小學(xué)三角形教案

七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)：全等三角形。

七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)：全等三角形

知識(shí)概念
1.全等三角形：兩個(gè)三角形的形狀、大小、都一樣時(shí)，其中一個(gè)可以經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等運(yùn)動(dòng)（或稱變換）使之與另一個(gè)重合，這兩個(gè)三角形稱為全等三角形。
2．全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等。
3.三角形全等的判定公理及推論有：
（1）“邊角邊”簡(jiǎn)稱“SAS”
（2）“角邊角”簡(jiǎn)稱“ASA”
（3）“邊邊邊”簡(jiǎn)稱“SSS”
（4）“角角邊”簡(jiǎn)稱“AAS”
（5）斜邊和直角邊相等的兩直角三角形（HL）。
4.角平分線推論：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在叫的平分線上。
5.證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：①、確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系），②、回顧三角形判定，搞清我們還需要什么，③、正確地書寫證明格式(順序和對(duì)應(yīng)關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證明的問題).
在學(xué)習(xí)三角形的全等時(shí)，教師應(yīng)該從實(shí)際生活中的圖形出發(fā)，引出全等圖形進(jìn)而引出全等三角形。通過直觀的理解和比較發(fā)現(xiàn)全等三角形的奧妙之處。在經(jīng)歷三角形的角平分線、中線等探索中激發(fā)學(xué)生的集合思維，啟發(fā)他們的靈感，使學(xué)生體會(huì)到集合的真正魅力。

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七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)三角形》知識(shí)點(diǎn)蘇教版

知識(shí)點(diǎn)

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫三角形。

三角形的特征：

①不在同一直線上;

②三條線段;

③首尾順次相接;

④三角形具有穩(wěn)定性。

2.三角形中的三條重要線段：角平分線、中線、高

(1)角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。

(2)中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

(3)高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高。

說明：

①三角形的角平分線、中線、高都是線段;

②三角形的角平分線、中線都在三角形內(nèi)部且都交于一點(diǎn);三角形的高可能在三角形的內(nèi)部(銳角三角形)、外部(鈍角三角形)，也可能在邊上(直角三角形)，它們(或延長(zhǎng)線)相交于一點(diǎn)。

課后習(xí)題

1.下列說法正確的是()

A.三角形的角平分線、中線、高都在三角形的內(nèi)部

B.直角三角形只有一條高

C.三角形的三條高至少有一條在三角形內(nèi)

D.鈍角三角形的三條高均在三角形外

2.等邊三角形三邊上的中線、高、角平分線共有()

A.3條B.5條C.7條D.9條

3.(1)在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，BE是AC邊上的中線，∠BAD=40，則∠CAD=______，若AC=6cm，則AE=______.

(2)△ABC的周長(zhǎng)為18cm，BE、CF分別為AC、AB邊上的中線，BE、CF相交于O，AO的延長(zhǎng)線交BC于D，且AF=3cm，AE=2cm.則BD的長(zhǎng)為______.

答案：

1．C2．A3．(1)403cm(2)4cm(3)2

全等三角形

第十講全等三角形
全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題．
利用全等三角形證明問題，關(guān)鍵在于從復(fù)雜的圖形中找到一對(duì)基礎(chǔ)的三角形，這對(duì)基礎(chǔ)的三角形從實(shí)質(zhì)上來說，是由三角形全等判定定理中的一對(duì)三角形變位而來，也可能是由幾對(duì)三角形組成，其間的關(guān)系互相傳遞，應(yīng)熟悉涉及有公共邊、公共角的以下兩類基本圖形：
例題求解
【例1】如圖，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AC＝AF，給出下列結(jié)論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正確的結(jié)論是(把你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)填上)．(廣州市中考題)
思路點(diǎn)撥對(duì)一個(gè)復(fù)雜的圖形，先找出比較明顯的一對(duì)全等三角形，并發(fā)現(xiàn)有用的條件，進(jìn)而判斷推出其他三角形全等．
注兩個(gè)三角形的全等是指兩個(gè)圖形之間的一種‘對(duì)應(yīng)”關(guān)系，“對(duì)應(yīng)’兩字，有“相當(dāng)”、“相應(yīng)”的含意，對(duì)應(yīng)關(guān)系是按一定標(biāo)準(zhǔn)的一對(duì)一的關(guān)系，“互相重合”是判斷其對(duì)應(yīng)部分的標(biāo)準(zhǔn)．
實(shí)際遇到的圖形，兩個(gè)全等三角形并不重合在一起，但其中一個(gè)三角形是由另一個(gè)三角形按平行移動(dòng)、翻拆、旋轉(zhuǎn)等方法得到，這種改變位置，不改變形狀大小的圖形變動(dòng)叫三角形的全等變換．
【例2】在△ABC中，AC＝5，中線AD＝4，則邊AB的取值范圍是()
A．1AB9B．3AB13C．5AB13D．9AB13
(連云港市中考題)
思路點(diǎn)撥線段AC、AD、AB不是同一個(gè)三角形的三條邊，通過中線倍長(zhǎng)將分散的條件加以集中．
【例3】如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上，BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB
求證：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．
(江蘇省競(jìng)賽題)

思路點(diǎn)撥(1)證明對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形全等；(2)在(1)的基礎(chǔ)上，證明∠PAQ=90°
【例4】若兩個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等，試判斷這兩個(gè)三角形的第三邊所對(duì)的角之間的關(guān)系，并說明理由．
(“五羊杯”競(jìng)賽題改編題)
思路點(diǎn)撥運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)，探討兩角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由高的特殊性，分三角形的形狀討論．
注有時(shí)圖中并沒有直接的全等三角形，，需要通過作輔助線構(gòu)造全等三角形，完成恰當(dāng)添輔助線的任務(wù)，我們的思堆要經(jīng)歷一個(gè)觀察、聯(lián)想、構(gòu)造的過程．
邊、角、中線、角平分線、高是三角形的基本元素，從以上諸元素中選取三個(gè)條件使之組合可得到關(guān)于三角形全等判定的若干命題，其中有真有假，課本中全等三角形的判定方法只涉及邊、角兩類元素．
【例5】如圖，已知四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，將∠ABC、∠DAB分別對(duì)折，如果兩條折痕恰好相交于DC上一點(diǎn)E，你能獲得哪些結(jié)論?
思路點(diǎn)撥折痕前后重合的部分是全等的，從線段關(guān)系、角的關(guān)系、面積關(guān)系等不同方面進(jìn)行探索，以獲得更多的結(jié)論．
注例5融操作、觀察、猜想、推理于一體，需要一定的綜合能力．推理論證既是說明道理，也是探索、發(fā)現(xiàn)的逄徑．
善于在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、分解、構(gòu)造基本的全等三角形是解題的關(guān)鍵，需要注的是，通常面臨以下情況時(shí)，我們才考慮構(gòu)造全等三角形：
(1)給出的圖形中沒有全等三角形，而證明結(jié)論需要全等三角形；
(2)從題設(shè)條件無法證明圖形中的三角形全等，證明需要另行構(gòu)造全等三角形．

學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，AD、A′D′分別是銳角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C邊上的高，且AB=A′B′，AD＝A′D，若使△ABC≌△A′B′C′，請(qǐng)你補(bǔ)充條件(只需要填寫一個(gè)你
認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件)．(黑龍江省中考題)

2．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列4個(gè)論斷：①AB=AC；②AD＝AC；③∠B=∠C；④BD=CE，請(qǐng)以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題(用序號(hào)○○○→○的形式寫出)．(海南省中考題)
3．如圖，把大小為4×4的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形，例如圖1．請(qǐng)?jiān)谙聢D中，沿著虛線畫出四種不同的分法，把4×4的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形．

4．如圖，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于O，則∠DOE的度數(shù)是．

5．如圖，已知OA=OB，OC=OD，下列結(jié)論中：①∠A=∠B；(②DE＝CE；③連OE，則OE平分∠O，正確的是()
A．①②B．②③C．①③D．①②③
6．如圖，A在DE上，F(xiàn)在AB上，且AC=CE，∠1＝∠2＝∠3，則DE的長(zhǎng)等于()
A．DCB．BCC．ABD．AE+AC(2003年武漢市選拔賽試題)
7．如圖，AE∥CD，AC∥DB，AD與BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么圖中全等的三角形有()對(duì)
A．5B．6C．7D．8
8．如圖，把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于點(diǎn)D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度數(shù)．(貴州省中考題)
9．如圖，在△ABE和△ACD中，給出以下4個(gè)論斷：①AB=AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中3個(gè)論斷為題設(shè)，填人下面的“已知”欄中，一個(gè)論斷為結(jié)論，填人下面的“求證”欄中，使之組成一個(gè)真命題，并寫出證明過程．
已知：
求證：
(荊州市中考題)
10．如圖，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延長(zhǎng)線于M，
求證：∠M=（∠ACB－∠B）．(天津市競(jìng)賽題)

11．在△ABC中，高AD和BE交于H點(diǎn)，且BH＝AC，則∠ABC＝．

12．如圖，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝36°，那么∠BED．
(河南省競(jìng)賽題)
13．如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)F，給出3個(gè)論斷：①DE=FE；②AE＝CE；③FC∥AB，以其中一個(gè)論斷為結(jié)論，其余兩個(gè)論斷為條件，可作出3個(gè)命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)是．
(武漢市選拔賽試題)
14．如圖，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD=4，BC=2，那么AB=．

15．如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點(diǎn)，設(shè)PB＝m，PC＝n，AB=c，AC=b，則（m+n）與(b+c)大小關(guān)系是()
A．m+nb+cB．m+nb+cC．m+n=b+cD．不能確定
16．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，ABAD，下列結(jié)論中正確的是()A．AB－ADCB－CDB．AB－AD＝CB—CD
C．AB—ADCB—CDD．AB－AD與CB—CD的大小關(guān)系不確定．
(江蘇省競(jìng)賽題)
17．考查下列命題()
(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線、高、角平分線對(duì)應(yīng)相等；
(2)兩邊和其中一邊上的中線(或第三邊上的中線)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；
(3)兩角和其中一角的角平分線(或第三角的角平分線)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；
(4)兩邊和其中一邊上的高(或第三邊上的高)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．
其中正確命題的個(gè)數(shù)有()
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
18．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過C作CE⊥AB于E，并且AE=(AB+AD)，求∠ABC+∠ADC的度數(shù)．(上海市競(jìng)賽題)
19．如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，試判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
20．如圖，已知AB=CD=AE＝BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五邊形ABCDC的面積．
(江蘇省競(jìng)賽題)
21．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AF+CD．
(武漢市選拔賽試題)

22．(1)已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′=100°，求證：△ABC≌△A′B′C′；
(2)上問中，若將條件改為AB＝A′B′，BC=B′C′，∠BAC＝∠∠B′A′C′=70°，
結(jié)論是否成立?為什么?

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《三角形全等的判定》知識(shí)點(diǎn)浙教版

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《三角形全等的判定》知識(shí)點(diǎn)浙教版

知識(shí)點(diǎn)
①三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”);
②兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”);
③兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”);
④兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”);
⑤斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).
課后練習(xí)
1.下列關(guān)系中的兩個(gè)量成正比例的是()
A.從甲地到乙地，所用的時(shí)間和速度;B.正方形的面積與邊長(zhǎng)
C.買同樣的作業(yè)本所要的錢數(shù)和作業(yè)本的數(shù)量;D.人的體重與身高
2.下列函數(shù)中，y是x的正比例函數(shù)的是()
A.y=4x+1B.y=2x2C.y=-xD.y=3.下列說法中不成立的是()
A.在y=3x-1中y+1與x成正比例;B.在y=-中y與x成正比例
C.在y=2(x+1)中y與x+1成正比例;D.在y=x+3中y與x成正比例
4.若函數(shù)y=(2m+6)x2+(1-m)x是正比例函數(shù)，則m的值是()
A.m=-3B.m=1C.m=3D.m-3
5.已知(x1，y1)和(x2，y2)是直線y=-3x上的兩點(diǎn)，且x1x2，則y1與y2的大小關(guān)系是()
A.y1y2B.y1
6.形如___________的函數(shù)是正比例函數(shù).
7.若x、y是變量，且函數(shù)y=(k+1)xk2是正比例函數(shù)，則k=_________.
8.正比例函數(shù)y=kx(k為常數(shù)，k0)的圖象依次經(jīng)過第________象限，函數(shù)值隨自變量的增大而_________.
9.已知y與x成正比例，且x=2時(shí)y=-6，則y=9時(shí)x=________.
10.寫出下列各題中x與y的關(guān)系式，并判斷y是否是x的正比例函數(shù)?
(1)電報(bào)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每個(gè)字0.1元，電報(bào)費(fèi)y(元)與字?jǐn)?shù)x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系;
(2)地面氣溫是28℃，如果每升高1km，氣溫下降5℃，則氣溫x(℃)與高度y(km)的關(guān)系;
(3)圓面積y(cm2)與半徑x(cm)的關(guān)系.