高中必修三教案

高中數(shù)學(xué)必修三導(dǎo)學(xué)案-2.3變量間的相關(guān)關(guān)系（2）。

2.3變量間的相關(guān)關(guān)系（2）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．理解回歸直線的概念；
2．理解用最小二乘法求線性回歸方程的思想，能用最小二乘法求線性回歸方程．
【新知自學(xué)】
新知梳理：
1．回歸直線
如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有，這條直線叫做．
2.回歸直線方程
（1）方法：．
（2）公式：
方程是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)，的回歸方程，其中是待定系數(shù)。
恒過點(diǎn)，點(diǎn)也叫樣本點(diǎn)的.
3.線性回歸分析
商店名稱

銷售額

利潤額

（1）作出散點(diǎn)圖，判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)；
（2）如果兩個(gè)變量線性相關(guān)，則用最小二乘法求出線性回歸方程；
（3）根據(jù)回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，即由一個(gè)變量的變化去估計(jì)另一個(gè)變量的變化．
對點(diǎn)練習(xí)：
1.一位母親記錄了兒子3到9歲的身高，由此建立的身高與年齡的回歸模型為
，用這個(gè)模型預(yù)測這個(gè)孩子10歲時(shí)的身高，則正確的敘述是（）
（A）身高一定是145.83cm
（B）身高在145.83cm以上
（C）身高在145.83cm以下
（D）身高在145.83cm左右
2.已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23，樣本點(diǎn)的中心為（4，5），則回歸直線的方程是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
3.設(shè)有一個(gè)回歸方程為，當(dāng)自變量增加一個(gè)單位時(shí)（）
（A）平均增加1.5個(gè)單位
（B）平均增加2個(gè)單位
（C）平均減少1.5個(gè)單位
（D）平均減少2個(gè)單位
4.線性回歸方程表示的直線必經(jīng)過（）
（A）點(diǎn)（B）點(diǎn)
（C）點(diǎn)（D）點(diǎn)
【合作探究】
典例精析
例題1.某連鎖經(jīng)營公司所屬個(gè)零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表：
（1）畫出銷售額和利潤額的散點(diǎn)圖；
（2）若銷售額和利潤額具有線性相關(guān)關(guān)系，求利潤額對于銷售額的回歸直線方程.

變式訓(xùn)練1.某5名學(xué)生的總成績和數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤恚?br> 學(xué)生ABCDE
總成績x482383421364362
數(shù)學(xué)成績y7865716461
（1）畫出散點(diǎn)圖；
（2）求數(shù)學(xué)成績對總成績的回歸直線方程；
（3)如果一個(gè)學(xué)生的總成績?yōu)?50分，試預(yù)測這個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績.

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.下列說法中正確的是（）
A．任何兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系
B．人的知識與其年齡具有相關(guān)關(guān)系
C．散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)是分散的沒有規(guī)律
D．根據(jù)散點(diǎn)圖求得的回歸直線方程都是有意義的
2.變量y與x之間的回歸方程（）
A．表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系
B．表示y和x之間的不確定關(guān)系
C．反映y和x之間真實(shí)關(guān)系的形式
D．反映y與x之間的真實(shí)關(guān)系達(dá)到最大限度的吻合
3.某地區(qū)近幾年居民獨(dú)到的年收入x與支出y之間的關(guān)系，大致符合（單位：億元）.預(yù)計(jì)今年該地區(qū)居民收入為15億元，則年支出估計(jì)是億元.

【課時(shí)作業(yè)】
1.下列說法正確的有（）
①線性回歸方程適用于一切樣本和總體；
②線性回歸方程一般都有局限性；
③樣本取值的范圍會影響線性回歸方程的適用范圍；
④線性回歸方程得到的預(yù)測值是預(yù)測變量的精確值.
（A）①②（B）②③
（C）③④（D）①③
2.若回歸方程為，則（）
（A）
（B）15是回歸系數(shù)
（C）1.5是回歸系數(shù)
（D）時(shí)，

3.工人月工資（元）與勞動生產(chǎn)率（千元）變化的回歸直線方程為，下列判斷不正確的是（）
（A）勞動生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為130元
（B）勞動生產(chǎn)率提高1000元，則工資提高80元
（C）勞動生產(chǎn)率提高1000元，則工資提高130元
（D）當(dāng)月工資為210元時(shí)，勞動生產(chǎn)率為2000元

4.在一次試驗(yàn)中，測得的四組值分別是則與之間的回歸直線方程為（）
（A）（B）
（C）（D）

5.某化工廠為預(yù)測某產(chǎn)品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了對觀察值，計(jì)算得：

則與的回歸直線方程是（）
（A）
（B）（B）
（C）
（D）

6.若施化肥量與小麥產(chǎn)量之間的回歸直線方程為，當(dāng)施化肥量為時(shí)，預(yù)計(jì)小麥產(chǎn)量為.

7.已知回歸直線方程為，則可估計(jì)與的增長速度之比約為.

8.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量和，測得一組數(shù)據(jù)如下表：
24568
3040605070
若已知求得它們的回歸方程的斜率為6.5，則這條回歸直線的方程為.

9.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所有支出的維修費(fèi)用（萬元）有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，由資料知對呈線性相關(guān)，并且由統(tǒng)計(jì)的五組數(shù)據(jù)得平均值分別為，若用五組數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程去估計(jì)，使用年的維修費(fèi)用比使用年的維修費(fèi)用多萬元.
(1)求線性回歸直線方程.
（2）估計(jì)使用年限為年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？

10.某個(gè)體服裝店經(jīng)營某種服裝，在某周內(nèi)獲純利（元）與該周每天銷售這種服裝件數(shù)之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系如下表：

3456789
66697381899091【wwW.722331.CoM 教師資源網(wǎng)】

已知.
（1）求.
（2）求純利與每天銷售件數(shù)之間的回歸直線方程；
（3）若該周內(nèi)某天銷售服裝20件，估計(jì)可獲得純利多少元？

相關(guān)閱讀

變量間的相關(guān)關(guān)系

2.3.1變量間的相關(guān)關(guān)系
教學(xué)目標(biāo)
1、知識與技能
（1）了解變量之間的相關(guān)關(guān)系。
（2）會區(qū)別變量之間的函數(shù)關(guān)系與變量相關(guān)關(guān)系。
（3）會舉例說明現(xiàn)實(shí)生活中變量之間的相關(guān)關(guān)系。
（4）讓學(xué)生了解產(chǎn)生變量之間的相關(guān)關(guān)系是由許多不確定的隨機(jī)因素的影響。
2、過程與方法
（1）通過復(fù)習(xí)變量之間的函數(shù)關(guān)系引出變量相關(guān)關(guān)系，有熟悉到生疏的過程便于學(xué)生理解。
（2）通過對變量之間的關(guān)系的學(xué)習(xí)讓學(xué)生了解從總的變化趨勢來看變量之間存在某種關(guān)系，但這種關(guān)系又不能用確定的函數(shù)關(guān)系精確表達(dá)出來，也讓學(xué)生了解變量之間的不確定性關(guān)系是很普遍的，幫助學(xué)生樹立科學(xué)的辨證唯物主義觀點(diǎn)，感受自然的辯證法。
（3）通過對本課的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會，關(guān)注生活，進(jìn)一步學(xué)會觀察、比較、歸納、分析等一般方法的運(yùn)用。
3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀
（1）通過引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中的例子，使學(xué)生由能直接找出變量之間的函數(shù)關(guān)系引出到無法直接找出變量之間的函數(shù)關(guān)系，即變量之間的相關(guān)關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的求知欲。
（2）通過引導(dǎo)學(xué)生感受生活中實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，學(xué)會查找資料，收取信息，學(xué)會用統(tǒng)計(jì)知識對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。
教學(xué)重點(diǎn)
1、變量之間的相關(guān)關(guān)系。
2、會區(qū)別變量之間的函數(shù)關(guān)系與變量相關(guān)關(guān)系。
3、會舉例說明現(xiàn)實(shí)生活中變量之間的相關(guān)關(guān)系。
教學(xué)難點(diǎn)
1、對變量之間的相關(guān)關(guān)系的理解。
2、變量之間的函數(shù)關(guān)系與變量相關(guān)關(guān)系的區(qū)別。
教輔手段
教學(xué)過程
一、情景設(shè)置
問題1：將汽油以均勻的速度注入桶里，注入的時(shí)間t與注入的油量y的關(guān)系如下表：

時(shí)間t1234
油量y2468

從表里數(shù)據(jù)得出油量y與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
問題2、甲、乙兩地相距150千米，某人騎車從甲地到乙地，則他的速度v（千米/時(shí)）和時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)大致圖象是怎樣的？
問題3、小麥的產(chǎn)量y千克每畝與施肥量x千克每畝之間的關(guān)系如下表：
施肥量量x20304050
產(chǎn)量y440460470480

從表里數(shù)據(jù)能得出小麥的產(chǎn)量y與施肥量x之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？
提問學(xué)生以下三個(gè)問題。
問題1：因?yàn)槭且跃鶆虻乃俣茸⑷胪袄?，所以注入的油量y與注入的時(shí)間t成正比例關(guān)系，由數(shù)據(jù)表格知，注入的油量y與注入的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2t（t0）（實(shí)際問題，因此自變量的取值范圍應(yīng)該有意義）
問題2：路程一定，所以走完全程所用的時(shí)間t與速度v成反比例關(guān)系所以其函數(shù)圖象是反
例函數(shù)圖象。
問題3：問題1、2中的變量間的函數(shù)關(guān)系是確定的。在我們的現(xiàn)實(shí)生活中，兩個(gè)變量之間
存在確定性的關(guān)系是極少的，而兩個(gè)變量之間存在不確定性的關(guān)系是很普遍的。從表格里我
們很容易發(fā)現(xiàn)施肥量越大，小麥的產(chǎn)量就越高。但是，施肥量并不是影響小麥產(chǎn)量的唯一因
素，小麥的產(chǎn)量還受土壤的質(zhì)量、降雨量、田間管理等諸多因素影響，這時(shí)兩個(gè)變量之間就
不是確定性的函數(shù)關(guān)系，那么這兩個(gè)變量之間究竟是什么關(guān)系呢？這就是我們本節(jié)課所要研究的問題——變量之間的相關(guān)關(guān)系。
二、新知探究
函數(shù)關(guān)系：當(dāng)自變量一定時(shí)，因變量的取值也是確定的。
當(dāng)自變量一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。
相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量之間的關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系。所以相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，其變量具有隨機(jī)性，因此相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。
提問：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)？
相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系
不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系。
表現(xiàn)在問題3中即小麥的產(chǎn)量是在土壤的質(zhì)量、降雨量、田間管理等諸多變量共同作用下的結(jié)果，本節(jié)課只研究其中兩個(gè)主要變量之間的相關(guān)關(guān)系。我們只能得出經(jīng)驗(yàn)性的結(jié)論，施肥量越大，小麥的產(chǎn)量就越高，但是經(jīng)驗(yàn)再豐富，也容易犯經(jīng)驗(yàn)性的錯誤，施肥量過大，反而容易造成糧食的減產(chǎn)。現(xiàn)在大家看一個(gè)例子：
某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)和物理測驗(yàn)中，學(xué)號1到20的學(xué)生成績?nèi)缦卤恚?br> 學(xué)號1234567891011121314151617181920
數(shù)學(xué)8165747568548392887659728493785367667998
物理84577077625185938978617083897748695877100
從表里數(shù)據(jù)你能得出什么樣的經(jīng)驗(yàn)性結(jié)論呢？
數(shù)學(xué)成績好的同學(xué)物理成績好，反之，數(shù)學(xué)成績差的同學(xué)物理成績就差，但除此之外還存在其他影響物理成績的因素，例如是否喜歡物理，用在物理上的時(shí)間等等。當(dāng)我們主要考慮數(shù)學(xué)成績對物理成績的影響時(shí)，即考慮的就是這兩者之間的相關(guān)關(guān)系。
三、即時(shí)體驗(yàn)
問題1：調(diào)查一下本組成員的視力與各自的學(xué)習(xí)成績關(guān)系。
問題2：調(diào)查一下本組成員的身高與各自的體重之間的關(guān)系。
讓各組的同學(xué)共同探究一下，然后將結(jié)果宣布一下。
問題1：通過對本組所有的成員的調(diào)查，我們得到的結(jié)論是：學(xué)習(xí)成績好的視力都不太好，都配了近視眼鏡。但是，這個(gè)結(jié)論對全班來說就不一定成立，人的視力還與用眼衛(wèi)生習(xí)慣、遺傳因素等密切關(guān)系。
問題2：身材高的同學(xué)的體重一般來說都比較重要，但是，人的體重還與飲食習(xí)慣、遺傳因素等有密切關(guān)系。
四、歸納提升
引導(dǎo)學(xué)生歸納本課時(shí)的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，交流成果，教師幫助完善。
1、理解變量之間的相關(guān)關(guān)系是不確定的關(guān)系。
2、變量之間的函數(shù)關(guān)系與變量相關(guān)關(guān)系的區(qū)別。
3、學(xué)會全面考察現(xiàn)實(shí)生活中變量之間的相關(guān)關(guān)系。
五、課后延續(xù)
（一）回顧本課的學(xué)習(xí)過程，整理學(xué)習(xí)筆記。
（二）完成書面作業(yè)：習(xí)題2.3A組1
（三）選作問題：
有人說，孩子長，公園里的小樹也在長，則孩子和小樹是相關(guān)關(guān)系，這種說法對嗎？

高二數(shù)學(xué)必修三考點(diǎn)解析：變量間的相關(guān)關(guān)系

高二數(shù)學(xué)必修三考點(diǎn)解析：變量間的相關(guān)關(guān)系

一、變量間的相關(guān)關(guān)系
1.常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系;與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.
2.從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān).
二、兩個(gè)變量的線性相關(guān)
1.從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線.
當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān);
當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).
r的絕對值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r的絕對值越接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.
三、解題方法
1.相關(guān)關(guān)系的判斷方法一是利用散點(diǎn)圖直觀判斷，二是利用相關(guān)系數(shù)作出判斷.
2.對于由散點(diǎn)圖作出相關(guān)性判斷時(shí)，若散點(diǎn)圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個(gè)變量有一定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性.
3.由相關(guān)系數(shù)r判斷時(shí)|r|越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng).【同步練習(xí)題】
1.(2014銀川模擬)為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下：
父親身高x(cm)174176176176178；兒子身高y(cm)175175176177177，則y對x的線性回歸方程為()
A.y^=x-1B.y^=x+1C.y^=88+12xD.y^=176
解析：因?yàn)閤=174+176+176+176+1785=176，
y=175+175+176+177+1775=176，
又y對x的線性回歸方程表示的直線恒過點(diǎn)(x，y)，所以將(176,176)代入A、B、C、D中檢驗(yàn)知選C.
答案：C
2.(2014衡陽聯(lián)考)已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：
x0123
ym35.57
已求得關(guān)于y與x的線性回歸方程y^=2.1x+0.85，則m的值為()
A.1B.0.85C.0.7D.0.5
解析：回歸直線樣本中心點(diǎn)(1.5，y)，故y=4，m+3+5.5+7=16，得m=0.5.
答案：D
3.有甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績，得到如下所示的列聯(lián)表：
優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)
甲班10b
乙班c30
總計(jì)105
已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為27，則下列說法正確的是
()
A.列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35
B.列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50
C.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”
D.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”
解析：由題意知，成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是30，成績非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75，所以c=20，b=45，選項(xiàng)A、B錯誤.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2=105×10×30-20×45255×50×30×75≈6.1093.841，因此有95%的把握認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”。
答案：C
4.在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說法正確的是()
①若K2的觀測值滿足K2≥6.635，我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病;②從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病;③從統(tǒng)計(jì)量中得知有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤.
A.①B.①③C.③D.②
解析：①推斷在100人吸煙的人中必有99人患有肺病，說法錯誤，排除A，B;③正確.
答案：C
5.調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：y^=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元.
解析：解法一：特殊值法.
令x1=1得y^1=0.254+0.321.
令x2=1+1=2得y^2=2×0.254+0.321.
y^2-y^1=0.254.
解法二：由y^1=0.254x1+0.321，
y^2=0.254(x1+1)+0.321，則y^2-y^1=0.254.
答案：0.254

第3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系教學(xué)案

[核心必知]
1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入
根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P84～P91，回答下列問題．
(1)兩個(gè)變量之間除了函數(shù)關(guān)系還有其他關(guān)系嗎？
提示：相關(guān)關(guān)系．
(2)當(dāng)兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？
提示：當(dāng)兩個(gè)變量之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布的位置是從左上角到右下角的區(qū)域．
(3)求回歸直線方程的主要方法是什么？
提示：求回歸直線方程的主要方法是最小二乘法．
2．歸納總結(jié)，核心必記
(1)變量之間的相關(guān)關(guān)系
變量與變量之間的關(guān)系常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用解析式表示；另一類是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用解析式來表達(dá)．
(2)兩個(gè)變量的線性相關(guān)
①散點(diǎn)圖
將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)點(diǎn)畫出來，得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，這樣的圖形叫做散點(diǎn)圖．
②正相關(guān)
在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)．
③負(fù)相關(guān)
在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)．
④線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線
如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，這條直線的方程叫做回歸直線方程，簡稱回歸方程．
(3)回歸直線方程
①回歸直線方程
假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則所求回歸方程是y^＝b^x＋a^，其中b^是回歸方程的斜率，a^是截距．
其中b^＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a^＝y(tǒng)－b^x－.
②最小二乘法
通過求Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2的最小值而得出回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
[問題思考]
(1)任意兩個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是否均可以作出散點(diǎn)圖？
提示：可以，不管這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量是否具備相關(guān)性，以一個(gè)變量值作為橫坐標(biāo)，另一個(gè)作為縱坐標(biāo)，均可畫出它的散點(diǎn)圖．
(2)任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出回歸直線方程嗎？
提示：用最小二乘法求回歸直線方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系(可利用散點(diǎn)圖來判斷)，否則求出的回歸直線方程無意義．
(3)根據(jù)a^＝y(tǒng)－b^x及回歸直線方程y^＝b^x＋a^，判斷點(diǎn)(x，y)與回歸直線的關(guān)系是什么？
提示：由a^＝y(tǒng)－b^x得y＝b^x＋a^，因此點(diǎn)(x，y)在回歸直線上．
[課前反思]
通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識點(diǎn)：
(1)相關(guān)關(guān)系：；
(2)散點(diǎn)圖：；
(3)回歸直線方程及求回歸直線方程的方法步驟：.
瑞雪兆豐年，這不禁使我們想到這樣一句諺語：“冬天麥蓋三層被，來年枕著饅頭睡”，意思是冬天“棉被”蓋得越厚，春天小麥就長得越好．
[思考1]下雪與小麥豐收有關(guān)系嗎？
提示：有關(guān)系，但這種關(guān)系具有不確定性．
[思考2]若把下雪量和小麥產(chǎn)量看作兩個(gè)變量，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是確定的嗎？若不是確定的，那會是什么關(guān)系？
名師指津：這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是不確定的，這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系．
[思考3]怎樣理解兩個(gè)變量之間的關(guān)系？
名師指津：兩個(gè)變量間的關(guān)系分為三類：
(1)確定性的函數(shù)關(guān)系，如正方形的邊長與面積的關(guān)系；
(2)相關(guān)關(guān)系，變量間確實(shí)存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機(jī)性的，這種關(guān)系就是相關(guān)關(guān)系，例如，某位同學(xué)的“物理成績”與“數(shù)學(xué)成績”之間的關(guān)系；
(3)不相關(guān)，即兩個(gè)變量間沒有任何關(guān)系．
?講一講
1．下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是________．
①人的身高與視力的關(guān)系；
②做自由落體運(yùn)動的物體的質(zhì)量與落地時(shí)間的關(guān)系；
③降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系．
[嘗試解答]
題號判斷原因分析
①不是相關(guān)關(guān)系身高與視力無關(guān)，不具有函數(shù)關(guān)系，也不具有相關(guān)關(guān)系

續(xù)表
題號判斷原因分析
②不是相關(guān)關(guān)系自由落體的物體的質(zhì)量與落地時(shí)間無關(guān)，不具有相關(guān)關(guān)系
③相關(guān)關(guān)系降雪量越大，交通事故發(fā)生率越高，不確定性的關(guān)系
答案：③
相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系區(qū)別
函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是兩個(gè)變量間一種不完全確定的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．
?練一練
1．在下列兩個(gè)變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？
①正方形邊長與面積之間的關(guān)系；
②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；
③人的身高與年齡之間的關(guān)系；
解：兩變量之間的關(guān)系有三種：函數(shù)關(guān)系、相關(guān)關(guān)系和不相關(guān)．
①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系．
②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系．
③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關(guān)關(guān)系．
下表為某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y(單位：萬元)和房屋的面積x(單位：m2)的數(shù)據(jù)：
x11511080135105
y44.841.638.449.242
[思考1]能否以x為橫坐標(biāo)，以y為縱坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出表示以上數(shù)據(jù)的點(diǎn)？此圖稱為什么圖形？
名師指津：能，如圖所示，此圖稱為散點(diǎn)圖．
[思考2]從散點(diǎn)圖看應(yīng)怎樣描述房屋的銷售價(jià)格與房屋面積之間的變化關(guān)系？
名師指津：從大體上看，面積越大，銷售價(jià)格越高，但不是正比例函數(shù)關(guān)系．
[思考3]怎樣認(rèn)識散點(diǎn)圖？
名師指津：(1)散點(diǎn)圖與相關(guān)性的關(guān)系：
散點(diǎn)圖形象地反映了各對數(shù)據(jù)的密切程度．根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布趨勢分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系，可直觀地判斷并得出結(jié)論．
(2)散點(diǎn)圖與正、負(fù)相關(guān)性的關(guān)系：
如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，稱這兩個(gè)變量正相關(guān)，即兩個(gè)變量具有相同的變化趨勢；如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，即兩個(gè)變量具有相反的變化趨勢．
?講一講
2．下表是某地的年降雨量與年平均氣溫，判斷兩者是相關(guān)關(guān)系嗎？求回歸直線方程有意義嗎？
年平均氣溫(℃)12.5112.7412.7413.6913.3312.8413.05
年降雨量(mm)748542507813574701432
[嘗試解答]以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖，如圖所示：
因?yàn)閳D中各點(diǎn)并不在一條直線附近，所以兩者不具有相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程也是沒有意義的．
用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量x與y的相關(guān)關(guān)系
(1)判斷兩個(gè)變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果圖上發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響．
(2)畫散點(diǎn)圖時(shí)應(yīng)注意合理選擇單位長度，避免圖形過大或偏小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論．
?練一練
2．對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖①；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()
A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)
B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)
C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)
D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)
解析：選C在從散點(diǎn)圖來看，圖①中的點(diǎn)自左上方向右下方分布，說明變量x與y負(fù)相關(guān)；圖②中的點(diǎn)自左下方向右上方分布，說明u與v正相關(guān).
觀察知識點(diǎn)2中的背景實(shí)例．
[思考]根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，能否估計(jì)出房屋面積為120m2時(shí)的銷售價(jià)格？如何估計(jì)？
名師指津：能．可根據(jù)散點(diǎn)圖作出一條直線，求出直線方程，再進(jìn)行預(yù)測．根據(jù)兩個(gè)變量的取值，畫出散點(diǎn)圖后作出一條直線，利用最小二乘法求出此直線方程，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可對另一個(gè)變量取值進(jìn)行估計(jì)．
?講一講
3．一般來說，一個(gè)人腳掌越長，他的身高就越高，現(xiàn)對10名成年人的腳掌長x與身高y進(jìn)行測量，得到數(shù)據(jù)(單位均為cm)作為一個(gè)樣本如下表所示：
腳掌長/x20212223242526272829
身高/y141146154160169176181188197203
(1)在上表數(shù)據(jù)中，以“腳掌長”為橫坐標(biāo)，“身高”為縱坐標(biāo)，作出散點(diǎn)圖后，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)在一條直線附近，試求“身高”與“腳掌長”之間的線性回歸方程y^＝b^x＋a^；
(2)若某人的腳掌長為26.5cm，試估計(jì)此人的身高．
(參考數(shù)據(jù)：i＝110(xi－x)(yi－y)＝577.5，i＝110(xi－x)2＝82.5)
[嘗試解答](1)記樣本中10人的“腳掌長”為xi(i＝1,2，…，10)，“身高”為yi(i＝1,2，…，10)，
則b^＝i＝110xi－xyi－yi＝110xi－x2＝577.582.5＝7，
∵x＝x1＋x2＋…＋x1010＝24.5，
y＝y(tǒng)1＋y2＋…＋y1010＝171.5，
∴a^＝y(tǒng)－b^x＝0.∴y^＝7x.
(2)由(1)知y^＝7x，則當(dāng)x＝26.5時(shí)，
y^＝7×26.5＝185.5(cm)．
故估計(jì)此人的身高為185.5cm.
用線性回歸方程估計(jì)總體的一般步驟
(1)作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近；
(2)如果散點(diǎn)在一條直線附近，用公式求出a^，b^，并寫出線性回歸方程(否則求出的回歸方程是沒有意義的)；
(3)根據(jù)線性回歸方程對總體進(jìn)行估計(jì)．
?練一練
3．2016年元旦前夕，某市統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了該市2015年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表：
年收入x
(萬元)24466677810
年飲食支出
y(萬元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3
(1)如果已知y與x是線性相關(guān)的，求回歸方程；
(2)若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測其年飲食支出．
(參考數(shù)據(jù)：i＝110xiyi＝117.7，i＝110x2i＝406)
解：(1)由題意可計(jì)算得：x＝6，y＝1.83，x2＝36，
xy＝10.98，又∵i＝110xiyi＝117.7，i＝110x2i＝406，
∴b＝i＝110xiyi－10xyi＝110x2i－10x2≈0.17，a＝y(tǒng)－bx＝0.81，
∴y^＝0.17x＋0.81.
∴所求的回歸方程為y^＝0.17x＋0.81.
(2)當(dāng)x＝9時(shí)，y^＝0.17×9＋0.81＝2.34(萬元)，
可估計(jì)該年收入為9萬元的家庭每年飲食支出約為2.34萬元．
——————————————[課堂歸納感悟提升]———————————————
1．本節(jié)課的重點(diǎn)是會作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程．難點(diǎn)是了解相關(guān)關(guān)系、線性相關(guān)、回歸直線的概念，了解最小二乘法的思想．
2．本節(jié)課要掌握以下幾類問題：
(1)準(zhǔn)確區(qū)分相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系，見講1.
(2)會利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系，見講2.
(3)掌握用線性回歸方程估計(jì)總體的一般步驟，見講3.
3．本節(jié)課的易錯點(diǎn)有兩個(gè)：
(1)區(qū)分不清相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系，如講1；
(2)求回歸直線方程中易出現(xiàn)計(jì)算錯誤，如講3.
課下能力提升(十四)
[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]
題組1變量間的相關(guān)關(guān)系
1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系，哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系()
A．正方體的棱長和體積
B．圓半徑和圓的面積
C．正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和
D．人的年齡和身高
解析：選DA、B、C都是函數(shù)關(guān)系，對于A，V＝a3；對于B，S＝πr2；對于C，g(n)＝(n－2)π.而對于年齡確定的不同的人可以有不同的身高，∴選D.
2．下列語句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系的是()
A．瑞雪兆豐年
B．上梁不正下梁歪
C．吸煙有害健康
D．喜鵲叫喜，烏鴉叫喪
解析：選D選項(xiàng)A，B，C中描述的變量間都具有相關(guān)關(guān)系，而選項(xiàng)D是迷信說法，沒有科學(xué)依據(jù)．
題組2散點(diǎn)圖
3．下列圖形中，兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的是()
解析：選B線性相關(guān)關(guān)系要求兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖大致在一條直線上，且不是函數(shù)關(guān)系．
4．如圖是兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系？
解：不具有相關(guān)關(guān)系，因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖散亂地分布在坐標(biāo)平面內(nèi)，不呈線形．
5．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)(單位：百萬元)：
x24568
y3040605070
(1)畫出散點(diǎn)圖；
(2)從散點(diǎn)圖中判斷銷售金額與廣告費(fèi)支出成什么樣的關(guān)系？
解：(1)以x對應(yīng)的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，以y對應(yīng)的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)，所作的散點(diǎn)圖如圖所示：
(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告費(fèi)支出與銷售金額之間具有相關(guān)關(guān)系，并且當(dāng)廣告費(fèi)支出由小變大時(shí)，銷售金額也大多由小變大，圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線的附近，即x與y成正相關(guān)關(guān)系．
題組3線性回歸方程的求法及應(yīng)用
6．下列有關(guān)回歸方程y^＝b^x＋a^的敘述正確的是()
①反映y^與x之間的函數(shù)關(guān)系；
②反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系；
③表示y^與x之間的不確定關(guān)系；
④表示最接近y與x之間真實(shí)關(guān)系的一條直線．
A．①②B．②③
C．③④D．①④
解析：選Dy^＝b^x＋a^表示y^與x之間的函數(shù)關(guān)系，而不是y與x之間的函數(shù)關(guān)系．且它所反映的關(guān)系最接近y與x之間的真實(shí)關(guān)系．故選D.
7．設(shè)有一個(gè)回歸方程為y^＝－1.5x＋2，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)()
A．y平均增加1.5個(gè)單位
B．y平均增加2個(gè)單位
C．y平均減少1.5個(gè)單位
D．y平均減少2個(gè)單位
解析：選C∵兩個(gè)變量線性負(fù)相關(guān)，∴變量x增加一個(gè)單位，y平均減少1.5個(gè)單位．
8．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
廣告費(fèi)用x(萬元)4235
銷售額y(萬元)49263954
根據(jù)上表可得回歸方程y^＝b^x＋a^中的b^為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為()
A．63.6萬元B．65.5萬元
C．67.7萬元D．72.0萬元
解析：選B樣本中心點(diǎn)是(3.5,42)，則a^＝y(tǒng)－b^x＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回歸直線方程是y^＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得y^＝65.5，故選B.
9．已知工廠加工零件的個(gè)數(shù)x與花費(fèi)時(shí)間y(h)之間的線性回歸方程為y^＝0.01x＋0.5，則加工200個(gè)零件大約需要________小時(shí)．
解析：將200代入線性回歸方程y^＝0.01x＋0.5，得y＝2.5.
答案：2.5
10．有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市某一年的人均國民生產(chǎn)總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如下表：
人均GDP/萬元1086431
患白血病的兒童數(shù)/人351312207175132180
(1)畫出散點(diǎn)圖，并判定這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；
(2)通過計(jì)算可知這兩個(gè)變量的回歸直線方程為y^＝23.25x＋102.15，假如一個(gè)城市的人均GDP為12萬元，那么可以斷言，這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過380人，請問這個(gè)斷言是否正確？
解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖，如圖所示．
從圖中可以看出，在6個(gè)點(diǎn)中，雖然第一個(gè)點(diǎn)離這條直線較遠(yuǎn)，但其余5個(gè)點(diǎn)大致分布在這條直線的附近，所以這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系．
(2)上述斷言是錯誤的，將x＝12代入y^＝23.25x＋102.15得y^＝23.25×12＋102.15＝381.15＞380，但381.15是對該城市人均GDP為12萬元的情況下所作的一個(gè)估計(jì)，該城市患白血病的兒童可能超過380人，也可能低于380人．
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1．(2014湖北高考)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)
x345678
y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0
得到的回歸方程為y^＝bx＋a，則()
A．a(chǎn)0，b0B．a(chǎn)0，b0
C．a(chǎn)0，b0D．a(chǎn)0，b0
解析：選B由表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖，
由散點(diǎn)圖可知b0，a0，選B.
2．已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其散點(diǎn)圖如圖所示，則其回歸方程可能為()
A.y^＝1.5x＋2B.y^＝－1.5x＋2
C.y^＝1.5x－2D.y^＝－1.5x－2
解析：選B設(shè)回歸方程為y^＝bx＋a，由散點(diǎn)圖可知變量x、y之間負(fù)相關(guān)，回歸直線在y軸上的截距為正數(shù)，所以b＜0，a＞0，因此方程可能為y^＝－1.5x＋2.
3．在2015年5月1日，某市物價(jià)部門對本市的5家商場某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行了調(diào)查，5家商場的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：
價(jià)格x(元)99.51010.511
銷售量y(件)1110865
由散點(diǎn)圖可知，銷售量y與價(jià)格x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是：y^＝－3.2x＋a(參考公式：回歸方程y^＝bx＋a，a＝y(tǒng)－bx)，則a＝()
A．－24B．35.6
C．40.5D．40
解析：選D價(jià)格的平均數(shù)是x＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，銷售量的平均數(shù)是y＝11＋10＋8＋6＋55＝8，由y^＝－3.2x＋a知b＝－3.2，所以a＝y(tǒng)－bx＝8＋3.2×10＝40，故選D.
4．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為y^＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()
A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系
B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(x，y)
C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg
D．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg
解析：選D由于回歸直線的斜率為正值，故y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，選項(xiàng)A中的結(jié)論正確；回歸直線過樣本點(diǎn)的中心，選項(xiàng)B中的結(jié)論正確；根據(jù)回歸直線斜率的意義易知選項(xiàng)C中的結(jié)論正確；由于回歸分析得出的是估計(jì)值，故選項(xiàng)D中的結(jié)論不正確．
5．假設(shè)學(xué)生在初中的英語成績和高一英語成績是線性相關(guān)的．現(xiàn)有10名學(xué)生的初中英語成績(x)和高一英語成績(y)如下：
x74717268767367706574
y76757170767965776272
由此得到的回歸直線的斜率約為1.22，則回歸方程為________．
解析：將x＝71，y＝72.3，b^＝1.22，代入y＝b^x＋a^，得a^＝72.3－1.22×71＝－14.32.
答案：y^＝1.22x－14.32
6．對某臺機(jī)器購置后的運(yùn)行年限x(x＝1,2,3，…)與當(dāng)年利潤y的統(tǒng)計(jì)分析知x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為y^＝10.47－1.3x，估計(jì)該臺機(jī)器最為劃算的使用年限為________年．
解析：當(dāng)年利潤小于或等于零時(shí)應(yīng)該報(bào)廢該機(jī)器，當(dāng)y＝0時(shí)，令10.47－1.3x＝0，解得x≈8，故估計(jì)該臺機(jī)器最為劃算的使用年限為8年．
答案：8
7．一項(xiàng)關(guān)于16艘輪船的研究中，船的噸位區(qū)間為[192，3246](單位：噸)，船員的人數(shù)5～32人，船員人數(shù)y關(guān)于噸位x的回歸方程為y^＝9.5＋0.0062x，
(1)若兩艘船的噸位相差1000，求船員平均相差的人數(shù)；
(2)估計(jì)噸位最大的船和最小的船的船員人數(shù)．
解：(1)設(shè)兩艘船的噸位分別為x1，x2，則船員人數(shù)為y^1，y^2，
y^1－y^2＝9.5＋0.0062x1－(9.5＋0.0062x2)
＝0.0062×1000≈6，
即船員平均相差6人．
(2)當(dāng)x＝192時(shí)，y^＝9.5＋0.0062×192≈11，
當(dāng)x＝3246時(shí)，y^＝9.5＋0.0062×3246≈30.
即估計(jì)噸位最大和最小的船的船員數(shù)分別為11人和30人．
8．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：
單價(jià)x(元)88.28.48.68.89
銷量y(件)908483807568
(1)求回歸直線方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝－20；
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)
解：(1)由于x＝16(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
y＝16(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
所以a^＝y(tǒng)－b^x＝80＋20×8.5＝250，
從而回歸直線方程為y^＝－20x＋250.
(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000
＝－20(x－8.25)2＋361.25.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時(shí)，L取得最大值，
故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤

高二數(shù)學(xué)《變量間的相關(guān)關(guān)系》知識點(diǎn)總結(jié)

高二數(shù)學(xué)《變量間的相關(guān)關(guān)系》知識點(diǎn)總結(jié)

一、變量間的相關(guān)關(guān)系
1．常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．
2．從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．

二、兩個(gè)變量的線性相關(guān)
1．從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線．

當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；
當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．
r的絕對值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對值越接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．

三、解題方法
1．相關(guān)關(guān)系的判斷方法一是利用散點(diǎn)圖直觀判斷，二是利用相關(guān)系數(shù)作出判斷．
2．對于由散點(diǎn)圖作出相關(guān)性判斷時(shí)，若散點(diǎn)圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個(gè)變量有一定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性．
3．由相關(guān)系數(shù)r判斷時(shí)|r|越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng)．