一元二次方程高中教案

二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系第1課時學(xué)案。

學(xué)生們有一個生動有趣的課堂，離不開老師辛苦準(zhǔn)備的教案，大家開始動筆寫自己的教案課件了。用心制定好教案課件的工作計劃，才能更好地安排接下來的工作！你們會寫教案課件的范文嗎？請您閱讀小編輯為您編輯整理的《二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系第1課時學(xué)案》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

22.2二次函數(shù)與一元二次方程
第1課時二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系
出示目標(biāo)
1.理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.
2.會判斷拋物線與x軸的交點個數(shù).
3.掌握方程與函數(shù)間的轉(zhuǎn)化.
4.會利用二次函數(shù)的圖象求相應(yīng)一元二次方程的近似解.
預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)
閱讀教材第43至46頁，自學(xué)“問題”、“思考”與“例題”，理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，會判斷拋物線與x軸的交點情況，會利用二次函數(shù)的圖象求對應(yīng)一元二次方程的近似解.
自學(xué)反饋學(xué)生獨立完成后集體訂正
①拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點，公共點的橫坐標(biāo)是x，那么當(dāng)x=x0時，函數(shù)的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一個根.
②二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種:當(dāng)b2-4ac0時，拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)b2-4ac=0時，拋物線與x軸有一個交點；當(dāng)b2-4ac0時，拋物線與x軸有0個交點.
③觀察圖中的拋物線與x軸的交點情況，你能得出相應(yīng)方程的根嗎？
方程x2+x-2=0的根是x1=-2,x2=1；
方程x2-6x+9=0的根是x1=x2=3；
方程x2-x+1=0的根是無實數(shù)根.
④如圖所示，你能直觀看出哪些方程的根？
解:-x2+2x+3=0的根為x1=-1,x2=3；-x2+2x+3=4的根為x1=x2=1；-x2+2x+3=3的根為x1=0,x2=2
此題充分體現(xiàn)二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，即函數(shù)y=-x2+2x+3中，y為某一確定值m(如4、3、0)時，相應(yīng)x值是方程-x2+2x+3=m(m=4、3、0)的根.
⑤已知拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c-3=0的根是x1=x2=1.
此題解法較多，但是根據(jù)圖象來解是最簡單的方法.
合作探究
活動1小組討論
例1已知二次函數(shù)y=2x2-(4k+1)x+2k2-1的圖象與x軸交于兩點.求k的取值范圍.
解:根據(jù)題意知b2-4ac0，即(4k+1)2-4×2×(2k2-1)0,解得k-.
根據(jù)交點的個數(shù)來確定b2-4ac的正、負(fù)是解題關(guān)鍵，要熟悉它們之間的對應(yīng)關(guān)系.
活動2跟蹤訓(xùn)練(獨立完成后展示學(xué)習(xí)成果)
1.拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點是(-1，0)、(3，0)，求拋物線的對稱軸.
解：直線x=1
可根據(jù)二次函數(shù)的對稱性來求.
2.畫出函數(shù)y=x2-2x-3的圖象，根據(jù)圖象回答:
①方程x2-2x-3=0的解是什么？
②x取什么值時，函數(shù)值大于0;x取什么值時，函數(shù)值小于0？
解：①x1=-1,x2=3；②當(dāng)x-1或x3時，函數(shù)值大于0；當(dāng)-1x3時，函數(shù)值小于0.
x2-2x-3=0的解，即求二次函數(shù)y=x2-2x-3中函數(shù)值y=0時自變量x的值.
3.已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于點A(x1，0)、B(x2,0)(x1x2),頂點M的縱坐標(biāo)為-4，若x1、x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的兩個根，且x12+x22=10.
①求A、B兩點的坐標(biāo)；
②求拋物線的關(guān)系式及點C的坐標(biāo)；
③在拋物線上是否存在點P，使△ABP的面積等于四邊形ACMB面積的2倍？若存在，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
解：①A(-1，0)、B(3,0)；②y=x2-2x-3,C(0，-3)；③存在，P1(1+,9),P2(1-,9).
此題的切入點為根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出m的值，求出A、B的坐標(biāo)后代入二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)頂點坐標(biāo)公式得到關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，即得到一個三元方程組，解之即可求出待定系數(shù).第③題可設(shè)出點P的坐標(biāo)，從而得到△ABP面積的代數(shù)式，然后建立方程模型.
活動3課堂小結(jié)
本節(jié)課所學(xué)知識:
1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與二次方程之間的關(guān)系，當(dāng)y為某一確定值m時，相應(yīng)的自變量x的值就是方程ax2+bx+c=m的根.
2.若拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點為(x0,0)，則x0是方程ax2+bx+c=0的根.
3.有下列對應(yīng)關(guān)系:
二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的位置關(guān)系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況b2-4ac的值
有兩個公共點有兩個不相等的實數(shù)根b2-4ac0
只有一個公共點有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac=0
無公共點無實數(shù)根b2-4ac0

當(dāng)堂訓(xùn)練
教學(xué)至此，敬請使用學(xué)案當(dāng)堂訓(xùn)練部分.

相關(guān)知識

一元二次方程

每個老師不可缺少的課件是教案課件，大家在仔細(xì)設(shè)想教案課件了。教案課件工作計劃寫好了之后，這樣我們接下來的工作才會更加好！你們會寫一段適合教案課件的范文嗎？下面是小編幫大家編輯的《一元二次方程》，僅供參考，大家一起來看看吧。

第二十二章一元二次方程
教材內(nèi)容
本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：
1.一元二次方程及其有關(guān)概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，運用一元二次方程分析和解決實際問題.
2.本單元在教材中的地位和作用：
教學(xué)目標(biāo)
1.一分析實際問題中的等量關(guān)系并求解其中未知數(shù)為背景，認(rèn)識一元二次方程及其有關(guān)概念。
2.根據(jù)化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.經(jīng)歷分析和解決問題的過程，體會一元二次方程的教學(xué)模型作用，進(jìn)一步提高在實際問題中運用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力。
教學(xué)重點、難點
重點：
1．一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及運用一元二次方程分析和解決實際問題。
難點：
1.一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及靈活運用
課時安排
本章教學(xué)時約需課時，具體分配如下（供參考）
22．1一元二次方程1課時
22．2降次7課時
22．3實際問題與一元二次方程3課時
教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)
22.1一元二次方程
教學(xué)目的
1．使學(xué)生理解并能夠掌握整式方程的定義．
2．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的定義．
3．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達(dá)式以及各種特殊形式．
教學(xué)重點、難點
重點：一元二次方程的定義．
難點：一元二次方程的一般形式及其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的識別．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已學(xué)過的方程？分別叫做什么方程？
(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；
3．結(jié)合上述有關(guān)方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新課
1．方程的分類：（通過上面的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生答出）
學(xué)過的幾類方程是
沒學(xué)過的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
這類“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程．”像這樣，我們把“只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
據(jù)此得出復(fù)習(xí)中學(xué)生未學(xué)過的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
同時指導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過的方程分為兩大類：
2．一元二次方程的一般形式
注意引導(dǎo)學(xué)生考慮方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化為：x2+5x-150=0．
從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：任何一個一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項、常數(shù)項；a，b分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)．
【注意】二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)(a=0時，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實數(shù)．
例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．
課堂練習(xí)P271、2題
歸納總結(jié)
1．方程分為兩大類：
判別整式方程與分式方程的關(guān)鍵是看分母中是否含有未知數(shù)；判別一元一次方程，一元二次方程的關(guān)鍵是看方程化為一般形式后，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次．
2．一元二次方程的定義：一個整式方程，經(jīng)化簡形成只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可為任意實數(shù)，而a不能等于零．
布置作業(yè)：習(xí)題22.11、2題．
達(dá)標(biāo)測試
1.在下列方程中,一元二次方程的個數(shù)是()
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1個B.2個C.3個D.4個
2.關(guān)于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項系數(shù),一次項和常數(shù)項,下列說法完全正確的是()
A.3,-5,-2B.3,-5x,2
C.3,5x,-2D.3,-5,2
3.方程(m+2)+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則()
A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是
5.方程4x2=3x-+1的二次項是,一次項是,常數(shù)項是
課后反思：

22.2解一元二次方程
第一課時
直接開平方法
教學(xué)目的
1．使學(xué)生掌握用直接開平方法解一元二次方程．
2．引導(dǎo)學(xué)生通過特殊情況下的解方程，小結(jié)、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教學(xué)重點、難點
重點：準(zhǔn)確地求出方程的根．
難點：正確地表示方程的兩個根．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)過程
回憶數(shù)的開方一章中的知識，請學(xué)生回答下列問題，并說明解決問題的依據(jù)．
求下列各式中的x：
1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解題的依據(jù)是：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)．
即一般地，如果一個數(shù)的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數(shù)有兩個，它們是互為相反數(shù)．
引入新課
我們已經(jīng)學(xué)過了一些方程知識，那么上述方程屬于什么方程呢？
新課
例1解方程x2-4=0．
解：先移項，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．
例2解方程(x+3)2=2．
練習(xí)：P281、2
歸納總結(jié)
1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)了簡單的一元二次方程的解法——直接開平方法．
2．直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作業(yè)：習(xí)題22.14、6題
達(dá)標(biāo)測試
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解為
A.x1=2x2=-2B.
C.x1=4x2=-4D.此方程無實根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A.B.
C.D.
4.對于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是
A.不論c為何值,方程均有實數(shù)根B.方程的根是
C.當(dāng)c≥0時,方程可化為:
D.當(dāng)c=0時,
5.解下列方程:
①.5x2-40=0②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0④.9(x-3)2-49=0
課后反思

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：一元二次方程與二次函數(shù)

中考數(shù)學(xué)專題4一元二次方程與二次函數(shù)

第一部分真題精講

【例1】已知：關(guān)于的方程．

⑴求證：取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；

⑵若二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱．

①求二次函數(shù)的解析式；

②已知一次函數(shù)，證明：在實數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值均成立；

⑶在⑵條件下，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且在實數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，均成立，求二次函數(shù)的解析式．

【思路分析】本題是一道典型的從方程轉(zhuǎn)函數(shù)的問題，這是比較常見的關(guān)于一元二次方程與二次函數(shù)的考查方式。由于并未說明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論M=0和M≠0兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二問的第一小問考關(guān)于Y軸對稱的二次函數(shù)的性質(zhì)，即一次項系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問加入了一個一次函數(shù)，證明因變量的大小關(guān)系，直接相減即可。事實上這個一次函數(shù)恰好是拋物線的一條切線，只有一個公共點（1，0）。根據(jù)這個信息，第三問的函數(shù)如果要取不等式等號，也必須過該點。于是通過代點，將用只含a的表達(dá)式表示出來,再利用,構(gòu)建兩個不等式,最終分析出a為何值時不等式取等號,于是可以得出結(jié)果.

【解析】

解：（1）分兩種情況：

當(dāng)時，原方程化為，解得，（不要遺漏）

∴當(dāng)，原方程有實數(shù)根.

當(dāng)時，原方程為關(guān)于的一元二次方程，

∵.

∴原方程有兩個實數(shù)根.（如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？再來一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過中考如果不是壓軸題基本判別式都會是完全平方式，大家注意就是了）

綜上所述，取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根.

（2）①∵關(guān)于的二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，

∴.（關(guān)于Y軸對稱的二次函數(shù)一次項系數(shù)一定為0）

∴.

∴拋物線的解析式為.

②∵，（判斷大小直接做差）

∴（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）.

（3）由②知，當(dāng)時，.

∴、的圖象都經(jīng)過.（很重要，要對那個等號有敏銳的感覺）

∵對于的同一個值，，

∴的圖象必經(jīng)過.

又∵經(jīng)過，

∴.（巧妙的將表達(dá)式化成兩點式，避免繁瑣計算）

設(shè).

∵對于的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值均成立，

∴，

∴.

又根據(jù)、的圖象可得，

∴.（a0時,頂點縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值）

∴.

∴.

而.

只有，解得.

∴拋物線的解析式為.

【例2】關(guān)于的一元二次方程.

（1）當(dāng)為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）點是拋物線上的點，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點與點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，是否存在與拋物線只交于點的直線，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由.

【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項系數(shù)不為零這一條件。第二問給點求解析式，比較簡單。值得關(guān)注的是第三問，要注意如果有一次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個交點，則需要設(shè)直線y=kx+b以后聯(lián)立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因為y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有一個交點,所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.

【解析】：

（1）由題意得

解得

解得

當(dāng)且時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.

（2）由題意得

解得（舍）(始終牢記二次項系數(shù)不為0)

（3）拋物線的對稱軸是

由題意得(關(guān)于對稱軸對稱的點的性質(zhì)要掌握)

與拋物線有且只有一個交點(這種情況考試中容易遺漏)

另設(shè)過點的直線（）

把代入，得，

整理得

有且只有一個交點，

解得

綜上，與拋物線有且只有一個交點的直線的解析式有，

【例3】

已知P（)和Q（1，）是拋物線上的兩點．

（1）求的值；

（2）判斷關(guān)于的一元二次方程=0是否有實數(shù)根，若有，求出它的實數(shù)根；若沒有，請說明理由；

（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與軸無交點，求的最小值．

【思路分析】拿到題目，很多同學(xué)不假思索就直接開始代點，然后建立二元方程組，

十分麻煩，計算量大，浪費時間并且可能出錯。但是仔細(xì)看題，發(fā)現(xiàn)P,Q縱坐標(biāo)是一樣的，說明他們關(guān)于拋物線的對稱軸對稱。而拋物線只有一個未知系數(shù)，所以輕松寫出對稱軸求出b。第二問依然是判別式問題，比較簡單。第三問考平移，也是這類問題的一個熱點，在其他區(qū)縣的模擬題中也有類似的考察?？忌欢ㄒ盐掌揭坪蠼馕鍪桨l(fā)生的變化，即左加右減(單獨的x),上加下減(表達(dá)式整體)然后求出結(jié)果。

【解析】

(1)因為點P、Q在拋物線上且縱坐標(biāo)相同，所以P、Q關(guān)于拋物線對稱軸對稱并且到對稱軸距離相等．

所以，拋物線對稱軸，所以，．

（2）由（1）可知，關(guān)于的一元二次方程為=0．

因為，=16-8=80．

所以，方程有兩個不同的實數(shù)根，分別是

，．

（3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位后的解析式為．

若使拋物線的圖象與軸無交點，只需無實數(shù)解即可．

由==0，得

又是正整數(shù)，所以得最小值為2．

【例4】已知拋物線，其中是常數(shù)．

（1）求拋物線的頂點坐標(biāo)；

（2）若，且拋物線與軸交于整數(shù)點（坐標(biāo)為整數(shù)的點），求此拋物線的解析式．

【思路分析】本題第一問較為簡單，用直接求頂點的公式也可以算，但是如果巧妙的將a提出來,里面就是一個關(guān)于X的完全平方式,從而得到拋物線的頂點式,節(jié)省了時間.第二問則需要把握拋物線與X軸交于整數(shù)點的判別式性質(zhì).這和一元二次方程有整數(shù)根是一樣的.尤其注意利用題中所給,合理變換以后代入判別式,求得整點的可能取值.

（1）依題意，得，

∴

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為

（2）∵拋物線與軸交于整數(shù)點，

∴的根是整數(shù)．

∴是整數(shù)．

∵，

∴是整數(shù)．

∴是整數(shù)的完全平方數(shù)．

∵，

∴．(很多考生想不到這種變化而導(dǎo)致后面無從下手)

∴取1，4，

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

∴的值為2或．

∴拋物線的解析式為或．

【例5】已知：關(guān)于的一元二次方程（為實數(shù)）

（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，求證：無論取何值，拋物線總過軸上的一個固定點；

（3）若是整數(shù)，且關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的整數(shù)根，把拋物線向右平移個單位長度，求平移后的解析式．

【思路分析】本題第一問比較簡單，直接判別式≥0就可以了，依然不能遺漏的是m-1≠0。第二問則是比較常見的題型.一般來說求固定點既是求一個和未知系數(shù)無關(guān)的X,Y的取值.對于本題來說,直接將拋物線中的m提出,對其進(jìn)行因式分解得到y(tǒng)=(mx-x-1)(x+1)就可以看出當(dāng)x=-1時,Y=0，而這一點恰是拋物線橫過的X軸上固定點.如果想不到因式分解,由于本題固定點的特殊性(在X軸上),也可以直接用求根公式求出兩個根,標(biāo)準(zhǔn)答案既是如此,但是有些麻煩,不如直接因式分解來得快.至于第三問,又是整數(shù)根問題+平移問題,因為第二問中已求出另一根,所以直接令其為整數(shù)即可,比較簡單.

解：（1）

∵方程有兩個不相等的實數(shù)根,

∴

∵,

∴的取值范圍是且.

（2）證明：令得.

∴.

∴(這樣做是因為已經(jīng)知道判別式是,計算量比較小,如果根號內(nèi)不是完全平方就需要注意了)

∴拋物線與軸的交點坐標(biāo)為,

∴無論取何值，拋物線總過定點

（3）∵是整數(shù)∴只需是整數(shù).

∵是整數(shù)，且,

∴

當(dāng)時，拋物線為．

把它的圖象向右平移個單位長度，得到的拋物線解析式為

【總結(jié)】中考中一元二次方程與二次函數(shù)幾乎也是必考內(nèi)容，但是考點無非也就是因式分解，判別式，對稱軸，兩根范圍，平移以及直線與拋物線的交點問題?？傮w來說這類題目不難，但是需要計算認(rèn)真，尤其是求根公式的應(yīng)用一定要注意計算的準(zhǔn)確性。這種題目大多包涵多個小問。第一問往往是考驗判別式大于0，不要忘記二次項系數(shù)為0或者不為0的情況。第2,3問基于函數(shù)或者方程對其他知識點進(jìn)行考察，考生需要熟記對稱軸，頂點坐標(biāo)等多個公式的直接應(yīng)用。至于根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）近年來中考已經(jīng)盡量避免提及，雖不提倡但是應(yīng)用了也不會扣分，考生還是盡量掌握為好，在實際應(yīng)用中能節(jié)省大量的時間。

第二部分發(fā)散思考

【思考1】已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，為正整數(shù).

（1）求的值；

（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于的二次函數(shù)的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；

（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線

與此圖象有兩個公共點時，的取值范圍.

【思路分析】去年中考原題,相信有些同學(xué)已經(jīng)做過了.第一問自不必說，判別式大于0加上k為正整數(shù)的條件求k很簡單.第二問要分情況討論當(dāng)k取何值時方程有整數(shù)根,一個個代進(jìn)去看就是了,平移倒是不難,向下平移就是整個表達(dá)式減去8.但是注意第三問,函數(shù)關(guān)于對稱軸的翻折,旋轉(zhuǎn)問題也是比較容易在中考中出現(xiàn)的問題,一定要熟練掌握關(guān)于對稱軸翻折之后函數(shù)哪些地方發(fā)生了變化,哪些地方?jīng)]有變.然后利用畫圖解決問題.

【思考2】已知：關(guān)于的一元二次方程

（1）若求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若12＜m＜40的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求的值．

【思路分析】本題也是整根問題，但是不像上題，就三個值一個個試就可以試出來結(jié)果。本題給定一個比較大的區(qū)間,所以就需要直接用求根公式來計算.利用已知區(qū)間去求根的判別式的區(qū)間,也對解不等式做出了考察.

【思考3】已知:關(guān)于x的一元一次方程kx=x+2①的根為正實數(shù)，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc

（c≠0）的圖象與x軸一個交點的橫坐標(biāo)為1.

（1）若方程①的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值；

（2）求代數(shù)式的值；

（3）求證:關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有兩個不相等的實數(shù)根.

【思路分析】本題有一定難度，屬于拉分題目。第一問還好，分類討論K的取值即可。第二問則需要將k用a,b表示出來,然后代入代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.第三問則比較繁瑣,需要利用題中一次方程的根為正實數(shù)這一條件所帶來的不等式,去證明二次方程根的判別式大于0.但是實際的考試過程中,考生在化簡判別式的過程中想不到利用已知條件去套未知條件,從而無從下手導(dǎo)致失分.

【思考4】已知：關(guān)于的一元二次方程．

（1）求證：不論取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若方程的兩個實數(shù)根滿足，求的值．

【思路分析】這一題第二問有些同學(xué)想到直接平方來去絕對值,然后用韋達(dá)定理進(jìn)行求解,但是這樣的話計算量就會非常大,所以此題繞過韋達(dá)定理,直接用根的判別式寫出,

發(fā)現(xiàn)都是關(guān)于m的一次表達(dá)式,做差之后會得到一個定值.于是問題輕松求解.這個題目告訴我們高級方法不一定簡單,有的時候最笨的辦法也是最好的辦法.

第三部分思考題解析

【思考1解析】

解：（1）由題意得，．

∴．

∵為正整數(shù)，

∴．

（2）當(dāng)時，方程有一個根為零；

當(dāng)時，方程無整數(shù)根；

當(dāng)時，方程有兩個非零的整數(shù)根．

綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意．

當(dāng)時，二次函數(shù)為，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為．

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于

兩點，則，．

依題意翻折后的圖象如圖所示．

當(dāng)直線經(jīng)過點時，可得；

當(dāng)直線經(jīng)過點時，可得．

由圖象可知，符合題意的的取值范圍為．

【思考2解析】

證明：

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。

（2）

∵方程有兩個整數(shù)根，必須使且m為整數(shù)．

又∵12＜m＜40，

∴5＜＜9．

∴m=24

【思考3解析】

解：由kx=x+2，得(k-1)x=2.

依題意k-1≠0.

∴.

∵方程的根為正整數(shù)，k為整數(shù),

∴k-1=1或k-1=2.

∴k1=2,k2=3.

（2）解：依題意，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc的圖象經(jīng)過點（1，0），

∴0=a-b+kc,kc=b-a.

∴

=

（3）證明：方程②的判別式為Δ=(-b)2-4ac=b2-4ac.

由a≠0,c≠0,得ac≠0.

(i)若ac0,則-4ac0.故Δ=b2-4ac0.此時方程②有兩個不相等的實數(shù)

根.

(ii)證法一:若ac0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc.

Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac

=(a-kc)2+4ac(k-1).

∵方程kx=x+2的根為正實數(shù)，

∴方程(k-1)x=2的根為正實數(shù).

由x0,20,得k-10.

∴4ac(k-1)0.

∵(a-kc)20,

∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)0.此時方程②有兩個不相等的實數(shù)根.

證法二:若ac0,

∵拋物線y=ax2-bx+kc與x軸有交點,

∴Δ1=(-b)2-4akc=b2-4akc0.

(b2-4ac)-(b2-4akc)=4ac(k-1).

由證法一知k-10,

∴b2-4acb2-4akc0.

∴Δ=b2-4ac0.此時方程②有兩個不相等的實數(shù)根.

綜上,方程②有兩個不相等的實數(shù)根.

【思考4解析】

（1）-

不論取何值，方程總有兩個不相等實數(shù)根

（2）由原方程可得

∴--

∴

又∵

∴

∴-

經(jīng)檢驗：符合題意．

∴的值為4．

一元二次方程學(xué)案