高中三角函數(shù)的教案

《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式》說課稿。

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助高中教師在教學(xué)期間更好的掌握節(jié)奏。怎么才能讓高中教案寫的更加全面呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡單方便，下面是小編整理的“《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式》說課稿”，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

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同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

教案課件是老師上課中很重要的一個(gè)課件，大家靜下心來寫教案課件了。只有規(guī)劃好了教案課件新的工作計(jì)劃，這樣我們接下來的工作才會(huì)更加好！你們會(huì)寫教案課件的范文嗎？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”，相信能對大家有所幫助。

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
年級高一學(xué)科數(shù)學(xué)課題同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
授課時(shí)間
學(xué)習(xí)重點(diǎn)公式及的推導(dǎo)及運(yùn)用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一個(gè)，求其余兩個(gè)；（2）化簡三角函數(shù)式；（3）證明簡單的三角恒等式.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)角α終邊所在象限求出其三角函數(shù)值；選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明三角恒等式.
學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握同角三角函數(shù)的三個(gè)基本關(guān)系式；
2.掌握已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值.

教學(xué)過程
一自主學(xué)習(xí)
1：平方關(guān)系；商數(shù)關(guān)系

2試試：利用三角函數(shù)線的定義,推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.

3已知cosα＝－，并且它是第三象限的角，求sinα，tanα的值.

4變式：已知cosα＝－，求sinα，tanα的值.

二師生互動(dòng)
例1.已知，求和

練習(xí)1.已知sinα＝，求cosα，tanα的值.

（2）已知tan=3，求sin，cos．

例2已知，求和cosα

例3已知，，求

三鞏固練習(xí)
1.化簡為（）.
A.B.
C.D
2.若，且α在第三象限，則tanα=（）.
A.B.C.D.
3.若tanα=，且，則sinα=（）.
A.B.C.B.
4.化簡：tanαcosα=.
5.已知，則.

6.化簡：
（1）cosθtanθ；

四課后反思

五課后鞏固練習(xí)
1.已知12sin+5cos=0，求sin、cos的值.

2.已知tan為非零實(shí)數(shù)，用tan表示sin，cos．

同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，作為高中教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來，讓高中教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。那么如何寫好我們的高中教案呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

1.2.2同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系
一、教學(xué)目標(biāo)：
⒈掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；
2通過運(yùn)用公式的訓(xùn)練過程，培養(yǎng)學(xué)生解決三角函數(shù)求值、化簡、恒等式證明的解題技能，提高運(yùn)用公式的靈活性；
3注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問題；在解決三角函數(shù)化簡問題過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學(xué)過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，從而提高邏輯推理能力．
二、教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn)：公式及的推導(dǎo)及運(yùn)用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一個(gè)，求其余兩個(gè)；（2）化簡三角函數(shù)式；（3）證明簡單的三角恒等式.
難點(diǎn):根據(jù)角α終邊所在象限求出其三角函數(shù)值；選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明三角恒等式.
三、學(xué)法與教學(xué)用具
利用三角函數(shù)線的定義,推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:及,并靈活應(yīng)用求三角函數(shù)值,化減三角函數(shù)式,證明三角恒等式等.
教學(xué)用具:圓規(guī)、三角板、投影
四、教學(xué)過程
【創(chuàng)設(shè)情境】
與初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化．
【探究新知】
探究:三角函數(shù)是以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義的,你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā),討論一
下同一個(gè)角不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎?
如圖:以正弦線,余弦線和半徑三者的長構(gòu)成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即.
根據(jù)三角函數(shù)的定義,當(dāng)時(shí),有.
這就是說,同一個(gè)角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.
【例題講評】
例1化簡：
解：原式
例2已知
解：
（注意象限、符號）

例3求證：
分析：思路1．把左邊分子分母同乘以，再利用公式變形；思路2：把左邊分子、分母同乘以（1+sinx）先滿足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需將分子轉(zhuǎn)化為零；思路4：用作商法，但先要確定一邊不為零；思路5：利用公分母將原式的左邊和右邊轉(zhuǎn)化為同一種形式的結(jié)果；思路6：由乘積式轉(zhuǎn)化為比例式；思路7：用綜合法．
證法1：左邊=右邊，
∴原等式成立
證法2：左邊=＝
＝右邊
證法3：
∵，
∴
證法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴≠0，
∴＝＝＝1，
∴．
∴左邊=右邊∴原等式成立．

例4已知方程的兩根分別是，
求
解：
（化弦法）
例5已知，
求
解：
【課堂練習(xí)】
化簡下列各式
1．
2．
3．

練習(xí)答案：
解：（１）原式＝
＝
＝
（２）原式＝
＝
＝
【學(xué)習(xí)小結(jié)】
（1）同角三角函數(shù)的關(guān)系式的前提是“同角”，因此，．
（2）利用平方關(guān)系時(shí)，往往要開方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號，即要就角所在象限進(jìn)行分類討論．
(1)作業(yè)：習(xí)題1.2A組第10,13題.
(2)熟練掌握記憶同角三角函數(shù)的關(guān)系式,試將關(guān)系式變形等,得到其他幾個(gè)常用的關(guān)
系式;注意三角恒等式的證明方法與步驟.
【課后作業(yè)】見學(xué)案
【板書設(shè)計(jì)】略
【教學(xué)反思】
1.2.2同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系

課前預(yù)習(xí)學(xué)案
預(yù)習(xí)目標(biāo)：
通過復(fù)習(xí)回顧三角函數(shù)定義和單位圓中的三角函數(shù)線，為本節(jié)所要學(xué)習(xí)的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式做好鋪墊。
預(yù)習(xí)內(nèi)容：
復(fù)習(xí)回顧三角函數(shù)定義和單位圓中的三角函數(shù)線：。
提出疑惑：
與初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)一樣，我們能不能研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化呢？

課內(nèi)探究學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
⒈掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；
2通過運(yùn)用公式的訓(xùn)練過程，培養(yǎng)學(xué)生解決三角函數(shù)求值、化簡、恒等式證明的解題技能，提高運(yùn)用公式的靈活性；
3注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問題；在解決三角函數(shù)化簡問題過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學(xué)過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，從而提高邏輯推理能力．
學(xué)習(xí)過程：
【創(chuàng)設(shè)情境】
與初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化．
【探究新知】
探究:三角函數(shù)是以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義的,你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā),討論一
下同一個(gè)角不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎?
如圖:以正弦線,余弦線和半徑三者的長構(gòu)成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即.
根據(jù)三角函數(shù)的定義,當(dāng)時(shí),有.
這就是說,同一個(gè)角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.
【例題講評】
例1化簡：

例3求證：

例4已知方程的兩根分別是，
求
例5已知，
求
【課堂練習(xí)】
化簡下列各式
3．
4．
3．

課后練習(xí)與提高
1已知sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，則tanα的值為()
2若sin4θ＋cos4θ＝1，則sinθ＋cosθ的值為()
A0B1C－1D±1
3若tanθ＋cotθ＝2，則sinθ＋cosθ的值為()
A0BC－D±
4若＝10，則tanα的值為
5若tanα＋cotα=2，則sin4α＋cos4α＝
6若tan2α＋cot2α＝2，則sinαcosα＝

課后練習(xí)與提高答案1A2D3D4－256±
同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系

教學(xué)目的：
⒈掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；
2通過運(yùn)用公式的訓(xùn)練過程，培養(yǎng)學(xué)生解決三角函數(shù)求值、化簡、恒等式證明的解題技能，提高運(yùn)用公式的靈活性；
3注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問題；在解決三角函數(shù)化簡問題過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學(xué)過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，從而提高邏輯推理能力．
教學(xué)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
教學(xué)難點(diǎn)：(1)已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時(shí)正負(fù)號的選擇；(2)三角函數(shù)式的化簡；(3)證明三角恒等式．
授課類型：新授課
知識(shí)回顧：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式:

典型例題：
例1．已知sin=2，求α的其余三個(gè)三角函數(shù)值．

例2．已知：且，試用定義求的其余三個(gè)三角函數(shù)值．

例3．已知角的終邊在直線y=3x上，求sin和cos的值．

說明：已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值時(shí)要注意：
(1)角所在的象限；
(2)用平方關(guān)系求值時(shí)，所求三角函數(shù)的符號由角所在的象限決定；
(3)若題設(shè)中已知角的某個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，則求其他函數(shù)值時(shí)，要對該字母分類討論．

四、小結(jié)幾種技巧
五、課后作業(yè)：
六、板書設(shè)計(jì)（略）
七、課后記：

高一數(shù)學(xué)《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式》教學(xué)反思

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，作為教師就要好好準(zhǔn)備好一份教案課件。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，減輕教師們在教學(xué)時(shí)的教學(xué)壓力。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的教案呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“高一數(shù)學(xué)《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式》教學(xué)反思”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

高一數(shù)學(xué)《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式》教學(xué)反思

本節(jié)采用“提出問題──合作探究──變式應(yīng)用”的模式展開．首先在復(fù)習(xí)任意角三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上提出幾個(gè)環(huán)環(huán)相扣、引人思考的問題，然后通過合作探究的方式探究出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并通過設(shè)置問題，進(jìn)一步深化了對關(guān)系式的理解．最后通過一題多變的方式讓學(xué)生在自主探索中體驗(yàn)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在一類三角求值方面的基本應(yīng)用．整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)突出以下特點(diǎn)：

1設(shè)置問題，引導(dǎo)思維

一個(gè)好的問題，既能揭示課堂的教學(xué)內(nèi)容，又能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性．本節(jié)設(shè)置了一個(gè)個(gè)問題，把知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，以引導(dǎo)學(xué)生思維．學(xué)生在思考這些問題的過程中，理解了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握了已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值或三角函數(shù)式，求它的另外三角函數(shù)值的方法，從而完成了本節(jié)的知識(shí)目標(biāo)．

2探究學(xué)習(xí)，訓(xùn)練思維

新的課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)教師不能把知識(shí)的結(jié)果強(qiáng)加給學(xué)生，不能單純的只讓學(xué)生掌握知識(shí)的結(jié)果，而應(yīng)重視獲取知識(shí)的過程，因此在本節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，突出了“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，探究為主線，思維為核心”的數(shù)學(xué)思想．無論是合作探究同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，還是自主探究解題思路，都使學(xué)生由被動(dòng)學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)愉快學(xué)習(xí)，從而調(diào)動(dòng)了他們學(xué)習(xí)的積極性．

3一題多變，發(fā)散思維

本節(jié)課對教材例題做全新的調(diào)整，采用一題多變的教學(xué)，通過變例題的條件或結(jié)論由一例題變式出三個(gè)，讓學(xué)生從不同角度、用不同方法掌握已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值或三角函數(shù)式，求它的另外三角函數(shù)值的方法，進(jìn)而優(yōu)化課堂教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維．

總之，本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念是盡可能將課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人．

高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式學(xué)案

學(xué)案18同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.
自主梳理
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：____________________.
(2)商數(shù)關(guān)系：______________________________.
2．誘導(dǎo)公式
(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z.
(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.
(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.
(5)sinπ2－α＝________，cosπ2－α＝________.
(6)sinπ2＋α＝__________，cosπ2＋α＝____________________________________.
3．誘導(dǎo)公式的作用是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般步驟為：
上述過程體現(xiàn)了化歸的思想方法．
自我檢測
1．(2010全國Ⅰ)cos300°等于()
A．－32B．－12
C.12D.32
2．(2009陜西)若3sinα＋cosα＝0，則1cos2α＋sin2α的值為()
A.103B.53
C.23D．－2
3．(2010福建龍巖一中高三第三次月考)α是第一象限角，tanα＝34，則sinα等于()
A.45B.35
C．－45D．－35
4．cos(－174π)－sin(－174π)的值是()
A.2B．－2
C．0D.22
5．(2011清遠(yuǎn)月考)已知cos(π6－α)＝23，則sin(α－2π3)＝________.
探究點(diǎn)一利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡、求值
例1已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求tanx2sinx＋cosx的值．

變式遷移1已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，求下列各式的值．
(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα；(2)sin2α＋sin2α.

探究點(diǎn)二利用誘導(dǎo)公式化簡、求值
例2(2011合肥模擬)已知sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)．
(1)求sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α的值；
(2)求cos2α－3π4的值．

變式遷移2設(shè)f(α)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，則f－23π6＝________.
探究點(diǎn)三綜合應(yīng)用
例3在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角．

變式遷移3(2011安陽模擬)已知△ABC中，sinA＋cosA＝15，
(1)求sinAcosA；
(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；
(3)求tanA的值．

轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例(12分)已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝15.
(1)求tanα的值；
(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出來，并求其值．
多角度審題由sinα＋cosα＝15應(yīng)聯(lián)想到隱含條件sin2α＋cos2α＝1，要求tanα，應(yīng)當(dāng)切化弦，所以只要求出sinα，cosα即可．
【答題模板】
解(1)聯(lián)立方程sinα＋cosα＝15，①?sin2α＋cos2α＝1，②
由①得cosα＝15－sinα，將其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.[2分]
∵α是三角形的內(nèi)角，∴sinα＝45?cosα＝－35，[4分]
∴tanα＝－43.[6分]
(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，[8分]
∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α[10分]
＝－432＋11－－432＝－257.[12分]
【突破思維障礙】
由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1聯(lián)立方程組，利用角α的范圍，應(yīng)先求sinα再求cosα.(1)問切化弦即可求．(2)問應(yīng)弦化切，這時(shí)應(yīng)注意“1”的活用．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
在求解sinα，cosα的過程中，若消去cosα得到關(guān)于sinα的方程，則求得兩解，然后應(yīng)根據(jù)α角的范圍舍去一個(gè)解，若不注意，則誤認(rèn)為有兩解．
1．由一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意討論角的范圍．
2．注意公式的變形使用，弦切互換、三角代換、消元是三角代換的重要思想，要盡量少開方運(yùn)算，慎重確定符號．注意“1”的靈活代換．
3．應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號”的正確判斷．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011荊州模擬)已知△ABC中，cosAsinA＝－125，則cosA等于()
A.1213B.513
C．－513D．－1213
2．已知tanα＝－512，且α為第二象限角，則sinα的值等于()
A.15B．－115
C.513D．－513
3．(2011許昌月考)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αcos－π－αtanα，則f(－313π)的值為()
A.12B．－13C．－12D.13
4．設(shè)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù)，若f(2002)＝－1，則f(2003)等于()
A．－1B．0C．1D．2
5．(2010全國Ⅰ)記cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()
A.1－k2kB．－1－k2k
C.k1－k2D．－k1－k2
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010全國Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－12，則cosα＝________.
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
8．(2010東北育才學(xué)校高三第一次模擬考試)若tanα＝2，則sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝________.
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α.
(1)化簡f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．

10．(12分)化簡：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．

11．(14分)(2011秦皇島模擬)已知sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個(gè)根．
(1)求cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)的值；
(2)求tan(π－θ)－1tanθ的值．

答案自主梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)sinαcosα＝tanα2.(1)sinαcosαtanα(2)－sinα－cosαtanα(3)－sinαcosα－tanα(4)sinα－cosα－tanα(5)cosαsinα(6)cosα－sinα
自我檢測
1．C[cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.]
2．A[∵3sinα＋cosα＝0，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝110，
∴1cos2α＋sin2α＝1cos2α＋2sinα－3sinα
＝11－7sin2α＝103.]
3．B
4．A[cos(－174π)－sin(－174π)＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sinπ4＝2.]
5．－23
解析sin(α－2π3)＝－sin(2π3－α)
＝－sin[(π6－α)＋π2]
＝－cos(π6－α)＝－23.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引學(xué)會(huì)利用方程思想解三角函數(shù)題，對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意對符號的判斷．
解由sinx＋cosx＝15得，
1＋2sinxcosx＝125，則2sinxcosx＝－2425.
∵－π2x0，∴sinx0，cosx0，
即sinx－cosx0.
則sinx－cosx
＝－sin2x－2sinxcosx＋cos2x
＝－1＋2425＝－75.
(1)sin2x－cos2x＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝15×－75＝－725.
(2)由sinx＋cosx＝15sinx－cosx＝－75，
得sinx＝－35cosx＝45，則tanx＝－34.
即tanx2sinx＋cosx＝－34－65＋45＝158.
變式遷移1解∵sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
方法一(直接代入法)：
(1)原式＝2cosα－4cosα5×2cosα＋2cosα＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.
方法二(同除轉(zhuǎn)化法)：
(1)原式＝tanα－45tanα＋2＝2－45×2＋2＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα
＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝85.
例2解題導(dǎo)引三角誘導(dǎo)公式記憶有一定規(guī)律：k2π＋α的本質(zhì)是：奇變偶不變(對k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù))，符號看象限(看原函數(shù)，同時(shí)可把α看成是銳角)．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：(1)負(fù)角變正角，再寫成2kπ＋α，0≤α2π；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)．
解(1)∵sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)，
∴cosα＝－55，sinα＝255.
∴sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α＝－cosα－sinαsinα－cosα＝－13.
(2)∵cosα＝－55，sinα＝255，
∴sin2α＝－45，cos2α＝－35，
cos2α－3π4＝－22cos2α＋22sin2α＝－210.
變式遷移23
解析∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α
＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，
∴f－23π6＝1tan－23π6
＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.
例3解題導(dǎo)引先利用誘導(dǎo)公式化簡已知條件，再利用平方關(guān)系求得cosA．求角時(shí)，一般先求出該角的某一三角函數(shù)值，再確定該角的范圍，最后求角．誘導(dǎo)公式在三角形中常用結(jié)論有：A＋B＝π－C；A2＋B2＋C2＝π2.
解由已知得sinA＝2sinB，①3cosA＝2cosB，②
①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±22.
(1)當(dāng)cosA＝22時(shí)，cosB＝32，
又A、B是三角形的內(nèi)角，
∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.
(2)當(dāng)cosA＝－22時(shí)，cosB＝－32.
又A、B是三角形的內(nèi)角，
∴A＝34π，B＝56π，不合題意．
綜上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.
變式遷移3解(1)∵sinA＋cosA＝15，①
∴兩邊平方得1＋2sinAcosA＝125，
∴sinAcosA＝－1225.
(2)由(1)sinAcosA＝－12250，且0Aπ，
可知cosA0，∴A為鈍角，
∴△ABC為鈍角三角形．
(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝4925，
又sinA0，cosA0，∴sinA－cosA0，
∴sinA－cosA＝75，②
∴由①，②得sinA＝45，cosA＝－35，
∴tanA＝sinAcosA＝－43.
課后練習(xí)區(qū)
1．D[∵A為△ABC中的角，cosAsinA＝－125，
∴sinA＝－512cosA，A為鈍角，∴cosA0.
代入sin2A＋cos2A＝1，求得cosA＝－1213.]
2．C[已知tanα＝－512，且α為第二象限角，
有cosα＝－11＋tan2α＝－1213，所以sinα＝513.]
3．C[∵f(α)＝sinαcosα－cosαtanα＝－cosα，∴f(－313π)
＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cosπ3＝－12.]
4．C[∵f(2002)＝asin(2002π＋α)＋bcos(2002π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2003)＝asin(2003π＋α)＋bcos(2003π＋β)
＝asin[2002π＋(π＋α)]＋bcos[2002π＋(π＋β)]
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.]
5．B[∵cos(－80°)＝cos80°＝k，
sin80°＝1－cos280°＝1－k2.
∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.]
6．－255
解析∵tanα＝－12，∴sinαcosα＝－12，
又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角，
∴cosα＝－255.
7.892
解析sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋
sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋222＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋12＝44＋12＝892.
8.165
解析原式＝tanα＋1tanα－1＋cos2αsin2α＋cos2α
＝3＋1tan2α＋1＝3＋15＝165.
9．解(1)f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α
＝sinαcosα－tanαtanαsinα＝－cosα.…………………………………………………………(5分)
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝－sinα＝15，
∴sinα＝－15，……………………………………………………………………………(8分)
∴cosα＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，
∴f(α)＝－cosα＝265.…………………………………………………………………(12分)
10．解當(dāng)k為偶數(shù)2n(n∈Z)時(shí)，
原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α
＝sin－αcos－π－αsinπ＋αcosα
＝－sinαcosπ＋α－sinαcosα＝－cosαcosα＝－1；……………………………………………………(6分)
當(dāng)k為奇數(shù)2n＋1(n∈Z)時(shí)，
原式＝sin[2n＋1π－α]cos2nπ－αsin[2n＋2π＋α]cos[2n＋1π＋α]
＝sinπ－αcos－αsin2π＋αcosπ＋α＝sinαcosαsinα－cosα＝－1.
∴當(dāng)k∈Z時(shí)，原式＝－1.………………………………………………………………(12分)
11．解由已知原方程的判別式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又sinθ＋cosθ＝asinθcosθ＝a，(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，則a2－2a－1＝0，(6分)
從而a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，
因此sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－2.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.………(11分)
(2)tan(π－θ)－1tanθ＝－tanθ－1tanθ
＝－(sinθcosθ＋cosθsinθ)＝－1sinθcosθ＝－11－2＝1＋2.
……………………………………………………………………………………………(14分)