小學衛(wèi)生與健康教案

空間中直線與平面的位置關系。

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空間平面與平面的位置關系

14.4（1）空間平面與平面的位置關系

一、教學內(nèi)容分析
二面角是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常見到的一個圖形，它是在學生學過空間異面直線所成的角、直線和平面所成角之后，研究的一種空間的角，二面角進一步完善了空間角的概念.掌握好本節(jié)課的知識，對學生系統(tǒng)地理解直線和平面的知識、空間想象能力的培養(yǎng)，乃至創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都具有十分重要的意義.

二、教學目標設計
理解二面角及其平面角的概念；能確認圖形中的已知角是否為二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步運用它們解決相關問題.

三、教學重點及難點
二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.

四、教學流程設計
五、教學過程設計
一、新課引入
1.復習和回顧平面角的有關知識.

平面中的角
定義從一個頂點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形，叫做角
圖形

結構射線—點—射線
表示法∠AOB,∠O等
2.復習和回顧異面直線所成的角、直線和平面所成的角的定義，及其共同特征.（空間角轉化為平面角）
3.觀察：陡峭與否，跟山坡面與水平面所成的角大小有關，而山坡面與水平面所成的角就是兩個平面所成的角.在實際生活當中，能夠轉化為兩個平面所成角例子非常多，比如在這間教室里，誰能舉出能夠體現(xiàn)兩個平面所成角的實例？（如圖1，課本的開合、門或窗的開關.）從而，引出“二面角”的定義及相關內(nèi)容.
二、學習新課
（一）二面角的定義
平面中的角二面角
定義從一個頂點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形，叫做角課本P17
圖形

結構射線—點—射線半平面—直線—半平面
表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β
（二）二面角的圖示
1.畫出直立式、平臥式二面角各一個，并分別給予表示.
2.在正方體中認識二面角.
（三）二面角的平面角
平面幾何中的“角”可以看作是一條射線繞其端點旋轉而成，它有一個旋轉量，它的大小可以度量，類似地，二面角也可以看作是一個半平面以其棱為軸旋轉而成，它也有一個旋轉量，那么，二面角的大小應該怎樣度量？
1.二面角的平面角的定義（課本P17）.
2.∠AOB的大小與點O在棱上的位置無關.
[說明]①平面與平面的位置關系，只有相交或平行兩種情況，為了對相交平面的相互位置作進一步的探討，有必要來研究二面角的度量問題.
②與兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角做類比，用“平面角”去度量.
③二面角的平面角的三個主要特征：角的頂點在棱上；角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)；角的兩邊分別與棱垂直.
3.二面角的平面角的范圍：
（四）例題分析
例1一張邊長為a的正三角形紙片ABC，以它的高AD為折痕，將其折成一個的二面角，求此時B、C兩點間的距離.
[說明]①檢查學生對二面角的平面角的定義的掌握情況.
②翻折前后應注意哪些量的位置和數(shù)量發(fā)生了變化,哪些沒變?
例2如圖，已知邊長為a的等邊三角形所在平面外有一點P，使PA=PB=PC=a，求二面角的大小.
[說明]①求二面角的步驟：作—證—算—答.
②引導學生掌握解題可操作性的通法（定義法和線面垂直法）.
例3已知正方體，求二面角的大小.（課本P18例1）
[說明]使學生進一步熟悉作二面角的平面角的方法.
（五）問題拓展
例4如圖，山坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數(shù)）是，山坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線AB的夾角是，沿這條路上山，行走100米后升高多少米？
[說明]使學生明白數(shù)學既來源于實際又服務于實際.
三、鞏固練習
1.在棱長為1的正方體中，求二面角的大小.
2.若二面角的大小為，P在平面上，點P到的距離為h，求點P到棱l的距離.
四、課堂小結
1.二面角的定義
2.二面角的平面角的定義及其范圍
3.二面角的平面角的常用作圖方法
4.求二面角的大?。ㄗ鳌C—算—答）
五、作業(yè)布置
1.課本P18練習14.4（1）
2.在二面角的一個面內(nèi)有一個點，它到另一個面的距離是10，求它到棱的距離．
3.把邊長為a的正方形ABCD以BD為軸折疊，使二面角A-BD-C成的二面角，求A、C兩點的距離．
六、教學設計說明
本節(jié)課的設計不是簡單地將概念直接傳受給學生，而是考慮到知識的形成過程，設法從學生的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)，調(diào)動學生積極參與探索、發(fā)現(xiàn)、問題解決全過程.“二面角”及“二面角的平面角”這兩大概念的引出均運用了類比的手段和方法.教學過程中通過教師的層層鋪墊，學生的主動探究，使學生經(jīng)歷概念的形成、發(fā)展和應用過程，有意識地加強了知識形成過程的教學.

直線與平面的位置關系

總課題點、線、面之間的位置關系總課時第11課時
分課題直線與平面的位置關系（三）分課時第3課時
教學目標了解直線和平面所成角的概念和范圍；能熟練地運用直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.
重點難點直線與平面所成角的概念．
引入新課
1．通過觀察一條直線與一個平面相交，思考如何量化它們相交程度的不同．
2．平面的斜線的定義：；
叫做斜足；叫做這個點到平面的斜線段．
3．過平面外一點向平面引斜線和垂線，那么過斜足與垂足
的直線就是；
線段就是線段．
4．斜線與平面所成的角的概念
，其范圍是．
指出右上圖中斜線與平面所成的角是，你能證明這個角是與平面內(nèi)經(jīng)過點的直線所成的所有角中最小的角嗎？
一條直線垂直于平面時，這條直線與平面所成的角是；
一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們說他們所成的角是．
思考：直線與平面所成的角的范圍是．
例題剖析
例1如圖：已知，分別是平面垂線和斜線，分別是垂足和斜足，，，求證：．

能用文字語言表述這個結論嗎？

例2如圖，∠BAC在平面內(nèi)，點P，∠PAB=∠PAC．求證：點P在平面內(nèi)的射影在∠BAC的平分線上．
[思考]：
（1）若∠PAB=∠PAC=60°，∠BAC=90°，則直線PA與所成角的大小__________．

（2）從平面外同一點引平面的斜線段長相等，那么它們在內(nèi)射影長相等嗎？反之成立嗎?

（3）若將例2中條件“∠PAB=∠PAC”改為“點P到∠BAC的兩邊AB、AC的距離相等”，結論是否仍然成立？

（4）你能設計一個四個面都是直角三角形的四面體嗎？

鞏固練習
1．如圖，，平面，則在的邊所在直線中：
（1）與垂直的直線有：
（2）與垂直的直線有：
2．在正方體中，直線與平面
所成的角是
3．如果PA、PB、PC兩兩垂直,那么P在平面ABC內(nèi)的射影一定是△ABC的()
A．重心B．內(nèi)心C．外心D．垂心
4．如圖，一塊正方體木料的上底面內(nèi)有一點，要經(jīng)過點在上底面內(nèi)畫一條直線與垂直，應怎樣畫？

課堂小結
平面的斜線及斜線在平面內(nèi)的射影的概念；直線與平面所成的角概念、范圍．
課后訓練
一基礎題
1．若直線與平面不垂直，那么在平面內(nèi)與直線垂直的直線（）
只有一條有無數(shù)條是平面內(nèi)的所有直線不存在
2．設PA、PB、PC是從點P引出的三條射線,每兩條的夾角都等于60°，
則直線PC與平面APB所成角的余弦值是．
3．在三棱錐P-ABC中，頂點P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的外心，
則三條側棱PA、PB、PC大小關系是_________________．
二提高題
4．在四棱錐中，是矩形，平面．
（1）指出圖中有哪些三角形是直角三角形，并說明理由；
（2）若，試求與平面所成角的正切值．

5．求證：如果平面內(nèi)的一條直線與這個平面的一條斜線垂直，那么這條直線就和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直．

三能力題
6．在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC上的射影O是△ABC的垂心，求證：PA⊥BC．

高二數(shù)學直線與平面的位置關系017

9.3直線與平面的位置關系
教學設計
教學目的：
1.掌握空間直線和平面的位置關系；
2.直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，靈活運用線面平行的判定定理和性質(zhì)定掌握理實現(xiàn)“線線”“線面
”平行的轉化
教學重點：線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的證明及運用
教學難點：線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的證明及運用
授課類型：新授課
課時安排：1課時
教具：多媒體、實物投影儀
內(nèi)容分析：
本節(jié)有兩個知識點，直線與平面和平面與平面平行，直線與平面、平面與平面平行特征性質(zhì)這也可看作平行公理和平行線傳遞性質(zhì)的推廣直線與平面、平面與平面平行判定的依據(jù)是線、線平行這些平行關系有著本質(zhì)上的聯(lián)系
通過教學要求學生掌握線、面和面、面平行的判定與性質(zhì)這兩個平行關系是下一大節(jié)學習共面向量的基礎
前面3節(jié)主要討論空間的平行關系，其中平行線的傳遞性和平行平面的性質(zhì)是這三小節(jié)的重點
教學過程：
一、復習引入：
1空間兩直線的位置關系
（1）相交；（2）平行；（3）異面
2.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行
推理模式：．
3.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等
4.等角定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.
5.空間兩條異面直線的畫法
6．異面直線定理：連結平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線
推理模式：與是異面直線
7．異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，所成的角的大小與點的選擇無關，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）．為了簡便，點通常取在異面直線的一條上異面直線所成的角的范圍：
8．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線垂直，記作．
9．求異面直線所成的角的方法：
（1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；
（2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求
10．兩條異面直線的公垂線、距離
和兩條異面直線都垂直相交的直線，我們稱之為異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離．
兩條異面直線的公垂線有且只有一條
二、講解新課：
1．直線和平面的位置關系
（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）；
（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；
（3）直線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進行兩次分類．
它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為，，．
2．線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．
推理模式：．
證明：假設直線不平行與平面，
∵，∴，
若，則和矛盾，
若，則和成異面直線，也和矛盾，
∴．
3.線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．
推理模式：．
證明：∵，∴和沒有公共點，
又∵，∴和沒有公共點；
和都在內(nèi)，且沒有公共點，∴．
三、講解范例：
例1已知：空間四邊形中，分別是的中點，求證：．
證明：連結，在中，
∵分別是的中點，
∴，，，
∴．
例2求證：如果過平面內(nèi)一點的直線平行于與此平面平行的一條直線，那么這條直線在此平面內(nèi)．
已知：，求證：．
證明：設與確定平面為，且，
∵，∴；
又∵，都經(jīng)過點，
∴重合，∴．
例3?已知直線a∥直線b，直線a∥平面α,bα，
求證：b∥平面α
證明：過a作平面β交平面α于直線c
∵a∥α∴a∥c又∵a∥b∴b∥c，∴b∥c
∵bα,cα，∴b∥α.
例4．已知直線∥平面，直線∥平面，平面平面=，求證．
分析：利用公理4，尋求一條直線分別與a，b均平行，從而達到a∥b的目的．可借用已知條件中的a∥α及a∥β來實現(xiàn)．
證明：經(jīng)過作兩個平面和，與平面和分別相交于直線和，
∵∥平面，∥平面，
∴∥，∥，∴∥，
又∵平面，平面，
∴∥平面，
又平面，平面∩平面=，
∴∥，又∵∥，
所以，∥．
四、課堂練習：
1．選擇題
（1）以下命題（其中a，b表示直線，表示平面）
①若a∥b，b，則a∥②若a∥，b∥，則a∥b
③若a∥b，b∥，則a∥④若a∥，b，則a∥b
其中正確命題的個數(shù)是（）
（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個
（2）已知a∥，b∥，則直線a，b的位置關系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有（）
（A）2個（B）3個（C）4個（D）5個
（3）如果平面外有兩點A、B，它們到平面的距離都是a，則直線AB和平面的位置關系一定是（）
（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）AB
（4）已知m，n為異面直線，m∥平面，n∥平面，∩=l，則l（）
（A）與m，n都相交（B）與m，n中至少一條相交
（C）與m，n都不相交（D）與m，n中一條相交
答案：(1)A(2)D(3)C(4)C
2．判斷下列命題的真假
（1）過直線外一點只能引一條直線與這條直線平行.（）
（2）過平面外一點只能引一條直線與這個平面平行.（）
（3）若兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行.（）
（4）若兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線平行.（）
答案：(1)真(2)假(3)假(4)真
3．選擇題
（1）直線與平面平行的充要條件是（）（A）直線與平面內(nèi)的一條直線平行
（B）直線與平面內(nèi)的兩條直線平行
（C）直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行
（D）直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行
（2）直線a∥平面，點A∈，則過點A且平行于直線a的直線（）
（A）只有一條，但不一定在平面內(nèi)
（B）只有一條，且在平面內(nèi)
（C）有無數(shù)條，但都不在平面內(nèi)
（D）有無數(shù)條，且都在平面內(nèi)
（3）若a，b，a∥，條件甲是“a∥b”，條件乙是“b∥”，則條件甲是條件乙的（）
（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件
（C）充要條件（D）既不充分又不必要條件
（4）A、B是直線l外的兩點，過A、B且和l平行的平面的個數(shù)是（）
（A）0個（B）1個（C）無數(shù)個（D）以上都有可能
答案：（1）D（2）B（3）A（4）D
4．平面與⊿ABC的兩邊AB、AC分別交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，
求證：BC∥平面
略證：AD∶DB=AE∶EC
5．空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、BC的中點，
求證：EF∥平面ACD.
略證：E、F分別是AB、BC的中點
6．經(jīng)過正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求證：E1E∥B1B
略證：
7．選擇題
（1）直線a，b是異面直線，直線a和平面平行，則直線b和平面的位置關系是（）
（A）b（B）b∥（C）b與相交（D）以上都有可能
（2）如果點M是兩條異面直線外的一點，則過點M且與a，b都平行的平面
（A）只有一個（B）恰有兩個
（C）或沒有，或只有一個（D）有無數(shù)個
答案：（1）D(2)A
8．判斷下列命題的真假.
（1）若直線l，則l不可能與平面內(nèi)無數(shù)條直線都相交.（）
（2）若直線l與平面不平行，則l與內(nèi)任何一條直線都不平行（）
答案：（1）假(2)假
9．如圖，已知是平行四邊形所在平面外一點，、分別是、的中點
（1）求證：平面；
（2）若，，
求異面直線與所成的角的大小
略證（1）取PD的中點H，連接AH，
為平行四邊形
解(2):連接AC并取其中點為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是異面直線與所成的角，由，得，OM=2，ON=
所以，即異面直線與成的角
10．如圖,正方形與不在同一平面內(nèi),、分別在、上，且求證：平面
略證：作分別交BC、BE于T、H點
從而有MNHT為平行四邊形

五、小結：“線線”與“線面”平行關系：一條直線和已知平面平行，當且僅當這條直線平行于經(jīng)過這條直線的平面和已知平面的交線．
六、課后作業(yè)：
七、板書設計（略）
八、課后記：

2017高考數(shù)學知識點：空間點、直線、平面的位置關系

古人云，工欲善其事，必先利其器。作為教師準備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學生更好地進入課堂環(huán)境中來，幫助教師更好的完成實現(xiàn)教學目標。那么如何寫好我們的教案呢？小編收集并整理了“2017高考數(shù)學知識點：空間點、直線、平面的位置關系”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

2017高考數(shù)學知識點：空間點、直線、平面的位置關系

1、平面

(1)平面概念的理解

直觀的理解：桌面、黑板面、平靜的水面等等都給人以平面的直觀的印象，但它們都不是平面，而僅僅是平面的一部分．

抽象的理解：平面是平的，平面是無限延展的，平面沒有厚?。?/p>

(2)平面的表示法

①圖形表示法：通常用平行四邊形來表示平面，有時根據(jù)實際需要，也用其他的平面圖形來表示平面．

②字母表示：常用等希臘字母表示平面．

(3)涉及本部分內(nèi)容的符號表示有：

①點A在直線l內(nèi)，記作；②點A不在直線l內(nèi)，記作；

③點A在平面內(nèi)，記作；④點A不在平面內(nèi)，記作；

⑤直線l在平面內(nèi)，記作；⑥直線l不在平面內(nèi)，記作；

注意：符號的使用與集合中這四個符號的使用的區(qū)別與聯(lián)系．

(4)平面的基本性質(zhì)

公理1：如果一條直線的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)．

符號表示為：．

注意：如果直線上所有的點都在一個平面內(nèi)，我們也說這條直線在這個平面內(nèi)，或者稱平面經(jīng)過這條直線．

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．

符號表示為：直線AB存在唯一的平面，使得．

注意：“有且只有”的含義是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”來代替．此公理又可表示為：不共線的三點確定一個平面．