高中集合教案

《集合》小結(jié)。

《集合》小結(jié)
【主要概念】

【典例練講】
1.（1）已知{1,a,b}={a,a2,ab},求實(shí)數(shù)a,b的值.
(2)已知二次方程x2+ax+b=0和x2+cx+15=0的解集分別為A和B,A∪B={3,5},
A∩B={3},求實(shí)數(shù)a,b,c的值.

2.（1）已知全集為R,A={x|2m+1≤x≤3m-5},CRB={x|x＜13或x＞22},AA∩B,求a的取值范圍.

(2)已知A={x|x2+2x+p=0,xR},A∩R+=,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

3.已知A={y|y=x+1,xR},B={(x,y)|y=x+1,xR},C={x|y=x+1,xR},D={y|y=x2,xR},E={(x,y)|y=x2,xR},求A∩D,A∩E,C∩D,B∩E.

4.(備選題)已知集合Ａ＝｛２，３，５，６，８｝，Ｂ＝｛１，３，５，７，１０｝．
集合Ｃ滿足：（１）若將Ｃ中的各元素都減去２，則新集合Ｃ1就是Ａ的一
個(gè)子集；（２）若Ｃ中的各元素都加３，則新集合Ｃ２就是Ｂ的一個(gè)子集．
試用列舉法表示集合Ｃ．

【隨堂反饋】
1、已知集合A={x|ax2+2x+1=0,xR}.(1)若A恰有一個(gè)子集,求a的范圍;(2)若A恰有一個(gè)元素,求a的取值集合.

2、設(shè)集合A={y|y=x2+2x+4,xR},B={y|y=x2-4x+3,xR}，給出下列結(jié)論：
①A∩B=；②AB；③A∩B={y|y≥3}；④A∩B={（）}，其中正確命題的序號是.

【課后檢測】
1.下列說法正確的是()
A.集合{x|x＜1,xN}為無限集B.方程(x-1)2(x-2)=0的解集的所有子集共有四個(gè)
C.={0}D.方程組的解集為(0,1)
2.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={3,4,5},P={1,3,6},則{2,7,8}=()
A.M∪PB.(CUM)∩(CUP)C.M∩PD.(CUM)∪(CUP)
3.已知集合M={x|x=+,kZ},P={x|x=+,kZ},則下列圖形能表示M與P的關(guān)系的是()
ABCD
4.已知全集U={x|x=,nN},A={x|x=,nN},則CUA=.
5.已知集合A={x|x-a=0},B={x|ax-1=0},A∪B=A,則實(shí)數(shù)a的值是.
6.已知集合A={2,4,x2-1},B={3,x2+mx+m},2B,且A∩B=B,求實(shí)數(shù)x與m的值.

7．已知全集U=R，M={m|關(guān)于x的方程mx2-2x-1=0有實(shí)根}，P={p|關(guān)于x的方程x2+2x+p=0有實(shí)根},求M∪（CUP）。

8.（選做題）已知集合A={a1,a2,a3,a4},B={a12,a22,a32,a42},其中a1,a2,a3,a4都是正整數(shù)且a1＜a2＜a3＜a4A∩B={a1,a4},a1+a4＝10,A∪B中所有元素的和是124.求a1,a2,a3,a4的值.

延伸閱讀

第一章集合與簡易邏輯小結(jié)

⒈理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合；掌握帶絕對值的不等式與一元二次不等式的解法．

⒉理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義；理解四種命題及其相互關(guān)系；進(jìn)一步了解反證法，會用反證法證明簡單的問題；掌握充要條件的意義．

教學(xué)重點(diǎn)：

1.有關(guān)集合的基本概念;

2.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件

【高考評析】

集合知識作為整個(gè)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，在高考中重點(diǎn)考察的是集合的化簡，以及利用集合與簡易邏輯的知識來指導(dǎo)我們思維，尋求解決其他問題的方法．

【學(xué)法指導(dǎo)】本章的基本概念較多，要力求在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶．

【數(shù)學(xué)思想】

1、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；2、求補(bǔ)集的思想；

3、分類思想；4、數(shù)形結(jié)合思想．

【解題規(guī)律】1、如何解決與集合的運(yùn)算有關(guān)的問題:

1)對所給的集合進(jìn)行盡可能的化簡；

2）有意識應(yīng)用維恩圖來尋找各集合之間的關(guān)系；

3）有意識運(yùn)用數(shù)軸或其它方法來直觀顯示各集合的元素．

2．如何解決與簡易邏輯有關(guān)的問題：

1）力求尋找構(gòu)成此復(fù)合命題的簡單命題；

2）利用子集與推出關(guān)系的聯(lián)系將問題轉(zhuǎn)化為集合問題

二、基本知識點(diǎn)：

集合：

1、集合中的元素屬性：

（1）（2）（3）

2、常用數(shù)集符號：NZQR

3、子集：數(shù)學(xué)表達(dá)式

4、補(bǔ)集：數(shù)學(xué)表達(dá)式

5、交集：數(shù)學(xué)表達(dá)式

6、并集：數(shù)學(xué)表達(dá)式

7、空集：它的性質(zhì)（1）（2）

8、如果一個(gè)集合A有n個(gè)元素（CradA=n）,那么它有個(gè)個(gè)子集，

個(gè)非空真子集

注意：（1）元素與集合間的關(guān)系用符號表示；

（2）集合與集合間的關(guān)系用符號表示

解不等式：

1、絕對值不等式的解法：

（1）公式法：|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)

(2)幾何法

(3)定義法（利用定義打開絕對值）

(4)兩邊平方

2、一元二次不等式或的求解原理：利用二次函數(shù)的圖象通過二次函數(shù)與二次不等式的聯(lián)系從而推證出任何一元二次不等式的解集

對應(yīng)的圖形

不等式

△0

△=0

△0

3、分式、高次不等式的解法：

4、一元二次方程實(shí)根分布：

簡易邏輯：

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡單命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：p或q(記作“p∨q”)；p且q(記作“p∧q”)；非p(記作“┑q”)

3、“或”、“且”、“非”的真值判斷

（1）“非p”形式復(fù)合命題的真假與P的真假相反；

（2）“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假；

（3）“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真．

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則p；

否命題：若┑P則┑q；逆否命題：若┑q則┑p

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題．

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題逆否命題)

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真

②、原命題為真，它的否命題不一定為真

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真

6、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出(與已知、公理、定理…)矛盾，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法

7、如果已知pq那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件

判斷兩條件間的關(guān)系技巧：

（1）（2）

注意：（1）復(fù)合命題的三種形式與假言命題中的四種命題的區(qū)別

（2）復(fù)合命題中的“p或q”與假言命題中的“若p則q”它們的“P”的區(qū)別

三、鞏固訓(xùn)練

（一）、選擇題：

1、下列關(guān)系式中不正確的是（）

A0B0C0D0

2、下列語句為命題是（）

A等腰三角形B對頂角相等C≥0D0是自然數(shù)嗎？

3、命題“方程|x|=1的解是x=±1”中，使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的情況是（）

A使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”B使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”

C使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”D沒有使用邏輯聯(lián)結(jié)詞

4、不等式的解集為（）

ABCD

5、不全為0的充要條件是（）

A都不是0B最多有一個(gè)是0

C只有一個(gè)是0D中至少有一個(gè)不是0

6、≥（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件

C充分必要條件D即不充分也不必要條件

7、如果命題則

A即不充分也不必要條件B必要而不充分條件

C充分而不必要條件D充要條件

8、至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是（）

ABCD

（二）、填空題：

9、不等式的解集是則＝＝

10、分式不等式的解集為：_______________.

11、命題“”的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題有____個(gè).

12、設(shè)A=，B=，若AB，則的取值范圍是________.

（三）、解答題：

13、解下列不等式

①

②

③||

④()

14、利用反證法證明：

15、已知一元二次不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍

16、已知集合A=，求實(shí)數(shù)的取值范圍（表示正實(shí)數(shù)集合）

高一數(shù)學(xué)教案：《集合復(fù)習(xí)小結(jié)》教學(xué)設(shè)計(jì)

高一數(shù)學(xué)教案：《集合復(fù)習(xí)小結(jié)》教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：

（1）理解集合的定義，子、交、并、補(bǔ)、全的含義，會求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；

（2）理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集；（3）能用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。

課 型：復(fù)習(xí)課

教學(xué)重點(diǎn)：子、交、并、補(bǔ)、全的含義；

教學(xué)難點(diǎn)：集合的交集與并集、補(bǔ)集；

教學(xué)過程：

一．復(fù)習(xí)回顧：

1.提問：什么叫集合？元素？集合的表示方法有哪些？

2.提問：什么叫交集？并集？補(bǔ)集？符號語言如何表示？圖形語言如何表示？

3.提問：什么叫子集？真子集？空集？相等集合？有何性質(zhì)？

4.交集、并集、補(bǔ)集的有關(guān)運(yùn)算結(jié)論有哪些？

5.集合問題的解決方法：Venn圖示法、數(shù)軸分析法。

6.集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論：

A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A

AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A

（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=

若A∩B=A，則AB，反之也成立

若A∪B=B，則AB，反之也成立

若x∈（A∩B），則x∈A且x∈B

若x∈（A∪B），則x∈A，或x∈B

高二數(shù)學(xué)數(shù)列小結(jié)

數(shù)列小結(jié)
一、數(shù)列復(fù)習(xí)提綱
1.數(shù)列的通項(xiàng)
求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：
（1）觀察與歸納法：先觀察哪些因素隨項(xiàng)數(shù)的變化而變化，哪些因素不變：分析符號、數(shù)字、字母與項(xiàng)數(shù)在變化過程中的聯(lián)系，初步歸納公式。
（2）公式法：等差數(shù)列與等比數(shù)列。
（3）利用與的關(guān)系求：
（4）構(gòu)造新數(shù)列法；（5）逐項(xiàng)作差求和法；（6）逐項(xiàng)作商求積法
2.等差數(shù)列中：
（1）等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性；（2）；
（3）也成等差數(shù)列；(4)兩等差數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)和(差)組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.
(5),……仍成等差數(shù)列.
（6），，
(7)若，則；若，則.
(8)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；
（9）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則叫做的等差中項(xiàng)。
（10）判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法
3.等比數(shù)列中：
（1）等比數(shù)列的符號特征(全正或全負(fù)或一正一負(fù))，等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性。
（2）；
（3）、成等比數(shù)列；成等比數(shù)列成等比數(shù)列.
（4）兩等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.
（5），……成等比數(shù)列.
（6）.
（7）；.
（8）并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng).僅當(dāng)實(shí)數(shù)同號時(shí)，實(shí)數(shù)存在等比中項(xiàng).對同號兩實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)不僅存在，而且有一對.也就是說，兩實(shí)數(shù)要么沒有等比中項(xiàng)(非同號時(shí))，如果有，必有一對(同號時(shí))。
（9）判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法
4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系：各項(xiàng)都不為零的常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列
5.數(shù)列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式
③，，
，.
（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.
（3）倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.
（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的的等比數(shù)列的和”求解
(5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：
①②，③
二、自我檢測
一、選擇題（5分10=50分）
1．一個(gè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)是32，若這個(gè)數(shù)列從15項(xiàng)開始小于1，那么這個(gè)數(shù)列的公差d的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．已知等差數(shù)列{bn},d=-3，b7=10，則b1是()
A．-39B．28C．39D．32
3．在等差數(shù)列{an}中，，S5=40，則a10為（）
A．27B．28C．29D．30
4．?dāng)?shù)列{an}成等比數(shù)列，a6=3，則的值等于（）
A．35B．36C．37D．38
5．如果將20、50、100各加上同一個(gè)常數(shù)能組成一個(gè)等比數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列的公比是（）
A．B．C．D．
6．在等差數(shù)列{an}中，已知，則S21等于（）
A．100B．105C．200D．0
7．等比數(shù)列的前項(xiàng)，前項(xiàng)，前項(xiàng)的和分別為，，，則()
A．B．
C．D．
8．在等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn，已知S2=9，S3=21，那么公比q的值等于（）
A．2B．C．或D．1或或
9．已知等比數(shù)列{an}，公比q=且a1+a3+…+a49=30，則a1+a2+a3+…+a50等于()
A．35B．40C．45D．50
10．在等比數(shù)列中，，，則等于（）
A．和B．C．D．和
二、填空題（5分4=20分）
11．若一個(gè)三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列，且已知一個(gè)角為，則其他兩個(gè)角的度數(shù)為____________.
12．設(shè)一等差數(shù)列，由三個(gè)數(shù)組成，三個(gè)數(shù)之和為9，三個(gè)數(shù)的平方和為35，則公差d=_______
13．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，則此數(shù)列的公比為_________
14．在等比數(shù)列{an}中，S4=1，S8=4，則_________
三、解答題（共80分，要有解答過程）
15．（本小題12分）已知等差數(shù)列{an}滿足，，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

16．（本小題12分）三個(gè)數(shù)，1，成等差數(shù)列，三個(gè)數(shù)，1，成等比數(shù)列，求的值．

17．（本小題14分）有4個(gè)數(shù)，前3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且，是方程的兩個(gè)根，，求這4個(gè)數(shù)。

18．（本小題14分）已知{an}為等差數(shù)列，
（1），求。
（2）前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為27：32，求d.

19．（本小題14分）在等比數(shù)列{an}中，
（1）已知S2=30，S3=155，求an和；（2）已知，求an和a4
20．（本小題14分）設(shè)數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

課題：不等式小結(jié)與復(fù)習(xí)（1）

教學(xué)目的：

1．理解不等式的性質(zhì)及其證明，掌握證明不等式的常用方法；

2．掌握常用基本不等式，并能用之證明不等式和求最值；

3．掌握含絕對值的不等式的性質(zhì)；

4．會解一元二次不等式、分式不等式、含絕對值的不等式、簡單的高次不等式學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想方法分析和解決有關(guān)不等式的問題，形成良好的思維品質(zhì)

授課類型：復(fù)習(xí)課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：

1．基本不等式、極值定理；

2．簡述不等式證明的幾種常用方法:比較、綜合、分析、換元、反證、放縮、構(gòu)造

二、講解范例：

例1求函數(shù)的最大值，下列解法是否正確？為什么？

解一：，∴

解二：當(dāng)即時(shí)，

答：以上兩種解法均有錯誤

解一錯在取不到“=”，即不存在使得；

解二錯在不是定值（常數(shù)）

正確的解法是：

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)

例2若，求的最值

解：

∵∴

從而

即

例3設(shè)且，求的最大值

解：∵∴

又，∴

即

例4已知且，求的最小值

解：

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)

例5將一塊邊長為的正方形鐵皮，剪去四個(gè)角（四個(gè)全等的正方形），作成一個(gè)無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？

解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為則其容積為

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”

即當(dāng)剪去的小正方形的邊長為時(shí)，鐵盒的容積為

例6已知0x1,0a1，試比較的大小

解一：

∵01-x21,∴

∴

解二：

∵01-x21,1+x1,∴

∴∴

解三：∵0x1，∴01-x1,11+x2,∴

∴左-右=

∵01-x21,且0a1∴∴

例7已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd

證一：（分析法）∵a,b,c,d,x,y都是正數(shù)

∴要證：xy≥ac+bd

只需證：(xy)2≥(ac+bd)2

即(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd

展開得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

即a2d2+b2c2≥2abcd

由基本不等式，顯然成立,∴xy≥ac+bd

證二：（綜合法）xy=

≥

證三：（三角代換法）∵x2=a2+b2，∴不妨設(shè)a=xsina,b=xcosa

∵y2=c2+d2∴不妨設(shè)c=ysinb,d=ycosb

∴ac+bd=xysinasinb+xycosacosb=xycos(a-b)≤xy

例8已知x1,x2均為正數(shù)，求證：

證一：（分析法）由于不等式兩邊均為正數(shù)，平方后只須證：

即

再平方

A

B

C

D

P

M化簡整理得（顯然成立）∴原式成立

證二：（反證法）假設(shè)

化簡可得（不可能）∴原式成立

證三：（構(gòu)造法）構(gòu)造矩形ABCD，使AB=CD=1,BP=x1,PC=x2

當(dāng)APB=DPC時(shí)，AP+PD為最短取BC中點(diǎn)M，有AMB=DMC,BM=MC=,∴AP+PD≥AM+MD

即

∴

三、課堂練習(xí)：1．求下列函數(shù)的最值：

1°(min=6)

2°()

2．1°時(shí)求的最小值，的最小值

2°設(shè)，求的最大值(5)

3°若,求的最大值

4°若且，求的最小值

3．若，求證：的最小值為3

4．制作一個(gè)容積為的圓柱形容器(有底有蓋)，問圓柱底半徑和

高各取多少時(shí)，用料最省？（不計(jì)加工時(shí)的損耗及接縫用料）

四、小結(jié)：

五、課后作業(yè)：

六、板書設(shè)計(jì)（略）七、課后記：