高中函數單調性教案

2.3函數的單調性（第二課時）。

2.3函數的單調性（第二課時）

教學目的：

1..鞏固函數單調性的概念；熟練掌握證明函數單調性的方法和步驟；初步了解復合函數單調性的判斷方法.

2.會求復合函數的單調區(qū)間.明確復合函數單調區(qū)間是定義域的子集.

教學重點：熟練證明函數單調性的方法和步驟.

教學難點：單調性的綜合運用

一、復習引入：

1.有關概念：增函數，減函數，函數的單調性，單調區(qū)間.

2.判斷證明函數單調性的一般步驟：（區(qū)間內）設量，作差（或比），變形，比較，判斷.

二、講解新課：

1．函數單調性的判斷與證明

例1．求函數的單調區(qū)間.

2．復合函數單調性的判斷

對于函數和，如果在區(qū)間上是具有單調性，當時，，且在區(qū)間上也具有單調性，則復合函數在區(qū)間具有單調性的規(guī)律見下表：

增↗

減↘

增↗

減↘

增↗

減↘

增↗

減↘

減↘

增↗以上規(guī)律還可總結為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.

證明：①設，且

∵在上是增函數，

∴，且

∵在上是增函數，∴.

所以復合函數在區(qū)間上是增函數。

②設，且，∵在上是增函數，

∴，且

∵在上是減函數，∴.

所以復合函數在區(qū)間上是減函數。

③設，且，∵在上是減函數，

∴，且

∵在上是增函數，∴.

所以復合函數在區(qū)間上是減函數。

④設，且，∵在上是減函數，

∴，且

∵在上是減函數，∴.

所以復合函數在區(qū)間上是增函數。

例2．求函數的值域，并寫出其單調區(qū)間。

解：題設函數由和復合而成的復合函數，

函數的值域是，

在上的值域是.

故函數的值域是.

對于函數的單調性，不難知二次函數在區(qū)間上是減函數，在區(qū)間上是增函數；

二次函數區(qū)間上是減函數，在區(qū)間上是增函數。

當時，，即，或.

當時，，即，.

x

[-1,0]

(0,1)

u=g(x)

增

增

減

減

y=f(u)

增

減

減

增

y=f(g(x))

增

減

增

減

綜上所述，函數在區(qū)間、上是增函數；在區(qū)間、上是減函數。

三、課堂練習：課本P60練習：3，4

四、作業(yè)：課本P60習題2.36（2），7

補充，已知：f(x)是定義在[-1，1]上的增函數，且f(x-1)f(x2-1),求x的取值范圍.

擴展閱讀

2.3函數的單調性（第三課時）

2.3函數的單調性（第三課時）

教學目的：函數單調性的應用

重點難點：含參問題的討論，抽象函數問題.

教學過程

一、復習引入函數單調性的概念，復合函數的單調性.

二、例題.

例1.如果二次函數在區(qū)間內是增函數，求f(2)的取值范圍.

分析：由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11,f(2)的取值范圍即一次函數y=-2a+11的值域，固應先求其定義域.

例2.設y=f(x)在R上是單調函數，試證方程f(x)=0在R上至多有一個實數根.

分析：根據函數的單調性，用反證法證明.

例3.設f(x)的定義域為，且在上的增函數，

（1）求證f(1)=0;f(xy)=f(x)+f(y);

（2）若f(2)=1,解不等式

分析：利用f(x)的性質，脫去函數的符號，將問題化為解一般的不等式；注意，2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).

例4.已知函數.

（1）當時，求函數f(x)的最小值；

（2）若對任意恒成立，試求實數a的取值范圍.

分析：（1）利用f(x)的單調性即可求最小值；

（2）利用函數的性質分類討論解之.

例5.求函數的單調區(qū)間.

分析：利用復合函數的單調性解題.

令即函數的定義域為[-3，1]；

再根據復合函數的單調性求出其單調區(qū)間.

三、作業(yè)：《精析精練》P73智能達標訓練.

§1．3．1函數的單調性與導數（1課時）

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，準備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學生更好地進入課堂環(huán)境中來，幫助授課經驗少的高中教師教學。高中教案的內容具體要怎樣寫呢？以下是小編為大家收集的“§1．3．1函數的單調性與導數（1課時）”相信您能找到對自己有用的內容。

§1．3．1函數的單調性與導數（1課時）
【學情分析】：
高一學過了函數的單調性，在引入導數概念與幾何意義后，發(fā)現導數是描述函數在某一點的瞬時變化率。在此基礎上，我們發(fā)現導數與函數的增減性以及增減的快慢都有很緊密的聯系。本節(jié)內容就是通過對函數導數計算，來判定可導函數增減性。
【教學目標】：
（1）正確理解利用導數判斷函數的單調性的原理；
（2）掌握利用導數判斷函數單調性的方法
（3）能夠利用導數解釋實際問題中的函數單調性
【教學重點】：
利用導數判斷函數單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區(qū)間
【教學過程設計】：
教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖
情景引入過程
從高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數：
分析運動動員的運動過程：
上升→最高點→下降
運動員瞬時速度變換過程：
減速→0→加速從實際問題中物理量入手
學生容易接受
實際意義向函數意義過渡從函數的角度分析上述過程：
先增后減
由正數減小到0，再由0減小到負數
將實際的量與函數及其導數意義聯系起來，過渡自然，突破理解障礙
引出函數單調性與導數正負的關系通過上述實際例子的分析，聯想觀察其他函數的單調性與其導數正負的關系
進一步的函數單調性與導數正負驗證，加深兩者之間的關系
我們能否得出以下結論：
在某個區(qū)間（a,b）內，如果，那么函數y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞減
答案是肯定的
從導數的概念給出解釋表明函數在此點處的切線斜率是由左下向右上，因此在附近單調遞增
表明函數在此點處的切線斜率是由左上向右下，因此在附近單調遞減
所以，若，則，f(x)為增函數
同理可說明時，f(x)為減函數
用導數的幾何意義理解導數正負與單調性的內在關系，幫助理解與記憶
導數正負與函數單調性總結若y=f(x)在區(qū)間（a,b）上可導，則
（1）在（a,b）內，y=f(x)在（a,b）單調遞增
（2）在（a,b）內，y=f(x)在（a,b）單調遞減
抽象概括我們的心法手冊（用以指導我們拆解題目）
例題精講1、根據導數正負判斷函數單調性
教材例1在教學環(huán)節(jié)中的處理方式：
以學生的自學為主，可以更改部分數據，讓學生動手模仿。
小結：導數的正負→函數的增減→構建函數大致形狀
提醒學生觀察的點的圖像特點（為下節(jié)埋下伏筆）
丟出思考題：“”的點是否一定對應函數的最值（由于學生尚未解除“極值”的概念，暫時還是以最值代替）例題處理的目標就是為達到將“死結論”變成“活套路”
2、利用導數判斷函數單調性以及計算求函數單調區(qū)間
教材例2在教學環(huán)節(jié)中的處理方式：
可以先以為例回顧我們高一判斷函數單調性的定義法；再與我們導數方法形成對比，體會導數方法的優(yōu)越性。
引導學生逐步貫徹落實我們之前準備的“心法手冊”
判斷單調性→計算導數大小→能否判斷導數正負
→Y，得出函數單調性；
→N，求“導數大于（小于）0”的不等式的解集→得出單調區(qū)間

補充例題：
已知函數y=x+，試討論出此函數的單調區(qū)間.
解：y′=(x+)′=1－1x－2=
令＞0.解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的單調增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的單調減區(qū)間是(－1，0)和(0，1)

要求根據函數單調性畫此函數的草圖
3、實際問題中利用導數意義判斷函數圖像
教材例3的處理方式：
可以根據課程進度作為課堂練習處理
同時還可以引入類似的練習補充（如學生上學路上，距離學校的路程與時間的函數圖像）
堂上練習教材練習2——由函數圖像寫函數導數的正負性
教材練習1——判斷函數單調性，計算單調區(qū)間針對教材的三個例題作知識強化練習
內容總結體會導數在判斷函數單調性方面的極大優(yōu)越性體會學習導數的重要性

課后練習：
1、函數的遞增區(qū)間是（）
ABCD
答案C對于任何實數都恒成立

2、已知函數在上是單調函數,則實數的
取值范圍是（）
AB
CD
答案B在恒成立，

3、函數單調遞增區(qū)間是（）
ABCD
答案C令

4、對于上可導的任意函數，若滿足，則必有（）
AB
CD
答案C當時，，函數在上是增函數；當時，，在上是減函數，故當時取得最小值，即有
得

5、函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為___________________
答案

6、函數的單調遞增區(qū)間是___________________________
答案

7、已知的圖象經過點，且在處的切線方程是
（1）求的解析式；（2）求的單調遞增區(qū)間
解：（1）的圖象經過點，則，
切點為，則的圖象經過點
得
（2）
單調遞增區(qū)間為

函數的單調性

一名合格的教師要充分考慮學習的趣味性，作為高中教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以讓學生能夠在課堂積極的參與互動，幫助高中教師有計劃有步驟有質量的完成教學任務。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的高中教案呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“函數的單調性”，僅供您在工作和學習中參考。

數學必修1：函數的單調性
教學目標：理解函數的單調性
教學重點：函數單調性的概念和判定
教學過程：
1、過對函數、、及的觀察提出有關函數單調性的問題.
2、閱讀教材明確單調遞增、單調遞減和單調區(qū)間的概念
3、
例1、如圖是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數的圖象，根據圖象說出的單調區(qū)間，及在每一單調區(qū)間上，是增函數還是減函數。
解：函數的單調區(qū)間有，
其中在區(qū)間，
上是減函數，在區(qū)間上是
增函數。
注意：1單調區(qū)間的書寫
2各單調區(qū)間之間的關系
以上是通過觀察圖象的方法來說明函數在某一區(qū)間的單調性，是一種比較粗略的方法，那么，對于任給函數，我們怎樣根據增減函數的定義來證明它的單調性呢？
例2、證明函數在R上是增函數。
證明：設是R上的任意兩個實數，且，則
，
所以，在R上是增函數。
例3、證明函數在上是減函數。
證明：設是上的任意兩個實數，且，則
由，得，且
于是
所以，在上是減函數。
利用定義證明函數單調性的步驟：
（1）取值
（2）計算、
（3）對比符號
（4）結論

課堂練習：教材第50頁練習A、B
小結：本節(jié)課學習了單調遞增、單調遞減和單調區(qū)間的概念及判定方法
課后作業(yè)：第57頁習題2-1A第5題

函數單調性

年級高一

學科數學

課題

函數的單調性（2）

授課時間

撰寫人

劉報

學習重點

函數單調性證明

學習難點

函數單調性應用及證明

學習目標

1.理解函數的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；2.學會運用函數圖象理解和研究函數的性質.3.函數單調性證明

教學過程

一自主學習

1.指出函數的單調區(qū)間及單調性，并進行證明.2．函數的最小值為，的最大值為.

3：先完成下表，

函數

最高點

最低點

,

,

4設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數y=f(x)的。

仿照最大值定義，給出最小值（MinimumValue）的定義．

二師生互動

例1一枚炮彈發(fā)射，炮彈距地面高度h（米）與時間t（秒）的變化規(guī)律是，那么什么時刻距離地面的高度達到最大？最大是多少？

變式：經過多少秒后炮彈落地？

試試：一段竹籬笆長20米，圍成一面靠墻的矩形菜地，如何設計使菜地面積最大？

例2求在區(qū)間[3，6]上的最大值和最小值.

變式：求的最大值和最小值.

練一練函數的最小值為，最大值為.如果是呢？

三鞏固練習

1.函數的最大值是（）.A.－1B.0C.1D.22.函數的最小值是（）.A.0B.－1C.2D.33.函數的最小值是（）.A.0B.2C.4D.4.已知函數的圖象關于y軸對稱，且在區(qū)間上，當時，有最小值

3，則在區(qū)間上，當時，有最值為.5.函數的最大值為，最小值為.6.用多種方法求函數最小值.

四課后反思

五課后鞏固練習

1.作出函數的簡圖，研究當自變量x在下列范圍內取值時的最大值與最小值．（1）；（2）；（3）.2.已知函數在區(qū)間是增函數，則實數a的取值范圍