小學(xué)體教案
發(fā)表時間:2020-09-221、3、1柱體、錐體、臺體的表面積與體積。
1、3、1柱體、錐體、臺體的表面積與體積
小故事:被譽(yù)為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔,在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中,胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時代,埃及人是怎樣采集、搬運(yùn)數(shù)量如此之多,每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔,真是一個十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個正四棱錐外形的建筑,塔底邊長230米,塔高146.5米,你能計算建此金字塔用了多少石塊嗎?
要求:新課標(biāo)對本節(jié)內(nèi)容要求是了解棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式),也就是說對體積和面積公式的推導(dǎo)、證明和記憶不作要求,按通常的理解是會求體積和面積,以及很簡單的應(yīng)用即可.
一、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式(不要求記憶),
提高學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意
識,增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣;
2、掌握簡單幾何體的體積與表面積的求法,提高學(xué)生的運(yùn)算能力,
培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、化歸以及類比的能力.
【教學(xué)效果】:教學(xué)目標(biāo)的出示,有利于學(xué)生們把握整體的課堂學(xué)習(xí).
二、【自學(xué)內(nèi)容和要求及自學(xué)過程】
1、閱讀教材23—25頁內(nèi)容,回答問題(柱、錐、臺表面積)
1在初中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長方體
的表面積,以及它們的展開圖,你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎?
2棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成的幾何體,它們的展開圖是什么?如何計算它們的表面積?
3如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,求它們的表面積?
4聯(lián)系圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖,你能想象圓臺側(cè)面展開圖的形狀,并且畫出它嗎?如果圓臺的上、下底面半徑分別是r′,r,母線長為,你計算出它的表面積嗎?
結(jié)論:1正方體、長方體是由多個平面圖形圍成的幾何體,它們的表面積就是各個面的面積的和.因此,我們可以把它們展成平面圖形,利用平面圖形求面積的方法,求立體圖形的表面積.2棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形,其表面積等于圍成棱柱的各個面的面積的和;棱錐的側(cè)面展開圖是由多個三角形拼接成的,其表面積等于圍成棱錐的各個面的面積的和;棱臺的側(cè)面展開圖是由多個梯形拼接成的,其表面積等于圍成棱臺的各個面的面積的和.3它們的表面積等于側(cè)面積與底面積的和,利用它們的側(cè)面展開圖來求得它們的側(cè)面積,由于底面是圓面,其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即得.其中,圓柱的側(cè)面展開圖是矩形,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.我們知道,圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形.如果圓柱的底面半徑為r,母線長為l,那么圓柱的底面面積為πr2,側(cè)面面積為2πrl.因此,圓柱的表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形.如果圓錐的底面半徑為r,母線長為l,那么它的表面積S=πr2+πrl=πr(r+l).4圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán),它的表面積等于上、下兩個底面的面積和加上側(cè)面的面積,即.
思考:圓柱、圓錐和圓臺的表面積之間有什么關(guān)系?
練習(xí)一:完成教材例1、例2,體會例1、2所蘊(yùn)含的解題技巧;完成教材第27頁練習(xí)1;把一個棱長為a的正方體,切成27個全等的小正方體,則所有小正方體的表面積是.
【教學(xué)效果】:學(xué)生們的學(xué)習(xí)效果不錯,對于圓臺的表面積公式的推導(dǎo),我做了這樣的處理:只是提示推導(dǎo)過程,而沒有在課堂上一步一步的推導(dǎo).
2、閱讀教材第25—27頁內(nèi)容,回答問題(柱、錐、臺體積)
5回顧長方體、正方體和圓柱的體積公式,你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎,并依次類比出柱體的體積公式嗎?椎體呢?
6比較柱體、錐體、臺體的體積公式:
V柱體=Sh(S為底面積,h為柱體的高);
V錐體=(S為底面積,h為錐體的高);
V臺體=h(S′,S分別為上、下底面積,h為臺體的高).你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎?柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺體?其體積公式是否可以看作臺體體積公式的“特殊”形式?
結(jié)論:5棱長為a的正方體的體積V=a3=a2a=Sh;長方體的長、寬和高分別為a,b,c,其體積為V=abc=(ab)c=Sh;底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V=πr2h=Sh,可以類比,一般的柱體的體積也是V=Sh,其中S是底面面積,h為柱體的高.圓錐的體積公式是V=(S為底面面積,h為高),它是同底等高的圓柱的體積的.棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的,即棱錐的體積V=(S為底面面積,h為高).由此可見,棱柱與圓柱的體積公式類似,都是底面面積乘高;棱錐與圓錐的體積公式類似,都是底面面積乘高的.由于圓臺(棱臺)是由圓錐(棱錐)截成的,因此可以利用兩個錐體的體積差,得到圓臺(棱臺)的體積公式V=(S′++S)h,其中S′,S分別為上、下底面面積,h為圓臺(棱臺)高.注意:不要求推導(dǎo)公式,也不要求記憶.6柱體可以看作是上、下底面相同的臺體,錐體可以看作是有一個底面是一個點(diǎn)的臺體.因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺體.當(dāng)S′=0時,臺體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式;當(dāng)S′=S時,臺體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式,因此,柱體、錐體的體積公式可以看作臺體體積公式的“特殊”形式.
柱體和錐體可以看作由臺體變化得到,柱體可以看作是上、下底面相同的臺體,錐體可以看作是有一個底面是一個點(diǎn)的臺體,因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系,如圖:
練習(xí)二:完成教材26頁例3,體會例3中蘊(yùn)含的解題技巧;完成教材27頁練習(xí)2;把長和寬分別為6和3的矩形卷成一個圓柱的側(cè)面,求這個圓柱的體積;已知三棱錐O-ABC中,OA、OB、OC兩兩垂直,OC=1,OA=x,OB=y,且x+y=4,則三棱錐體積的最大值是;④已知正三棱臺(上、下底面是正三角形,上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上下底面邊長分別是2cm和4cm,側(cè)棱長是cm,試求該三棱臺的表面積與體積;④:一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角邊長為1,那么這個幾何體的體積為(根據(jù)三視圖,可知該幾何體是三棱錐,圖12所示為該三棱錐的直觀圖,并且側(cè)棱PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥AC.結(jié)果:1/6)
【教學(xué)效果】:對于體積公式,推導(dǎo)過程比較繁瑣,教材采取了直接給出的模式,教師不要過多的滲入推導(dǎo),加重學(xué)生負(fù)擔(dān).
三、【作業(yè)】
1、必做題:教材第29頁習(xí)題1.3A組第1、2、3題;
2、選做題:養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于存儲食鹽(供融化高速公路上的積雪之用),已建的倉庫的底面直徑為12m,高4m.養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫,以存放更多食鹽,現(xiàn)有兩種方案:一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m(高不變);二是高度增加4m(底面直徑不變).分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積;分別計算按這兩種方案所建倉庫的表面積;哪個方案更經(jīng)濟(jì)些?(比較表面積和體積,體積大、表面積好更實惠經(jīng)濟(jì)).
四、【小結(jié)】
這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了柱體、錐體、臺體的表面積和體積,學(xué)習(xí)完這節(jié)課之后要求學(xué)生們能達(dá)到熟練的應(yīng)用公式解題的目的.
五、【教學(xué)反思】
這節(jié)課本來是一課時的內(nèi)容,但是上課時發(fā)現(xiàn)一課時太緊湊,就分為了兩課時來講,第一課時講表面積,第二課時講體積.有時候課堂上是要求我們能二次備課、臨時調(diào)整的,不能為了完成課時任務(wù)而增加教學(xué)量.
對于這節(jié)課,學(xué)生們的學(xué)習(xí)效果還是不錯的,但是這節(jié)課也出現(xiàn)了一些小小的問題.
事情是這樣的,課堂上一個好動的學(xué)生在我講課的時候偷偷的說話,由于我在講課,沒有及時的制止,只是目光示意.等我講到求三角形面積的時候,我說三角形的面積有三種求法,一種是根據(jù)兩邊和夾角的正弦來求面積,另一種是底乘高,那么另外一種是什么?這個同學(xué)說高乘底,我沒有言語,當(dāng)時心里面有點(diǎn)兒生氣,但是后來他又說了一遍,班里面的同學(xué)有點(diǎn)兒笑,由于是課堂,這種現(xiàn)象是不應(yīng)該出現(xiàn)的,但是我不想傷害學(xué)生的自尊心,就說底乘高和高乘底是一樣的,這不能算作兩種方法,就這樣解了圍.等我講完課,還有將近十分鐘的時間,我讓學(xué)生做作業(yè),或者往后面預(yù)習(xí)也可以,當(dāng)我轉(zhuǎn)到后面的時候這個同學(xué)問我:老師我做什么啊?我說:做作業(yè)??!這個同學(xué)說我沒有作業(yè)本了.我一聽,有點(diǎn)兒蒙,說:昨天不是剛發(fā)的作業(yè)本嗎?這個同學(xué)說:我作業(yè)本剛剛交上了.由于昨天晚上學(xué)生們活動,所以有一部分同學(xué)的作業(yè)沒有交,所以在講完課的時候我把作業(yè)本收起來了.這時我說,你可以先往后面預(yù)習(xí)一下,這個同學(xué)拿出課本,說:預(yù)習(xí)什么?我有點(diǎn)兒發(fā)火,但是沒有流露出來,道:往后面預(yù)習(xí),預(yù)習(xí)體積.這個同學(xué)坐下了,這時有同學(xué)問題,正在給同學(xué)輔導(dǎo),這個同學(xué)突然大聲道:老師,我想去廁所!當(dāng)時我一下子火了,把粉筆往地上一摔......
其實自己心里面覺得很難受,不想發(fā)火,但是還是發(fā)火了.不找別人的原因,先找找自己的原因,我覺得恰當(dāng)?shù)奶幚響?yīng)該是下課時找他談一談,但是我沒有做到.或許這個同學(xué)這樣做是為了引起老師的注意,并沒有太大的惡意,而我卻傷害了這個學(xué)生的自尊心;或許這個學(xué)生真的是想上廁所,沒有什么惡意,但是我傷害了學(xué)生的自尊心.以前總以為自己是克制的最好的,但是還是沒有克制住,這一點(diǎn),我要汲取教訓(xùn),不能再犯.
以后,我要汲取這個教訓(xùn),一定不能傷害學(xué)生的自尊心.
可以說,這一節(jié)課因為這一個發(fā)火,一節(jié)本來成功的課,變成了失敗的課.
很愧疚.
相關(guān)閱讀
柱體、錐體、臺體的表面積
第一課時柱體、錐體、臺體的表面積
(一)教學(xué)目標(biāo)
1.知識與技能
(1)了解柱體、錐體與臺體的表面積(不要求記憶公式).
(2)能運(yùn)用公式求解柱體、錐體和臺體的全面積.
(3)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.
2.過程與方法
讓學(xué)生經(jīng)歷幾何體的側(cè)面展開過程,感知幾何體的形狀,培養(yǎng)轉(zhuǎn)化化歸能力.
3.情感、態(tài)度與價值觀
通過學(xué)習(xí),使學(xué)生感受到幾面體表面積的求解過程,激發(fā)學(xué)生探索創(chuàng)新的意識,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.
(二)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn):柱體、錐體、臺體的表面積公式的推導(dǎo)與計算.
難點(diǎn):展開圖與空間幾何體的轉(zhuǎn)化.
(三)教學(xué)方法
學(xué)導(dǎo)式:學(xué)生分析交流與教師引導(dǎo)、講授相結(jié)合.
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖
新課導(dǎo)入問題:現(xiàn)有一棱長為1的正方體盒子AC′,一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)側(cè)面到達(dá)A′點(diǎn),問這只螞蟻走邊的最短路程是多少?
學(xué)生先思考討論,然后回答.
學(xué)生:將正方體沿AA′展開得到一個由四個小正方形組成的大矩形如圖
則即所求.
師:(肯定后)這個題考查的是正方體展開圖的應(yīng)用,這節(jié)課,我們圍繞幾何體的展開圖討論幾何體的表面積.情境生動,激發(fā)熱情教師順勢帶出主題.
探索新知1.空間多面體的展開圖與表面積的計算.
(1)探索三棱柱、三棱錐、三棱臺的展開圖.
(2)已知棱長為a,各面均為等邊三角形S–ABC(圖1.3—2),求它的表面積.
解:先求△SBC的面積,過點(diǎn)S作SD⊥BC,交B于D,因為BC=a,
∴.
∴四面體S–ABC的表面積
.
師:在初中,我們已知學(xué)習(xí)了正方體和長方體的表面積以及它們的展開圖,你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎?
生:相等.
師:對于一個一般的多面,你會怎樣求它的表面積.
生:多面體的表面積就是各個面的面積之和,我們可以把它展成平面圖形,利用平面圖形求面積的方法求解.
師:(肯定)棱柱、棱錐、棱臺邊是由多個平面圖形圍成的多面體,它們的展開圖是什么?如何計算它們的體積?
……
生:它的表面積都等于表面積與側(cè)面積之和.
師以三棱柱、三棱錐、三棱臺為例,利用多媒體設(shè)備投放它們的展開圖,并肯定學(xué)生說法.
師:下面讓我們體會簡單多面體的表面積的計算.
師打出投影片、學(xué)生閱讀、分析題目、整理思想.
生:由于四面體S–ABC的四個面都全等的等邊三角形,所以四面體的表面積等于其中任何一個面積的4倍.
學(xué)生分析,教師板書解答過程.
讓學(xué)生經(jīng)歷幾何體展開過程感知幾何體的形狀.
推而廣之,培養(yǎng)探索意識會
探索新知2.圓柱、圓錐、圓臺的表面積
(1)圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式的推導(dǎo)
S圓柱=2r(r+1)
S圓錐=r(r+1)
S圓臺=(r12+r2+r1l+rl)
(2)討論圓臺的表面積公式與圓柱及圓錐表面積公式之間的變化關(guān)系
(3)例題分析
例2如圖所示,一個圓臺形花盆盆口直徑為20cm,盆底直徑為15cm,底部滲水圓孔直徑為1.5cm,盆壁長15cm.為了美化花盆的外觀,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100個這樣的花盆需要多少油漆(取3.14,結(jié)果精確到1毫升,可用計算器)?
分析:只要求出每一個花盆外壁的表面積,就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側(cè)面面積加上下底面面積,再減去底面圓孔的面積.
解:如圖所示,由圓臺的表積公式得一個花盆外壁的表面積
≈1000(cm2)=0.1(m2).
涂100個花盆需油漆:0.1×100×100=1000(毫升).
答:涂100個這樣的花盆約需要1000毫升油漆.師:圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖是什么?
生:圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形,圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形.
師:如果它們的底面半徑均是r,母線長均為l,則它們的表面積是多少?
師:打出投影片(教材圖1.3.3和圖1.3—4)
生1:圓柱的底面積為,側(cè)面面積為,因此,圓柱的表面積:
生2:圓錐的底面積為,側(cè)面積為,因此,圓錐的表面積:
師:(肯定)圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán),如果它的上、下底面半徑分別為r、r′,母線長為l,則它的側(cè)面面積類似于梯形的面積計算S側(cè)=
所以它的表面積為
現(xiàn)在請大家研究這三個表面積公式的關(guān)系.
學(xué)生討論,教師給予適當(dāng)引導(dǎo)最后學(xué)生歸納結(jié)論.
師:下面我們共同解決一個實際問題.
(師放投影片,并讀題)
師:本題只要求出花盆外壁的表面積,就可求出油漆的用量,你會怎樣用它的表面積.
生:花盆的表積等于花盆的側(cè)面面積加上底面面積,再減去底面圓孔的面積.(學(xué)生分析、教師板書)讓學(xué)生自己推導(dǎo)公式,加深學(xué)生對公式的認(rèn)識.
用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待三者之間的關(guān)系,更加方便于學(xué)生對空間幾何體的了解和掌握,靈活運(yùn)用公式解決問題.
隨堂練習(xí)1.練習(xí)圓錐的表面積為acm2,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓,求這個圓錐的底面直徑.
2.如圖是一種機(jī)器零件,零件下面是六棱柱(底面是正六邊形,側(cè)面是全等的矩形)形,上面是圓柱(尺寸如圖,單位:mm)形.電鍍這種零件需要用鋅,已知每平方米用鋅0.11kg,問電鍍10000個零件需鋅多少千克(結(jié)果精確到0.01kg)
答案:1.m;
2.1.74千克.學(xué)生獨(dú)立完成
歸納總結(jié)1.柱體、錐體、臺體展開圖及表面積公式1.
2.柱體、錐體、臺體表面積公式的關(guān)系.學(xué)生總結(jié),老師補(bǔ)充、完善
作業(yè)1.3第一課時習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成固化知識
提升能力
備用例題
例1直平行六面體的底面是菱形,兩個對角面面積分別為Q1,Q2,求直平行六面體的側(cè)面積.
【分析】解決本題要首先正確把握直平行六面體的結(jié)構(gòu)特征,直平行六面體是側(cè)棱與底面垂直的平行六面體,它的兩個對角面是矩形.
【解析】如圖所示,設(shè)底面邊長為a,側(cè)棱長為l,兩條底面對角線的長分別為c,d,即BD=c,AC=d,則
由(1)得,由(2)得,代入(3)得,
∴,∴.
∴S側(cè)=.
例2一個正三棱柱的三視圖如圖所示,求這個三棱柱的表面積.
【解析】由三視圖知正三棱柱的高為2mm.
由左視圖知正三棱柱的底面三角形的高為mm.
設(shè)底面邊長為a,則,∴a=4.
∴正三棱柱的表面積為
S=S側(cè)+2S底=3×4×2+2×
(mm2).
例3有一根長為10cm,底面半徑是0.5cm的圓柱形鐵管,用一段鐵絲在鐵管上纏繞8圈,并使鐵絲的兩個端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端,則鐵絲的最短長度為多少厘米?(精確到0.01cm)
【解析】如圖,把圓柱表面及纏繞其上的鐵絲展開在平面上,得到矩形ABCD.
由題意知,BC=10cm,AB=2cm,點(diǎn)A與點(diǎn)C就是鐵絲的起止位置,故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度.
∴AC=(cm).
所以,鐵絲的最短長度約為27.05cm.
【評析】此題關(guān)鍵是把圓柱沿這條母線展開,將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.探究幾何體表面上最短距離,常將幾何體的表面或側(cè)面展開,化折(曲)為直,使空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題.空間問題平面化,是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.
例4.粉碎機(jī)的下料是正四棱臺形如圖,它的兩底面邊長分別是80mm和440mm,高是200mm.計算制造這一下料斗所需鐵板是多少?
【分析】問題的實質(zhì)是求四棱臺的側(cè)面積,欲求側(cè)面積,需求出斜高,可在有關(guān)的直角梯形中求出斜高.
【解析】如圖所示,O、O1是兩底面積的中心,則OO1是高,設(shè)EE1是斜高,在直角梯形OO1E1E中,
EE1=
=
∵邊數(shù)n=4,兩底邊長a=440,a′=80,斜高h(yuǎn)′=269.
∴S正棱臺側(cè)==(mm2)
答:制造這一下料斗約需鐵板2.8×105mm2.
柱體、錐體、臺體的體積
第二課時柱體、錐體、臺體的體積
(一)教學(xué)目標(biāo)
1.知識與技能
(1)了解幾何體體積的含義,以及柱體、錐體與臺體的體積公式.(不要求記憶公式)
(2)熟悉臺體與柱體和錐體之間體積的轉(zhuǎn)換關(guān)系.
(3)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.
2.過程與方法
(1)讓學(xué)生通過對照比較,理順柱體、錐體、臺體之間的體積關(guān)系.
(2)通過相關(guān)幾何體的聯(lián)系,尋找已知條件的相互轉(zhuǎn)化,解決一些特殊幾何體體積的計算.
3.情感、態(tài)度與價值觀
通過柱體、錐體、臺體體積公式之間的關(guān)系培養(yǎng)學(xué)生探索意識.
(二)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn):柱體、錐體、臺體的體積計算.
難點(diǎn):簡單組合體的體積計算.
(三)教學(xué)方法
講練結(jié)合
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖
新課導(dǎo)入1.復(fù)習(xí)柱體、錐體、臺體表面積求法及相互關(guān)系.教師設(shè)問,學(xué)生回憶
師:今天我們共同學(xué)習(xí)柱體、錐體、臺體的另一個重要的量:體積.復(fù)習(xí)鞏固
點(diǎn)出主題
探索新知柱體、錐體、臺體的體積
1.柱體、錐體、臺體的體積公式:
V柱體=Sh(S是底面積,h為柱體高)
V錐體=(S是底面積,h為錐體高)
V臺體=(S′,S分別為上、下底面面積,h為臺體的高)
2.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系
師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體,長方體以及圓柱的體積公式,它們的體積公式是什么?
生:V=Sh(S為底面面積,h為高)
師:這個公式推廣到一般柱體也成立,即一般柱體體積.公式:V=Sh(S為底面面積,h為高)
師:錐體包括圓錐和棱錐,錐體的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線,頂點(diǎn)與垂足之間的距離(投影或作出).錐體的體積公式都是V=(S為底面面積,h為高)
師:現(xiàn)在請對照柱體、錐體體積公式你發(fā)現(xiàn)有什么結(jié)論.
生:錐體體積同底等高的柱體體積的.
師:臺體的結(jié)構(gòu)特征是什么?
生:臺體是用平行于錐體底面的平面去截錐體,截得兩平行平面間的部分.
師:臺體的體積大家可以怎樣求?
生:臺體的體積應(yīng)該等于兩個錐體體積的差.
師:利用這個原理我們可以得到臺體的體積公式
V=
其中S′、S分別為上、下底面面積,Q為臺體的高(即兩底面之間的距離)
師:現(xiàn)在大家計論思考一下臺體體積公式與柱體、錐體的體積公式有什么關(guān)系?
生:令S′=0,得到錐體體積公式.
令S′=S,得到柱體體積公式.柱體、錐體、臺體的體積公式只要求了解,故采用講授式效率會更高.
因臺體的體積公式的推導(dǎo)需要用到后面知識,故此處不予證明,只要學(xué)生了解公式及公式的推導(dǎo)思路.
培養(yǎng)探索意識,加深對空間幾何體的了解和掌握.
典例分析例1有一堆規(guī)格相同的鐵制(鐵的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如圖)共重5.8kg,已知底面是正六邊形,邊長為12cm,內(nèi)孔直徑為10mm,高為10mm,問這堆螺帽大約有多少個(取3.14,可用計算器)?
解:六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差,即
≈2956(mm3)=2.956(cm3)
所以螺帽的個數(shù)為
5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(個)
答:這堆螺帽大約有252個.師:六角螺帽表示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是什么?你準(zhǔn)備怎樣計算它的體積?
生:六角螺帽表示的幾何體是一個組合體,在一個六棱柱中間挖去一個圓柱,因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.
學(xué)生分析,教師板書過程.
師:求組合體的表面積和體積時,要注意組合體的結(jié)構(gòu)特征,避免重疊和交叉等.空間組合體的體積計算關(guān)鍵在于弄清它的結(jié)構(gòu)特征.
典例分析例2已知等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱)的全面積為S,求其內(nèi)接正四棱柱的體積.
【解析】如圖,設(shè)等邊圓柱的底面半徑為r,則高h(yuǎn)=2r,
∵S=S側(cè)+2S底=2+,∴.
∴內(nèi)接正四棱柱的底面邊長a=2rsin45°=.
∴V=S底h=
=4,
即圓柱的內(nèi)接正四棱柱的體積為.教師投影例2并讀題
師:要解決此題首先要畫出合適的軸截面圖來幫助我們思考,要求內(nèi)接正四棱柱的體積,只需求出等邊圓柱的底面圓半徑r,根據(jù)已知條件可以用S表示它.大家想想,這個軸截面最好選擇什么位置.
生:取內(nèi)接正四棱柱的對角面.
師:有什么好處?
生:這個截面即包括圓柱的有關(guān)量,也包括正四棱柱的有關(guān)量.
學(xué)生分析,教師板書過程.
師:本題是正四棱柱與圓柱的相接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是找到相接幾何體之間的聯(lián)系,如本例中正四棱柱的底面對角線的長與圓柱的底面直徑相等,正四棱柱的高與圓柱的母線長相等,通過這些關(guān)系可以實現(xiàn)已知條件的相互轉(zhuǎn)化.旋轉(zhuǎn)體類組合體體積計算關(guān)鍵在于找好截面,找到這個截面,就能迅速搭好已知和未知的橋梁.
隨堂練習(xí)1.下圖是一個幾何體的三視圖(單位:cm),畫出它的直觀圖,并求出它的表面積和體積.
答案:2325cm2.
2.正方體中,H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn),現(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個角,問鋸掉的這塊體積是原正方體體積的幾分之幾?
答案:.學(xué)生獨(dú)立完成培養(yǎng)學(xué)生理解能力,空間想象能力.
歸納總結(jié)1.柱體、錐體、臺體的體積公式及關(guān)系.
2.簡單組合體體積的計算.
3.等積變換學(xué)生歸納,教師補(bǔ)充完善.鞏固所學(xué),提高自我整合知識能力.
課后作業(yè)1.3第二課時習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成固化知識
提升能力
備用例題
例1:三棱柱ABC–A1B1C1中,若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn),平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分,那么V1:V2=7:5.
【分析】不妨設(shè)V1對應(yīng)的幾何體AEF–A1B1C1是一個棱臺,一個底面的面積與棱柱的底面積相等,另一個底面的面積等于棱柱底面的;V2對應(yīng)的是一個不規(guī)則的幾何體,顯然這一部分的體積無法直接表示,可以考慮間接的辦法,用三棱柱的體積減去V1來表示.
【解析】設(shè)三棱柱的高為h,底面的面積為S,體積為V,則V=V1+V2=Sh.
∵E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)
∴.
∴V1:V2=7:5.
【評析】本題求不規(guī)則的幾何體C1B1—EBCF的體積時,是通過計算棱柱ABC—A1B1C1和棱臺AEF—A1B1C1的體積的差來求得的.
例2:一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯,水中放著一個底面直徑為6cm,高為20cm的一個圓錐形鉛錘,當(dāng)鉛錘從中取出后,杯里的水將下降幾厘米?(=3.14)
【解析】因為圓錐形鉛錘的體積為
(cm3)
設(shè)水面下降的高底為x,則小圓柱的體積為(20÷2)2x=100x(cm3)
所以有60=100x,解此方程得x=0.6(cm).
答:鉛錘取出后,杯中水面下降了0.6cm.
柱體錐體臺體的體積
第6講柱體錐體臺體的體積
¤學(xué)習(xí)目標(biāo):了解棱柱、棱錐、臺體的體積的計算公式(不要求記憶公式);能運(yùn)用柱、錐、臺的體積公式進(jìn)行計算和解決有關(guān)實際問題.
¤知識要點(diǎn):1.體積公式:
體積公式體積公式
棱柱
圓柱
棱錐
圓錐
棱臺
圓臺
2.柱、椎、臺之間,可以看成一個臺體進(jìn)行變化,當(dāng)臺體的上底面逐漸收縮為一個點(diǎn)時,它就成了錐體;當(dāng)臺體的上底面逐漸擴(kuò)展到與下底面全等時,它就成了柱體.因而體積會有以下的關(guān)系:
.
¤例題精講:
【例1】一個長方體的相交于一個頂點(diǎn)的三個面的面積分別是2、3、6,則長方體的體積是.
解:設(shè)長方體的長寬高分別為,則,
三式相乘得.
所以,長方體的體積為6.
【例2】一塊邊長為10的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,試建立容器的容積V與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的定義域.
解:如圖,設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為.
在中,,
所以,于是.
依題意函數(shù)的定義域為.
【例3】一個無蓋的圓柱形容器的底面半徑為,母線長為6,現(xiàn)將該容器盛滿水,然后平穩(wěn)緩慢地將容器傾斜讓水流出,當(dāng)容器中的水是原來的時,圓柱的母線與水平面所成的角的大小為.
解:容器中水的體積為.
流出水的體積為,如圖,.
設(shè)圓柱的母線與水平面所成的角為α,則,解得.
所以,圓柱的母線與水平面所成的角的大小為60°.
點(diǎn)評:抓住流水之后空出部分的特征,它恰好是用一個平面去平分了一個短圓柱.從而由等體積法可計算出高度,解直角三角形而得所求角.
【例4】在邊長為a的正方形中,剪下一個扇形和一個圓,分別作為圓錐的側(cè)面和底面,求所圍成的圓錐的體積.
解:剪下的扇形的弧長與剪下的圓的周長是相等的.設(shè)扇形半徑為x,圓半徑為r,則
,∴x=4r,.
又AB=,∴,解得.
圓錐的高,
∴.
點(diǎn)評:求已知的平面圖形圍成的旋轉(zhuǎn)體的面積或體積的關(guān)鍵是正確分析平面圖形與其圍成的旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)量間的關(guān)系.搞清平面圖形上的哪些量在旋轉(zhuǎn)體中不變,哪些發(fā)生了變化.
柱體、錐體、臺體的體積教案
二課時柱體、錐體、臺體的體積
(一)教學(xué)目標(biāo)
1.知識與技能
(1)了解幾何體體積的含義,以及柱體、錐體與臺體的體積公式.(不要求記憶公式)
(2)熟悉臺體與柱體和錐體之間體積的轉(zhuǎn)換關(guān)系.
(3)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.
2.過程與方法
(1)讓學(xué)生通過對照比較,理順柱體、錐體、臺體之間的體積關(guān)系.
(2)通過相關(guān)幾何體的聯(lián)系,尋找已知條件的相互轉(zhuǎn)化,解決一些特殊幾何體體積的計算.
3.情感、態(tài)度與價值觀
通過柱體、錐體、臺體體積公式之間的關(guān)系培養(yǎng)學(xué)生探索意識.
(二)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn):柱體、錐體、臺體的體積計算.
難點(diǎn):簡單組合體的體積計算.
(三)教學(xué)方法
講練結(jié)合
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖
新課導(dǎo)入1.復(fù)習(xí)柱體、錐體、臺體表面積求法及相互關(guān)系.教師設(shè)問,學(xué)生回憶
師:今天我們共同學(xué)習(xí)柱體、錐體、臺體的另一個重要的量:體積.復(fù)習(xí)鞏固
點(diǎn)出主題
探索新知柱體、錐體、臺體的體積
1.柱體、錐體、臺體的體積公式:
V柱體=Sh(S是底面積,h為柱體高)
V錐體=(S是底面積,h為錐體高)
V臺體=(S′,S分別為上、下底面面積,h為臺體的高)
2.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系
師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體,長方體以及圓柱的體積公式,它們的體積公式是什么?
生:V=Sh(S為底面面積,h為高)
師:這個公式推廣到一般柱體也成立,即一般柱體體積.公式:V=Sh(S為底面面積,h為高)
師:錐體包括圓錐和棱錐,錐體的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線,頂點(diǎn)與垂足之間的距離(投影或作出).錐體的體積公式都是V=(S為底面面積,h為高)
師:現(xiàn)在請對照柱體、錐體體積公式你發(fā)現(xiàn)有什么結(jié)論.
生:錐體體積同底等高的柱體體積的.
師:臺體的結(jié)構(gòu)特征是什么?
生:臺體是用平行于錐體底面的平面去截錐體,截得兩平行平面間的部分.
師:臺體的體積大家可以怎樣求?
生:臺體的體積應(yīng)該等于兩個錐體體積的差.
師:利用這個原理我們可以得到臺體的體積公式
V=
其中S′、S分別為上、下底面面積,Q為臺體的高(即兩底面之間的距離)
師:現(xiàn)在大家計論思考一下臺體體積公式與柱體、錐體的體積公式有什么關(guān)系?
生:令S′=0,得到錐體體積公式.
令S′=S,得到柱體體積公式.柱體、錐體、臺體的體積公式只要求了解,故采用講授式效率會更高.
因臺體的體積公式的推導(dǎo)需要用到后面知識,故此處不予證明,只要學(xué)生了解公式及公式的推導(dǎo)思路.
培養(yǎng)探索意識,加深對空間幾何體的了解和掌握.
典例分析例1有一堆規(guī)格相同的鐵制(鐵的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如圖)共重5.8kg,已知底面是正六邊形,邊長為12cm,內(nèi)孔直徑為10mm,高為10mm,問這堆螺帽大約有多少個(取3.14,可用計算器)?
解:六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差,即
≈2956(mm3)=2.956(cm3)
所以螺帽的個數(shù)為
5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(個)
答:這堆螺帽大約有252個.師:六角螺帽表示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是什么?你準(zhǔn)備怎樣計算它的體積?
生:六角螺帽表示的幾何體是一個組合體,在一個六棱柱中間挖去一個圓柱,因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.
學(xué)生分析,教師板書過程.
師:求組合體的表面積和體積時,要注意組合體的結(jié)構(gòu)特征,避免重疊和交叉等.空間組合體的體積計算關(guān)鍵在于弄清它的結(jié)構(gòu)特征.
典例分析例2已知等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱)的全面積為S,求其內(nèi)接正四棱柱的體積.
【解析】如圖,設(shè)等邊圓柱的底面半徑為r,則高h(yuǎn)=2r,
∵S=S側(cè)+2S底=2+,∴.
∴內(nèi)接正四棱柱的底面邊長a=2rsin45°=.
∴V=S底h=
=4,
即圓柱的內(nèi)接正四棱柱的體積為.教師投影例2并讀題
師:要解決此題首先要畫出合適的軸截面圖來幫助我們思考,要求內(nèi)接正四棱柱的體積,只需求出等邊圓柱的底面圓半徑r,根據(jù)已知條件可以用S表示它.大家想想,這個軸截面最好選擇什么位置.
生:取內(nèi)接正四棱柱的對角面.
師:有什么好處?
生:這個截面即包括圓柱的有關(guān)量,也包括正四棱柱的有關(guān)量.
學(xué)生分析,教師板書過程.
師:本題是正四棱柱與圓柱的相接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是找到相接幾何體之間的聯(lián)系,如本例中正四棱柱的底面對角線的長與圓柱的底面直徑相等,正四棱柱的高與圓柱的母線長相等,通過這些關(guān)系可以實現(xiàn)已知條件的相互轉(zhuǎn)化.旋轉(zhuǎn)體類組合體體積計算關(guān)鍵在于找好截面,找到這個截面,就能迅速搭好已知和未知的橋梁.
隨堂練習(xí)1.下圖是一個幾何體的三視圖(單位:cm),畫出它的直觀圖,并求出它的表面積和體積.
答案:2325cm2.
2.正方體中,H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn),現(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個角,問鋸掉的這塊體積是原正方體體積的幾分之幾?
答案:.學(xué)生獨(dú)立完成培養(yǎng)學(xué)生理解能力,空間想象能力.
歸納總結(jié)1.柱體、錐體、臺體的體積公式及關(guān)系.
2.簡單組合體體積的計算.
3.等積變換學(xué)生歸納,教師補(bǔ)充完善.鞏固所學(xué),提高自我整合知識能力.
課后作業(yè)1.3第二課時習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成固化知識
提升能力
備用例題
例1:三棱柱ABC–A1B1C1中,若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn),平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分,那么V1:V2=7:5.
【分析】不妨設(shè)V1對應(yīng)的幾何體AEF–A1B1C1是一個棱臺,一個底面的面積與棱柱的底面積相等,另一個底面的面積等于棱柱底面的;V2對應(yīng)的是一個不規(guī)則的幾何體,顯然這一部分的體積無法直接表示,可以考慮間接的辦法,用三棱柱的體積減去V1來表示.
【解析】設(shè)三棱柱的高為h,底面的面積為S,體積為V,則V=V1+V2=Sh.
∵E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)
∴.
∴V1:V2=7:5.
【評析】本題求不規(guī)則的幾何體C1B1—EBCF的體積時,是通過計算棱柱ABC—A1B1C1和棱臺AEF—A1B1C1的體積的差來求得的.
例2:一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯,水中放著一個底面直徑為6cm,高為20cm的一個圓錐形鉛錘,當(dāng)鉛錘從中取出后,杯里的水將下降幾厘米?(=3.14)
【解析】因為圓錐形鉛錘的體積為
(cm3)
設(shè)水面下降的高底為x,則小圓柱的體積為(20÷2)2x=100x(cm3)
所以有60=100x,解此方程得x=0.6(cm).
答:鉛錘取出后,杯中水面下降了0.6cm.