定義.
②到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.(即線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)可以看成到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合)
