高中向量的教案

從位移的合成到向量的加法典例剖析。

典例剖析：從位移的合成到向量的加法
例1給出下列命題
①向量的長度與向量的長度相等；
②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；
③兩個有共同起點并且相等的向量，其終點必相同；
④兩個有共同終點的向量，一定是共線向量；
⑤向量與向量是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上；
⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段.
其中假命題的個數為（）
A.2B.3C.4D.5
答案C
例2如圖所示，若四邊形ABCD是一個等腰梯形，AB∥DC，M、N分別是DC、AB的中點，已知=a，=b，=c，試用a、b、c表示，，+.
解=++=-a+b+c，
∵=++，
∴=-,=-,=,
∴=a-b-c.
+=+++=2=a-2b-c.
例3設兩個非零向量a與b不共線，
（1）若=a+b,=2a+8b,=3(a-b)，
求證：A、B、D三點共線；
（2）試確定實數k，使ka+b和a+kb共線.
（1）證明∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)
=2a+8b+3a-3b
=5(a+b)=5.
∴、共線，
又∵它們有公共點B，∴A、B、D三點共線.
（2）解∵ka+b與a+kb共線，
∴存在實數，使ka+b=(a+kb),
即ka+b=a+kb.
∴(k-)a=(k-1)b.
∵a、b是不共線的兩個非零向量，
∴k-=k-1=0，∴k2-1=0.
∴k=±1.

例4（12分）如圖所示，在△ABO中，=,=,AD與BC相交于點M，設=a，=b.試用a和b表示向量.
解設=ma+nb，
則=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
=-=-=-a+b.
又∵A、M、D三點共線，∴與共線.
∴存在實數t,使得=t，
即(m-1)a+nb=t(-a+b).3分
∴(m-1)a+nb=-ta+tb.
，消去t得：m-1=-2n，即m+2n=1.①5分
又∵=-=ma+nb-a=(m-)a+nb.
=-=b-a=-a+b.
又∵C、M、B三點共線，∴與共線.8分
∴存在實數t1,使得=t1,
∴(m-)a+nb=t1,
∴，
消去t1得,4m+n=1②10分
由①②得m=,n=,
∴=a+b.12分
JAB88.coM

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從位移的合成到向量的加法教案設計

從位移的合成到向量的加法
一、教學目標：
1.知識與技能
（1）掌握向量加法的概念；能熟練運用三角形法則和平行四邊形法則做幾個向量的和向量；能準確表述向量加法的交換律和結合律，并能熟練運用它們進行向量計算.
（2）了解相反向量的概念；掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量
（3）通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義.
（4）初步體會數形結合在向量解題中的應用.
2.過程與方法
教材利用同學們熟悉的物理知識引出向量的加法，一方面啟發(fā)我們利用位移的合成去探索兩個向量的和，另一方面幫助我們利用物理背景去理解向量的加法.然后用“相反向量”定義向量的減法；最后通過講解例題，指導發(fā)現知識結論，培養(yǎng)學生抽象概括能力和邏輯思維能力.
3.情感態(tài)度價值觀
通過本節(jié)內容的學習，使同學們對向量加法的三角形法則和平行四邊形法則有了一定的認識，進一步讓學生理解和領悟數形結合的思想；同時以較熟悉的物理背景去理解向量的加法，這樣有助于激發(fā)學生學習數學的興趣和積極性，實事求是的科學學習態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神.
二.教學重、難點
重點:向量加法的概念和向量加法的法則及運算律.
難點:向量的減法轉化為加法的運算.
三.學法與教學用具
學法：(1)自主性學習+探究式學習法：
(2)反饋練習法：以練習來檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內容及其存在的差距.
教學用具:電腦、投影機.
四.教學設想
【創(chuàng)設情境】
一、提出課題：向量是否能進行運算？
1．某人從A到B，再從B按原方向到C，
則兩次的位移和：+=
2．若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，
則兩次的位移和：+=
3．某車從A到B，再從B改變方向到C，
則兩次的位移和：+=
4．船速為，水速為，
則兩速度和：+=
提出課題：向量的加法
【探究新知】
1．定義：求兩個向量的和的運算，叫做向量的加法。
注意：兩個向量的和仍舊是向量（簡稱和向量）
2．三角形法則：
強調：
①“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點
②可以推廣到n個向量連加
③
④不共線向量都可以采用這種法則——三角形法則
[展示投影]例題講評（學生講，學生評，教師提示或適當補充）
例1、已知向量、，求作向量+
作法：在平面內取一點，
作
則
【探究新知】
3．加法的交換律和平行四邊形法則
思考：上題中+的結果與+是否相同驗證結果相同
從而得到：1向量加法的平行四邊形法則
2向量加法的交換律：+=+
4．向量加法的結合律：(+)+=+(+)（可請學生先上來做，不足之處學生更正）
證：如圖：使,,
則(+)+=
+(+)=
∴(+)+=+(+)
從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行。
[展示投影]例題講評（學生講，學生評，教師提示或適當補充）
例2．如圖，一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時水的流速為，求船實際航行的速度的大小與方向。
解：設表示船垂直于對岸的速度，表示水流的速度，
以AD,AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則就是船實際航行的速度
在中，，
所以
因為
【探究新知】
思考：已知，，怎樣求作？
這個問題涉及到兩個向量相減，到底如何運算呢？首先引入“相反向量”這個概念.
5.用“相反向量”定義向量的減法
①“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量；記作a
②規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。(a)=a
任一向量與它的相反向量的和是零向量。a+(a)=0
如果a、b互為相反向量，則a=b,b=a,a+b=0
③向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。
即：ab=a+(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法。
6.用加法的逆運算定義向量的減法：
向量的減法是向量加法的逆運算：
若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作ab
7.請同學們自己解決思考題：
的作法：
方法一、已知向量、，在平面內任取一點O，作，則。即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量
方法二、在平面內任取一點O，作則。即也可以表示為從向量的起點指向向量的起點的向量.
方法三、在平面內任取一點O，作，則由向量加法的平行四邊形法則可得.
[展示投影]思考與討論：
思考：從向量的終點指向向量的終點的向量是什么？（）
討論：如右圖，∥時，怎樣作出呢？

[展示投影]例題講評（學生講，學生評，教師提示或適當補充）
例3.已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd。
解：在平面上取一點O，作=a,=b,=c,=d,作,,則=ab,=cd

例4.平行四邊形中，=，=，用、表示向量，.
解：由平行四邊形法則得：
=a+b,=-=ab

變式一：當a,b滿足什么條件時，a+b與ab垂直？（|a|=|b|）
變式二：當a,b滿足什么條件時，|a+b|=|ab|？（a,b互相垂直）
變式三：a+b與ab可能是相當向量嗎？（不可能，∵對角線方向不同）

例5.試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
證：由向量加法法則：
=+,=+
由已知：=,=
∴=即AB與CD平行且相等
∴ABCD為平行四邊形
[學習小結]（學生總結，其它學生補充）
①向量加法的三角形法則與平行四邊形法則.
②向量加法運算律.
③相反向量及向量減法的運算法則.
五、評價設計
1．作業(yè)：
2．（備選題）：
①證明：對于任意給定的向量都有
②證明：并說明什么時候取等號？
提示：可用例5的圖當、不共線時，由三角形兩邊之和大于第三邊，而兩邊之差小于第三邊得
、
即
六、課后反思：

從位移、速度、力到向量

教案課件是老師上課中很重要的一個課件，大家應該在準備教案課件了。對教案課件的工作進行一個詳細的計劃，新的工作才會更順利！有多少經典范文是適合教案課件呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“從位移、速度、力到向量”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

從位移、速度、力到向量
一、教學目標：
1.知識與技能
（1）理解向量與數量、向量與力、速度、位移之間的區(qū)別；
（2）理解向量的實際背景與基本概念，理解向量的幾何表示，并體會學科之間的聯(lián)系.
（3）通過教師指導發(fā)現知識結論，培養(yǎng)學生抽象概括能力和邏輯思維能力
2.過程與方法
通過力與力的分析等實例，引導學生了解向量的實際背景，幫助學生理解平面向量與向量相等的含義以及向量的幾何表示；最后通過講解例題，指導學生能夠發(fā)現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創(chuàng)造地解決問題.
3.情感態(tài)度價值觀
通過本節(jié)的學習，使同學們對向量的實際背景、幾何表示有了一個基本的認識；激發(fā)學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情操，培養(yǎng)學生堅忍不拔的意志，實事求是的科學學習態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神.
二.教學重、難點
重點:向量及向量的有關概念、表示方法.
難點:向量及向量的有關概念、表示方法.
三.學法與教學用具
學法：(1)自主性學習+探究式學習法：
(2)反饋練習法：以練習來檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內容及其存在的差距.
教學用具:電腦、投影機.
四.教學設想
【創(chuàng)設情境】
實例：老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，
問：貓能否追到老鼠？（畫圖）
結論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了.
【探究新知】
1．學生閱讀教材思考如下問題
[展示投影]（學生先講，教師提示或適當補充）
1.舉例說明什么是向量？向量與數量有何區(qū)別？
既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量等
注意：①數量與向量的區(qū)別：
數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大?。幌蛄坑蟹较?，大小，雙重性，不能比較大小。
②從19世紀末到20世紀初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數學體系，用以研究空間性質。
2.向量的表示方法有哪些？
①幾何表示法：有向線段
有向線段：具有方向的線段叫做有向線段。記作：
注意：起點一定寫在終點的前面。
有向線段的長度：線段AB的長度也叫做有向線段的長度
有向線段的三要素：起點、方向、長度
②字母表示法：也可用字母a、b、c（黑體字）來表示，即可表示為（印刷時用黑體字）
3.向量的模的概念是如何定義的？
向量的大小——長度稱為向量的模。
記作：||模是可以比較大小的
4.兩個特殊的向量：
①零向量——長度（模）為0的向量，記作。的方向是任意的.
注意與0的區(qū)別
②單位向量——長度（模）為1個單位長度的向量叫做單位向量。
思考：①溫度有零上零下之分，“溫度”是否向量？
答：不是。因為零上零下也只是大小之分。
②與是否同一向量？
答：不是同一向量。
③有幾個單位向量？單位向量的大小是否相等？單位向量是否都相等？
答：有無數個單位向量，單位向量大小相等，單位向量不一定相等。
5.向量間的關系：
1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
記作：∥∥
規(guī)定：與任一向量平行
2．相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
記作：=
規(guī)定：=
任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點無關。
3．共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上，
所以平行向量也叫共線向量。

===
例題講評（學生先做，學生講，教師提示或適當補充）
例題：如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，①分別寫出圖中與向量、、相等的向量；②分別寫出圖中與向量、、共線的向量.

[學習小結]（學生總結，其它學生補充）
①向量及其表示方法.
②向量的模.
③零向量與單位向量（零向量的方向任意；單位向量不一定相等）
④相等向量與平行向量.
五.作業(yè)：
六.課后反思

向量的加法

§2從位移的合成到向量的加法
2.1向量的加法
一、教學目標
知識目標：理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和；
掌握向量加法的交換律與結合律，并會用它們進行向量運算．
能力目標：經歷向量加法概念、法則的建構過程，感受和體會將實際問題抽象為數學概念的過程和思想，培養(yǎng)學生發(fā)現問題、分析問題、解決問題的能力．
情感目標：經歷運用數學描述和刻畫現實世界的過程，體驗探索的樂趣，激發(fā)學生的學習熱情．培養(yǎng)學生勇于探索、創(chuàng)新的個性品質．
二．重點難點
重點：向量加法運算的意義和法則．
難點：向量加法法則的理解．
三．教學方法
采用“啟發(fā)探究”式教學方法，結合多媒體輔助教學．
四．教學過程
Ⅰ．創(chuàng)設情境直觀感知

以杭州灣大橋為整體背景，設計兩個問題情境如下：
問題１：建橋之前如何從嘉興到達寧波？建橋之后可以從嘉興直達寧波，此時的位移與前面兩次位移的結果有何關系？兩次位移的結果可稱為兩次位移的和，如何用等式來刻畫這三個位移的關系？
問題2：這是大橋南端的A型獨塔斜拉橋，其中兩根拉索對塔柱的拉力分別為、，則它們對塔柱的共同作用效果如何？合力可稱為力與的和，如何用等式來刻畫這三個力的關系？
力與位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它們的物理屬性，就是數學中的向量．它們的和也就可以抽象成向量與向量之間的一種運算——向量的加法（引出課題）
Ⅱ．抽象概括形成定義
（一）建立數學模型
若記則向量叫做向量與的和，記為．
問題3：如圖所示的三個向量，你們能給出它們所滿足的等式嗎？——，即向量為向量與的和

（二）抽象數學概念
問題4：由此，你們能概括出一般的兩個向量與和的定義嗎？
學生活動：在平面內任取一點O，平移使其起點為點O，平移使其起點與向量的終點重合，再連接向量的起點與向量的終點．
（1）平移的目的是什么？——平移后使得兩個向量能在同一個三角形中；
（2）平移后兩個向量的終點與起點有何關系？——使得第二個向量的終點與第一個向量的起點重合；
（3）和向量又是什么？——連接向量的起點與向量的終點，并指向的終點，得到的向量即為向量與的和；
（4）借助于幾何直觀，用自然簡潔的語言給出兩個向量和的定義．
和的定義：已知向量，在平面內任取一點O，作，則向量叫做向量的和．記作：．即．
向量的加法的定義：求兩個向量和的運算叫做向量的加法．
向量加法的法則：和的定義給出了求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．
問題5：用三角形法則求向量和的過程中要注意什么？——平移兩個向量使它們首尾順次相連．
問題6：還可以用什么方法求兩個向量的和呢？——向量加法的平行四邊形法則．
問題7：平行四邊形法則有何特點？——平移兩個向量至共起點．
兩種方法求和的結果是一樣的，可見，向量加法的三角形法則與平行四邊形法則在本質上是一致的．在具體求和時，應根據情況靈活地選擇．
（三）嘗試運用法則
試一試：如圖，已知、，作出

向量加法的三角形法則對共線向量的求和仍然是適用的，反映了三角形法則具有廣泛的適用性．
Ⅲ．類比猜想探究性質
問題8：加法其實我們并不陌生，從小就開始學習數、字母、式的加法，實數的加法有哪些運算性質？向量的加法是否也滿足類似的性質？如果滿足，具體形式是什么？
實數的加法向量的加法
性
質

交換律的驗證讓學生通過畫圖自己驗證，結合律的驗證師生借助于多媒體共同完成．
研究結果表明：向量的加法也滿足交換律和結合律，這與數的加法是一致的．有了交換律與結合律，向量的加法就可以按任意的組合與任意的次序進行，從而豐富了向量加法的內涵．
Ⅳ．數學運用深化認識
例1．如圖，O為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心，作出下列向量：
（1）（2）（3）
（4）（5）
推廣1：
推廣2：
并以北京08奧運圣火的傳遞提供了現實原型．
最后我們再回到這座宏偉壯觀的大橋來解決這樣一個實際問題：
例2．已知橋是南北方向，受落潮影響，海水以12.5km/h的速度向東流，現有一艘工作艇，在海面上航行檢查橋墩的狀況，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿著與橋平行的方向由南向北航行，則艇的航向如何確定？
分析：首先將實際問題數學化，把三個速度分別用向量來表示：如圖，設表示水流速度，表示游艇的速度，那誰是游艇的實際速度？，三個向量應滿足什么關系？．
解：如圖，設表示水流速度，表示游艇的速度，表示游艇的實際速度，因為，所以四邊形為平行四邊形．
在中，
，，
所以
答若艇要沿著與橋平行的方向由南向北航行，其航向應為北偏西．
Ⅴ．回顧反思拓展延伸
一、課時小結：
1、同學們想一想：本節(jié)課你有些什么收獲呢？
知識內容：向量加法的定義、二個運算法則以及二個運算律．
留給你印象最深的是什么？作為課堂的延伸，你課后還想作些什么探究？
本節(jié)課我們從物理原型抽象出數學模型，在此基礎上去研究數學模型，最后應用到生活實踐中去．再一次告訴我們，數學源于生活，又服務于生活．
2、馬克思說過：一種科學只有在成功地運用數學時，才算達到完善的地步．我們今天所學習的向量的加法為研究物理的相關問題提供了一種數學工具，隨著對向量研究的逐步深入，向量作為一種新的數學工具被越來越廣泛的應用．
二、拓展延伸：
（1）作業(yè)：P79習題2．2的1，2，3
（2）拓展探究：請同學們課后完成下面的拓展探究題：向量和的模與模的和之間有什么關系？（是任意兩個向量，則與之間有什么關系？并根據自己感興趣的話題進行拓展探究．

向量的加法運算及其幾何意義

教案課件是老師不可缺少的課件，大家在認真寫教案課件了。只有寫好教案課件計劃，這對我們接下來發(fā)展有著重要的意義！有多少經典范文是適合教案課件呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“向量的加法運算及其幾何意義”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

向量的加法運算及其幾何意義
教學目標：
1、掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義；
2、會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數形結合解決問題的能力；
3、通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法；
教學重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.
教學難點：理解向量加法的定義.
學法：
數能進行運算，向量是否也能進行運算呢？數的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學生順理成章接受向量的加法定義.結合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.聯(lián)系數的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結合律.
教具：多媒體或實物投影儀，尺規(guī)
授課類型：新授課
教學思路：
一、設置情景：
1、復習：向量的定義以及有關概念
強調：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景設置：
（1）某人從A到B，再從B按原方向到C，
則兩次的位移和：
（2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，
則兩次的位移和：
（3）某車從A到B，再從B改變方向到C，
則兩次的位移和：
（4）船速為，水速為，則兩速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.
２、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）
如圖，已知向量a、ｂ.在平面內任取一點，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即a＋ｂ，規(guī)定：a+0-=0+a

探究：（1）兩相向量的和仍是一個向量；
（2）當向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|||+||；
（3）當與同向時，則+、、同向，且|+|=||+||，當與反向時，若||||，則+的方向與相同，且|+|=||-||；若||||，則+的方向與相同，且|+b|=||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面內取一點，作，則.

４．加法的交換律和平行四邊形法則
問題：上題中+的結果與+是否相同？驗證結果相同
從而得到：１）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應）
２）向量加法的交換律：+=+
５．向量加法的結合律：(+)+=+(+)
證：如圖：使，，
則(+)+=，+(+)=
∴(+)+=+(+)
從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.
三、應用舉例：
例二（P94—95）略
練習：P95
四、小結
1、向量加法的幾何意義；
２、交換律和結合律；
３、注意：|+|≤||+||，當且僅當方向相同時取等號.
五、課后作業(yè)：
P103第２、３題
六、板書設計（略）
七、備用習題
1、一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行的速度的大小為，求水流的速度.
2、一艘船距對岸，以的速度向垂直于對岸的方向行駛，到達對岸時，船的實際航程為8km，求河水的流速.
3、一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為，船的實際航行的速度的大小為，方向與水流間的夾角是，求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行駛，同時河水的流速為2km/h，則船的實際航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
５、已知兩個力F1，F2的夾角是直角，且已知它們的合力F與F1的夾角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法證明：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形