高中不等式教案

不等式的性質(zhì)2。

延伸閱讀

不等式的性質(zhì)

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助高中教師營(yíng)造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。所以你在寫高中教案時(shí)要注意些什么呢？下面是由小編為大家整理的“不等式的性質(zhì)”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

不等式的性質(zhì)3

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生們有一個(gè)良好的課堂環(huán)境，幫助高中教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。那么如何寫好我們的高中教案呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來(lái)的《不等式的性質(zhì)3》，希望能為您提供更多的參考。

不等式的性質(zhì)1

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開(kāi)展，作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助高中教師營(yíng)造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？下面是由小編為大家整理的“不等式的性質(zhì)1”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。

不等式的性質(zhì)教案

教學(xué)設(shè)計(jì)
3．1.2不等式的性質(zhì)
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)將在初中學(xué)習(xí)的不等式的三條基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)歸納整理不等式的其他性質(zhì)，這是進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)．要求學(xué)生掌握不等式的基本性質(zhì)與推論，并能用這些基本性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式，進(jìn)而更深層地從理性角度建立不等觀念．對(duì)不等式的基本性質(zhì)，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)與等式的基本性質(zhì)作類比、歸納邏輯分析，并鼓勵(lì)學(xué)生從理性角度去分析量與量之間的比較過(guò)程．
基本性質(zhì)2、3、4在初中是由實(shí)例驗(yàn)證，在高中里要進(jìn)行邏輯證明．教學(xué)中教師一定要認(rèn)識(shí)到對(duì)學(xué)生進(jìn)行邏輯訓(xùn)練的必要性，注意啟發(fā)學(xué)生要求證明的欲望．
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，不等式的地位不僅特殊，而且重要，它與中學(xué)數(shù)學(xué)幾乎所有章節(jié)都有聯(lián)系，因此，不等式才自然而然地成為高考中經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)、重點(diǎn)，有時(shí)也是難點(diǎn)．為此，在進(jìn)行本節(jié)教學(xué)時(shí)，教材中基本性質(zhì)的推論可由學(xué)生自己證明，課后的練習(xí)A、B要求學(xué)生全做．
三維目標(biāo)
1．通過(guò)對(duì)初中三條基本性質(zhì)的回憶，以及上節(jié)學(xué)習(xí)的知識(shí)，證明不等式的基本性質(zhì)和推論．
2．在了解不等式的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，利用它們來(lái)證明一些簡(jiǎn)單的不等式．
3．通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度．體會(huì)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美和系統(tǒng)美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更大的熱情．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：理解并證明不等式的基本性質(zhì)與推論，并能用基本性質(zhì)證明一些簡(jiǎn)單的不等式．
教學(xué)難點(diǎn)：不等式基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用．
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過(guò)程
導(dǎo)入新課
思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回憶并敘述初中所學(xué)的不等式的三條基本性質(zhì)，即不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．讓學(xué)生根據(jù)上一節(jié)的學(xué)習(xí)將上面的文字語(yǔ)言用不等式表示出來(lái)，并進(jìn)一步探究，由此而展開(kāi)新課．
思路2.(類比導(dǎo)入)等式具有許多性質(zhì)，其中有：在等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以(除數(shù)不為零)同一個(gè)數(shù)，所得的仍是等式．我們自然會(huì)聯(lián)想到，不等式是否也會(huì)有此同樣的性質(zhì)呢？學(xué)生會(huì)進(jìn)一步探究驗(yàn)證這個(gè)聯(lián)想，由此而展開(kāi)新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
1怎樣比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或代數(shù)式的大??？2初中都學(xué)過(guò)不等式的哪些基本性質(zhì)？你能給出證明嗎？3不等式有哪些基本性質(zhì)和推論？這些性質(zhì)有哪些作用？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生一起回憶等式的性質(zhì)：等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以(除數(shù)不為零)同一個(gè)數(shù)，所得到的仍是等式．利用這些性質(zhì)，我們可以對(duì)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形或證明．那么不等式會(huì)不會(huì)也有類似的性質(zhì)呢？也就是說(shuō)，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以(除數(shù)不為零)同一個(gè)數(shù)，結(jié)果會(huì)不會(huì)不變呢？為此教師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課學(xué)過(guò)的實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)(或用多媒體展示)，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b.
根據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以考察這兩個(gè)實(shí)數(shù)的差．這是我們研究不等關(guān)系的一個(gè)出發(fā)點(diǎn)．
從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，我們可以證明下列常用的不等式性質(zhì)：
性質(zhì)1，如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞b?b＜a.這種性質(zhì)稱為不等式的對(duì)稱性．
性質(zhì)2，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c?a＞c.這種性質(zhì)稱為不等式的傳遞性．
性質(zhì)3，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，
即不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向．
由此得到推論1，不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊．這個(gè)推論稱為不等式的移項(xiàng)法則．
推論2，如果a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d.
這類不等號(hào)方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，這個(gè)推論可以推廣為更一般的結(jié)論．
性質(zhì)4，如果a＞b，c＞0，則ac＞bc；如果a＞b，c＜0，則ac＜bc.
推論1，如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
推論2，如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N＋，n＞1)．
推論3，如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N＋，n＞1)．
以上這些不等式的性質(zhì)是解決不等式問(wèn)題的基本依據(jù)．其中性質(zhì)1是不等式的對(duì)稱性；性質(zhì)2是不等式的傳遞性；性質(zhì)3表明不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向，由此可得不等式中任何一項(xiàng)可以改變符號(hào)后移到不等號(hào)的另一邊；性質(zhì)4表明，不等式兩邊允許用非零數(shù)(或式)去乘，相乘后的不等式的方向取決于乘式的符號(hào)，這點(diǎn)與等式的性質(zhì)不同；性質(zhì)4的推論1說(shuō)明兩邊都是正數(shù)的同向不等式可以相乘；性質(zhì)4的推論2說(shuō)明兩邊都是正數(shù)的不等式可以乘方；性質(zhì)4的推論3說(shuō)明兩邊都是正數(shù)的不等式可以開(kāi)方．
對(duì)以上性質(zhì)的邏輯證明，教師可與學(xué)生一起完成.5個(gè)推論可由學(xué)生自己完成，教師給予適當(dāng)點(diǎn)撥．這是訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理能力的極佳機(jī)會(huì)，不可錯(cuò)過(guò)．
討論結(jié)果：
(1)(2)略．
(3)4條性質(zhì)，5個(gè)推論．
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例題)
活動(dòng)：本節(jié)教材上共安排了這一個(gè)例題，含3個(gè)小題，都是不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，教師不可忽視本例的訓(xùn)練，過(guò)高估計(jì)了學(xué)生邏輯推理的書寫能力．實(shí)踐證明，學(xué)生往往推理不嚴(yán)密．教學(xué)時(shí)應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不等式的性質(zhì)的條件和結(jié)論，強(qiáng)調(diào)推理要有理有據(jù)，嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，條理清晰．
點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用不等式性質(zhì)對(duì)已知不等式進(jìn)行變形，從而得出要證的不等式，是證明不等式的常用方法之一.
變式訓(xùn)練
已知a＞b＞0，c＜0，求證：ca＞cb.
證明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，1ab＞0.
于是a1ab＞b1ab，即1b＞1a.
由c＜0，得ca＞cb.

例2已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范圍．
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶本題的背景，這類問(wèn)題是學(xué)習(xí)三角函數(shù)內(nèi)容時(shí)經(jīng)常遇到的，由于當(dāng)時(shí)所學(xué)知識(shí)所限，往往容易出錯(cuò)．這里我們?cè)谝阎幕A(chǔ)上，運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)得出所要得到的結(jié)果．
解：∵－π2≤α＜β≤π2，
∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4.
上面兩式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.
∵－π4＜β2≤π4，
∴－π4≤－β2＜π4.
∴－π2≤α－β2＜π2.
又知α＜β，∴α－β2＜0.
故－π2≤α－β2＜0.
點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中，角的范圍的確定往往成為正確解題的關(guān)鍵.
變式訓(xùn)練
已知函數(shù)f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()
A．一定大于0B．一定小于0
C．等于0D．正負(fù)都有可能
答案：B
解析：由題意知f(x)是奇函數(shù)，且在R上為單調(diào)增函數(shù)，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x3)＝－f(x3)，f(－x1)＝－f(x1)，
且x1＜－x2，x2＜－x3，x3＜－x1.
所以f(x1)＜－f(x2)，f(x2)＜－f(x3)，f(x3)＜－f(x1)．
由不等式的性質(zhì)3推論2知
f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜－f(x1)－f(x2)－f(x3)．
因此，f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.

3已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：ea－c＞eb－d.
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察結(jié)論，由于e＜0，因此即證1a－c＜1b－d，引導(dǎo)學(xué)生作差，利用本節(jié)所學(xué)的不等式基本性質(zhì)．
證明：c＜d＜0?－c－d0ab0?a－c＞b－d＞0?1a－c1b－de0ea－c＞eb－d.
點(diǎn)評(píng)：本例是靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)．證明時(shí)一定要推理有據(jù)，思路條理清晰.
變式訓(xùn)練
若1a＜1b＜0，則下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b中，正確的不等式有()
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
答案：B
解析：由1a＜1b＜0得b＜a＜0，ab＞0，則①正確，②錯(cuò)誤，③錯(cuò)誤.

知能訓(xùn)練
1．若a、b、c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是()

A.1a＜1bB．a(chǎn)2＞b2
C.ac2＋1＞bc2＋1D．a(chǎn)|c|＞b|c|
2．若a＞b＞0，則下列不等式中總成立的是()
A.ba＞b＋1a＋1B．a(chǎn)＋1a＞b＋1b
C．a(chǎn)＋1b＞b＋1aD.2a＋ba＋2b＞ab
3．有以下四個(gè)條件：
①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.
其中能使1a＜1b成立的有__________個(gè)條件．
答案：
1．C解法一：∵a＞b，c2＋1＞0，∴ac2＋1＞bc2＋1.
解法二：令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A、B、C、D中，可知A、B、D均錯(cuò)．
2．C解法一：由a＞b＞00＜1a＜1ba＋1b＞b＋1a.
解法二：令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝12，b＝13，排除B.
3．3解析：①∵b＞0，∴1b＞0.∵a＜0，∴1a＜0.∴1a＜1b.
②∵b＜a＜0，∴1b＞1a.
③∵a＞0＞b，∴1a＞0，1b＜0.∴1a＞1b.
④∵a＞b＞0，∴1a＜1b.
課堂小結(jié)
1．教師與學(xué)生共同完成本節(jié)的小結(jié)．從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)與三條基本性質(zhì)的回顧，到所有性質(zhì)的推得，推論的證明，以及例題的探究、變式訓(xùn)練等．真正溫故知新，將本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容納入已有的知識(shí)體系．
2．教師進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)代數(shù)邏輯推理的方法要領(lǐng)，指出利用不等式的性質(zhì)時(shí)容易忽略的地方，以及證明不等式時(shí)需要注意的問(wèn)題．
作業(yè)
習(xí)題3—1A組4、5；習(xí)題3—1B組4.
設(shè)計(jì)感想
1．本節(jié)設(shè)計(jì)更加關(guān)注學(xué)生的發(fā)展．通過(guò)具體問(wèn)題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)，并從理性的角度去思考，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行類比、歸納、抽象，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣．
2．本節(jié)設(shè)計(jì)注重學(xué)生的探究活動(dòng)．學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究思考、體驗(yàn)認(rèn)識(shí)、廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣和積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量．
3．本節(jié)設(shè)計(jì)注重了學(xué)生個(gè)性品質(zhì)的發(fā)展．通過(guò)對(duì)富有挑戰(zhàn)性問(wèn)題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探索精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，從而激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的探究興趣．
備課資料
備用習(xí)題
1．如果a、b、c、d是任意實(shí)數(shù)，則()
A．a(chǎn)＞b，c＝dac＞bdB.ac＞bca＞b
C．a(chǎn)3＞b3，ab＞01a＜1bD．a(chǎn)2＞b2，ab＞01a＜1b
2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是()
A．a(chǎn)＞b＞－b＞－aB．a(chǎn)＞－b＞－a＞b
C．a(chǎn)＞－b＞b＞－aD．a(chǎn)＞b＞－a＞－b
3．已知－1＜a＜b＜0，則下面不等式中正確的是()
A.1a＜1b＜b2＜a2B.1a＜1b＜a2＜b2
C.1b＜1a＜a2＜b2D.1b＜1a＜b2＜a2
4．設(shè)a、b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是()
A．b－a＞0B．a(chǎn)3＋b3＜0
C．a(chǎn)2－b2＜0D．b＋a＞0
5．若α、β滿足－π2＜α＜β＜π2，則α－β的取值范圍是()
A．－π＜α－β＜πB．－π＜α－β＜0
C．－π2＜α－β＜π2D．－π2＜α－β＜0
6．已知60＜x＜84,28＜y＜33，則x－y的取值范圍為_(kāi)_________，xy的取值范圍為_(kāi)_________．
7．已知a＜b，c＞d，求證：c－a＞d－b.
8．已知x＞y＞z＞0，求證：yx－y＞zx－z.
參考答案：
1．CA項(xiàng)中，當(dāng)c、d為負(fù)數(shù)時(shí)，ac＜bd，A錯(cuò)；B項(xiàng)中，當(dāng)c為負(fù)數(shù)時(shí)，a＜b，B錯(cuò)；C項(xiàng)中，a3＞b3，得出a＞b，又由ab＞0可得1a＜1b，C項(xiàng)正確；D項(xiàng)中，若a、b均為負(fù)數(shù)時(shí)，由a2＞b2得出a＜b，由ab＞0得出1a＞1b，D錯(cuò)．
2．C由a＋b＞0，b＜0可知a＞0，b＜0，故a，－b為正，－a，b為負(fù)，又由a＋b＞0知a＞－b，b＞－a，所以a＞－b＞b＞－a.
3．D由－1＜a＜b＜0知ab＞0，所以1b＜1a＜0，a2＞b2＞0，故1b＜1a＜b2＜a2.
4．D利用賦值法：不妨令a＝1，b＝0，則排除A，B，C.
5．B由α＜β知α－β＜0，又由α＞－π2，β＜π2，故α－β＞(－π2)－π2＝－π，
即－π＜α－β＜0.
6．(27,56)(2011，3)∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28.
又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，yx∈(2884，3360)．
∴xy∈(6033，8428)，
即2011＜xy＜3.
7．證明：∵a＜b，∴－a＞－b.
又∵c＞d，∴c＋(－a)＞d＋(－b)，即c－a＞d－b.
8．證明：∵x＞y，∴x－y＞0.∴1x－y＞0.
又y＞z＞0，∴yx－y＞zx－y.①
∵y＞z，∴－y＜－z.∴x－y＜x－z.
∴0＜x－y＜x－z.∴1x－y＞1x－z.
又z＞0，∴zx－y＞zx－z.②
由①②得yx－y＞zx－z.