高中函數(shù)單調(diào)性教案

2020高一數(shù)學(xué)上冊函數(shù)必背知識點梳理（函數(shù)單調(diào)性與最值）。

2020高一數(shù)學(xué)上冊函數(shù)必背知識點梳理（函數(shù)單調(diào)性與最值）

一、增函數(shù)

1、觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：
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2、從上面的觀察分析，能得出什么結(jié)論?
不同的函數(shù)，其圖象的變化趨勢不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢也不同，函數(shù)圖象的這種變化規(guī)律就是函數(shù)的單調(diào)性。

3.增函數(shù)的概念

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1
注意：
①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)
②必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2;當(dāng)x1

二、函數(shù)的單調(diào)性
如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。

【判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法】
1、根據(jù)函數(shù)圖象說明函數(shù)的單調(diào)性.例1、如圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)?
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常見考點考法

下圖是借助計算機作出函數(shù)y=-x2+2|x|+3的圖象，請指出它的的單調(diào)區(qū)間。

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2.利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：
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為大家?guī)砹巳私贪娓咭粩?shù)學(xué)必修一第二章函數(shù)單調(diào)性與最值知識點，希望大家能夠熟記這些數(shù)學(xué)知識點。

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高一數(shù)學(xué)上冊函數(shù)必背知識點梳理（北師大版）

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1、函數(shù)定義域、值域求法綜合
2.、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問題的解題策略
3、恒成立問題的求解策略
4、反函數(shù)的幾種題型及方法
5、二次函數(shù)根的問題——一題多解
指數(shù)函數(shù)y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a0,a、b屬于Q)
(a^a)^b=a^ab(a0,a、b屬于Q)
(ab)^a=a^a*b^a(a0,a、b屬于Q)
指數(shù)函數(shù)對稱規(guī)律：
1、函數(shù)y=a^x與y=a^-x關(guān)于y軸對稱
2、函數(shù)y=a^x與y=-a^x關(guān)于x軸對稱
3、函數(shù)y=a^x與y=-a^-x關(guān)于坐標(biāo)原點對稱
冪函數(shù)y=x^a(a屬于R)
1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù).
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數(shù)在(0，+∞)都有定義并且圖象都過點(1，1);
(2)時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸;
(3)時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.
方程的根與函數(shù)的零點
1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。
2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。
即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.
3、函數(shù)零點的求法：
1(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;
2(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.
4、二次函數(shù)的零點：
二次函數(shù).
(1)△0，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點.
(2)△=0，方程有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.
(3)△0，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點.

2016年高一數(shù)學(xué)上冊函數(shù)必背知識點梳理北師大版

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2016年高一數(shù)學(xué)上冊函數(shù)必背知識點梳理北師大版

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(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)
1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對應(yīng)，而函數(shù)又是一種特殊的映射.
2、對于函數(shù)的概念，應(yīng)注意如下幾點：
(1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).
(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特別是會求分段函數(shù)的解析式。
(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù)，f(u)為外函數(shù).
3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟：
(1)確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域;
(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);
(3)將x，y對換，得反函數(shù)的習(xí)慣表達式y(tǒng)=f-1(x)，并注明定義域.
注意①：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起.
②熟悉的應(yīng)用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結(jié)論，可以避免求反函數(shù)的過程，從而簡化運算。
(二)、函數(shù)的解析式與定義域
1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時，求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型：
(1)有時一個函數(shù)來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結(jié)合實際意義考慮;
(2)已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如：
①分式的分母不得為零;
②偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數(shù)y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.
應(yīng)注意，一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).
(3)已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.
已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.
2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況
(1)根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式.
(2)有時題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a，b即可.
(3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達式時，可用換元法求函數(shù)f(x)的表達式，這時必須求出g(x)的值域，這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域.
(4)若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達式.
(三)、函數(shù)的值域與最值
1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：
(1)直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域.
(2)換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元.
(3)反函數(shù)法：利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得.
(4)配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.
(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.
(6)判別式法：把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.
(7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.
(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.
2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系
求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.
如函數(shù)的值域是(0，16]，最大值是16，無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數(shù)無最大值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x0時，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.
3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用
函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積(體積)最大(最小)”等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.
(四)、函數(shù)的奇偶性
1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f(x)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)).
正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)).
2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形式：
注意如下結(jié)論的運用：
(1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)總是偶函數(shù);
(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)·g(x)是偶函數(shù)，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;
(3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);
(4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

3、有關(guān)奇偶性的幾個性質(zhì)及結(jié)論
(1)一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱;一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱.
(2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.
(4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。
(5)若f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).
(6)奇偶性的推廣
函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數(shù).
(五)、函數(shù)的單調(diào)性
1、單調(diào)函數(shù)
對于函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間[a，b]上任意兩點x1，x2，當(dāng)x1x2時，都有不等式f(x1)(或)f(x2)成立，稱f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增(或遞減);增函數(shù)或減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).
對于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解，要注意以下三點：
(1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念.一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.
(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.
(3)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，討論單調(diào)性必須在定義域范圍內(nèi).
(4)注意定義的兩種等價形式：
設(shè)x1、x2∈[a，b]，那么：
①在[a、b]上是增函數(shù);
在[a、b]上是減函數(shù).
②在[a、b]上是增函數(shù).
在[a、b]上是減函數(shù).
需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(x1，f(x1))、(x2，f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零.
(5)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且(或x1x2)，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.
5、復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性
若u=g(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在[a，b]上單調(diào)遞增;否則，單調(diào)遞減.簡稱“同增、異減”.
在研究函數(shù)的單調(diào)性時，常需要先將函數(shù)化簡，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此，掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過程.
6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法
(1)依定義進行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈M且x1(或)f(x2);③根據(jù)定義，得出結(jié)論.
(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).
如果f′(x)0，則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)0，則f(x)為減函數(shù).
(六)、函數(shù)的圖象
函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn)，應(yīng)加強對作圖、識圖、用圖能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的意識.
求作圖象的函數(shù)表達式
與f(x)的關(guān)系
由f(x)的圖象需經(jīng)過的變換
y=f(x)±b(b0)
沿y軸向平移b個單位
y=f(x±a)(a0)
沿x軸向平移a個單位
y=-f(x)
作關(guān)于x軸的對稱圖形
y=f(|x|)
右不動、左右關(guān)于y軸對稱
y=|f(x)|
上不動、下沿x軸翻折
y=f-1(x)
作關(guān)于直線y=x的對稱圖形
y=f(ax)(a0)
橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
y=af(x)
縱坐標(biāo)伸長到原來的|a|倍，橫坐標(biāo)不變
y=f(-x)
作關(guān)于y軸對稱的圖形
【例】定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.
①求證：f(0)=1;
②求證：y=f(x)是偶函數(shù);
③若存在常數(shù)c，使求證對任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù)，如果是，找出它的一個周期;如果不是，請說明理由.
思路分析：我們把沒有給出解析式的函數(shù)稱之為抽象函數(shù)，解決這類問題一般采用賦值法.
解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因為f(0)≠0，所以f(0)=1.
②令x=0，則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這說明f(x)為偶函數(shù).
③分別用(c0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=
所以，所以f(x+c)=-f(x).
兩邊應(yīng)用中的結(jié)論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，
所以f(x)是周期函數(shù)，2c就是它的一個周期。

人教版高一數(shù)學(xué)《函數(shù)單調(diào)性的運用》教案

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人教版高一數(shù)學(xué)《函數(shù)單調(diào)性的運用》教案

函數(shù)單調(diào)性的運用
體驗回顧：
1.函數(shù)滿足對任意定義域中的x1,x2成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______________；
2.設(shè)函數(shù)，若對于任意，
不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．
經(jīng)典訓(xùn)練：
【題型一】解抽象函數(shù)不等式問題
例1：定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，若，則的取值范圍是______．

練習(xí)：設(shè)是定義在（上的增函數(shù)，且滿足．若，且，求實數(shù)的取值范圍．
練習(xí)：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，若，求實數(shù)a的范圍。
練習(xí);設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．
解析：因為且，所以，又，所以，再由可知，．又因為是定義在上的增函數(shù)，從而有，解得：．故所求實數(shù)的取值范圍為．
解：定義域是即
又
是奇函數(shù)
在上是增函數(shù)即
解之得故a的取值范圍是

【題型二】數(shù)列中的單調(diào)性
例2：數(shù)列的通項，為了使不等式對任意恒成立的充要條件．
解：∵，
則，
欲使得題設(shè)中的不等式對任意恒成立，
只須的最小項即可，
又因為，
即只須且，
解得，
即，解得實數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系為且．
練習(xí)：數(shù)列滿足：，記，若對任意的恒成立，則正整數(shù)的最小值為。10；
易得：，令，而
，為減數(shù)列，
所以：，而為正整數(shù)，所以

練習(xí):設(shè)函數(shù)數(shù)列的通項.滿足
（1）.求數(shù)列的通項公式.
（2）.數(shù)列有沒有最小項.

課后作業(yè)：
1.定義在，且，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍
解：依題設(shè),且,則
則()
所以,即,從而函數(shù)在單調(diào)遞減
所以不等式
即恒成立,又，從而，從而，又，所以，從而實數(shù)a的取值范圍為
2.已知，t是大于0的常數(shù)，且函數(shù)的最小值為9，則t的值為．4
3.已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，是其前項的和，并且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求使不等式對一切均成立的最大實數(shù)；
（3）對每一個，在與之間插入個，得到新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前項和，試問是否存在正整數(shù)，使？若存在求出的值；若不存在，請說明理由.
解：（1）設(shè)的公差為，由題意，且
，
數(shù)列的通項公式為
（2）由題意對均成立
記
則
，
∴，∴隨增大而增大
∴的最小值為
∴，即的最大值為
（3）
∴在數(shù)列中，及其前面所有項之和為
，即
又在數(shù)列中的項數(shù)為：
且，
所以存在正整數(shù)使得

人教版高一數(shù)學(xué)《函數(shù)的單調(diào)性判斷》教案

人教版高一數(shù)學(xué)《函數(shù)的單調(diào)性判斷》教案

概念反思：
1.數(shù)學(xué)是一種工具：通過它可以很好的分析和解決問題。數(shù)學(xué)總是在不斷的發(fā)明創(chuàng)造中去解決所遇到的問題。
2.為了研究自然界中量與量之間的變化關(guān)系發(fā)明了函數(shù)…….同樣為了進一步研究函數(shù)值的增減變化情況發(fā)明了單調(diào)性的概念……導(dǎo)數(shù)概念的發(fā)明使我們對函數(shù)性質(zhì)的了解在單調(diào)性的基礎(chǔ)上又更深入一步……增減變化的快慢.(圖像的陡峭程度問題被數(shù)量化)
概念回顧:
函數(shù)單調(diào)性的定義
方法梳理:
1.函數(shù)單調(diào)性的判斷及運用：
①觀察法：同增異減.
②導(dǎo)數(shù)法：在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
③圖像法：變換
④用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.
對于任意的兩個數(shù)x1，x2∈I，且當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間I上的增函數(shù).
對于任意的兩個數(shù)x1，x2∈I，且當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間I上的減函數(shù).
在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜的情況下，比較f(x1)與f(x2)的大小并不很容易.
體驗回顧:
1.下列說法正確的是．
1）定義在R上的函數(shù)滿足，則為R上的單調(diào)增函數(shù)
2）定義在R上的函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，則為R上的單調(diào)增函數(shù)
3）定義在R上的函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)減函數(shù)，則為R上的單調(diào)減函數(shù)
4）定義在R上的函數(shù)滿足，則為R上不是單調(diào)減函數(shù)
2.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
①.；②.
3.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是．
4.函數(shù)，單調(diào)區(qū)間.
5.函數(shù)的最小值是.
經(jīng)典探究:
例:已知函數(shù),對于上的任意,有如下條件：①；②；③.其中是的充分條件是(將充分條件的序號都填上)___________..②,③

變式：已知函數(shù)與的定義域都是,值域分別是與,在上是增函數(shù)而是減函數(shù),求證分:在上為減函數(shù).
變式：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

解：設(shè)且，則
而在上是單調(diào)函數(shù)，在上恒正或恒負(fù)。
又，由知只有符合題意，
時，在上單減
變式：若函數(shù)f(x)＝4xx2＋1在區(qū)間(m,2m＋1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則m∈__________.
解析∵f′(x)＝4(1－x2)(x2＋1)2，令f′(x)0，得－1x1,
∴f(x)的增區(qū)間為(－1,1)．
又∵f(x)在(m,2m＋1)上單調(diào)遞增，
∴m≥－1，2m＋1≤1，∴－1≤m≤0.
∵區(qū)間(m,2m＋1)中2m＋1m，∴m－1.
綜上，－1m≤0.
答案(－1,0]
例:2三個同學(xué)對問題“關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的范圍”提出各自的解題思路：
甲說：只需不等式左邊最小值不小于右邊最大值。
乙說：把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)最值。
丙說：把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)的圖像。
參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即的范圍是
參考答案：解析一：兩邊同除以，則
當(dāng)且僅當(dāng)，兩等式同時成立，所以時，右邊取最小值10，
解析二：根據(jù)填空題特點，可用數(shù)值代入，推算值
設(shè)，將上函數(shù)值列表如下：
1234567891011
3020.517.5314.251016.1724.5735.1347.7862.579.27
可推算時，取最小值10，
解析三：
當(dāng)，
故時，取最小值10，。（此法需用結(jié)論）
命題意圖與思路點撥：本題作為填空有效考查了學(xué)生探究能力與運算變換能力，以學(xué)生交流給出的語言作為解題參考，削減難度，探討不等式恒成立的可能途徑，充分考查學(xué)生利用函數(shù)思想處理恒成立不等式問題能力，題型別致。要重視變量分離方法在解題中的作用。
變式：當(dāng)時，函數(shù)的最小值為8

變式：關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的范圍為______

變式：
變式：設(shè)，則函數(shù)(的最小值是.
課后拓展：
1.下列說法正確的有(填序號)
①若，當(dāng)時，，則在I上是增函數(shù).
②函數(shù)在R上是增函數(shù).
③函數(shù)在定義域上是增函數(shù).
④的單調(diào)區(qū)間是.
2.若函數(shù)的零點，，則所有滿足條件的的和為?
3.已知函數(shù)(為實常數(shù))．
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，設(shè)在區(qū)間的最小值為，求的表達式；
（3）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
解析：(1)2分
∴的單調(diào)增區(qū)間為()，(-,0),的單調(diào)減區(qū)間為(-)，()
(2)由于，當(dāng)∈[1,2]時，
10即
20即
30即時
綜上可得
(3)在區(qū)間[1,2]上任取、，且
則
(*)
∵∴
∴(*)可轉(zhuǎn)化為對任意、
即
10當(dāng)
20由得解得
30得
所以實數(shù)的取值范圍是