一元二次方程高中教案

《閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題》知識點歸納。

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時都會提前最好準(zhǔn)備，教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？經(jīng)過搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“《閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題》知識點歸納”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

《閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題》知識點歸納

二次函數(shù)問題是近幾年高考的熱點，很受命題者的青睞，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是二次函數(shù)的重要題型之一。本代系統(tǒng)歸納這種問題的常見類型及解題策略。

一、正向型

是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問題的關(guān)鍵。此類問題包括以下四種情形：(1)軸定，區(qū)間定;(2)軸定，區(qū)間變;(3)軸變，區(qū)間定;(4)軸變，區(qū)間變。

1.軸定區(qū)間定

例1.(20xx年上海)已知函數(shù)，當(dāng)時，求函數(shù)f(x)的最大值與最小值。

解析：時，

所以時，時，

2.軸定區(qū)間動

例2.(20xx年全國)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)，求f(x)的最小值。

解析：

(1)當(dāng)時，

①若，則;

②若，則

(2)當(dāng)時，

①若，則;

②若，則

綜上所述，當(dāng)時，;當(dāng)時，;當(dāng)時，。

3.軸動區(qū)間定

例3.求函數(shù)在區(qū)間上的最小值。

解析：

(1)當(dāng)，即時，;

(2)當(dāng)，即時，;

(3)當(dāng)，即時，。

綜上，

評注：已知，按對稱軸與定義域區(qū)間的位置關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合可得在上的最大值或最小值。

4.軸變區(qū)間變

例4.已知，求的最小值。

解析：將代入u中，得

①，即時，

②，即時，

所以

二、逆向型

是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中的參數(shù)值。

例5.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，求實數(shù)a的值。

解析：

(1)若，不合題意。

(2)若，則

由，得

(3)若時，則

由，得

綜上知或

例6.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域是，求m，n的值。

解析1：討論對稱軸中1與的位置關(guān)系。

①若，則

解得

②若，則，無解

③若，則，無解

④若，則，無解

綜上，

解析2：由，知，則，f(x)在上遞增。

所以

解得

評注：解法2利用閉區(qū)間上的最值不超過整個定義域上的最值，縮小了m，n的取值范圍，避開了繁難的分類討論，解題過程簡潔、明了。

例7.已知二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求實數(shù)a的值。

分析：這是一個逆向最值問題，若從求最值入手，需分與兩大類五種情形討論，過程繁瑣不堪。若注意到的最值總是在閉區(qū)間的端點或拋物線的頂點處取到，因此先計算這些點的函數(shù)值，再檢驗其真假，過程簡明。

解：(1)令，得

此時拋物線開口向下，對稱軸為，且

故不合題意;

(2)令，得，此時拋物線開口向上，閉區(qū)間的右端點距離對稱軸遠(yuǎn)些，故符合題意;

(3)若，得，經(jīng)檢驗，符合題意。

綜上，或

評注：本題利用特殊值檢驗法，先計算特殊點(閉區(qū)間的端點、拋物線的頂點)的函數(shù)值，再檢驗其真假，思路明了、過程簡潔，是解決逆向型閉區(qū)間二次函數(shù)最值問題的一種有效方法。

擴(kuò)展閱讀

函數(shù)的最值

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來，幫助授課經(jīng)驗少的教師教學(xué)。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？小編收集并整理了“函數(shù)的最值”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

二次函數(shù)

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動起來，幫助高中教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。我們要如何寫好一份值得稱贊的高中教案呢？下面是小編精心為您整理的“二次函數(shù)”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

開口方向
頂點坐標(biāo)
對稱軸
單調(diào)區(qū)間
最值
值域

二師生互動
例1已知函數(shù)，
(1)求這個函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸；
(2)求這個函數(shù)的最小值；
(3)不直接計算函數(shù)值，試比較f(－1)和f(1)的大小
練一練
1.已知二次函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值
例2已知函數(shù)的定義域為R，值域為，則a的值
練一練
已知函數(shù)且，則下列不等式成立的是（）
AB
CD

三鞏固練習(xí)
1.若x為實數(shù)，則函數(shù)y＝x2＋3x－5的最小值為…………………………………()
?A.?－294?B.?－5
?C.?0?D.?不存在
2.函數(shù)f(x)＝11－x(1－x)的最大值是…………………………………()
?A.?45?B.?54
?C.?34?D.?43
3.二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c圖象的最高點是(－3,1)，則b、c的值是……………()
?A.?b＝6，c＝8?B.?b＝6，c＝－8
?C.?b＝－6，c＝8?D.?b＝－6，c＝－8
4.已知二次函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，5］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［5，＋∞)上單調(diào)遞增，則下列各式成立的是…………………………………()
?A.?f(－2)＜f(6)＜f(11)?B.?f(11)＜f(6)＜f(－2)
?C.?f(6)＜f(11)＜f(－2)?D.?f(11)＜f(－2)＜f(6)
5.已知函數(shù)f(x)＝x2－6x＋8，x∈［1，a］，并且f(x)的最小值為f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是.
6.已知二次函數(shù)y=-x2+2x+m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根為.

四課后反思

五課后鞏固練習(xí)
1.方程的兩根均大于1，則實數(shù)a的取值范圍
2.已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間［－2,3］上的最大值為6，求a的值.

函數(shù)的極值與最值

23.函數(shù)的極值與最值
一、課前準(zhǔn)備：
【自主梳理】
1．若函數(shù)f(x)在點x0的附近恒有(或)，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取得極大值（或極小值），稱點x0為極大值點（或極小值點）．
2．求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：
①求導(dǎo)數(shù)；
②求方程的根；
③檢驗在方程根的左右的符號，如果左正右負(fù)，那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得極值；如果左負(fù)右正，那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得極值．
3．求可導(dǎo)函數(shù)最大值與最小值的步驟：
①求y=f(x)在[a,b]內(nèi)的極值；
②將y=f(x)在各極值點的極值與f（a）、f（b）比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個是最小值。
【自我檢測】
1．函數(shù)的極大值為．
2．函數(shù)在上的最大值為．
3．若函數(shù)既有極大值又有極小值，則的取值范圍為．
4．已知函數(shù)，若對任意都有，則的取值范圍是．
（說明：以上內(nèi)容學(xué)生自主完成，原則上教師課堂不講）

二、課堂活動：
【例1】填空題：
（1）函數(shù)的極小值是__________．
（2）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是________；最大值是__________．
（3）若函數(shù)在處取極值，則實數(shù)=_．
（4）已知函數(shù)在時有極值0，則=_．

【例2】設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

【例3】如圖6所示，等腰的底邊，高，點是線段上異于點的動點，點在邊上，且，現(xiàn)沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積．
（1）求的表達(dá)式；
（2）當(dāng)為何值時，取得最大值？
課堂小結(jié)
三、課后作業(yè)
1．若沒有極值，則的取值范圍為.?
2．如圖是導(dǎo)數(shù)的圖象，對于下列四個判斷：?
①在［-2，-1］上是增函數(shù)；?
②是的極小值點；?
③在［-1，2］上是增函數(shù)，在［2，4］上是減函數(shù)；?
④是的極小值點.?
其中判斷正確的是.?
3．若函數(shù)在（0，1）內(nèi)有極小值，則的取值范圍為．
4．函數(shù),在x=1時有極值10，則的值為．
5．下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是．
①f(x)0的解集是{x|0x2};?
②f(-)是極小值，f()是極大值；?
③f(x)沒有最小值，也沒有最大值.?
6．設(shè)函數(shù)在處取得極值，則的值為．
7．已知函數(shù)（為常數(shù)且）有極值9，則的值為．
8．若函數(shù)在上的最大值為，則的值為．

9．設(shè)函數(shù)在及時取得極值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．

10．已知函數(shù),求函數(shù)在［1，2］上的最大值.
四、糾錯分析
錯題卡題號錯題原因分析

參考答案：
【自我檢測】
1．72．3．4．
例1：（1）0（2）1，（3）3（4）11

例2：解：（Ⅰ），
當(dāng)時，取最小值，
即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合題意，舍去）．
當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

遞增極大值
遞減
在內(nèi)有最大值．
在內(nèi)恒成立等價于在內(nèi)恒成立，
即等價于，
所以的取值范圍為．

例3：解：（1）由折起的過程可知，PE⊥平面ABC，，
V(x)=（）
（2），所以時，，V(x)單調(diào)遞增；時，V(x)單調(diào)遞減；因此x=6時，V(x)取得最大值；

課后作業(yè)
1．［-1，2］2．②③3．0b14．a(chǎn)=-4,b=11
5．?①②6．17．28．
9．解：（Ⅰ），
因為函數(shù)在及取得極值，則有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
所以，當(dāng)時，取得極大值，又，．
則當(dāng)時，的最大值為．
因為對于任意的，有恒成立，
所以，
解得或，
因此的取值范圍為．
10．解：∵，∴
令,即,得.?
∴f(x)在（-∞,0),上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).?
①當(dāng),即時,在（1，2）上是減函數(shù),?∴.
②當(dāng),即時,在上是減函數(shù),
?∴.
③當(dāng),即時,在上是增函數(shù),?
∴.
綜上所述，當(dāng)時，的最大值為,?
當(dāng)時，的最大值為,
當(dāng)時，的最大值為．

高一《一次函數(shù)和二次函數(shù)》知識點總結(jié)人教B版

高一《一次函數(shù)和二次函數(shù)》知識點總結(jié)人教B版
一次函數(shù)
一、定義與定義式：
自變量x和因變量y有如下關(guān)系：
y=kx+b
則此時稱y是x的一次函數(shù)。
特別地，當(dāng)b=0時，y是x的正比例函數(shù)。
即：y=kx(k為常數(shù)，k≠0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì)：
1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b(k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù))
2.當(dāng)x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：
1.作法與圖形：通過如下3個步驟
(1)列表;
(2)描點;
(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點)
2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。
3.k，b與函數(shù)圖像所在象限：
當(dāng)k0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;
當(dāng)k0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
當(dāng)b0時，直線必通過一、二象限;
當(dāng)b=0時，直線通過原點
當(dāng)b0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當(dāng)b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時，當(dāng)k0時，直線只通過一、三象限;當(dāng)k0時，直線只通過二、四象限。
四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：
已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。
(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因為在一次函數(shù)上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：
1.當(dāng)時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式：(不全，希望有人補(bǔ)充)
1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
為大家?guī)砹巳私藼版高一數(shù)學(xué)必修一第二單元一次函數(shù)和二次函數(shù)知識點，希望大家能夠熟記這些數(shù)學(xué)知識點，更多的高中數(shù)學(xué)知識點請查閱。