高中安全第一課教案

二次根式的運(yùn)算（第一課時(shí)）教案(浙教版)。

課題§1.3二次根式的運(yùn)算（第一課時(shí)）
課時(shí)
教學(xué)
目標(biāo)1．了解二次根式的運(yùn)算法則是由二次根式的性質(zhì)得到的；
2．會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式乘除運(yùn)算。
教學(xué)
設(shè)想重點(diǎn)：二次根式的運(yùn)算法則；例1（3）和例2的計(jì)算過(guò)程涉及多種運(yùn)算和運(yùn)算法則，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)
教學(xué)程序與策略
一、預(yù)習(xí)檢測(cè)：
1.想一想：你能計(jì)算嗎？

2.與小組同學(xué)交流，比較你的計(jì)算方法，哪一種更簡(jiǎn)單：
二、合作交流：
1．歸納得出：
二次根式的乘除運(yùn)算法則
三、鞏固練習(xí)：
1計(jì)算
（1）（2）（3）

2.歸納二次根式的乘除運(yùn)算的一般步驟：（1）運(yùn)用法則，化歸為根號(hào)內(nèi)的
實(shí)數(shù)運(yùn)算；（2）完成根號(hào)內(nèi)乘除運(yùn)算；（3）化簡(jiǎn)二次根式。
3、完成課內(nèi)練習(xí)：課本P12頁(yè)：第1、2題

四、拓展提高：
一個(gè)正三角形路標(biāo)如圖。
若它的邊長(zhǎng)為個(gè)單位，求這個(gè)路標(biāo)的面積。
分析：要求路標(biāo)的面積，應(yīng)先求出ＢＣ邊上的高
用勾股定理求高的算式中應(yīng)注意二次根式的化簡(jiǎn)，強(qiáng)
調(diào)：計(jì)算結(jié)果中沒有預(yù)定精確度要求，結(jié)果可以用
化簡(jiǎn)的二次根式表示。世紀(jì)教育網(wǎng)

五、課堂小結(jié)
二次根式的運(yùn)算（乘除運(yùn)算）:
六、堂堂清
1:作業(yè)本（2）
教后反思錄
在師生互動(dòng)方面，教師注重問(wèn)題設(shè)計(jì)，注重引導(dǎo)、點(diǎn)撥及提高性總結(jié)。使學(xué)生學(xué)中有思、思中有獲。如本節(jié)課開始，出示書中例題，讓學(xué)生先進(jìn)行思考，解答。然后同學(xué)說(shuō)出怎樣進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。強(qiáng)調(diào)：運(yùn)算順序及運(yùn)算律和有理數(shù)相同。jaB88.CoM

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《二次根式的加減》第一課時(shí)教案分析

《二次根式的加減》第一課時(shí)教案分析

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1．內(nèi)容
二次根式加減運(yùn)算．
2．內(nèi)容解析
在二次根式性質(zhì)和乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)上，本課進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次根式的加減運(yùn)算．二次根式的加減法是把二次根化為最簡(jiǎn)二次根式后，合并被開方數(shù)相同的二次根式就可以了，所以本課內(nèi)容與整式的加減法類似，在教學(xué)中可以讓學(xué)生體會(huì)類比思想的實(shí)質(zhì)，通過(guò)具體例子，引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)二次根式加減運(yùn)算的核心是合并被開方數(shù)相同的二次根式，基本依據(jù)是二次根式的性質(zhì)和分配律．
基于以上分析，可以確定本課的教學(xué)重點(diǎn)是應(yīng)用分配律進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算．
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1．目標(biāo)
（1）掌握二次根式加減運(yùn)算的步驟和方法．
（2）會(huì)靈活運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算．
2．目標(biāo)解析
達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是學(xué)生經(jīng)歷類比合并同類項(xiàng)的方法后能探究歸納，概括出二次根式加減運(yùn)算的方法，先把每一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再運(yùn)用分配律合并被開方數(shù)相同的二次根式．
目標(biāo)（2）是通過(guò)例題教學(xué)使學(xué)生掌握運(yùn)算的技巧方法，并能在練習(xí)中加以運(yùn)用，能說(shuō)出依據(jù)．
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
類比思想是根據(jù)不同對(duì)象在某些方面的類似之處，猜想新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別．在二次根式的加減運(yùn)算中，最后是合并被開方數(shù)相同的二次根式．但幾個(gè)二次根式是否可以合并，這一判斷沒有整式同類項(xiàng)的判斷直接．前者往往需要把每一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，這會(huì)造成學(xué)生學(xué)習(xí)的困難．所以在教學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比時(shí)，指向一定要明確，由淺入深，總結(jié)得出“一化簡(jiǎn)”、“二判斷”、“三合并”的步驟．
本課的教學(xué)難點(diǎn)是準(zhǔn)確判斷可以合并的二次根式，靈活運(yùn)用性質(zhì)、算律運(yùn)算．
四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
（一）創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題
問(wèn)題1：現(xiàn)有一塊長(zhǎng)7．5dm，寬50dm的木板，能否采用如課本圖16．3－1所示的方式，在這塊木板上截出兩個(gè)面積分別是8dm2和18dm2的正方形木板？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，分析題意．
追問(wèn)1：滿足什么條件才能截出兩塊正方形木板？你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生討論得出“長(zhǎng)夠、寬也夠”，＜5，＜5，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“長(zhǎng)是否夠？”，即轉(zhuǎn)化為比較+與7．5大小問(wèn)題，這就需要計(jì)算+．引出課題“二次根式的加減”．
追問(wèn)2：你認(rèn)為可以怎樣計(jì)算+？
師生活動(dòng)：讓學(xué)生討論，教師了解學(xué)生的思路，有的學(xué)生提出可先估計(jì)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，再把它們的值與木板的長(zhǎng)比較；有的提出可化簡(jiǎn)求和，教師適時(shí)給予肯定評(píng)價(jià)．
設(shè)計(jì)意圖：用實(shí)際問(wèn)題引出+是讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)二次根式加減運(yùn)算的必要性和意義．通過(guò)分析如何計(jì)算+讓學(xué)生了解到本課內(nèi)容并不是孤立的全新知識(shí)，而與二次根式的化簡(jiǎn)密切相關(guān)．
（二）探索新知，解決問(wèn)題
問(wèn)題2：化簡(jiǎn)結(jié)果是多少？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，并復(fù)習(xí)合并同類項(xiàng)的方法．
追問(wèn)1：你能化簡(jiǎn)嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生指出它們不是同類項(xiàng)不能合并，老師給予肯定評(píng)價(jià)．
追問(wèn)2：你能化簡(jiǎn)嗎？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生類比合并同類項(xiàng)，令，學(xué)生總結(jié)方法得出結(jié)果．
追問(wèn)3：能化簡(jiǎn)嗎？與上題區(qū)別在哪？
師生活動(dòng)：學(xué)生討論，教師引導(dǎo)，令，，得出結(jié)論：不能、的被開方數(shù)不相同．
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷類比合并同類項(xiàng)的方法去探究二次根式加減運(yùn)算的方法,
問(wèn)題3：、都是最簡(jiǎn)二次根式，那、是最簡(jiǎn)二次根式嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答：不是、，教師給予肯定評(píng)價(jià)．
追問(wèn)1：如何化簡(jiǎn)+？
師生活動(dòng)：學(xué)生討論得出，教師引導(dǎo)學(xué)生類比合并同類項(xiàng)，總結(jié)得出二次根式加減運(yùn)算的方法．“先化成最簡(jiǎn)二次根式。再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并．”
追問(wèn)2：你能解決問(wèn)題情景中的實(shí)際問(wèn)題嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答：＜7．5．可以在這塊木板上截出兩個(gè)正方形，教師給予肯定評(píng)價(jià)．
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受到合并同類項(xiàng)與二次根式加減運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別，歸納概括出二次根式加減運(yùn)算的步驟．“一化簡(jiǎn)，二判斷，三合并．”
問(wèn)題3：化簡(jiǎn)
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考計(jì)算，請(qǐng)學(xué)生板演，說(shuō)出計(jì)算步驟與依據(jù)（二次根式的性質(zhì)和分配律）．
設(shè)計(jì)意圖：將具體數(shù)字的運(yùn)算推廣到含有字母的一般二次根式加減運(yùn)算，滲透從特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)強(qiáng)化算理．
（三）典型例題
例1計(jì)算（1）；（2）；
（3）；（4）．
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成計(jì)算，教師強(qiáng)調(diào)步驟和算理，對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤給予評(píng)價(jià)．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步鞏固二次根式加減運(yùn)算的步驟和算理．
練習(xí)1下列計(jì)算是不正確？為什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
練習(xí)2計(jì)算
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）．
設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)1可引導(dǎo)學(xué)生辨析計(jì)算中的常見錯(cuò)誤；練習(xí)2加強(qiáng)對(duì)已學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)，檢驗(yàn)本堂課教學(xué)的知識(shí)目標(biāo)達(dá)成度．
（四）課堂小結(jié)
1．二次根式加減運(yùn)算的一般步驟與依據(jù)是什么？
2．在二次根式加減運(yùn)算中，有哪些地方易錯(cuò)？
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)歸納總結(jié)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生記憶的優(yōu)化，知識(shí)的內(nèi)化．
五、同步練習(xí)
1．填空
（1）（2）＝
（3）（4）
設(shè)計(jì)意圖：用分配律做二次根式加減運(yùn)算．
2．下列二次根式能與合并的是（）
①②③④
A．①與②B．②與③C．③與④D．①與④
設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)調(diào)二次根式加減運(yùn)算的基礎(chǔ)是將二次根化成最簡(jiǎn)二次根式．

二次根式的運(yùn)算（第二課時(shí)）

課題§1.3二次根式的運(yùn)算（第二課時(shí)）
課時(shí)
教學(xué)
目標(biāo)1，會(huì)進(jìn)行二次根式的四則混合運(yùn)算
2，會(huì)應(yīng)用整式的運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算
3，體驗(yàn)和掌握遷移、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想與方法
教學(xué)
設(shè)想重點(diǎn)、難點(diǎn)：二次根式的四則混合運(yùn)算是重點(diǎn)；整式的乘法公式和法則遷移到二次根式的運(yùn)算是難點(diǎn)
教學(xué)程序與策略
一、預(yù)習(xí)檢測(cè)：
(1)兩列火車分別運(yùn)煤2x噸和3x噸,問(wèn)這兩列火車共運(yùn)多少？_______________
(2)兩列火車分別運(yùn)煤2x噸和3y噸,問(wèn)這兩列火車共運(yùn)多少？______________
以下問(wèn)題你能用同樣的方法計(jì)算嗎？

運(yùn)用以前所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)

二、合作交流
1．與合并同類項(xiàng)類似,我們可以把相同二次根式的項(xiàng)合并.
2．計(jì)算

說(shuō)明：多項(xiàng)式的乘法公式和法則同樣適用于二次根式。
3．歸納與猜想：觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程：

⑴按上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想的變化結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證
⑵針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出n（n為任意自然數(shù)，且n≥2）表示的等式并進(jìn)行驗(yàn)證。21世紀(jì)教育網(wǎng)
三．鞏固練習(xí)
1、彗眼識(shí)真：下列計(jì)算哪些正確，哪些不正確？

2．先化簡(jiǎn)，再求出近似值（精確到0.01）
二次根式加減運(yùn)算的一般步驟是：先化簡(jiǎn)，再合并。
3.計(jì)算
說(shuō)明：（1）二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算次序是：先乘除，后加減；
（2）整式運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算律對(duì)二次根式同樣適用。
（3）二次根式的運(yùn)算結(jié)果能化簡(jiǎn)的必須化簡(jiǎn)。
四、拓展提高題：（1）比較根式的大小.（2）

五、課堂小結(jié)
本堂課我們學(xué)到了什么新知識(shí)？
六、堂堂清
（１）作業(yè)本；（２）書上Ａ組，選做Ｂ組

教后反思錄

二次根式的運(yùn)算

第七講二次根式的運(yùn)算
式子(≥0)叫二次根式，二次根式的運(yùn)算是以下列運(yùn)算法則為基礎(chǔ)．
(1)(≥0)；
(2)()；
(3)()；
(4)(0)．
同類二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它們貫穿于二次根式運(yùn)算的始終，因?yàn)槎胃降募訙p實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式，二次根式除法、混合運(yùn)算常用到有理化概念．
二次根式的運(yùn)算是在有理式(整式、分式)運(yùn)算的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，常常用到有理式運(yùn)算的方法與技巧，如換元、字母化、拆項(xiàng)相消、分解相約等．
例題求解
【例1】已知，則=．
(重慶市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥因一個(gè)等式中含兩個(gè)未知量，初看似乎條件不足，不妨從二次根式的定義入手．
注：二次根式有如下重要性質(zhì)：
(1)，說(shuō)明了與、一樣都是非負(fù)數(shù)；
(2)(0)，解二次根式問(wèn)題的途徑——通過(guò)平方，去掉根號(hào)有理化；
(3)，揭示了與絕對(duì)值的內(nèi)在一致性．
著名數(shù)學(xué)教育家玻利亞曾說(shuō)，“回到定義中去”，當(dāng)我們面對(duì)條件較少的問(wèn)題時(shí)，記住玻利亞的忠告，充分運(yùn)用概念解題．
【例2】化簡(jiǎn)，所得的結(jié)果為（）
A．B．C．D．
(武漢市選拔賽試題)
思路點(diǎn)拔待選項(xiàng)不再含根號(hào)，從而可預(yù)見被開方數(shù)通過(guò)配方運(yùn)算后必為完全平方式形式．
注特殊與一般是能相互轉(zhuǎn)化的，而一般化是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基本形式，數(shù)學(xué)的根本目的就是要揭示更為普遍、更為深刻的事實(shí)和規(guī)律．

【例3】計(jì)算：
（1）；
（2）；
（3）；
．
思路點(diǎn)撥若一開始就把分母有理化，則使計(jì)算復(fù)雜化，觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點(diǎn)，通過(guò)分拆、分解、一般化、配方等方法尋找它們的聯(lián)系，以此為解題的突破口．
【例4】(1)化簡(jiǎn)；(北京市競(jìng)賽題)
(2)計(jì)算(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
(3)計(jì)算．(湖北省孝感市“英才杯”競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥（1）把4+2萬(wàn)與4—2分別化成一個(gè)平方數(shù)化簡(jiǎn)，此外，由于4+2與4—2是互為有理化因式，因此原式平方后是一個(gè)正整數(shù)，我們還可以運(yùn)用這一特點(diǎn)求解；(3)通過(guò)配方，可以簡(jiǎn)化一重根號(hào)，解題的關(guān)鍵是就a的取值情況討論，解決含根號(hào)、絕對(duì)值符號(hào)的綜合問(wèn)題．
【例5】已知，求的值．
(山東省競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥已知條件是一個(gè)含三個(gè)未知量的等式，三個(gè)未知量，一個(gè)等式怎樣才能確定未知量的值呢?考慮從配方的角度試一試．
學(xué)歷訓(xùn)練
1．如果，那么=．
(四川省競(jìng)賽題)
2．已知，那么的值為．(成都市中考題)
3．計(jì)算=．(天津市選拔賽試題)
4．若ab≠0，則等式飛成立的條件是．(淄博市中考題)
5．如果式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為，則x的取值范圍是()
A．x≤1B．x≥2C．1≤x≤2D．x0(徐州市中考題)
6．如果式子根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）
A．B．C．D．
7．已知，則的值為()
A．B．C．D．
8．已知，那么的值等于（）
A．B．C．D．3
9．計(jì)算：
(1)；
（2）；(北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)
（3）；
（4）
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
10．(1)已知與的小數(shù)部分分別是a和b，求ab－3a+4b+8的值；
(2)設(shè)，，n為自然數(shù)，如果成立，求n．
11．如圖，某貨船以20海里／時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨．此時(shí)，接到氣象部門通知，一臺(tái)風(fēng)中心正以40海里／時(shí)的速度由A向北偏西60°方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均會(huì)受到影響．
（1）問(wèn)：B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)為避免受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物?
(供選用數(shù)據(jù)：，)(貴陽(yáng)市中考題)

12．已知，，那么=．(T1杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
13．若有理數(shù)x、y、z滿足，則=．
(北京市競(jìng)賽題)
14．設(shè)，其中a為正整數(shù)，b在0，1之間，則=．
15．正數(shù)m、n滿足，則=．
(北京市競(jìng)賽題)
16．化簡(jiǎn)等于()
A．5—4B．4一1C．5D．－1(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
17．若，則等于()
AB．C．1D．－1
(2004年武漢市選拔賽試題)
18．若都是有理數(shù)，那么和面()
A．都是有理數(shù)B．一個(gè)是有理數(shù)，另一個(gè)是無(wú)理數(shù)
C．都是無(wú)理數(shù)D．有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)不能確定
(第13屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
19．下列三個(gè)命題：
①若α，β是互不相等的無(wú)理數(shù)，則αβ+α－β是無(wú)理數(shù)；
②若α，β是互不相等的無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)；
③若α，β是互不相等的無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是()
A．0B．1C．2D．3(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
20．計(jì)算：
（1）；（“希望杯”競(jìng)賽題）
（2）；（山東省競(jìng)賽題）
（3）；（四川省選拔賽題）
(4)；
(5)．(新加坡中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)
21．(1)求證；
(2)計(jì)算．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）
22．(1)定義，求的值；
(2)設(shè)x、y都是正整數(shù)，且使，求y的最大值．
(上海市競(jìng)賽題)
23．試將實(shí)數(shù)改寫成三個(gè)正整數(shù)的算術(shù)根之和．
(2001年第2屆全澳門校際初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)
24．求比大的最小整數(shù)．(西安交通大學(xué)少年班入學(xué)試題)