小學教學教案

正方形教學示例。

延伸閱讀

矩形、正方形2

第四章四邊形性質探索
４．矩形、正方形（二）

一．學生情況分析
學生已經(jīng)學習了平行四邊形的性質和判定，也學習了一種特殊的平行四邊形——菱形的性質和判定，對于類似的問題有一定的學習精力、經(jīng)驗和感受，這將更有利于學生對本節(jié)課的學習。

二．教學任務分析
教學目標：
知識目標：
1.掌握正方形的定義，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關系。
2.掌握正方形的性質定理1和性質定理2。
3.正確運用正方形的性質解題。
能力目標：
1.通過四邊形的從屬關系滲透集合思想。
2．在直觀操作活動和簡單的說理過程中，發(fā)展學生初步的合情推理能力、主動探究習慣，逐步掌握說理的基本方法。
情感與價值觀
1.通過理解四種四邊形內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學生辯證觀點
教學重點：正方形的性質的應用．
教學難點：正方形的性質的應用．

三、教學過程設計
課前準備
教具準備:一個活動的平行四邊形木框、白紙、剪刀．
學生用具：白紙、剪刀
教學過程設計分成四分環(huán)節(jié)：
第一環(huán)節(jié)：巧設情境問題，引入課題
第二環(huán)節(jié)：講授新課
第三環(huán)節(jié)：新課小結
第四環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

第一環(huán)節(jié)巧設情境問題，引入課題
進入正題，提出本節(jié)課的研究主題——正方形
第二環(huán)節(jié)講授新課
主要環(huán)節(jié)
（1）呈現(xiàn)兩種通過不同途徑得到正方形的過程，給正方形下定義
（2）討論正方形的性質
（3）通過練習加強對正方形性質的理解
（4）尋找平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的相互關系。
（5）尋找正方形的判定方法
目的：
1．正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形和菱形，因此想得到一個正方形，可以在矩形的基礎上強化邊的條件得到，也可以在菱形的基礎上強化角的條件得到。于是在課上呈現(xiàn)這兩種變化，為后面尋求平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系打下基礎。
2．由于采用了兩種正方形形成的方式，因此正方形的性質和判定方法都可以從中挖掘和發(fā)現(xiàn)。
大致教學過程
呈現(xiàn)一個平行四邊形變成正方形的全過程．（演示）
由于平行四邊形具有不穩(wěn)定性，所以先把平行四邊形木框的一個角變?yōu)橹苯牵僖苿右粭l短邊，截成有一組鄰邊相等，此時平行四邊形變成了一個正方形．
這個變化過程，可用如下圖表示
由此可知：正方形是一組鄰邊相等的矩形．即：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形．
這個平行四邊形木框還可以這樣變化：先移動一條短邊，截成有一組鄰邊相等的平行四邊形，再把一個角變成直角，此時的平行四邊形也變成了正方形．
這個變化過程，也可用圖表示
你能根據(jù)上面的變化過程，給正方形下定義嗎？
一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．正方形是一個角為直角的菱形，所以可以說：有一個角是直角的菱形叫做正方形．
由此可知：正方形是特殊的矩形，即是鄰邊相等的矩形，也是特殊的菱形，即是有一個角是直角的菱形．
因為正方形是平行四邊形、菱形、矩形，所以它的性質是它們的綜合，不僅有平行四邊形的所有性質，也有矩形和菱形的特殊性質，即：正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質．
正方形的性質：
邊：對邊平行、四邊相等
角：四個角都是直角
對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．

正方形是軸對稱圖形嗎？如是，它有幾條對稱軸？
正方形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸，即：兩條對角線，兩組對邊的中垂線．

例題
［例1］如圖，四邊形ABCD是正方形，兩條對角線相交于點O，求∠AOB，∠OAB的度數(shù)．
分析：本題是正方形的性質的直接應用．正方形的性質很多，要恰當運用，本題主要用到正方形的對角線的性質，即正方形的軸對稱性．
解：正方形ABCD是菱形，對角線AC，BD一定互相垂直，所以∠AOB=90°．正方形ABCD是矩形，又是菱形，所以：∠BAD=90°且對角線AC平分∠BAD，因此：∠OAB=45°

拿出準備好的剪刀、白紙來做一做
將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開，怎樣剪才能剪出一個正方形？（學生動手折疊，想，剪切）
只要保證剪口線與折痕成45°角即可．因為正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，把折痕作對角線，這時只需剪一個等腰直角三角形，打開即是正方形．

正方形是平行四邊形、矩形、又是菱形，那么它們四者之間有何關系呢？
正方形、矩形、菱形及平行四邊形四者之間有什么關系呢？
它們的包含關系如圖：

此圖給出了正方形的判別條件，即怎樣判定一個平行四邊形是正方形？
先判定一個四邊形是平行四邊形，再判定這個平行四邊形是矩形，然后再判定這個矩形是菱形；或者先判定一個四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形．
由于判定平行四邊形、矩形、菱形的方法各異，所給出的條件不一樣，所以判定一個四邊形是不是正方形的具體條件相應可作變化，在應用時要仔細辨別后才可以作出判斷．

第三環(huán)節(jié)課堂練習
教材隨堂練習1，2

第四環(huán)節(jié)課時小結

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形．
正方形的性質與平行四邊形、矩形、菱形的性質可比較如下：（出示小黑板）

第五環(huán)節(jié)課后作業(yè)
課本習題4.71，2，3．

四．教學設計反思
在教材中，并沒有明確的給出正方形的判定定理。那么教師在課堂上應該幫助學生理清思路，使他們明確判定的方法。
為了實現(xiàn)這個目標，在本節(jié)課的開始，教師就采取了兩種方式呈現(xiàn)正方形的形成過程，在直觀上幫助學生認識了正方形與矩形、正方形與菱形之間的關系；在講解正方形性質的過程中又再次強化了這種認識。通過層層鋪墊，讓學生明確矩形＋鄰邊相等就是正方形，菱形＋一個直角就是正方形，如何判定圖形是矩形或是菱形，前面已經(jīng)學習過，因此關于正方形的判定是需要一個條件一個條件“疊加”完成的。

完美的正方形

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第十六講完美的正方形
有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形，換句話說：正方形是各邊都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性質．
矩形、菱形，正方形都是特殊的四邊形，它們的概念交錯，關系復雜，性質有許多相似之處，一些判定和性質定理又是可逆的，所以在學習中注重概念的理解，著眼于概念間的區(qū)別與聯(lián)系．
連正方形的對角線，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常與直角三角形聯(lián)系在一起，所以在解有關正方形問題時要用到直角三角形性質，具有代數(shù)風格，體現(xiàn)數(shù)形結合思想．熟悉以下基本圖形，基本結論：
例題求解
【例1】如圖，若四邊形ABCD是正方形，△CDE是等邊三角形，則∠EAB的度數(shù)為
．(北京市競賽題)
思路點撥圖中還有等腰三角形，利用等腰三角形性質計算．
注可以證明，在所有用長相等的四邊形中，正方形的面積最大．
我們熟悉的“七巧板”，那是把一塊正方形板切分成三角形、正方形、平行四邊形的7塊，用它可以拼出許多巧妙的圖形，“七巧板”是我國古代人民智慧的結晶．
【例2】如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，過O作OC⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，則EF的長為()
A．7B．5C．4D．3
(江蘇省泰州市中考題)

思路點撥AE、CF、EF不在同一個三角形中，運用全等三角形尋找相等的線段，使分散的條件集中到同一個三角形中．
【例3】如圖，正方形ABCD中，E、F是AB、BC邊上兩點，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求證：DC=DA．
(重慶市競賽題)

思路點撥構造AE+FC的線段是解本例的關鍵．
【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中點，E是AB延長線上一點，MN⊥DM且交∠CBZ的平分線于N(如圖甲)．
(1)求證：MD=MN
(2)若將上述條件中的“M是AB中點”改為“M是AB上的任意一點”，其余條件不變(如圖乙)，則結論“MD=MN”還成立嗎?如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由．
(上海市閩行區(qū)中考題)
思路點撥對于圖甲，取AD中點F，通過構造全等三角形證明MD=MN；這種證法能否遷移到圖乙情景中去?從而作出正確的判斷．
注探索是學習的生命線，深入探究、學會探索是時代提出的新要求．數(shù)學解題中的探索活動可從以下幾個方面進行：
(1)在題設條件不變情況下，發(fā)現(xiàn)挖掘更多的結論；
(2)通過強化或弱化來改變條件，考查結論是否改變或尋求新的結論；
(3)構造逆命題．
對于例3，請讀者思考，在不改變題設條件的前提下，
(1)∠EDF等于多少度?
(2)怎樣證明明逆命題?
例4改變點的位置，賦以運動，從特殊到一般，(1)的結果為(2)的猜想提供了借鑒的依據(jù)，又為猜想設置了障礙，前面的證明思路是后面的證明模式．
【例5】操作：將一把三角尺放在邊長為l的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q．
探究：設A，P兩點間的距離為x
(1)當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系?試證明你觀察得到的結論；
(2)當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的關系式，并寫出x的取值范圍；
(3)當點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的x的值；
如果不可能，試說明理由(圖1、圖2、圖3的形狀大小相同，圖1供操作、實驗用，圖2、圖3備用)．
思路點撥本例是探究式的操作型試題，第(1)問需抓住滑動中∠BPQ是直角這一不變量，畫出滑動中一般情形的圖形，通過觀察提出猜想，再給予論證，第(3)問需要在操作中觀察出使△PCQ是等腰三角形的兩種情形．
注數(shù)學學習是一個生動活潑的過程，動手實踐，自主探索是學習數(shù)學的重要形式，它說明了存在的事實是怎樣被發(fā)現(xiàn)和被發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象又是怎樣獲得證實的，解這類問題，需邊操作，邊觀察、邊思考，綜合運用相關知識方法探究結論．
學力訓練
1．如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，將△ABP繞點B順時針方向旋轉能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′=．河南省中考題)
2．如圖，正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，CE=CF，若∠BEC=60°，則∠EFD的度數(shù)為．(蘇州市中考題)
3．如圖，∠POQ=90°，邊長為2㎝的正方形ABCD的頂點B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，則A、D到OP的距離分別為．(南京市中考題)

4．如圖，正方形ABCD中，CE⊥MN，若∠MCE＝35°，則∠ANM的度數(shù)是．
5．如圖，E是邊長為l的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE=BC，P為CE上任意一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于點R，則PQ+PR的值為()(河北省中考題)
A．B．C．D．

矩形、正方形1

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第四章四邊形性質探索
總課時：12課時使用人：
備課時間：開學第一周上課時間：第七周
第6課時：4、4矩形、正方形（1）
教學目標：
知識與技能
1．掌握矩形的概念、性質和判別條件.
2．提高對矩形的性質和判別在實際生活中的應用能力.
過程與方法
經(jīng)歷探索矩形的性質和判別條件的過程，在直觀操作活動和簡單的說理過程中發(fā)展合情推理能力，主觀探索習慣，逐步掌握說理的基本方法.
情感態(tài)度與價值觀
在操作活動過程中，加深對矩形的的認識，以此激發(fā)學生的探索精神。

教學重點：本節(jié)課的重點是矩形的性質和常用判別方法的理解和掌握。
教學難點：本節(jié)課的難點是矩形的性質和常用判別方法的綜合應用。
教學準備：
教具準備：像框；用四根木條制作一個平行四邊形教具．
學生用具：皮筋，活動的平行四邊形框架．
教學過程
第一環(huán)節(jié)巧設情境問題，引入課題（3分鐘，學生觀察思考）
給出活動的平行四邊形教具，請學生觀察當它的一個內(nèi)角由銳角變?yōu)殁g角的過程中，會形成怎樣的特殊圖形情況．（進行演示，如圖）進而引入本節(jié)課的主題——矩形。（當然這一過程，也可以通過計算機演示）

第二環(huán)節(jié)講授新課（35分鐘，學生小組探究，全班交流）
主要環(huán)節(jié)：
（1）根據(jù)演示過程，請學生嘗試給矩形下定義。
（2）尋找生活中的矩形。
（3）探索矩形的性質。
（4）通過練習，加強學生對矩形性質的理解。
（5）矩形的判定。
（6）從對稱的角度再認識矩形。
1．矩形是學生比較熟悉的圖形，小學甚至更早學生就已經(jīng)接觸到。但是當時對于矩形的理解和認識是停留在表象層面的，即提到矩形，學生往往聯(lián)想到的是具體的圖形和形象，不能離開實物去研究圖形。隨著學生的思維水平的提高，這里采取的動畫的方式，請學生給矩形下定義，就是要讓學生在直觀從把握矩形的本質特征，從而將對矩形的理解上升到形式化的高度。
2．對矩形性質的探索，采用了類比的方式，在平行四邊形性質的基礎上加強條件。在討論的過程中，進一步得到了直角三角形的一個性質（斜邊上的中線等于斜邊的一半）
3．通過將性質“反過來”的方法（逆命題），得到矩形的判定條件。

第（3）－（6）的主要過程：
拿出準備好的平行四邊形活動框架，來做一做：
在一個平行四邊形活動框架上，用兩根像皮筋分別套在相對的兩個頂點上，拉動一對不相鄰的頂點，改變平行四邊形的形狀：
（1）隨著∠α的變化，兩條對角線的長度分別是怎樣變化的？
（2）當∠α是銳角時，兩條對角線的長度有什么關系？當∠α是鈍角時呢？
（3）當∠α是直角時，平行四邊形變成矩形，此時兩條對角線的長度有什么關系？
（學生進行活動，探索矩形的性質）
當∠α是銳角或鈍角時，兩條對角線是不相等的．
當∠α是直角時，平行四邊形變?yōu)榫匦?，這時兩條對角線的長度相等．

歸納矩形的性質：（引導學生歸納，并體會矩形的“對稱美”.）
1．矩形的對邊平行且相等；
2．矩形的四個角都是直角；
3．矩形的對角線相等且互相平分；
4．矩形是軸對稱圖形.

［例1］如圖在矩形ABCD中，兩條對角線AC，BD相交于點O，∠AOB=60°，AB=4cm．
（1）判定△AOB的形狀；
（2）求對角線的長。

分析：要判定△AOB的形狀，由于∠AOB=60°，所以可考慮這個三角形是等邊三角形．由矩形的性質知：OA=OB．即△AOB是全等三角形．由“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”，得出結論．
要求對角線的長可直接應用矩形的性質．
解：（1）在矩形ABCD中，對角線AC與BD互相平分且相等，于是OA=OB．
又∠AOB=60°，可知△AOB是等邊三角形．
（2）OA=AB=4cm，DB=CA=2OA=8cm．
因此：對角線的長為8cm.

提問：對角線相等的平行四邊形是怎樣的四邊形？為什么？與同伴交流．
（對角線相等的平行四邊形是矩形．）
如圖，在ABCD中，AB=CD，BD=AC，BC=BC∴△ABC≌△DCB（SSS）

∴∠ABC=∠DCB．
在ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴2∠ABC=180°，即∠ABC=90°
∴ABCD是矩形．
∴對角線相等的平行四邊形是矩形．
采用逆命題的方式得到矩形的一個判定方法，進一步總結矩形的兩個判別方法：
１.有一個角是直角的平行四邊形是矩形.
2.對角線相等的平行四邊形是矩形.

議一議：（展示問題，引導學生討論解決.）
①矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？如果不是，簡述你的理由.
②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半，你能用矩形的有關性質解釋這結論嗎？（進一步得到一個關于直角三角形的性質。）

第三環(huán)節(jié)新課小結:（2分鐘，師生共同總結）
通過本節(jié)課的學習,你有什么收獲?
第四環(huán)節(jié)課后作業(yè)習題4、6
A組（優(yōu)等生）：1
B組（中等生）：1
C組（后三分之一生）：1
教學反思：