高中必修一函數(shù)教案

高一數(shù)學(xué)《反函數(shù)、冪函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)。

俗話說(shuō)，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。作為教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來(lái)，減輕教師們?cè)诮虒W(xué)時(shí)的教學(xué)壓力。優(yōu)秀有創(chuàng)意的教案要怎樣寫呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“高一數(shù)學(xué)《反函數(shù)、冪函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。

高一數(shù)學(xué)《反函數(shù)、冪函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)

1.反函數(shù)的定義
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是A，值域是C．我們從式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x=φ(y)叫函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f-1(y)，習(xí)慣表示為y=f-1(x)．注意：函數(shù)y=f(x)的定義域和值域，分別是反函數(shù)y=f-1(x)的值域和定義域，
例如：f(x)的定義域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函數(shù)定義域?yàn)閇0，+∞），值域是[-1，+∞)。
2．反函數(shù)存在的條件
按照函數(shù)定義，y=f(x)定義域中的每一個(gè)元素x，都唯一地對(duì)應(yīng)著值域中的元素y，如果值域中的每一個(gè)元素y也有定義域中的唯一的一個(gè)元素x和它相對(duì)應(yīng)，即定義域中的元素x和值域中的元素y，通過(guò)對(duì)應(yīng)法則y=f(x)存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，否則不存在反函數(shù)．例如：函數(shù)y=x2,x∈R，定義域中的元素±1，都對(duì)應(yīng)著值域中的同一個(gè)元素1，所以，沒有反函數(shù)．而y=x2,x≥1表示定義域到值域的一一對(duì)應(yīng)，因而存在反函數(shù)．
3．函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系
函數(shù)y=f(x)和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱．若點(diǎn)(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(diǎn)(b,a)在它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上．
4．反函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單命題
（1）一個(gè)奇函數(shù)y=f(x)如果存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)y=f-1(x)一定是奇函數(shù)．
（2）一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間是（減）函數(shù)，并且存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間也是增（減）函數(shù)．

定義：
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域：
當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域
性質(zhì)：
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x0，則a可以是任意實(shí)數(shù)；
排除了為0這種可能，即對(duì)于x0和x0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù)；
排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。
在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。
(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。
(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹；當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0)；a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。
(6)顯然冪函數(shù)無(wú)界。

1冪函數(shù)解析式的右端是個(gè)冪的形式。冪的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)，可以為任何實(shí)數(shù)；與指數(shù)函數(shù)的形式正好相反。
2冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)比較復(fù)雜，高考只要求掌握指數(shù)為1、2、3、-1、時(shí)冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)。
3了解其它冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，主要有：
①當(dāng)自變量為正數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的圖像都在第一象限。指數(shù)為負(fù)數(shù)的冪函數(shù)都是過(guò)點(diǎn)(1，1)的減函數(shù)，以坐標(biāo)軸為漸近線，指數(shù)越小越靠近
x軸。指數(shù)為正數(shù)的冪函數(shù)都是過(guò)原點(diǎn)和(1，1)的增函數(shù)；在x=1的右側(cè)指數(shù)越大越遠(yuǎn)離x軸。
②冪函數(shù)的定義域可以根據(jù)冪的意義去求出：要么是x≥0，要么是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。前者只在第一象限有圖像；后者一定具有奇偶性，利用對(duì)稱性可以畫出二或三象限的圖像。注意第四象限絕對(duì)不會(huì)有圖像。
③定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的冪函數(shù)一定具有奇偶性。當(dāng)指數(shù)是偶數(shù)或分子是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)時(shí)是偶函數(shù)；否則是奇函數(shù)。
4冪函數(shù)奇偶性的一般規(guī)律：
⑴指數(shù)是偶數(shù)的冪函數(shù)是偶函數(shù)。
⑵指數(shù)是奇數(shù)的冪函數(shù)是奇函數(shù)。
⑶指數(shù)是分母為偶數(shù)的分?jǐn)?shù)時(shí)，定義域x0或x≥0，沒有奇偶性。
⑷指數(shù)是分子為偶數(shù)的分?jǐn)?shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)。
⑸指數(shù)是分子分母為奇數(shù)的分?jǐn)?shù)時(shí)，冪函數(shù)是奇數(shù)函數(shù)。

擴(kuò)展閱讀

人教版高一數(shù)學(xué)下冊(cè)《冪函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)

人教版高一數(shù)學(xué)下冊(cè)《冪函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)

定義：

形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

定義域和值域：

當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域

性質(zhì)：

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x0，則a可以是任意實(shí)數(shù);

排除了為0這種可能，即對(duì)于x0x=0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。

(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。

(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0);a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。

(6)顯然冪函數(shù)無(wú)界。

練習(xí)題：

1.下列冪函數(shù)為偶函數(shù)的是()

A.y=x12B.y=3x

C.y=x2D.y=x-1

解析：選C.y=x2，定義域?yàn)镽，f(-x)=f(x)=x2.

2.若a0，則0.5a,5a,5-a的大小關(guān)系是()

A.5-a5a0.5aB.5a0.5a5-a

C.0.5a5-a5aD.5a5-a0.5a

解析：選B.5-a=(15)a，因?yàn)閍0時(shí)y=xa單調(diào)遞減，且150.55，所以5a0.5a5-a.

3.設(shè)α∈{-1,1，12，3}，則使函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)的所有α值為()

A.1,3B.-1,1

C.-1,3D.-1,1,3

解析：選A.在函數(shù)y=x-1，y=x，y=x12，y=x3中，只有函數(shù)y=x和y=x3的定義域是R，且是奇函數(shù)，故α=1,3.

高一數(shù)學(xué)下冊(cè)《冪函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，作為教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)，幫助教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。那么，你知道教案要怎么寫呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《高一數(shù)學(xué)下冊(cè)《冪函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)》，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！

高一數(shù)學(xué)下冊(cè)《冪函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

冪函數(shù)的性質(zhì)：

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x0，則a可以是任意實(shí)數(shù);

排除了為0這種可能，即對(duì)于x0x=0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。

(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。

(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0);a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。

(6)顯然冪函數(shù)無(wú)界。

解題方法：換元法

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這種方法叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái).或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

練習(xí)題：

1、若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.

（1）求f（log2x）的最小值及對(duì)應(yīng)的x值；

（2）x取何值時(shí)，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？

2、已知函數(shù)f（x）=3x+k（k為常數(shù)），A（－2k，2）是函數(shù)y=f－1（x）圖象上的點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)k的值及函數(shù)f－1（x）的解析式；

（2）將y=f－1（x）的圖象按向量a=（3，0）平移，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若2f－1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

答案：

1、解：（1）∵A（－2k，2）是函數(shù)y=f－1（x）圖象上的點(diǎn)，

∴B（2，－2k）是函數(shù)y=f（x）上的點(diǎn).

∴－2k=32+k.∴k=－3.

∴f（x）=3x－3.

∴y=f－1（x）=log3（x+3）（x＞－3）.

（2）將y=f－1（x）的圖象按向量a=（3，0）平移，得到函數(shù)y=g（x）=log3x（x＞0），要使2f－1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，即使2log3（x+）－log3x≥1恒成立，所以有x++2≥3在x＞0時(shí)恒成立，只要（x++2）min≥3.

又x+≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=時(shí)等號(hào)成立），∴（x++2）min=4，即4≥3.∴m≥.

2、y=(a2x)loga2()=－loga(a2x)［－loga(ax)］

=(2+logax)(1+logax)=(logax+)2－,

∵2≤x≤4且－≤y≤0,∴l(xiāng)ogax+=0,即x=時(shí)，ymin=－.

∵x≥21,∴10a1.

又∵y的最大值為0時(shí)，logax+2=0或logax+1=0,

即x=或x=.∴=4或=2.

又∵0a1,∴a=.

高一數(shù)學(xué)冪函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納整理

高一數(shù)學(xué)冪函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納整理

形如y=x^a（a為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

定義域和值域：

當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0,不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域

性質(zhì)：

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù)，則x^（p/q）=q次根號(hào)（x的p次方），如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+∞）。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k,則x=1/（x^k），顯然x≠0,函數(shù)的定義域是（-∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x0,則a可以是任意實(shí)數(shù)；

排除了為0這種可能，即對(duì)于x0和x0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù)；

排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；

如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0,不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況。

可以看到：

（1）所有的圖形都通過(guò)（1,1）這點(diǎn)。

（2）當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

（3）當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹；當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。

（4）當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

（5）a大于0,函數(shù)過(guò)（0,0）；a小于0,函數(shù)不過(guò)（0,0）點(diǎn)。

（6）顯然冪函數(shù)無(wú)界。

高一數(shù)學(xué)上冊(cè)重要知識(shí)點(diǎn)：冪函數(shù)

高一數(shù)學(xué)上冊(cè)重要知識(shí)點(diǎn)：冪函數(shù)

冪函數(shù)定義：

形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞浚笖?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

定義域和值域：

當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域

性質(zhì)：

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x0，則a可以是任意實(shí)數(shù);

排除了為0這種可能，即對(duì)于x0和x0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。

(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。

(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0);a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。

(6)顯然冪函數(shù)無(wú)界。