一元二次方程高中教案

高一數(shù)學《一元二次不等式的解法》教案北師大版。

高一數(shù)學《一元二次不等式的解法》教案北師大版

一元二次不等式是北師大版高中數(shù)學必修五第三章不等式第二節(jié)第一課.
一元二次不等式是學習了一元二次方程的解法及二次函數(shù)圖像與性質后學生新接觸的內(nèi)容。一元二次不等式是重要的數(shù)學模型。它與一元二次方程、二次函數(shù)有著密切的關系，通過二次函數(shù)的圖像刻畫一元二次不等式表示的區(qū)域，能夠體現(xiàn)數(shù)形結合的思想方法。教材由交通事故分析哪輛車違章，引出一元二次不等式概念，貼合生活實際，體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活，由生活問題抽象而來，易于學生接受。
教材通過一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的關系的分析，把“一元二次不等式的解法第一課時教學設計”轉化為“一元二次不等式的解法第一課時教學設計”圖像位于一元二次不等式的解法第一課時教學設計軸上方（下方）時，一元二次不等式的解法第一課時教學設計的取值范圍；而一元二次方程方程的解就是相應的二次函數(shù)圖像與一元二次不等式的解法第一課時教學設計軸交點的橫坐標（即二次函數(shù)的零點）。從而得到解一元二次不等式的解法步驟。
二、教學目標解讀
知識與技能：了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程
的區(qū)別與聯(lián)系；能借助二次函數(shù)圖像解形如
一元二次不等式的解法第一課時教學設計的不等式。
過程與方法：利用由特殊到一般、數(shù)形結合的思想方法，探究求解一
元二次不等式的程序步驟。
情感、態(tài)度、價值觀：認識三個“二次”之間的聯(lián)系與轉化。
三、重點與難點
重點：利用二次函數(shù)圖像求解一元二次不等式。
難點：一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)之間的聯(lián)系。
四、學情分析
學生在初中和必修一已經(jīng)學習了解一元二次方程、二次函數(shù)的圖
像與性質，學生對此比較熟悉，而從數(shù)到形，再從形到數(shù)是一次思想觀念的升華?？紤]到學生的認識程度，本節(jié)課從具體的函數(shù)一元二次不等式的解法第一課時教學設計的圖像與性質展開學習。
五、教學方法
1、問題導學層層設問，引導學生探究一元二次不等式的求解過程。
2、課堂上根據(jù)學案存在問題啟發(fā)學生動手實踐。
六、學法指導
1、課前自主回顧一元二次方程的解法,二次函數(shù)的圖像與性質;
2、認真閱讀課本,結合問題導學,完成學案;
3、用紅筆勾畫疑惑點,在課堂上合作探究后解決問題.
七、課前準備：
1、備課組集體研究編制導學案；
2、第一次翻閱學生導學案，發(fā)現(xiàn)學生存在問題，確定上課方案；
3、制作課件（學案問題、檢測題、課堂小結等）。
八、教學過程
教師活動
學生活動
設計意圖
一、創(chuàng)設情境引入新課：由交通事故分析哪輛車違章，究竟如何劃分責任，今天我們來學習一元二次不等式的解法第一節(jié)。（板書：一元二次不等式解法1）
閱讀課本75頁“問題提出”，認識數(shù)學來源于生活又服務于生活。
培養(yǎng)學生用數(shù)學“眼光”看生活。
二、回顧一元二次方程、二次函數(shù)的圖像與性質（利用多媒體展現(xiàn)在課件上）
看課件回答有關問題。
熟悉學過知識，為下面學習做鋪墊。
三、學習目標解讀：
1、理清一元二次不等式、一元二次方程及二次函數(shù)之間的關系;借助二次函數(shù)的圖象解一元二次不等式；
2、利用由特殊到一般、數(shù)形結合的方法探究一元二次不等式的解法；
3、感悟數(shù)學知識之間的聯(lián)系。

看課件

讓學生明確本節(jié)課的目標。(解決“學什么,如何學”的問題)重點在學法指導.
四、學案反饋：請大家看屏幕上的優(yōu)秀小組、優(yōu)秀個人、進步個人、認真?zhèn)€人有你嗎？（好，請大家給予優(yōu)秀小組及個人熱烈的掌聲）再看不足之處。
看課件
（鼓掌）
利用課件讓學生發(fā)現(xiàn)自己問題，以便在合作討論、展示點評環(huán)節(jié)解決。
調(diào)動學生學習積極性。
五、新知探究:
（在引領學生展示問題導學后）感謝這位同學.老師及時糾正學生出現(xiàn)的錯誤。教師在整個學生引領過程始終關注學生。

相關閱讀

一元二次不等式的解法

教學目標

（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以轉化為一元一次不等式組；
（3）了解簡單的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函數(shù)與一元二次方程來求解一元二次不等式，理解它們?nèi)咧g的內(nèi)在聯(lián)系；
（5）能夠進行較簡單的分類討論，借助于數(shù)軸的直觀，求解簡單的含字母的一元二次不等式；
（6）通過利用二次函數(shù)的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合的數(shù)學思想；
（7）通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生認識到事物是相互聯(lián)系、相互轉化的，樹立辨證的世界觀．

教學重點：一元二次不等式的解法；

教學難點：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關系．

教與學過程設計

第一課時

Ⅰ．設置情境

問題：

①解方程
②作函數(shù)的圖像
③解不等式

【置疑】在解決上述三問題的基礎上分析，一元一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系。能通過觀察一次函數(shù)的圖像求得一元一次不等式的解集嗎？
【回答】函數(shù)圖像與x軸的交點橫坐標為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖像落在x軸上方部分對應的橫坐標。能。
通過多媒體或其他載體給出下列表格。扼要講解怎樣通過觀察一次函數(shù)的圖像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉筆的運用

在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程，一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系。利用這種聯(lián)系（集中反映在相應一次函數(shù)的圖像上?。┪覀兛梢钥焖贉蚀_地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢？

Ⅱ．探索與研究

我們現(xiàn)在就結合不等式的求解來試一試。（師生共同活動用“特殊點法”而非課本上的“列表描點”的方法作出的圖像，然后請一位程度中下的同學寫出相應一元二次方程及一元二次不等式的解集。）
【答】方程的解集為
不等式的解集為

【置疑】哪位同學還能寫出的解法？（請一程度差的同學回答）
【答】不等式的解集為
我們通過二次函數(shù)的圖像，不僅求得了開始上課時我們還不知如何求解的那個第（5）小題的解集，還求出了的解集，可見利用二次函數(shù)的圖像來解一元二次不等式是個十分有效的方法。
下面我們再對一般的一元二次不等式與來進行討論。為簡便起見，暫只考慮的情形。請同學們思考下列問題：
如果相應的一元二次方程分別有兩實根、惟一實根，無實根的話，其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的位置關系如何？（提問程度較好的學生）
【答】二次函數(shù)的圖像開口向上且分別與x軸交于兩點，一點及無交點。
現(xiàn)在請同學們觀察表中的二次函數(shù)圖，并寫出相應一元二次不等式的解集。（通過多媒體或其他載體給出以下表格）

【答】的解集依次是
的解集依次是
它是我們今后求解一元二次不等式的主要工具。應盡快將表中的結果記住。其關鍵就是抓住相應二次函數(shù)的圖像。
課本第19頁上的例1．例2．例3．它們均是求解二次項系數(shù)的一元二次不等式，卻都沒有給出相應二次函數(shù)的圖像。其解答過程雖很簡練，卻不太直觀?，F(xiàn)在我們在課本預留的位置上分別給它們補上相應二次函數(shù)圖像。
（教師巡視，重點關注程度稍差的同學。）
Ⅲ．演練反饋
1．解下列不等式：
（1）（2）
（3）（4）
2．若代數(shù)式的值恒取非負實數(shù)，則實數(shù)x的取值范圍是。
3．解不等式
（1）（2）
參考答案：
1．（1）；（2）；（3）；（4）R
2．
3．（1）
（2）當或時，，當時，
當或時，。
Ⅳ．總結提煉
這節(jié)課我們學習了二次項系數(shù)的一元二次不等式的解法，其關鍵是抓住相應二次函數(shù)的圖像與x軸的交點，再對照課本第39頁上表格中的結論給出所求一元二次不等式的解集。
（五）、課時作業(yè)
（P20．練習等3、4兩題）
（六）、板書設計

第二課時

Ⅰ．設置情境
（通過講評上一節(jié)課課后作業(yè)中出現(xiàn)的問題，復習利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的主要操作過程。）
上節(jié)課我們只討論了二次項系數(shù)的一元二次不等式的求解問題。肯定有同學會問，那么二次項系數(shù)的一元二次不等式如何來求解？咱們班上有誰能解答這個疑問呢？
Ⅱ．探索研究
（學生議論紛紛．有的說仍然利用二次函數(shù)的圖像，有的說將二次項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再求解，……．教師分別請持上述見解的學生代表進一步說明各自的見解．）
生甲：只要將課本第39頁上表中的二次函數(shù)圖像次依關于x軸翻轉變成開口向下的拋物線，再根據(jù)可得的圖像便可求得二次項系數(shù)的一元二次不等式的解集．
生乙：我覺得先在不等式兩邊同乘以－1將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后直接運用上節(jié)課所學的方法求解就可以了．
師：首先，這兩種見解都是合乎邏輯和可行的．不過按前一見解來操作的話，同學們則需再記住一張類似于第39頁上的表格中的各結論．這不但加重了記憶負擔，而且兩表中的結論容易搞混導致錯誤．而按后一種見解來操作時則不存在這個問題，請同學們閱讀第19頁例4．
（待學生閱讀完畢，教師再簡要講解一遍．）
[知識運用與解題研究]
由此例可知，對于二次項系數(shù)的一元二次不等式是將其通過同解變形化為的一元二次不等式來求解的，因此只要掌握了上一節(jié)課所學過的方法。我們就能求
解任意一個一元二次不等式了，請同學們求解以下兩不等式．（調(diào)兩位程度中等的學生演板）
（1）（2）
（分別為課本P21習題1．5中1大題（2）、（4）兩小題．教師講評兩位同學的解答，注意糾正表述方面存在的問題．）
訓練二可化為一元一次不等式組來求解的不等式．
目前我們熟悉了利用“三個二次”間的關系求解一元二次不等式的方法雖然對任意一元二次不等式都適用，但具體操作起來還是讓我們感到有點麻煩．故在求解形如（或）的一元二次不等式時則根據(jù)（有理數(shù)）乘（除）運算的“符號法則”化為同學們更加熟悉的一元一次不等式組來求解．現(xiàn)在清同學們閱讀課本P20上關于不等式求解的內(nèi)容并思考：原不等式的解集為什么是兩個一次不等式組解集的并集？（待學生閱讀完畢，請一程度較好，表達能力較強的學生回答該問題．）
【答】因為滿足不等式組或的x都能使原不等式成立，且反過來也是對的，故原不等式的解集是兩個一元二次不等式組解集的并集．
這個回答說明了原不等式的解集A與兩個一次不等式組解集的并集B是互為子集的關系，故它們必相等，現(xiàn)在請同學們求解以下各不等式．（調(diào)三位程度各異的學生演板．教師巡視，重點關注程度較差的學生）．
（1）［P20練習中第1大題］
（2）［P20練習中第1大題］
（3）［P20練習中第2大題］
（老師扼要講評三位同學的解答．尤其要注意糾正表述方面存在的問題．然后講解P21例5）．
例5解不等式
因為（有理數(shù)）積與商運算的“符號法則”是一致的，故求解此類不等式時，也可像求解（或）之類的不等式一樣，將其化為一元一次不等式組來求解。具體解答過程如下。
解：（略）
現(xiàn)在請同學們完成課本P21練習中第3、4兩大題。
（等學生完成后教師給出答案，如有學生對不上答案，由其本人追查原因，自行糾正。）
[訓練三]用“符號法則”解不等式的復式訓練。
（通過多媒體或其他載體給出下列各題）
1．不等式與的解集相同此說法對嗎？為什么[補充]
2．解下列不等式：
（1）［課本P22第8大題（2）小題］
（2）［補充］
（3）［課本P43第4大題（1）小題］
（4）［課本P43第5大題（1）小題］
（5）［補充］
（每題均先由學生說出解題思路，教師扼要板書求解過程）
參考答案：
1．不對。同時前者無意義而后者卻能成立，所以它們的解集是不同的。
2．（1）
（2）原不等式可化為：，即
解集為。
（3）原不等式可化為
解集為
（4）原不等式可化為或
解集為
（5）原不等式可化為：或解集為
Ⅲ．總結提煉
這節(jié)課我們重點講解了利用（有理數(shù)）乘除法的符號法則求解左式為若干一次因式的積或商而右式為0的不等式。值得注意的是，這一方法對符合上述形狀的高次不等式也是有效的，同學們應掌握好這一方法。
（五）布置作業(yè)
（P22．2（2）、（4）；4；5；6。）
（六）板書設計

高一數(shù)學教案：《一元二次不等式的解法》教學設計

高一數(shù)學教案：《一元二次不等式的解法》教學設計

教學目標

（1）掌握一元二次不等式的解法；

（2）知道一元二次不等式可以轉化為一元一次不等式組；

（3）了解簡單的分式不等式的解法；

（4）能利用二次函數(shù)與一元二次方程來求解一元二次不等式，理解它們?nèi)咧g的內(nèi)在聯(lián)系；

（5）能夠進行較簡單的分類討論，借助于數(shù)軸的直觀，求解簡單的含字母的一元二次不等式；

（6）通過利用二次函數(shù)的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合的數(shù)學思想；

（7）通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生認識到事物是相互聯(lián)系、相互轉化的，樹立辨證的世界觀．

教學重點：一元二次不等式的解法；

教學難點：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關系．

教與學過程設計

《一元二次不等式的解法》教案分析

《一元二次不等式的解法》教案分析

1．創(chuàng)設情景——引入新課。我們常說“興趣是最好的老師”，長期以來，學生對學習數(shù)學缺乏興趣，甚至失去信心，一個重要的原因，是老師在教學中不重視學生對學習的情感體驗，教學應該充分考慮學生的情感和需要，想方設法讓學生在學習中樹立信心，感受學習的樂趣。根據(jù)教材內(nèi)容的安排，設計了四個層層遞進的問題
問題1：解不等式(x-3)(x+2)0-2問題2：解不等式x2-x-60問題3：y=x2-x-6與x軸的交點坐標是多少？
問題4：x2-x-6=0的根是多少？
第一個問題學生能看出用分類討論的方法，討論出x的范圍，進而給出答案，將第一個問題中的括號去掉就得到了第二個問題，由第二個問題提出兩個問題;1.這個不等式的解是什么？2.能否給這個不等式起個名字？學生能直接給出答案，直接讓學生給第二個問題中的不等式起個名字，學生立馬給出了答案：一元二次不等式，從而引出一元二次不等式的概念。
2．探究交流——發(fā)現(xiàn)規(guī)律。從特殊到一般是我們發(fā)現(xiàn)問題、尋求規(guī)律、揭示問題本質最常用的方法之一。這部分我先給出一個一元二次不等式x2-x-60，師生共同研究二次函數(shù)的圖像，并探究這個一元二次不等式的解集。之后就直接給出例題x2-x-60,并規(guī)范解題步驟，
3．啟發(fā)引導——形成結論。給出3個例題：
解下列關于一元二次不等式
一元二次不等式的解法教學設計
總結二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解的情況應該水到渠成。至此，學生可以感受到，解一元二次不等式只須1.化標準：將不等式化成標準形式（右邊為0、最高次的系數(shù)為正）；
2.計算判別式的值：3.求根：若判別式的值為正或零，則求出相應方程的兩根；4.寫解集：注意結果要寫成集合或者區(qū)間的形式4．訓練小結——鞏固深化。為了鞏固和加深二次不等式的兩種解法，接下來及時組織學生進行課本練習，本環(huán)節(jié)請不同層次的學生在黑板上書寫解題過程，之后師生共同糾正問題，規(guī)范解題過程的書寫。
5.小結——鞏固深化。
總結一元二次不等式的解法(1)圖象法：一般地，當a＞0時，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：①確定對應方程ax2＋bx＋c＝0的解；②畫出對應函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象簡圖;③由圖象得出不等式的解集．對于a＜0的一元二次不等式,可以直接采取類似a＞0時的解題步驟求解;也可以先把它化成二次項系數(shù)為正的一元二次不等式,再求解．(2)代數(shù)法:將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解,當p＜q時,若(x－p)(x－q)＞0,則x＞q或x＜p;若(x－p)(x－q)＜0,則p＜x＜q.
有口訣如下“大于取兩邊,小于取中間”.總結失誤防范1．當二次項系數(shù)為負數(shù)時，一般先化為正數(shù)再求解，同時不要忘記不等號改變方向，一元二次不等式的解集要用集合表示．2．含參數(shù)的一元二次不等式的求解往往要分類討論，分類標準要明確,表達要有層次,討論結束后要進行總結。

高一數(shù)學《一元二次不等式的解法》知識點整理

高一數(shù)學《一元二次不等式的解法》知識點整理

1.整式不等式的解法

根軸法(零點分段法)

①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)0(0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”;(為了統(tǒng)一方便)

②求根，并在數(shù)軸上表示出來;

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(為什么?);

④若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間;若不等式是“0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

(自右向左正負相間)

則不等式的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號確定.

特例①一元一次不等式axb解的討論;

②一元二次不等式ax2+box0(a,高中語文;0)解的討論.

2.分式不等式的解法

(1)標準化：移項通分化為0(或0);≥0(或≤0)的形式，

(2)轉化為整式不等式(組)

3.含絕對值不等式的解法

(1)公式法：,與型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點分區(qū)間法”分類討論.

(3)幾何法：根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結合思想分析列式解之。