高中不等式教案

含絕對值不等式的解法。

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選修4-5學案§1.2.2含絕對值不等式的解法姓名
☆學習目標：1.掌握一些簡單的含絕對值的不等式的解法;
2.理解含絕對值不等式的解法思想：去掉絕對值符號，等價轉(zhuǎn)化
知識情景：
1．絕對值的定義：，
2.絕對值的幾何意義：
10.實數(shù)的絕對值，表示數(shù)軸上坐標為的點A

20.兩個實數(shù)，它們在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為，
那么的幾何意義是.
3.絕對值三角不等式：
①時,如下圖,易得：.
②時,如下圖,易得：.
③時,顯然有：.綜上,得
定理1如果,那么.當且僅當時,等號成立.
定理2如果,那么.當且僅當時,等號成立.
建構(gòu)新知：含絕對值不等式的解法
1．設(shè)為正數(shù),根據(jù)絕對值的意義，不等式的解集是
它的幾何意義就是數(shù)軸上的點的集合是開區(qū)間，如圖所示.

2．設(shè)為正數(shù),根據(jù)絕對值的意義，不等式的解集是
它的幾何意義就是數(shù)軸上的點的集合是開區(qū)間，如圖所示.www.lvshijia.net

3．設(shè)為正數(shù),則10.;
20.;
30.設(shè),則.
4．10.≥；
20..

☆案例學習：
例1解不等式(1);(2).

例2解不等式(1);(2).

例3解不等式(1)；(2).

例4(1)（北京春）若不等式的解集為，則實數(shù)等于()
(2)不等式，對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍是

例5已知，≤，且，求實數(shù)的范圍.

選修4-5練習§1.2.2含絕對值不等式的解法姓名
解不等式

11.已知不等式的解集為，求的值

12.解關(guān)于的不等式（）

13.解關(guān)于的不等式：①解關(guān)于的不等式；②

相關(guān)知識

含絕對值的不等式

教學目標

（1）掌握與（）型的絕對值不等式的解法．

（2）掌握與（）型的絕對值不等式的解法．

（3）通過用數(shù)軸來表示含絕對值不等式的解集，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的能力；

（4）通過將含絕對值的不等式同解變形為不含絕對值的不等式，培養(yǎng)學生化歸的思想和轉(zhuǎn)化的能力；

教學重點：型的不等式的解法；

教學難點：利用絕對值的意義分析、解決問題．

教學過程設(shè)計

教師活動

學生活動

設(shè)計意圖

一、導(dǎo)入新課

【提問】正數(shù)的絕對值什么？負數(shù)的絕對值是什么？零的絕對值是什么？舉例說明？

【概括】

口答

絕對值的概念是解與（）型絕對值不等值的概念，為解這種類型的絕對值不等式做好鋪墊．

二、新課

【導(dǎo)入】2的絕對值等于幾？－2的絕對值等于幾？絕對值等于2的數(shù)是誰？在數(shù)軸上表示出來．

【講述】求絕對值等于2的數(shù)可以用方程來表示，這樣的方程叫做絕對值方程．顯然，它的解有二個，一個是2，另一個是－2．

【提問】如何解絕對值方程．

【設(shè)問】解絕對值不等式，由絕對值的意義你能在數(shù)軸上畫出它的解嗎？這個絕對值不等式的解集怎樣表示？

【講述】根據(jù)絕對值的意義，由右面的數(shù)軸可以看出，不等式的解集就是表示數(shù)軸上到原點的距離小于2的點的集合．

【設(shè)問】解絕對值不等式，由絕對值的意義你能在數(shù)軸上畫出它的解嗎？這個絕對值不等式的解集怎樣表示？

【質(zhì)疑】的解集有幾部分？為什么也是它的解集？

【講述】這個集合中的數(shù)都比－2小，從數(shù)軸上可以明顯看出它們的絕對值都比2大，所以是解集的一部分．在解時容易出現(xiàn)只求出這部分解集，而丟掉這部解集的錯誤．

【練習】解下列不等式：

（1）；

（2）

【設(shè)問】如果在中的，也就是怎樣解？

【點撥】可以把看成一個整體，也就是把看成，按照的解法來解．

所以，原不等式的解集是

【設(shè)問】如果中的是，也就是怎樣解？

【點撥】可以把看成一個整體，也就是把看成，按照的解法來解．

，或，

由得

由得

所以，原不等式的解集是

口答．畫出數(shù)軸后在數(shù)軸上表示絕對值等于2的數(shù)．

畫出數(shù)軸，思考答案

不等式的解集表示為

畫出數(shù)軸

思考答案

不等式的解集為

或表示為，或

筆答

（1）

（2），或

筆答

筆答

根據(jù)絕對值的意義自然引出絕對值方程（）的解法．

由淺入深，循序漸進，在（）型絕對值方程的基礎(chǔ)上引出（）型絕對值方程的解法．

針對解（）絕對值不等式學生常出現(xiàn)的情況，運用數(shù)軸質(zhì)疑、解惑．

落實會正確解出與（）絕對值不等式的教學目標．

在將看成一個整體的關(guān)鍵處點撥、啟發(fā)，使學生主動地進行練習．

繼續(xù)強化將看成一個整體繼續(xù)強化解不等式時不要犯丟掉這部分解的錯誤．

三、課堂練習

解下列不等式：

（1）；

（2）

筆答

（1）；

（2）

檢查教學目標落實情況．

四、小結(jié)

的解集是；的解集是

解絕對值不等式注意不要丟掉這部分解集．

或型的絕對值不等式，若把看成一個整體一個字母，就可以歸結(jié)為或型絕對值不等式的解法．

五、作業(yè)

1．閱讀課本含絕對值不等式解法．

2．習題2、3、4

課堂教學設(shè)計說明

1．抓住解型絕對值不等式的關(guān)鍵是絕對值的意義，為此首先通過復(fù)習讓學生掌握好絕對值的意義，為解絕對值不等式打下牢固的基礎(chǔ)．
2．在解與絕對值不等式中的關(guān)鍵處設(shè)問、質(zhì)疑、點撥，讓學生融會貫通的掌握它們解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，以達到提高學生解題能力的目的．
3．針對學生解（）絕對值不等式容易出現(xiàn)丟掉這部分解集的錯誤，在教學中應(yīng)根據(jù)絕對值的意義從數(shù)軸進行突破，并在練習中糾正這個錯誤，以提高學生的運算能力．

絕對值不等式

題目第六章不等式絕對值不等式
高考要求
1理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
2．掌握解絕對值不等式等不等式的基本思路，會用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式；
知識點歸納
1．解絕對值不等式的基本思想:解絕對值不等式的基本思想是去絕對值，常采用的方法是討論符號和平方
2．注意利用三角不等式證明含有絕對值的問題
||a|─|b|||a+b||a|+|b|;||a|─|b|||a─b||a|+|b|;并指出等號條件
3．(1)|f(x)|g(x)─g(x)f(x)g(x);
(2)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)─g(x)（無論g(x)是否為正）
（3）含絕對值的不等式性質(zhì)（雙向不等式）
左邊在時取得等號，右邊在時取得等號
題型講解
例1解不等式分析：不等式（其中）可以推廣為任意都成立，且為代數(shù)式也成立解：原不等式又化為∴原不等式的解集為點評：可利用去掉絕對值符號例2求證：不等式
綜上（1），（2）得
例3
所以，原命題得證
例4
例5
證明：
例6
證明：令
例7a,bR證明|a+b|－|a－b|2|b|
例8解不等式||x+3|─|x─3||3
解法一：分區(qū)間去絕對值（零點分段法）：
∵||x+3|─|x─3||3
∴(1)x─3;
(2)3/2x3或─3x─3/2;
(3)x3
∴原不等式的解為x─3/2或x3/2
解法二：用平方法脫去絕對值：
兩邊平方：(|x+3|─|x─3|)29,即2x2+92|x2─9|;
兩邊再平方分解因式得：x29/4x─3/2或x3/2
例9解不等式|x2─3|x|─3|1
解：∵|x2─3|x|─3|1
∴─1x2─3|x|─31
∴
∴原不等式的解是：x4或─4x
點評：本題由于運用了x∈R時，x2=|x|2從而避免了一場大規(guī)模的討論
例10求使不等式|x─4|+|x─3|a有解的a的取值范圍
解：設(shè)f(x)=|x─4|+|x─3|,
要使f(x)a有解，則a應(yīng)該大于f(x)的最小值，
由三角不等式得：
f(x)=|x─4|+|x─3||(x─4)─(x─3)|=1,
所以f(x)的最小值為1，
∴a1
點評：本題對條件進行轉(zhuǎn)化，變?yōu)樽钪祮栴}，從而簡化了討論
例11已知二次函數(shù)f(x)滿足|f(1)|1,|f(0)|1,|f(─1)|1,
求證：|x|1時，有|f(x)|5/4
證明：設(shè)f(x)=ax2+bx+c,
由題意，得
∴a=[f(1)+f(─1)─2f(0)],b=[f(1)─f(1)];c=f(0)
代入f(x)的表達式變形得：
f(x)=f(1)(x2+x)/2+f(─1)(x2─x)/2+(1─x2)f(0)
∵|f(1)|1,|f(0)|1,f(─1)|1,
∴當|x|1時，
|f(x)||(x2+x)/2||f(1)|+|(x2─x)/2||f(─1)|+(1─x2)|f(0)|
|x|(1+x)/2+|x|(1─x)/2+(1─x2)
=─x2+|x|+1=─(|x|─1/2)2+5/45/4
例12已知a,b,c都是實數(shù)，且|a|1,|b|1,|c|1,求證：ab+bc+ca─1
證明：設(shè)f(x)=x(b+c)+bc─(─1),
∵|a|1,|b|1,|c|1,
∴f(1)＝(b+c)+bc+1＝(1+b)(1+c)0,
f(─1)＝－(b+c)+bc+1＝(1－b)(1－c)0,
∴當a∈(─1,1)時，f(x)0恒成立
∴f(a)＝a(b+c)+bc─(─1)0,
∴ab+bc+ca─1
例13
證明：
小結(jié)：
1．理解絕對值不等式的定義，掌握絕對值不等式的定理和推論，會用絕對值不等式的定理和推論解決絕對值不等式的有關(guān)證明問題
2．解絕對值不等式的基本途徑是去掉絕對值符號，常用的方法是：（1）分類討論；（2）平方；（3）利用絕對值不等式的性質(zhì)，如
等
3．證明絕對值不等式的基本思想和基本方法分別是轉(zhuǎn)化思想和比較法，分析法，換元法，綜合法，放縮法，反證法等等
學生練習
1．不等式的解集為（）
A．B．C．D．
答案：D
2．不等式|x－4|＋|x－3|a有解的充要條件是（）
Aa7Ba1Ca1Da≥1
答案:B提示:代數(shù)式|x－4|＋|x－3|表示數(shù)軸上的點到(4,0)與(3,0)兩點的距離和，最小值為1，∴當a1時，不等式有解
3．若A={x||x－1|2},B={x|0，則A∩B=（）
A{x|－1x3}B{x|x0或x2}C{x|－1x0或2x3}D{x|－1x0}
答案:C提示:A={x|－1x3},B={x|x2或x0},∴A∩B={x|－1x0或2x3}
4．不等式1≤≤2的解集是
答案:1≤x≤或≤x≤3
5．如果y=logx在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù)，則a的取值范圍是（）
A|a|1B|a|C1|a|Da或a－
答案:C提示:0a2－1,∴1|a|
6．解不等式|logx|＋|log(3－x)|≥1
答案：{x|0x≤或≤x3}
提示：分0x1,1x2,2x3三種情況討論,當0x1時,解得0x≤；當1x2時,無解；當2x3時,解得≤x3

課前后備注

含有絕對值的不等式

高一數(shù)學教案：《含絕對值的不等式》教學設(shè)計

高一數(shù)學教案：《含絕對值的不等式》教學設(shè)計

教師活動

學生活動

設(shè)計意圖

一、導(dǎo)入新課

【提問】正數(shù)的絕對值什么？負數(shù)的絕對值是什么？零的絕對值是什么？舉例說明？

【概括】

口答

絕對值的概念是解 與 （ ）型絕對值不等值的概念，為解這種類型的絕對值不等式做好鋪墊．

二、新課

【導(dǎo)入】2的絕對值等于幾？－2的絕對值等于幾？絕對值等于2的數(shù)是誰？在數(shù)軸上表示出來．

【講述】求絕對值等于2的數(shù)可以用方程 來表示，這樣的方程叫做絕對值方程．顯然，它的解有二個，一個是2，另一個是－2．

【提問】如何解絕對值方程 ．

【設(shè)問】解絕對值不等式 ，由絕對值的意義你能在數(shù)軸上畫出它的解嗎？這個絕對值不等式的解集怎樣表示？

【講述】根據(jù)絕對值的意義，由右面的數(shù)軸可以看出，不等式 的解集就是表示數(shù)軸上到原點的距離小于2的點的集合．

【設(shè)問】解絕對值不等式 ，由絕對值的意義你能在數(shù)軸上畫出它的解嗎？這個絕對值不等式的解集怎樣表示？

【質(zhì)疑】 的解集有幾部分？為什么 也是它的解集？

【講述】 這個集合中的數(shù)都比－2小，從數(shù)軸上可以明顯看出它們的絕對值都比2大，所以 是 解集的一部分．在解 時容易出現(xiàn)只求出 這部分解集，而丟掉 這部解集的錯誤．

【練習】解下列不等式：

（1） ；

（2）

【設(shè)問】如果在 中的 ，也就是 怎樣解？

【點撥】可以把 看成一個整體，也就是把 看成 ，按照 的解法來解．

所以，原不等式的解集是

【設(shè)問】如果 中的 是 ，也就是 怎樣解？

【點撥】可以把 看成一個整體，也就是把 看成 ，按照 的解法來解．

，或 ，

由 得

由 得

所以，原不等式的解集是

口答．畫出數(shù)軸后在數(shù)軸上表示絕對值等于2的數(shù)．

畫出數(shù)軸，思考答案

不等式 的解集表示為

畫出數(shù)軸

思考答案

不等式 的解集為

或表示為 ，或

筆答

（1）

（2） ，或

筆答

筆答

根據(jù)絕對值的意義自然引出絕對值方程 （ ）的解法．

由淺入深，循序漸進，在 （ ）型絕對值方程的基礎(chǔ)上引出 （ ）型絕對值方程的解法．

針對解 （ ）絕對值不等式學生常出現(xiàn)的情況，運用數(shù)軸質(zhì)疑、解惑．

落實會正確解出 與 （ ）絕對值不等式的教學目標．

在將 看成一個整體的關(guān)鍵處點撥、啟發(fā)，使學生主動地進行練習．

繼續(xù)強化將 看成一個整體繼續(xù)強化解 不等式時不要犯丟掉 這部分解的錯誤．

三、課堂練習

解下列不等式：

（1） ；

（2）

筆答

（1） ；

（2）

檢查教學目標落實情況．

四、小結(jié)

的解集是 ； 的解集是

解 絕對值不等式注意不要丟掉 這部分解集．

或 型的絕對值不等式，若把 看成一個整體一個字母，就可以歸結(jié)為 或 型絕對值不等式的解法．

五、作業(yè)

1．閱讀課本 含絕對值不等式解法．

2．習題 2、3、4